文档文本内容
2.正比例和反比例
第1 课时 正比例
教学内容
教科书P43～44 例1，完成教科书P47～48“练习九”中第1～6
题。
教学目标
1.从具体实例中认识成正比例的量，初步理解正比例的意义及
字母表达式，学会根据正比例的意义来判断两种相关联的量是不是
成正比例关系。
2.初步认识正比例关系的图象，能用“描点法”画出表示正比
例关系的图象，进一步认识成正比例的量的变化规律。
3.渗透函数思想，初步建立实物之间互相联系的观念，会用图
象解决简单的问题，体会函数思想。
教学重点
理解正比例的意义，并会判断两种量是否成正比例关系。
教学难点
在探究中抽象出正比例的意义，渗透函数思想。
教学准备
课件。
教学过程
一、提供素材，感受相关联的量
1.复习导入。
师：已知路程和时间，怎样求速度？
【学情预设】学生会说出:速度=路程÷时间。
师：我们把路程和时间这样有关系的两种量叫做“相关联的
量”。你还能举出相关联的量的例子吗？
【学情预设】学生可能会说出:总价÷数量=单价，总价和数量是
两种相关联的量；工作总量÷工作时间=工作效率，工作总量和工作
时间是两种相关联的量；一本书看了的页数+剩下的页数=总
页数，看了
1
的页数与剩下的页数是两种相关联的量等等。只要学生
教学笔记
说出的两个量是相关联的，都要予以肯定。
2.引入课题。
师：这节课我们一起来研究有关两种相关联的量的知识。（板
书课题：正比例）
【设计意图】充分利用学生的认知经验和生活经验，在熟悉的数
量关系的情境中导入新课，理解“两种相关联的量”的意义，为后
续的学习作铺垫。
二、合作学习，探究成正比例的量
1.初步理解正比例的意义。
(1)课件出示教科书P43 例1。
(2)学生独立思考后，小组交流。
(3)汇报交流。
【学情预设】预设1：表中有总价和数量两种量。
预设2：彩带销售的数量增加，总价就相应增加；彩带销售的数
量减少，总价就相应减少。
预设
3 ：相应的总价和数量的比分别为
，比值都是3.5。
教学笔记
【教学提示】
正比例的意义比较抽象，让学生结合具体数量表达正比例的意义，避
免学生不理
解意义而生
搬硬套。
2
教师根据学生的回答，板书总价和数量的比。
师：根据大家的汇报，我们发现总价和数量是两种相关联的量，
总价是随着数量的变化而变化的，而且总价与相应数量的比值都是
3.5，因此我们就说它们的比值总是一定的。
(4)揭示课题。
师：你知道总价与数量的比值3.5 表示什么吗？
【学情预设】学生会说出：总价÷数量=单价，3.5 表示彩带的单
价。
师：对，
=单价，现在单价一定（板书），那么总价与数量这
两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。这就是
今天我们学习的内容。(出示课件)
师：请大家读一读这段话，然后和同桌互相说一说正比例的意义
2.对比辨析，深入理解正比例的意义。
(1)课件出示习题。
(2)师：两个表中的量有什么相同的地方？
【学情预设】预设1：都有时间和路程这两种量。
预设2：汽车行驶的路程随时间的变化而变化，自行车行驶的
路程也随时
间的变化而
变化。
教学笔记
【教学提示】
这个环
节是在学生
初步理解正
比例的意义
的基础上设
计的，要注
意引导学生
在对比中主
动观察、分
析和讨论，
使学生对正
3
比例关系的理解从浅显到深刻。
预设3：汽车的路程和时间是两种相关联的量，自行车的路程
和时间也是两种相关联的量。
(3)师：那我们是否可以说两个表中的路程与时间这两种量都成
正比例关系呢？你能确定汽车和自行车6 小时行驶的路程是多少
吗？请大家思考后，先在小组内说一说。
【学情预设】预设1：我用“路程÷时间＝速度”，求出汽车的速
度是相同的，都是80 千米/时，而自行车的速度是不同的，有时是
20 千米/时，有时是12 千米/时……所以表1 中路程与时间成正比
