北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
专题四 导数及其应用
4.1 导数的概念及运算
五年高考
(2017北京,19,13分,中)已知函数f(x)=excos x-x.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
[ π]
(2)求函数f(x)在区间 0, 上的最大值和最小值.
2
解析 (1)由题意得f'(x)=excos x+ex(-sin x)-1=ex(cos x-sin x)-1,则f'(0)=0.
又f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1.
(2)设h(x)=f'(x)=ex(cos x-sin x)-1,
则h'(x)=ex(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2exsin x.
( π) [ π]
当x∈ 0, 时,ℎ'(x)<0,所以ℎ(x)在区间 0, 上单调递减.
2 2
( π]
所以对任意x∈ 0, 有h(x)<h(0)=0,即f'(x)<0.
2
所以函数f(x)在区间
[ π] [ π] (π) π
0, 上单调递减.因此f(x)在区间 0, 上的最大值为f(0)=1,最小值为f =−
2 2 2 2
三年模拟
基础强化练
sinx (π)
1.(2025届海淀期中,4)已知f(x)= ,则f ' = ( )
cosx 4
A.1 B.2 C.-1 D.-2
答案 B
2.(2025届北京十五中开学测试,5)下列求导不正确的是 ( )
(1) 1 1
A. '=− B.(1+ln x)'=1+
x x2 x
C.(2x)'=2xln 2 D.(cos x)'=-sin x
答案 B
x
3.(2025届北师大二附中入学测试,3)已知曲线f(x)=- ,则其在x=1处的切线方程是
x−2
( )北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
A.2x-y+1=0 B.x-2y+2=0
C.2x-y-1=0 D.x+2y-2=0
答案 C
x
4.(2025届房山良乡中学第一次月考,6)曲线y= 在点(1,1)处的切线方程为 (
2x−1
)
A.x-y-2=0 B.x+y-2=0
C.x+4y-5=0 D.x-y-5=0
答案 B
5.(2025届北京交大附中测试,5)若直线y=2x是曲线f(x)=x(e2x-a)的切线,则a= (
)
A.-e B.-1
C.1 D.e
答案 B
6.(2025届丰台怡海中学开学检测,8)若函数f(x)=x2-2x-4ln x,则f'(x)>0的解集为 (
)
A.(0,+∞) B.(-1,0)∪(2,+∞)
C.(2,+∞) D.(-1,0)
答案 C
7.(2024人大附中质检,6)某物体做直线运动,若它所经过的位移s与时间t的函数关系为
1
s(t)= t2+1,则这个物体在时间段[1,2]内的平均速度为 ( )
2
3 5
A.2 B. C.3D.
2 2
答案 B
8.(2024北京四中开学测试,5)已知函数f(x)在R上可导,其部分图象如图所示,设
f(2)−f(1)
=a,则下列不等式正确的是( )
2−1
A. f'(1)<f'(2)<a B. f'(1)<a<f'(2)
C. f'(2)<f'(1)<a D.a<f'(1)<f'(2)
答案 B北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
9.(2024北京市八一学校开学考试,6)直线l经过点A(0,b),且与直线y=2x平行,如果直线
l与曲线y=x2相切,那么b等于( )
1
A.- B.-1
4
1
C.1 D.
2
答案 B
10.(2025届北京八中暑假阶段测试,8)已知f(x)在R上是可导函数,f(x)的图象如图所示,
则不等式(x2-2x-3)f'(x)>0的解集为 ( )
A.(-∞,-2)∪(1,+∞)
B.(-∞,-2)∪(1,2)
C.(-∞,-1)∪(-1,0)∪(2,+∞)
D.(-∞,-1)∪(-1,1)∪(3,+∞)
答案 D
1
11.(2025届北京一六六中学月考,11)函数y= 在x=0处的瞬时变化率等于 .
x+1
答案 -1
12.(2024北京一六六中学阶段测试,14)设函数f(x)=x+ln x,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处
的切线方程为 .
答案 2x-y-1=0
2
13.(2024北师大实验中学月考,12)函数f(x)=xsin x+cos x的图象在点x= π处的切线的斜
3
率为 .
π
答案 -
3
14.(2024北京五十七中开学考试,18)已知函数f(x)=x3-ax2-a2x+1,其中a>0.
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;
1
(2)若曲线y=f(x)在点(-a,f(-a))处的切线与y轴的交点为(0,m),求m+ 的最小值.
a
解析 (1)f'(x)=3x2-2ax-a2,
当a=1时,f'(x)=3x2-2x-1,
1
令f'(x)<0,即3x2-2x-1<0,解得- <x<1,
3北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
1
令f'(x)>0,即3x2-2x-1>0,解得x<- 或x>1.
3
( 1 ) ( 1)
所以函数f(x)的单调递减区间为 − ,1 ,单调递增区间为 −∞,− 和(1,+∞).
