文档文本内容
第36 讲 机械振动
目录
考情探究...........................................................................................................................
知识梳理...........................................................................................................................
探究核心考点...................................................................................................................
考点一 振动装置、振动方程的考查............................................................................................
考点二 振动图像的考查................................................................................................................
考点三 简谐运动综合问题............................................................................................................
考点四 相关实验............................................................................................................................
考点五 平均速度和瞬时速度........................................................................................................
三阶突破训练...................................................................................................................
基础过关..........................................................................................................................................
能力提升..........................................................................................................................................
真题感知..........................................................................................................................................
一、5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2025 年甘肃卷，第8 题
2024 年河北卷，第9 题
2022 年山东卷，第10 题
2021 年江苏卷，第4 题
2021 年河北卷，第17 题
振动装置、振动方程的考查
牛顿第二定律
简谐运动
弹簧振子
单摆
2024 年浙江1 月卷，第10 题
振动图像的考查
弹簧振子
2024 年北京卷，第9 题
2024 年甘肃卷，第5 题
2021 年广东卷，第17 题
单摆
简谐运动
2025 年河北卷，第9 题
2025 年湖北卷，第9 题
2024 年辽宁卷，第7 题
2022 年浙江1 月卷，第6 题
2022 年浙江6 月卷，第11 题
简谐运动综合问题
牛顿第二定律
弹簧振子
x-t 图像
2025 年北京卷，第15 题
2025 年海南卷，第7 题
2024 年湖北卷，第12 题
2024 年湖南卷，第12 题
2024 年广西卷，第11 题
2024 年辽宁卷，第12 题
2023 年湖南卷，第11 题
2023 年河北卷，第6 题
2023 年新课标卷，第10 题
2023 年重庆卷，第11 题
相关实验
变压器
电阻表
弹簧振子
单摆
2025 年广东卷，第1 题
2025 年四川卷，第5 题
受迫振动、共振
多普勒效应
二、命题规律及备考策略
【命题规律】本讲内容是新高考卷的常考内容。本类试题主要考查振动装置（弹簧振子、单摆）、振动图
像、振动方程及简谐运动的特点。常与机械波进行综合。
【备考策略】1.理解、掌握简谐运动的特点、条件、描述、表达式、图像。
2.熟悉弹簧振子、单摆模型。
3.具备数形结合的思想意识。
4.会利用单摆简谐运动的周期测重力加速度。
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般以选择题或者实验题形式出现。
一、对简谐运动的理解
受力
特点
回复力F＝－kx，F(或a)的大小与x 的大小成正比，方向相反
运动
特点
靠近平衡位置时，a、F、x 都减小，v 增大；远离平衡位置时，a、
F、x 都增大，v 减小
能量
振幅越大，能量越大．在运动过程中，动能和势能相互转化，系统
的机械能守恒
周期性
做简谐运动的物体的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期
性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周
期性变化，其变化周期为
对称性
(1)如图所示，做简谐运动的物体经过关于平衡位置O 对称的两点
P、P′(OP＝OP′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡
位置的位移大小相等
(2)物体由P 到O 所用的时间等于由O 到P′所用时间，即tPO＝tOP′
(3)物体往复过程中通过同一段路程(如OP 段)所用时间相等，即tOP＝
tPO
(4)相隔或(n 为正整数)的两个时刻，物体位置关于平衡位置对称，位
移、速度、加速度大小相等，方向相反
二、简谐运动的表达式和图像
1．简谐运动的表达式
x＝Asin(ωt＋φ0)，ωt＋φ0为相位，φ0为初相位，ω 为圆频率，ω＝.
2．简谐运动的振动图像
表示做简谐运动的物体的位移随时间变化的规律，是一条正弦曲线．
3．从振动图像可获取的信息
(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ0(如图所示)．
(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移．
(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小(即此切点的导数)和正负分别表示各时刻
质点的速度大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定．
(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同．
(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况．
三、单摆及其周期公式
1．定义：
如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样
的装置叫作单摆．(如图)
2．简谐运动的条件：θ <5°
.
3．回复力：F＝mgsin θ.
4．周期公式：T＝2π.
(1)l 为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离．
(2)g 为当地重力加速度．
5．单摆的等时性：单摆的振动周期取决于摆长l 和重力加速度g，与振幅和摆球质量无关．
6．单摆的受力特征
(1)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F 回＝mgsin θ＝－x＝－kx，负号表示回复力F 回与位移x
的方向相反，故单摆做简谐运动．
(2)向心力：摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力充当向心力，FT－mgcos θ＝m.
①当摆球在最高点时，v＝0，FT＝mgcos θ.
②当摆球在最低点时，FT最大，FT＝mg＋m.
(3)单摆处于月球上时，重力加速度为g 月；单摆在电梯中处于超重或失重状态时，重力加速度为等效重力
加速度．
四、受迫振动和共振
1．受迫振动
(1)概念：系统在驱动力作用下的振动．
(2)振动特征：物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关．
2．共振
(1)概念：当驱动力的频率等于固有频率时，物体做受迫振动的振幅达到最大的现象．
(2)共振的条件：驱动力的频率等于固有频率．
(3)共振的特征：共振时振幅最大．
(4)共振曲线(如图所示)．
f＝f0时，A＝Am，f 与f0差别越大，物体做受迫振动的振幅越小．
3．简谐运动、受迫振动和共振的比较
振动
项目
简谐运动
受迫振动
共振
受力情况
受回复力
受驱动力作用
受驱动力作用
振动周期或频率
由系统本身性质决
定，即固有周期T0或
固有频率f0
由驱动力的周期或频
率决定，即T＝T 驱或f
＝f 驱
T 驱＝T0或f 驱＝f0
振动能量
振动系统的机械能不
变
由产生驱动力的物体
提供
振动物体获得的能量
最大
常见例子
弹簧振子或单摆
(θ≤5°)
机械工作时底座发生
的振动
共振筛、声音的共鸣
等
五、用单摆测量重力加速度
1．实验原理
当摆角较小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T＝2π，由此得到g＝，因此，只要测出摆长l 和振动周期
T，就可以求出当地的重力加速度g 的值．
2．实验器材
单摆、游标卡尺、毫米刻度尺、停表．
3．实验过程
(1)让细线的一端穿过金属小球的小孔，做成单摆．
(2)把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下
垂，在单摆平衡位置处做上标记，如图所示．
(3)用毫米刻度尺量出摆线长度l′，用游标卡尺测出金属小球的直径，即得出金属小球半径r，计算出摆长
l＝l′＋r.
(4)把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(不超过5°)，然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平
稳后测出单摆完成30～50 次全振动所用的时间t，计算出单摆的振动周期T.