例关系，表2 中路程与时间不成正比例关系。
预设2：汽车的速度不变，可以判断6 小时行480 km；而自行车
的速度不确定，6 小时行的路程也就不确定。
师：我们所说的速度实际上也可以看作是路程和时间的比值，
那么你们能分别写出这两种车的路程和时间的比并算出比值吗？
学生写完后展示。
师：根据我们的分析，知道了表1 中汽车行驶的时间和路程是
两种相关联的量，并且它们对应数量的比值一定，所以表1 中路程
与时间成正比例关系；表2 中自行车行驶的时间和路程也是两种相
关联的量，但它们对应数量的比值不一样，也就是不一定，所以表2
中路程与时间不成正比例关系。
板书：
=速度（一定）
【设计意图】在例题的基础上，再增加一些素材，通过探究路程
与时间这两种相关联的量的关系，帮助学生进一步体会成正比例关
系的要点：第一，有两种量，而且是相关联的量，其中一种量随着另
一种量的变化而变化；第二，两种量之间的比值不变。通过具体的
实例，学生认识了什么是变化的量，它们是怎样变化的，哪些是不
变的量，理解并掌握变中有不变的数学思想。
教学笔记
4
3.归纳判断两种量是否成正比例关系的条件。
师：(课件出示例1 表格和汽车行驶表格)想一想，每张表中给我
们出示了几种量？这几种量有什么关系？
【学情预设】表中都有两种相关联的量，一种量变大，另一种量
也变大，一种量变小，另一种量也变小，而且这两种量的比值一定。
第一个表格中是单价一定，第二个表格中是速度一定。
师：我们怎样来判断两种量成正比例关系呢？
师生一起总结：首先判断两种量是否是相关联的量,再看两种量
的商是否为定值。(教师板书：两种相关联的量的比值一定，这两种
量就成正比例关系。)
4.概括表达式。
师：观察成正比例的两种量的数量关系，如果用字母y 和x 表示
两种相关联的量，用k 表示它们的比值(一定)，你能概括出正比例
关系的表达式吗？
【学情预设】
（一定）（教师根据学生的回答板书）
【设计意图】有了前面的学习,学生对正比例关系式已经有了感
知，在学生已有的符号化经验基础上,很容易概括出表达式。
三、自主尝试，探究正比例关系图象的特征
1.学生在方格纸上尝试画图。
师：同学们，通过前面的学习，我们知道了文具店在销售彩带时，总
价和销售数量是成正比例的两种量，为了更直观地反映这两种量之
间的关系，我们可以用图象把它们表示出来。（课件出示图表。）
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师：你是怎样画出图象的？
【学情预设】指导学生说出先观察横轴表示什么，纵轴表示什么。明
确横轴表示销售彩带的数量，纵轴表示总价。描点时，先在横轴上
找到表示1 m 的点，从这个点起作纵轴的平行线，再在纵轴上找到
表示3.5 元的点，从这个点起作横轴的平行线，两线相交的点就表
示“1 m 彩带3.5 元”，用数对表示是（1，3.5），然后以此类推。
学生互相检查，看图象画得正确与否，如果有错误要及时改正。
2.观察交流，体会正比例关系图象的特征。
课件出示正比例关系图象。
师：请大家观察图象，说说你发现了什么。
【学情预设】所有的点都在一条射线上。每个点都表示总价和数量
的一组对应数值。教师可以具体找一个点，让学生说出这个点表示
的含义。
教学笔记
【教学提
示】学生之
前已经具备
了数对与平
面上的点一
一对应的知
识基础，在
这里进一步
扩展，把成
正比例关系
的两种量中
相对应的数
都看作是一
个数对。
师：在图象
中把数对
6
（10，35）和（12，42）所在的点描出来，并
和上面的图象连起来再延长，你还能发现什么？
【学情预设】学生描点后发现，这两个点也在这条射线上。
师：同学们，这条射线就是正比例关系图象。大家看，射线上的每一
个点，既能反映出销售彩带的数量，又能反映出彩带的总价，说明