3 3
(2)由(1)知f'(x)=3x2-2ax-a2,
故f'(-a)=3(-a)2-2a×(-a)-a2=4a2,
又f(-a)=(-a)3-a·(-a)2-a2×(-a)+1=-a3+1,
所以曲线y=f(x)在点(-a,f(-a))处的切线方程为y-(-a3+1)=4a2(x+a),即y=4a2x+3a3+1.
令x=0,得y=3a3+1,即m=3a3+1,
1 1
则m+ =3a3+1+ ,
a a
1 1 9a4−1
令g(a)=3a3+1+ ,a>0,可得g'(a)=9a2− = ,a>0,
a a2 a2
√3
令g'(x)<0,即9a4-1<0,解得0<a< ,
3
√3
令g'(x)>0,即9a4-1>0,解得a> .
3
( √3) (√3 )
所以函数g(a)在区间 0, 上单调递减,在区间 ,+∞ 上单调递增,
3 3
(√3) √3 3+4√3
所以最小值为g = +1+√3= ,
3 3 3
1 3+4√3
所以m+ 的最小值是 .
a 3
能力拔高练
1.(2025届北京二中开学测试,9)已知定义在R上的函数y=f(x)满足:函数y=f(x-1)的图象
关于直线x=1对称,且当x∈(-∞,0)时,f(x)+xf'(x)<0成立(f'(x)是函数f(x)的导函数),
π ( π) ( 1)
若a=sin f sin ,b=ln 2f(ln 2),c=2f log ,则a,b,c的大小关系是 (
6 6 1 4
2
)
A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.a>c>b
答案 A
2.(2024北京景山学校开学考试,9)若函数f(x)=2ln x+x2+mx+1的图象上任意一点的切线
的斜率都大于0,则实数m的取值范围为( )
A.(-∞,-4) B.(-∞,4)
C.(-4,+∞) D.(4,+∞)
答案 C北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
3.(2024北京东直门中学月考,7)若直线y=x+a与函数f(x)=ex和g(x)=ln x+b的图象都相
切,则a+b= ( )
A.-1 B.0 C.1 D.3
答案 D
ex+2sinx
4.(2025届北师大附中月考,13)设函数f(x)= ,则曲线y=f(x)在(0,1)处的切线
1+x2
与两坐标轴围成的三角形的面积为 .
1
答案
6
5.(2025届北京市西城外国语学校月考,14)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f'(x)是偶函
数,f'(0)=1,f'(1)=0.写出一个满足条件的函数f(x)= .
1
答案 - x3+x(答案不唯一)
3
6.(2025届北京市八一学校月考,13)曲线y=ex在x=0处的切线恰好是曲线y=ln(x+a)的切
线,则实数a= .
答案 2
7.(2025届北京八中暑假阶段测试,18)已知函数f(x)=x3-3x2+ax(a∈R)的两个极值点之差
2√3
的绝对值为 .
3
(1)求a的值;
(2)若过原点的直线l与曲线y=f(x)在点P(P与原点不重合)处相切,求点P的坐标.
解析 (1)设f'(x)=3x2-6x+a=0的两根分别为x ,x ,
1 2
a
则x +x =2,x x = ,
1 2 1 2 3
2√3 4
由|x -x |= ,得(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2= ,
1 2 3 3
a 4
所以22-4× = ,解得a=2,
3 3
当a=2时,f'(x)=3x2-6x+2,
√3 √3
由f'(x)=3x2-6x+2<0,得1- <x<1+ ,
3 3
√3 √3
由f'(x)=3x2-6x+2>0,得x<1- 或x>1+ ,
3 3北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
所以函数f(x)在
( √3) ( √3 √3) ( √3 ) √3 √3 2√3
−∞,1− 上单调递增,在 1− ,1+ 上单调递减,在 1+ ,+∞ 上单调递增,所以x=1− 为极大值点,x=1+ 为极小值点,满足两个极值点之差的绝对值为
3 3 3 3 3 3 3
符合题意,所以a=2.
(2)由(1)知f(x)=x3-3x2+2x,f'(x)=3x2-6x+2,
设P(x ,y ),x ,y ≠0,则y =x3−3x2 +2x ,
0 0 0 0 0 0 0 0
y −0
由题意得 0 =f '(x0)=3x2 -6x +2,
x −0 0 0
0
x3−3x2+2x
即 0 0 0=3x2−6x0+2,整理得 2x3−3x2 =0,
x 0 0 0
0
3
解得x =0(舍去)或x = ,
0 0 2
(3) 3 (3) 2 3 3
则y = −3× +2× =− ,
0 2 2 2 8
(3 3)
所以P ,− .
2 8
√x+a 1 2
8.(2024海淀期中,20)已知函数f(x)= ,且f(1)= ,f(4)= .
x2+b 4 19
(1)求a,b的值;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)设实数m满足:存在k∈R,使直线y=kx+m是曲线y=f(x)的切线,且kx+m≥f(x)对
x∈[0,+∞)恒成立,求m的最大值.