(5)根据单摆周期公式，计算当地的重力加速度．
(6)改变摆长，重做几次实验．
4．数据处理
(1)公式法：利用T＝求出周期，算出三次测得的周期的平均值，然后利用公式g＝求重力加速度．
(2)图像法：根据测出的一系列摆长l 对应的周期T，作l－T2的图像，由单摆周期公式得l＝T2，图像应是一
条过原点的直线，如图所示，求出图线的斜率k，即可利用g＝4π
2 k 求重力加速度．
5．注意事项
(1)一般选用一米左右的细线．
(2)悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定．
(3)应在小球自然下垂时用毫米刻度尺测量悬线长．
(4)单摆必须在同一平面内振动，且摆角小于5°.
(5)选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时，并数准全振动的次数．
考点一 振动装置、振动方程的考查
典例1．（2025·北京市东城区·一模）如图所示，鱼漂静止时，
点恰好位于水面处。用手将鱼漂缓慢向下
压，使
点到达水面，松手后，鱼漂沿竖直方向运动，上升到最高处时，
点到达水面。若鱼漂的
段可视为圆柱体，仅在重力与浮力的作用下运动，则有关鱼漂松手后的运动，下列说法不正确的是
（ ）
A. 鱼漂的运动是简谐运动
B.
点过水面时，鱼漂的速度最大
C.
点到达水面时，鱼漂具有向下的加速度
D. 鱼漂由释放至运动到最高点的过程中，速度先增大后减小
【答案】C
【解析】A．鱼漂在水中受到了浮力的作用，由阿基米德浮力定律可知，浮力的大小与鱼漂进入水面的深
度成正比，鱼漂所受的重力为恒力，以静止时O 点所处位置为坐标原点，则合力的大小与鱼漂的位移大小
成正比，方向总是与位移方向相反，所以鱼漂做简谐运动，故A 正确；
B．点O 过水面时，鱼漂到达了平衡位置，速度最大，故B 正确；
C．点M 到达水面时，鱼漂达到了向下的最大位移，所受合力方向向上，所以具有向上的加速度，故C 错
误；
D．由简谐运动的特点可知，鱼漂由释放至运动到最高点的过程中，速度先增大后减小，故D 正确。
本题选不正确项，故选C。
典例2．（2025·甘肃省兰州市·一模）在建筑工地上，工人使用插入式混凝土振捣器对浇筑的混凝土进行振
捣作业。振捣器开启后，其内部的偏心块高速旋转，带动振捣棒做简谐运动，并将振动传递给混凝土。已
知振捣棒的振动方程为
。下列说法正确的是（ ）
A. 振捣棒做简谐运动的频率为50Hz
B.
时刻，振捣棒的位移为1.5mm
C. 振捣棒在1s 内通过
路程是600mm
D. 振捣棒的振动频率越高，混凝土颗粒的振动一定越剧烈
【答案】C
【解析】AB．根据表达式
可知频率为
Hz
将
代入解得
mm
故AB 错误；
C．振捣棒的周期为
s
由于1s=
，则振捣棒在1s 内通过的路程是
mm
故C 正确；
D．当振捣棒的振动频率与混凝土颗粒的固有频率越接近时，振动越剧烈，故D 错误；
故选C。
典例3．（2025·湖北省黄石市第二中学·二模）（多选）如下左图所示，劲度系数为k 的轻弹簧竖直固定
在水平面上，质量为m 的小球从A 点自由下落，至B 点时开始压缩弹簧，下落的最低位置为C 点。以A 点
为坐标原点O。沿竖直向下建立x 轴，定性画出小球从A 到C 过程中加速度a 与位移x 的关系，如下右图
所示，重力加速度为g。对于小球、弹簧和地球组成的系统，下列说法正确的是（ ）
A. 小球在B 点时的速度最大
B. 小球从B 到C
运动为简谐运动的一部分，振幅为
C. 小球从B 到C，系统的动能与弹性势能之和增大
D. 图中阴影部分1 和2 的面积关系为：
【答案】CD
【解析】
【详解】A．小球至B 点时开始压缩弹簧，一开始弹力小于重力，则小球继续向下加速运动，所以小球在
B 点时的速度不是最大，故A 错误；
B．设平衡位置为O，弹簧在平衡位置的压缩量为
，则有
设平衡位置O 下方有一D 点，且B、D 相对于O 点对称，根据对称性可知，小球到达D 点的速度等于B 点
的速度，且B、D 两点的加速度大小相等，即D 点的加速度大小为
，则小球在最低点C 点的加速度大于
，方向向上。
根据牛顿第二定律可得
可得最低点C 的压缩量满足
则小球从B 到C 的运动为简谐运动的一部分，振幅为
，故B 错误；
C．小球和弹簧、地球组成的系统机械能守恒，小球从B 运动到C 的过程中，小球的重力势能一直在减小，
小球的动能与弹簧的弹性势能之和一直在增大，故C 正确；
D．设小球在平衡位置的速度为
，根据微元累积的思想可得
则根据动能定理可得
，
由于
，所以mS1<mS2，则S1<S2，即中阴影部分1 的面积小于阴影部分2 的面积，故D 正确。
故选CD。
跟踪训练1．（2025·河南省焦作市·二模）如图1 所示的装置，重物A 、B和
通过不可伸长的轻质细绳
跨过两个光滑的等高小定滑轮连接，重物
和
的质量均为
，悬挂重物
的细绳与两定滑轮水平线夹角
为
时，系统将处于静止状态。设重物
在此位置坐标为0，缓慢把重物
向上托起
，然后由静止
释放并开始计时，重物
的运动可视为简谐运动，取竖直向上为正方向，重物
的振动图像如图2 所示，
下列说法正确的是（ ）
A. 重物
的质量为
B. 重物
简谐运动的振幅为
C. 重物
在
时速度为0
D. 重物
在
时加速度方向竖直向下
【答案】A
【解析】A．对重物C 进行受力分析，重物C 受重力、绳的拉力，根据力的合成和分解可得重物Ｃ的重力
为
所以重物C 的质量为
故A 正确；
B．由图可知重物
运动的振幅为
，故
错误；
C．由图可知，重物
在
时速度最大，故
错误；
D．由图可知，重物
在
时，C 处于最低点，加速度方向竖直向上，故D 错误。
故选A。
跟踪训练2．（2025·江苏省苏州市南京航空航天大学苏州附属中学·一模）如图甲、乙所示，同一单摆先后
做简谐运动和圆锥摆运动，已知摆球的最大高度相同。则两次运动相比较，简谐运动中摆球的（ ）
A. 运动的周期小，机械能大
B. 运动的周期小，机械能小
C. 运动的周期大，机械能大
D. 运动的周期大，机械能小
【答案】D
【解析】设单摆的摆长为，最大夹角为
，根据单摆周期公式