它能反映出总价和数量是两种相关联的量，而且每一个点所反映的
总价和数量的比又是一个定值，所以我们说它是正比例关系图象。
[板书：正比例关系图象是一条从（0，0）出发的无限延伸的射线。]
【设计意图】初步感知正比例关系图象是一条从（0，0）出发的无限
延伸的射线，理解该射线上的每一个点对应的就是正比例关系中两
种相关联的量的某一组具体值。
3.引导学生利用正比例关系图象解决问题。
师：不计算，根据图象判断，如果买9 m 彩带，总价是多少？49 元能
买多少米彩带？
【教学提
示】引导学
生利用数形
结合思考问
题，理解射
线上的点与
代表相关联
的量的数对
有着一一对
应的关系。
【学情预
设】可以让
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学生指着图象说出自己是怎样解答的。学生找到与横轴上的“9”
对应的纵轴上的数“31.5”，即买9 m 彩带的总价是31.5 元，然后
找到与纵轴上的“49”对应的横轴上的数“14”，即49 元能买14
m 彩带。
师：小明买的彩带的米数是小丽的2 倍，他花的钱是小丽的几倍？
学生自主解答，在小组内交流。
【学情预设】因为彩带的单价是一定的，彩带的总价和数量成正比
例关系，若小明买的彩带的数量是小丽的2 倍，则他花的钱应该是
小丽的2 倍。
师：看来在方格纸上描出成正比例的量所对应的点，就能够在图中
根据一种变量的值估计它所对应的另一种变量的值，用它来解决实
际问题。
【设计意图】通过正比例关系图象解决问题，进一步感知正比例关
系图象的特征，体会利用数形结合的方法解决问题的直观性与便捷
性。
4.比较正比例关系图象和折线统计图。
师：正比例关系图象是折线统计图吗？
学生自由发言并讨论。
教师指导学生明确：正比例关系图象与折线统计图有本质的区别。
虽然描点的过程与方法相同，但前者描述的是量与量之间的变化关
系，两种量都是连续的，即射线上的点有无数个，而后者描述的是
一些离散的数据。
【设计意图】通过比较，深入了解正比例关系图象的特征。
四、巩固练习，强化认知
1.课件出示教科书P47“练习九”第1 题。
学生完整解答问题后，再交流分享。
【教学提示】探究正比例关系图象的特征这个环节是本节课的重点
和难点。要
注重学生的
自主操作、
自主观察、
自主发现，
把对正比例
关系的理解
由具体引向
抽象，由有
限引向无限
发展学生的
函数思想。
【学情预
设】指导学
生完整呈现
解决问题的
过程。首先
观察表格，
明确电费和
8
用电量是相关联的量。然后计算和比较几组相对应的数的比值，理
解比值的意义是电的单价。最后，根据正比例关系的意义作出判断
因为
=电的单价(一定)，所以电费和用电量成正比例关系。
2.课件出示教科书P47“练习九”第4 题。
师：现在你能用所学的知识完成这个表格吗？
学生独立解答后交流。
【学情预设】这道题是已知两种量成正比例关系，利用两种量
中的已知量来求未知量。应尽量引导学生严格按照正比例关系的定
义来列出比例式，最后解比例。
课件出示正确解答。
3.学生独立完成教科书P47“练习九”第2 题。
师：这道题要求我们判断每题中的两种量是否成正比例关系，
并说明理由。你会依据什么条件来判断？
【学情预设】指导学生说出：首先判断两种量是否相关联，然后
再看两种量对应的数的比值是否为定值。
同桌间互相交流分享。
【设计意图】给学生练习的空间，加强学生对成正比例的量的认
识及正比例意义的理解，在对知识的实际应用中获得成功的体验，
实现对新知的巩固。
4.课件出示教科书P44“做一做”。
教师指导学生按照题目的要求解答。根据学生的解答，课件相
应出示正确的解答。
5.学生独立完成教科书P47～48“练习九”第3、5、6 题。
学生先在教科书上完成，然后在小组内交流，教师巡视指导后
收集错误答案进行交流。