1+a 1
{ f(1)= = ,
1+b 4 {a=0,
解析 (1)由 解得
2+a 2 b=3.
f(4)= = ,
16+b 19
√x
(2)由(1)得f(x)= (x≥0),f(0)=0,
x2+3
1
·(x2+3)−√x·2x
当x>0时,f'(x)=2√x 3(1+x)(1−x),
=
(x2+3) 2 2√x(x2+3) 2
当x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
所以f(x)的单调递增区间是[0,1),单调递减区间是(1,+∞).
1
(3)由(2)可知当x=1时,f(x)取得最大值 .
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1 1 ( 1) 1
①当m= 时,存在直线y= 是曲线y=f(x)在点 1, 处的切线,且f(x)≤ 对
4 4 4 4
x∈[0,+∞)恒成立,符合题意.
②当m>
1 1
时,设直线y=kx+m为曲线y=f(x)的切线,切点为(x0,y0),则x0>0,y0≤
4 4
,
y −m
所以k= 0 <0.
x −0
0
m
取x =- ,则x >0.
1 k 1
√x
1
因为f(x )= >0,kx +m=0,
1 x2+3 1
1
所以kx +m<f(x ),即存在x ∈(0,+∞),kx +m<f(x ),不符合题意.
1 1 1 1 1
1
综上,m的最大值是 .
4
9.(2024北京一七一中学开学考试,19)已知函数f(x)=1-x2.
(1)已知直线l与曲线y=f(x)相切,且与坐标轴围成等腰三角形,求直线l的方程;
[1 ]
(2)已知t∈ ,1 ,设曲线y=f(x)在点(t,f(t))处的切线被坐标轴截得的线段长度为
2
L(t),求L(t)的最大值.
解析 (1)由题意得,f'(x)=-2x,直线l的斜率为±1,
1 1
令f'(x)=1,得x=- ;令f '(x)=−1,得x= .
2 2
( 1) (1) 3
又因为f − =f = ,
2 2 4
3 1 3 ( 1) 5 5
所以直线l的方程为y- =x+ 或y− =− x− ,即y=x+ 或y=−x+ .
4 2 4 2 4 4
[1 ]
(2)因为t∈ ,1 ,所以f(t)=1-t2≥0,
2
曲线y=f(x)在点(t,f(t))处的切线斜率为f'(t)=-2t,
则切线方程为y-1+t2=-2t(x-t),
(t2+1
)
切线与坐标轴的交点坐标分别为(0,t2+1), ,0 .
2t
√ (t2+1) 2 √1+4t2 (1+4t2 )(t2+1) 2
所以L(t)= +(t2+1) 2= (t2+1)>0,L2(t)= ,
2t 2t 4t2北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
令n=t2,n∈
[1 ] (1+4n)(n+1) 2 4n3+9n2+6n+1 8n3+9n2−1 1 9
,1 ,则g(n)=L2(t)= = ,则g'(n)= =2n− +
4 4n 4n 4n2 4n2 4
,
[1 ]
易知g'(n)在n∈ ,1 上单调递增,
4
1 (1) 5
且当n= 时,g' =− <0,当n=1时,g'(1)=4>0,
4 4 4
(1 )
所以存在n ∈ ,1 ,使得g'(n )=0.
0 4 0
[1 ]
g(n)与g'(n)在区间 ,1 上的变化情况如表:
4
[1 )
n ,n n (n,1]
4 0 0 0
g'(n) - 0 +
g(n) ↘ 极小值 ↗
(1) 25
又因为g = <g(1)=5,
4 8
所以当n=1,即t=1时,L(t)取到最大值√5.
xn
10.(2025届朝阳期末,19)已知函数f(x)= (x>0),其中n是常数,n∈Z.
ex−1
(1)当n=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)求f(x)的极值.
1
解析 (1)当n=0时,f(x)= ,
ex−1
1
所以f'(x)=- .
ex−1
则f'(1)=-1,又f(1)=1,
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.
(2)由题意知x∈(0,+∞).
1
当n=0时,由(1)知,f'(x)=- <0,
ex−1
所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,f(x)无极值.
nxn−1−xn xn−1 (n−x)
当n≠0(n∈Z)时,f'(x)= = .
ex−1 ex−1北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
(i)当n<0(n∈Z)时,
f'(x)<0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,f(x)无极值.
(ii)当n>0(n∈Z)时,
当0<x<n时,f'(x)>0,f(x)在(0,n)上单调递增,
当x>n时,f'(x)<0,f(x)在(n,+∞)上单调递减.
nn
所以x=n时,f(x)取得极大值f(n)= ,无极小值.
en−1
综上,当n≤0(n∈Z)时,f(x)无极值;
nn
当n>0(n∈Z)时,f(x)有极大值 ,无极小值.
en−1