根据合力充当向心力
解得
所以
摆球的最大高度相同时，重力势能相等，甲摆的动能为零，乙摆的动能不为零，则乙圆锥摆的机械能大，
故选D。
跟踪训练3．（2025·辽宁省鞍山市第一中学·三模）如图所示，A、B 两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，
A 放在固定的光滑斜面上，斜面倾角为
，B、C 两小球通过劲度系数为k 的轻质弹簧相连，放在倾角为
带有挡板的固定光滑斜面上。现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，保证滑轮两侧细线
均与斜面平行，且C 球与挡板接触。已知A 的质量为2m，B 的质量为m，C 的质量为4m，重力加速度为
g，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态。现释放A 球，求：
（1）初始时，弹簧形变量
大小；
（2）A 沿斜面下滑的最大速度
；
（3）A 沿斜面下滑至位移最大时，C 对挡板的压力大小。
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【小问1 详解】
对小球B 受力分析可知，小球B 仅受重力和斜面
支持力无法平衡，则弹簧对小球B 有沿斜面向上的支持
力，则初始时弹簧处于压缩状态，设压缩量为
，由B 沿斜面方向受力平衡可得
解得
【小问2 详解】
A 沿斜面下滑至速度最大时，加速度为0，由牛顿第二定律可知绳上的拉力为
此时对B 沿斜面方向的受力，由牛顿第二定律有
联立解得
因为
，一开始释放的位置弹簧的弹性势能与速度最大位置时弹簧的弹性势能相等，由系统机械能守
恒得
联立解得
【小问3 详解】
根据简谐运动知识可以判定A、B 两个小球一起做简谐振动，二者的振幅为
当小球A 运动到最低点时，则B 向上运动的最大距离为
此时弹簧的伸长量为
此时对C 做受力分析由平衡方程有
联立解得
由牛顿第三定律可知，C 对挡板的压力大小为
考点二 振动图像的考查
典例1．（2025·湖北省部分高中协作体·二模）一水平弹簧振子做简谐运动，其位移时间关系如图所示。求：
（1）写出该简谐运动的表达式；
（2）t=0.25×10-2 s 时的位移；
（3）从t=0 到t=8.5×10-2 s 的时间内，质点的路程、位移各为多大？
【答案】（1）
；（2）-1.414 cm；（3）34 cm，2 cm
【解析】（1）由图像知
A=2 cm，T=2×10-2 s，φ=
则
=100π rad/s
则表达式为
（2）把t=0.25×10-2 s 代入表达式得
（3）时间为
所以通过的路程为
把t=8.5×10-2 s 代入表达式得
即此时质点在平衡位置，这段时间内的位移大小为
典例2．（2025·四川省成都市·三模）在2024 年巴黎奥运会中，中国艺术体操队夺得集体全能项目金牌。
图示为艺术体操运动员舞动的彩带在某时刻形成的波形（波形在竖直平面内且可视为正弦波），以该时刻
为计时起点，竖直向上为正方向，彩带上P 质点的振动图像可能正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由波形图可知，此时刻质点P 在平衡位置之上、最高点之下，向平衡位置运动，结合振动图像可
知，图A 正确。
故选A。
典例3．（2025·辽宁省葫芦岛市·二模）折返跑是体育课上经常练习的一个运动项目。小明同学完成一次折
返跑过程的v−t 图像可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】AD．v−t 图像中速度的正负表示方向，若开始速度为正，则返回时速度应为负，故AD 错误；
BC．v−t 图像与时间轴所围几何图形的面积表示位移，往返位移大小相等，所以对应面积应相等，故B 正
确，C 错误。
故选B。
跟踪训练1．（2025·山西省·一模）现有一质点始终在xOy 平面内运动，从t = 0 时刻起，它在x、y 方向的
位置与时间关系如图所示，图中x = 4cosωt，y = 3cosωt，sin53° = 0.8。下列说法正确的是（ ）
A. t = 0 时刻质点的位置坐标为（4，5）
B. 该质点在xOy 平面内的轨迹为一条曲线
C. 该质点在1 s ~ 3 s 内的速度与x 轴负方向的夹角为37°
D. 该质点在t = 2 s 时的加速度一定不为零
【答案】C
【解析】A．根据题图可知t = 0 时刻的坐标为（4，3），故A 错误；
B．由于x、y 方向的位移与时间均为余弦函数关系
x = 4cosωt，y = 3cosωt
联立以上两式，可得该质点的轨迹方程
并结合图像特征，即判定质点在xOy 平面内做往复直线运动，故B 错误；
D．根据位移与时间图像中斜率大小（速度大小）的变化情况，可知在t = 2 s 时x、y 方向的速度均达到最
大，即加速度一定为零，故D 错误；
C．由于x、y 两轴所取标度相同，并结合B 选项的分析，质点的轨迹方程
即得轨迹与x 轴所夹锐角为37°，1 s ~ 3 s 内速度方向为负，故C 正确。
故选C。
跟踪训练2．（2025·山西省吕梁市·三模）某同学用如图所示的装置描绘单摆做简谐运动的振动图像。第一
次实验时在纸带上恰好有两个完整的振动图像，第二次实验时改变摆长，用2 倍的速度拉相同的纸带，纸
带上也恰好有两个完整的振动图像，则第一次实验和第二次实验中单摆的摆长之比为（ ）
A. 4 1∶
B. 2 1∶
C. 1 2∶
D. 1 4∶
【答案】A
【解析】由题意可知两次实验中单摆的周期之比为
再由周期公式
解得
故选A。
跟踪训练3．（2025·陕西省安康市·二模）如图所示为某质点运动的速度随时间变化的图像，该图像为正弦
式图像的一部分，关于质点在0~2s 内的运动，下列说法正确的是（ ）
A. 质点的加速度先减小后增大
B. 质点的速度一直减小
C. 第1s 内的位移为1m
D. 前2s 内的位移为零
【答案】D
【解析】A．图为速度-时间图像，切线斜率代表加速度，因此加速度先增大后减小，故A 错误；
B．由图像知速度先正向减小后反向增大，故B 错误；