【学情预设】第3 题：明确汽车的耗油量和行驶路程成正比例
关系，因为
汽车的耗油
量÷行驶路
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程＝行驶1 km 的耗油量，而行驶1 km 的耗油量一定。要注意的是
根据图象估计，汽车行驶55 km 的耗油量大约是7.3 L。
第5 题：通过对同一时间、同一地点的3 棵树的高度与影长的
关系的观察与计算，明确树的高度与影子的长度是两种成正比例的
量。让学生知道：在同一时间、同一地点的前提下，任何物体的高度
与它的影子的长度都是成正比例关系。
第6 题：让学生通过填表、描点、连线发现，n 是自然数，2n 表示
的就是偶数，而且2n 和n 也是成正比例的量，比值2 是不变的，图
象也符合正比例关系图象的特点。
【设计意图】这一组练习都是正比例的意义和正比例关系图象
的巩固练习。在方格纸上画图表示成正比例关系的量，会根据其中
一种量的值估计另一种量的值，让学生体会借助图形解决问题的价
值。提前接触一些相对抽象的数字型的正比例关系，对于学生将来
学习函数具有重要的作用。
五、课堂小结
师：通过本节课的学习，你们有什么感受和收获呢？你能说出
生活中有哪些成正比例的量吗？
【学情预设】学生可能说出：工作效率一定，工作总量和工作时
间成正比例关系；正方形的周长与边长成正比例关系；圆柱的高一
定，圆柱的侧面积与圆柱的底面周长成正比例关系……(教师及时
进行指导和评价)
【教学提示】
重视观
察与交流，
让学生充分
表达自己对
量的变化规
律的发现和
概括。
板书设计
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正比例关系图象是一条从（0，0）出发的无限延伸的射线。
教学反思
教科书受篇幅的限制只给出一个例题，对于学生来说，充分理
解正比例的意义是不够的。所以设计中又增加了一个素材，分析比
值一定的相关联的两种量的变化规律，给学生充分的自主学习空间
在学生汇报交流时教师通过适时引导、恰当提问加深学生对正比例
知识的理解。但学生在判断两种量是否成正比例关系时，还是经常
会出现错误。一是部分学生对两种量的数量关系不熟；二是部分学
生往往关注的是两种量之间是否存在比的关系，而忽略了两种量是
否是相关联的量，以及它们的比值是否一定这两个要素。对正比例
关系图象的学习，可以看作是理解正比例意义的一种途径。引导学
生用“描点法”画出表示正比例关系的图象，通过分析图象，更好
地理解成正比例关系的两种量之间的变化规律，进行函数思想的渗
透。
【作业设计】
见“状元成才路”系列丛书《创优作业100 分》对应课时作业。
1 新情境2024 年6 月24 日，“极地”号破冰科考船在广州南
沙区正式命名交付，它是中国自主设计、建造的新一代破冰科考船
下面是它的航行时间和航行路程变化情况。（海里是计量海上距离
的长度单位）
（1）上
面表格中
和
是两种相关
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联的量， 随着（ ）的变化而变化。
（2）“极地”号破冰科考船每小时航行（ ）海里，因为航行
路程和航行时间的（ ）总是一定的，所以（ ）和
（ ）成（ ）比例关系。
2 判断下面每题中的两种量是否成正比例关系，是的画“√”，
不是的画“”。
（1）状状的身高和体重。
（ ）
（2）被除数一定，商和除数。（无余数）（ ）
（3）圆的周长和它的直径。
（ ）
（4）菜地已种植面积和未种植面积。
（ ）
3 下表中x 和y 两种量成正比例关系，将表格补充完整。
参考答案
1.（1）航行时间 航行路程 航行路程 航行时间
（2）15 比值 航行路程 航行时间 正
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