C．若物体做匀变速直线运动，第1s 的位移大小为
根据图像围成面积表示位移，可知物体的位移大于1m，故C 错误；
D．面积表示位移，时间轴上下面积相等，则前2s 的位移为零，故D 正确。
故选D。
考点三 简谐运动特点
典例1．（2025·云南省丽江市第一高级中学·三模）如图所示，水平方向的弹簧振子振动过程中，振子先后
经过a、b 两点时的速度相同，且从a 到b 历时0.2s，从b 再回到a 的最短时间为0.4s，
，c、d 为
振子最大位移处，则该振子的振动频率为（ ）
A. 1Hz
B. 1.25Hz
C. 2Hz
D. 2.5Hz
【答案】B
【解析】由题可知，a、b 两点关于平衡位置对称，从a 到b 历时
从b 再回到a 的最短时间为0.4s，即从b 到c 所用时间为
所以弹簧振子振动的周期为
则振动频率为
故B 正确，ACD 错误。
故选B。
典例2．（2025·江苏省南京市·二模）如图，某同学利用一半径R 较大的固定光滑圆弧槽和一直径为d
的刚性小球来测定当地的重力加速度。已知小球的运动为简谐运动.下列说法正确的是（ ）
A. 应从小球处于最高点开始计时
B. 从不同高度释放，小球的周期不同
C. 若将n 次全振动误记为n−1 次，重力加速度的测量值将偏小
D. 小球经过最低点时加速度为零
【答案】C
【解析】A．在简谐运动中，通常选择平衡位置作为计时起点，此时速度最大，便于测量。最高点速度为
零，不是最佳的计时起点，A 错误；
B．对于简谐运动，周期
只与系统的固有性质（如摆长、重力加速度）有关，与振幅（即释放高度）无
关，因此从不同高度释放，小球的周期相同，B 错误；
C．根据单摆运动的周期公式
若将
次全振动误记为
次，会使小球运动周期偏大，重力加速度的测量值偏小，C 正确；
D．在简谐运动中，小球绕点
做圆周运动，小球在最低点时速度最大，但加速度不为零，方向指向
点，
D 错误。
故选C。
典例3．（2025·北京市东城区·一模）简谐运动是最基本的机械振动。物体做简谐运动时，回复力
与偏
离平衡位置的位移
成正比，即：
；偏离平衡位置的位移
随时间的变化关系满足方程
，其中
为振幅，
是初相位，
为圆频率，
为物体质量。
（1）如图1 所示，光滑的水平面上放置一弹簧振子，弹簧的劲度系数为
，振子的质量为
。以弹簧原长
时的右端点为坐标原点
，水平向右为正方向建立坐标轴
。在弹簧的弹性限度内，将振子沿
方向缓
慢拉至某处由静止释放。
a.求该弹簧振子的振动周期
；
b.在图2 中画出弹簧弹力大小
随弹簧伸长量
的变化关系图线。求弹簧伸长量为
时系统的弹性势能
。
（2）如图3 所示，竖直平面内存在无限大、均匀带电的空间离子层，左侧为正电荷离子层，右侧为负电荷
离子层，两离子层内单位体积的电荷量均为
，厚度均为
。以正离子层左边缘上某点
为坐标原点，水
平向右为正方向建立坐标轴
。已知正离子层中各点的电场强度方向均沿
轴正方向，其大小
随
的
变化关系如图4 所示，其中
为常量；在
与
空间内电场强度均为零。某放射性粒子源
位于
的位置，向空间各个方向辐射速率均为
的电子。当入射电子速度方向与
轴正方向的夹角为
时，
电子刚好可以到达离子层分界面处，没有射入负电荷离子层。已知电子质量为
，所带电荷量为
，不计
电子重力及电子间相互作用力，假设电子与离子不发生碰撞。
a.求
的表达式；
b.计算电子第一次打到离子层分界面时，在分界面上形成的图形面积
（结果中可含
）。
【答案】（1）a.
；b.
，
（2）a.
；b.
【解析】
【小问1 详解】
a. 该弹簧振子的振动周期
根据题意有
联立可得
b.根据胡克定律可得
则弹簧弹力大小
随弹簧伸长量
的变化关系如图所示
弹簧伸长量
时，弹簧弹性势能为
【小问2 详解】
a.电子进入正电荷离子层受力
沿
轴方向做简谐运动，初速度
垂直于
轴方向做匀速直线运动，速度为
入射角为
的电子刚好不射入负电荷离子层，由功能关系
解得
则
b．电子在分界面上形成的图形为圆，设入射角为
的电子进入离子层之前在垂直于
轴方向发生的位移为
，进入离子层后刚好到达界面时在垂直于x 轴方向发生的位移为
，分界面图形圆的半径为r，则
，
，
，
又
联立可得
跟踪训练1．（2025·辽宁省名校联盟·三模）（多选）如图所示，在倾角
的光滑固定斜面顶端固定
一轻弹簧，弹簧下端连接着小球甲，小球甲与小球乙通过轻绳连接。已知小球甲的质量
，小球
乙的质量
，静止时弹簧的伸长量
（未超出弹性限度）。已知重力加速度g 取
，
，
，则烧断甲、乙之间的轻绳后，下列说法正确的是（ ）
A. 弹簧的劲度系数为
B. 小球甲做简谐运动，其振幅为18cm
C. 小球甲运动过程中弹簧的最大压缩量为6cm
D. 小球甲运动过程中的最大动能为0.144J
【答案】ACD
【解析】A．由静止时甲、乙整体受力分析，甲、乙整体重力沿斜面的分量与弹簧弹力平衡，则有
解得
故A 正确；
B．剪断轻绳后，甲球将做简谐运动，运动到平衡位置时，根据平衡条件，有
解得弹簧的伸长量为
小球甲做简谐运动，其振幅为A=18cm-6cm=12cm
故B 错误；
C．甲球运动到最高点时弹簧有最大压缩量，结合简谐运动关于平衡位置对称可推知，弹簧有最大压缩量
故C 正确；
D．由简谐运动相关运动规律和能量守恒定律，有
小球甲运动过程中的最大动能为
故D 正确。
故选ACD。
跟踪训练2．（2025·宁夏回族自治区银川一中·一模）（多选）一振子沿x 轴做简谐运动，平衡位置在坐标
原点，t=0 时振子
位移为-0.1 m，t=1 s 时位移为0.1 m，则（ ）
A. 若振幅为0.1 m，振子的周期可能为
B. 若振幅为0.1 m，振子的周期可能为
C. 若振幅为0.2 m，振子的周期可能为4 s
D. 若振幅为0.2 m，振子的周期可能为6 s
【答案】AD
【解析】试题分析：t=0 时刻振子
位移x=-0.1m，t=1s 时刻x=0.1m，关于平衡位置对称；如果振幅为
0.1m，则1s 为半周期的奇数倍；如果振幅为0.2m，分靠近平衡位置和远离平衡位置分析．
若振幅为0.1m，根据题意可知从t=0s 到t=1s 振子经历的周期为
，则
，解得
，当n=1 时
，无论n 为何值，T
都不会等于
，A 正确B 错误；如果振幅为0.2m，结合位移时间关系图象，有
①，或者
②，或者
③，对于①式，只有当n=0 时，T=2s，为整数；对于②式，T 不为整
数；对于③式，当n=0 时，T=6s，之后只会大于6s，故C 错误D 正确
【点睛】t=0 时刻振子的位移x=-0.1m，t=1s 时刻x=0.1m，关于平衡位置对称；如果振幅为0.1m，则1s 为
半周期的奇数倍；如果振幅为0.2m，分靠近平衡位置和远离平衡位置分析．
跟踪训练3．（2025·江西省·三模）（多选）轻弹簧上端连接在箱子顶部中点，下端固定一小球，整个装置
静止在水平地面上方。现将箱子和小球由静止释放，箱子竖直下落后落地，箱子落地后瞬间速度减为零
且不会反弹。此后小球运动过程中，箱子对地面的压力最小值恰好为零。整个过程小球未碰到箱底，弹簧
劲度系数为
，箱子和小球的质量均为
，重力加速度为
。忽略空气阻力，弹簧的形变始终在弹性限度
内，下列说法正确的是（ ）
A. 箱子下落过程中，箱子机械能守恒
B. 箱子落地后，弹簧弹力的最大值为3mg
C. 箱子落地后，小球运动的最大速度为
D. 箱子与地面碰撞损失的机械能为
【答案】BD
【解析】A．箱子静止时，对小球分析有
对箱子分析有
当箱子由静止释放瞬间，弹簧弹力不发生突变，小球在这瞬间仍然平衡，加速度为0，而箱子释放瞬间固
定箱子的力
消失，箱子所受合力为
可得该瞬间箱子的加速度
此后弹簧会恢复原长，在弹簧恢复原长的过程中，弹簧弹力对箱子做正功，若此过程中箱子落地，则此过
程中箱子的机械能增加；若在弹簧恢复原长时箱子还未落地，由于箱子的速度大于小球的速度，弹簧将被
压缩，弹簧弹力将对箱子做负功，箱子的机械能又会减小，但无论何种情况，箱子在运动过程中除了重力
做功外，弹簧弹力也在做功，因此箱子下落过程中，箱子机械能不守恒，故A 错误；
B．根据题意，此后小球运动过程中，箱子对地面的压力最小值恰好为零，则对箱子有
弹簧处于压缩状态，且为压缩最短位置处，可知小球做简谐振动，此时弹簧的压缩量与小球合力为零时弹
簧的伸长量之和即为小球做简谐振动的振幅，根据简谐振动的对称性可知，在最低点
在最高点
联立解得
而当小球运动至最低点时弹簧弹力有最大值，即为
，故B 正确；
C．小球做简谐振动，在平衡位置时有
解得
即弹簧被拉伸
时小球受力平衡，处于简谐振动的平衡位置，此处小球的速度有最大值，而根据以上分析
可知，小球在最高点时弹簧的弹力和在平衡位置时弹簧的弹力大小相同，只不过在最高位置时弹簧处于被
压缩状态，在平衡位置时弹簧处于被拉伸状态，显然压缩量和伸长量相同，则小球从最高点到达平衡位置
下落的高度
而弹簧压缩量和伸长量相同时所具有的弹性势能相同，即小球在最高点和在平衡位置时弹簧的弹性势能相
同，则对小球由最高点到平衡位置根据动能定理可得
解得
故C 错误；
D．箱子损失的机械能即为箱子、弹簧、小球所构成的系统损失的机械能，小球在平衡位置时弹簧所具有
的弹性势能和在箱子未落下时弹簧所具有的弹性势能相同，由能量守恒可得
解得箱子损失的机械能
故D 正确。
故选BD。
考点四 相关实验
典例1．（2025·安徽省“皖南八校”·三模）某同学放假在家，利用单摆来测量重力加速度。实验装置如图
所示，细线一端固定在O 点，另一端连接小球。
（1）将小球拉离平衡位置释放，让小球做简谐运动，当小球某次经过最低点时开始计时，并计数1，以后
小球每次经过最低点计数增加1，当计数为N 时停止计时，计时器显示时间为t，则小球做单摆运动的周期
T=________；
（2）摆线长大约手掌长度的5 倍，因家里没有长尺，无法直接测量其长度，该同学只有一把量程为20cm
的刻度尺，于是他在细线上标记一点A，使得悬点O 到A 点间的细线长度可以用刻度尺测量，保持A 点以
下的细线长度不变，通过改变OA 间细线长度L 以改变摆长，并测出不同L 的情况下单摆做简谐运动对应
的周期T。测量多组数据后绘制T²-L 图像，求得图像斜率为k，纵轴截距为b，你觉得根据上述数据（k 和
b），该同学能不能测得当地的重力加速度________（填“能”或“不能”）。若能，请将当地重力加速
度的值g 及A 点到球心的距离s 写在后面的横线上；若不能，请将原因写在后面的横线上：
____________________________________________________。
【答案】（1）
（2） ①. 能 ②. 重力加速度
，A 点到球心的距离
【解析】
【小问1 详解】
当计数为N 时，小球经过最低点的次数为
次，做单摆运动的小球在一个完整的周期内两次经过最
低点，所以t 时间内小球完成
个单摆运动，即
则小球做单摆运动的周期为
【小问2 详解】
[1][2]设A 点到球心的距离为s，则小球做单摆运动的摆长为
根据单摆的周期公式可得
整理得
已知
图像的斜率为k，截距为b，则有
，
解得
，
典例2．（2025·陕西省宝鸡市·模拟检测（一））如图甲所示，小明同学利用漏斗做简谐运动实验，他将漏
斗下方的薄木板沿箭头方向拉出，漏斗4s 内漏出的细沙在板上形成了如图乙所示曲线AE，当地重力加速
度大小
。下列说法正确的是（ ）
A. 该沙摆的摆动频率为2Hz
B. 该沙摆的摆长约为2m
C. 由图乙可知薄木板做匀加速直线运动， 且加速度大小约为0.03m/s2
D. 当图乙中的D 点通过沙摆正下方时， 薄木板的速度大小约为0.25m/s
【答案】C
【解析】A．由题图乙知，4s 时间内沙摆摆动两个完整的周期，则
则该沙摆的摆动频率为
选项A 错误；
B．沙摆的周期
解得
选项B 错误；
C．由图可知，连续相等的时间内，位移差近似相等，可知薄木板做匀加速直线运动，，根据逐差法可得
选项C 正确；
D．匀变速直线运动在一段时间间隔的中间时刻的瞬时速度，等于这段时间内的平均速度，所以有
选项D 错误。
故选C。
典例3．（2025·四川省成都市·二诊）智能手机软件中的磁力计可显示磁感应强度大小随时间变化的关系，
两同学用该软件设计实验测量单摆的周期及当地重力加速度。
（1）将摆线上端固定于铁架台，下端系在小球上，让手机内置磁敏元件位于小球静止位置的正下方，做
成如图
所示的单摆。测出摆线长为
，将小球磁化后，由平衡位置拉开一个小角度静止释放，手机软
件显示磁感应强度大小随时间变化如图（b）所示。则该单摆的振动周期
为_______（用字母表示）。
（2）改变摆线长
，重复实验操作，得到多组数据，画出周期平方随摆线长的变化图像
如图
所示，图像斜率为
，则测得重力加速度
为_______（用字母
表示）。
（3）
图像未过原点，
的测量值________（选填“>”“<”或“=”）真实值。甲同学认为手机内
也含有铁等金属，由于手机对小球的吸引，会使
的测量值_______（选填“>”“<”或“=”）真实值。
（4）乙同学发现，振动较长时间后手机显示磁感应强度随时间呈图（b）变化趋势，忽略手机对小球的吸
引，引起该情况最可能的原因是_______。
A. 小球磁性减弱
B. 小球振幅减小
C. 小球由单摆运动变为圆锥摆运动
【答案】（1）
（2）
（3） ①. = ②. > （4）B
【解析】
【小问1 详解】
磁性小球经过最低点测得的磁感应强度B 最大，小球两次经最低点的时间间隔是半个周期，则
解得
【小问2 详解】
根据单摆周期公式
可得
由图像斜率为
，则测得重力加速度
【小问3 详解】
图像未过原点，是因为摆长测量未考虑小球半径等因素，但不影响斜率
，
的测量值等于
真实值。
手机内也含有铁等金属，由于手机对小球的吸引，会使单摆周期减小，图像的斜率变小，
的测量值会偏
大，会使
的测量值大于真实值。
【小问4 详解】
磁感应强度随时间呈图（b）变化趋势，磁感应强度的最小值变大，说明小球越来越靠近手机，最可能是
小球振幅减小造成的。
跟踪训练1．（2025·北京市东城区·一模）某同学在做“用单摆测量重力加速度”的实验时，记录数据如下：
摆
长
0.50
0
0.60
0
0.70
0
0.80
0
0.90
0
1.00
0
周
期
1.42
1.55
1.67
1.79
1.90
2.00
2.02
2.40
2.79
3.40
3.61
4.00
（1）该同学准备在坐标纸上画
图像，点已经描好，请画出
图线______。
（2）如图1 所示，可得当地重力加速度
______
（结果保留三位有效数字）。
（3）该同学还绘制了两个不同摆长的单摆的振动图像，如图2 所示。由图像可知，两单摆的摆长之比
______。
（4）某同学利用
图线的斜率计算当地重力加速度。在其他操作均正确的情况下，以下操作可导致重
力加速度的测量值比真实值偏大的是______（选填选项前的字母）。
A. 每组实验均将测量的摆线长作为摆长
B. 每组实验均将摆线长与小球直径之和作为摆长
C. 每组实验均将31 次全振动记为30 次全振动
D. 每组实验均将29 次全振动记为30 次全振动
【答案】（1）
（2）9.96
（3）
（4）BD
【解析】
【小问1 详解】
描图如下
【小问2 详解】
根据
整理得
可知
图线斜率为
根据图像可知
联立解得
【小问3 详解】
根据单摆周期公式可得摆长
可知摆长正比与
，图2 可知a、b 周期之比为
，则摆长之比
【小问4 详解】
A．根据单摆周期公式可得
可知，每组实验均将测量的摆线长作为摆长，则摆长测量偏小，重力加速度的测量值比真实值偏小，故A
错误；
B．每组实验均将摆线长与小球直径之和作为摆长，则摆长测量偏大，重力加速度的测量值比真实值偏大，
故B 正确；
C．每组实验均将31 次全振动记为30 次全振动，可知周期测量偏大，重力加速度的测量值比真实值偏小，
故C 错误；
D．每组实验均将29 次全振动记为30 次全振动，可知周期测量偏小，重力加速度的测量值比真实值偏大，
故D 正确。
故选BD。
跟踪训练2．（2025·河南省安阳市·三模）某实验小组利用单摆装置测量重力加速度。
（1）如图甲所示为单摆的两种悬挂方式，实验中应选择______（填“a”或“b”）。
（2）摆线下端系一小钢球，多次改变摆线长度，在小摆角（小于
）下测得不同摆线长度对应的小钢
球摆动周期
，并作出
图像，如图乙所示。已知图线斜率为
，在横轴上的截距为
，则当地的重
力加速度为
______，钢球直径为
______。（均选用
中的字母表示）
【答案】（1）b （2） ①. 4kπ2 ②. 2ka
【解析】
小问1 详解】
选择题图甲中方式b 可以保证摆动中摆长不变。
【小问2 详解】
根据单摆周期公式
整理得
则
，
联立解得
，
跟踪训练3．（2025·福建省龙岩市·二模）某同学用单摆测量重力加速度，装置如图乙所示。将装有磁感应
强度传感器的手机固定于磁性小球正下方，测得摆线长
，用20 分度游标卡尺测摆球直径如
图甲所示。将小球拉开一小角度释放后做简谐运动，通过手机记录如图丙所示的磁感应强度－时间曲线，
图中A、B 两点间时间间隔为10.80s。回答下列问题：
（1）摆球直径
______mm；
（2）单摆周期
______s，重力加速度
______
（取
，结果保留三位有效数字）；
（3）实验时若找不到磁性小球，改用不规则小磁铁做摆球，通过测量多组摆线长
与周期
，作
图像，通过图线斜率求
值，则不规则小磁铁的重心位置未知对结果______（填“有”或“无”）影响。
【答案】（1）10.60
（2） ①. 1.8 ②. 9.87
（3）无
【解析】
【小问1 详解】
游标卡尺读数包括主尺读数加副尺读数，主尺读数
副尺读数
游标卡尺读数
【小问2 详解】
[1]由丙图可知A、B 两点间有六个单摆周期，A、B 两点间时间间隔为10.80s，所以
[2]单摆周期公式
解得
【小问3 详解】
由公式
可知通过
图像求加速度时，小球的重心对其无影响。
1． （2025·山西省·一模）如图所示，在一机械平台上放一物体，该平台在竖直方向上做简谐运动。下列
选项中哪种情况可能使物体开始脱离台面（ ）
A. 平台向下运动通过平衡位置处时
B. 平台向上运动通过平衡位置上方时
C. 平台向下运动通过平衡位置下方时
D. 平台向上运动通过平衡位置下方时
【答案】B
【解析】A．设物体的质量为
，重力为
，机械平台对其施加的支持力为
，依据简谐运动的基本规律，
平台在平衡位置处时，加速度
为0，对于物体有
则其与平台不会脱离，故A 错误；
CD．同理，当平台经过平衡位置下方时，其加速度
向上，对于物体有
即
，其与平台也不会分离，故CD 错误；
B．只有当平台运动至平衡位置上方时，其加速度
向下，对于物体有
即
，其与平台才有可能分离，故B 正确。
故选B。
2．（2025·山西省太原市·一模）如图所示，空间中有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。
劲度系数为k 的轻弹簧一端固定于竖直墙壁，另一端与质量为m、电荷量为+q 的滑块连接，现压缩弹簧使
滑块移至M 点，滑块由静止释放并开始计时。滑块始终在同一光滑水平面上运动，且弹簧始终在弹性限度
内，则滑块第一次回到M 点所用的时间为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由题知，滑块始终在同一光滑水平面上运动，受到重力、地面的支持力、弹簧的弹力和洛伦兹力
共四个力作用， 在竖直方向上重力、地面的支持力、洛伦兹力三力时刻平衡，水平方向只有弹簧的弹力
作用，则有
其中
为弹簧的形变量，符合简谐运动的回复力特征，所以滑块在弹簧弹力作用下做简谐运动。对于弹簧
振子的简谐运动，其周期公式为
滑块从M 点由静止释放，第一次回到M 点时，刚好完成一个完整的简谐运动，所用时间就是一个周期T，
即
故选A。
3．（2025·山西省太原市·二模）（多选）如图所示，某同学用单摆测重力加速度，实验时改变摆长，测出
几组摆长l 和对应的周期T 的数据，画出
图像，下列说法正确的是（ ）
A. 测量重力加速度的表达式为
B. 测量重力加速度的表达式为
C. 利用此图像计算，可以消除因摆球质量分布不均匀而造成的误差
D. 利用此图像计算，不可以消除因摆球质量分布不均匀而造成的误差
【答案】AC
【解析】A B．由单摆的周期公式
得
由图像可知，图线的斜率
整理得重力加速度的表达式
故A 正确，B 错误；
C D．通过上述结论可知，若摆球的质量分布不均匀，
图像的斜率仍然不变，由此可消除因摆球质量
分布不均匀而造成的测量误差，故C 正确，D 错误；
故选AC。
4．（2025·四川省德阳市·二模）如图所示为机械节拍器。机械节拍器内部有一个发条驱动，来带动外部的
摆杆，摆杆上有一个可移动的摆锤，调节好摆锤的位置，拨动摆杆，摆锤就会在竖直平面内按照单摆运动
规律左右来回摆动。则下列说法正确的是（ ）
A. 摆锤在最高点时处于超重状态
B. 摆锤在最低点时处于超重状态
C. 摆锤摆动过程中机械能守恒
D. 摆动中，摆锤松动后下移会使摆锤摆动变慢
【答案】B
【解析】A．摆锤在最高点有竖直向下的加速度，处于失重状态，A 错误；
B．摆锤在最低点时即将向上摆动，有向上的加速度，处于超重状态，B 正确；
C．摆锤按照单摆的运动规律摆动，在最低点速度为0，动能最小，重力势能也最小，在最高点，也就是平
衡位置速度最大，重力势能也最大，所以机械能不守恒，C 错误；
D．摆动中，摆锤松动后下移，摆长会变小，类比单摆周期公式
可知，摆长变短，周期变小，摆动变快，D 错误。
故选B。
5．（2025·四川省攀枝花市·二模）如图所示，一个小球和轻质弹簧组成的系统，小球静止时其下端与水平
线a 对齐，现将小球沿竖直方向向下拉动使其下端与水平线b 对齐后由静止释放，小球将沿竖直方向上下
振动，经
小球首次回到其下端与水平线a 对齐时的位置。已知水平线a、b 之间的距离
，不计空气阻力，轻弹簧始终处在弹性限度以内。若以小球首次回到其下端与水平线a 对齐时为
零时刻，竖直向下为正方向，下列说法中正确的是（ ）
A. 小球振动的频率为0.5 Hz
B. 小球在2 s 内通过的路程为16 cm
C.
时小球在向上运动
D. 小球振动的位移x 随时间t 的变化关系为
【答案】B
【解析】A．由题可知
则频率为
故A 错误；
B．由题可知
则小球在2 s 内通过的路程为
故B 正确；
C．当
时，根据题意可知此时处于最低点处，速度为0，故C 错误；
D．由题可知
若以小球首次回到其下端与水平线a 对齐时为零时刻，竖直向下为正方向，则小球振动的位移x 随时间t 的
变化关系为
故D 错误。
故选B。
6．（2025·四川省雅安市·二模）（多选）如图所示，光滑的斜面上有一弹簧振子，O 为其平衡位置，物块
在P、Q 两点间做周期为T 的简谐运动。下列说法正确的是（ ）
A. 物块动量变化的周期为T
B. 弹簧弹性势能变化的周期为T
C. 物块在O 点时，弹簧处于原长
D. 物块在P、Q 两点加速度相等
【答案】AB
【解析】A．物块作简谐运动时，速度是正弦或余弦函数，故动量变化的周期为 T，故A 正确；
B．物块在P、Q 两点间做周期为T 的简谐运动，由于两点的弹性势能不同，且Q 点弹性势能最大，所以
弹簧弹性势能变化的周期应为T，故B 正确；
C．平衡位置O 的回复力为0，即弹簧弹力与沿斜面方向重力分量等大，弹簧并非原长，故C 错误；
D．物块在P、Q 两端
位移大小相等、方向相反，所受回复力（加速度）大小相等、方向相反，则加速
度不相等，故D 错误。
故选AB。
1．（2025·山东省烟台市·三模）某同学课后尝试在家里做用单摆测量重力加速度的实验．由于没有合适的
摆球，于是他找到了一块鸡蛋大小、外形不规则的大理石块代替小球进行实验。如图甲所示，实验过程中
他先将石块用细线系好，结点为M，将细线的上端固定于O 点，然后利用刻度尺测出
间细线的长度l
作为摆长，利用手机的秒表功能测出石块做简谐运动的周期T，在测出几组不同摆长l 对应的周期T 的数值
后，他作出的
图像如图乙所示。
（1）结点M 到石块重心的距离为________
；
（2）由此得出重力加速度的测量值为________
；（取
，计算结果保留三位有效数字）
（3）实验中，该同学将l 作为摆长，这对重力加速度测量结果的影响是：测量值________真实值。（选填
“大于”、“等于”或“小于”）
【答案】（1）1.0 （2）9.86
（3）等于
【解析】
【小问1 详解】
设结点M 到石块重心的距离为d，由单摆周期公式
可得
由图乙可知当
时，可得
【小问2 详解】
由图乙可得图像斜率
解得
【小问3 详解】
由单摆周期公式
可得
图像
斜率
可得重力加速度
重力加速度和摆长无关，因此该同学将l 作为摆长，这对重力加速度测量结果无影响，最终得到的测量值
等于真实值。
2．（2025·广东省清远市·二模）下列是《普通高中物理课程标准》中列出的三个必做实验的部分步骤，请
完成实验操作和计算。
（3）如图（d）所示为“利用单摆测重力加速度”的实验装置。
摆线长L/cm
30 次全振动时间t/s
第1 次
第2 次
第3 次
60.00
47.2
47.0
47 1
图（e）
关于实验操作或结果分析，下列说法正确的是______。
A. 摆线应选择柔软的、弹性好的细线
B. 测量周期时，从小球到达最大振幅位置开始计时
C. 当备选摆球为30g 铁球与35g 木球（均带悬挂孔）时，应选用铁球
D. 已知小球直径为2.40cm、
，由图（e）中实验数据可知重力加速度
【答案】（3）CD
A．单摆实验要求摆线应选择细、轻且不易伸长的线，以减少摆长变化带来的误差，若摆线伸缩性好，会
导致摆长不稳定，影响周期测量，故A 错误；
B．测量周期时应从摆球通过平衡位置（最低点）时开始计时，以准确判断计时点，故B 错误；
C．摆球应选择密度大、体积小的物体以减少空气阻力影响，铁球密度远大于木球更符合实验要求，故C
正确；
D．由“摆长L＝绳长＋球半径”可得
30 次全振动的平均时间
则单摆周期
由单摆周期公式
得
重力加速度
，故D 正确。
故选CD。
3．（2025·河北省沧州市·二模）某实验小组用单摆测当地
重力加速度。如图丙所示，在轻质细线的一端
打一个比小球上的孔径略大一些的结，将细线穿过球上的小孔，并把细线上端固定在铁架台上，制成一个
单摆。铁架台放在实验桌边，以方便调整摆线长度。
（1）将小球缓慢拉离平衡位置，达到最高点时细线与竖直方向的夹角约为5°，然后由静止释放，当小球
到达最低点时开始计时，同时数“0”，小球每次经过最低点计数一次，数到n 时停止计时，秒表读数为t，
则单摆周期T=___________（用t 和n 表示）；
（2）多次改变摆线长L 并测出相应周期T，计算出T2，作出T2-L 图像，如图丁所示，其中当摆线长分别为
L1、L2时，测得对应单摆周期为T1、T2，由此可得当地的重力加速度g=__________（用L1、L2、T1、T2表
示）。
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1 详解】
由题意可知，相邻两次经过最低点的时间差为半个周期，则
得
【小问2 详解】
根据单摆周期公式
，得
图像斜率
整理得
4．（2025·辽宁省辽阳市·二模）一列简谐横波沿x 轴正方向传播，波长为120cm，振幅为8cm，介质中有
a 和b 两个质点，其平衡位置分别位于
和
处。某时刻质点b 偏离平衡位置的位移
y=4m，且沿y 轴负方向运动，从该时刻开始计时，质点a 的振动图像为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】质点a、b 平衡位置之间的距离
质点b
位移为4cm，且沿y 轴负方向运动，令此时质点a 的相位为
，质点b 的相位为
，则有
解得
由a、b 之间的距离关系可知
可知质点a 此时的位移
故选D。
5．（2025·山东省临沂市·一模）某实验小组用如图甲所示的装置做“用单摆测量重力加速度”的实验。
（1）如图乙为摆线上端的三种悬挂方式A、B、C 中，选哪种方式正确_______
（2）测摆球直径时游标卡尺的读数为_______mm
（3）若某同学实验中测出单摆做n 次全振动所用时间为t、摆线长为l、摆球直径为d，则当地的重力加速
度
_______（用n，t，l，d 表示）。
【答案】（1）C （2）10.60
（3）
【解析】
小问1 详解】
A．小球在摆动时摆线容易松动，摆长会改变，故A 错误；
B．小球在摆动过程中会导致摆长变化，故B 错误；
C．使用铁夹固定摆线，能较好地保证小球在摆动过程中摆长不变，故C 正确。
故选C。
【小问2 详解】
游标卡尺的读数为
【小问3 详解】
单摆
周期和摆长分别为
，
由单摆的周期公式
，可得
6．（2025·山东省淄博实验中学·一模）如图所示，用完全相同的轻质弹簧P、Q 拴接小球A，固定在竖直
平面内处于静止状态，此时两弹簧的总长度恰好等于两弹簧的原长之和。已知弹簧的劲度系数为k，小球
的质量为m，重力加速度为g，忽略空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A. 弹簧P 的伸长量为
B. 剪断弹簧Q 的瞬间，小球A 的加速度大小为g
C. 剪断弹簧Q 后，小球A 的机械能守恒
D. 剪断弹簧Q 后，小球A 做简谐运动的振幅为
【答案】D
【解析】A．由于此时两弹簧的总长度恰好等于两弹簧的原长之和，所以此时P 的伸长量等于Q 的压缩量，
设为x，则
得
A 错误；
B．剪断弹簧Q 的瞬间，小球A 只受重力、P 向上的弹力的作用，则合力为
由牛顿第二定律
知此时A 的加速度为
B 错误；
C．剪断弹簧Q 后，小球A 除了重力做功外，还受到P 的弹力做功，所以小球A 的机械能不守恒，A 和弹
簧P 的系统机械能守恒，C 错误；
D．剪断Q 后，小球在重力和P 的弹力作用下做简谐运动（竖直面上的弹簧振子），合力为零的位置为平
衡位置，设此位置弹簧伸长量为x1，则有
得
剪断Q 时小球处于简谐运动的上方最大位移处，则振幅为
D 正确。
故选D。
7．（2025·山西省晋中市·二模）如图1 所示，一个竖直圆盘绕a 匀速转动，周期
，固定在
圆盘上的小圆柱b 带动一个T 形支架在竖直方向上下振动，T 形支架下面固定一小球组成的振动系统，一
轻质长绳与小球相连。某时刻绳子的某段波形如图2 中实线所示。则（ ）
A. 圆盘上的小圆柱转到圆心等高处时，T 形支架的瞬时速度为零
B. 小球振动稳定后，它振动的频率是
C. 绳子上产生的波的传播速度为
D. 圆盘的半径为0.05m
【答案】C
【解析】A．根据速度分解规律可知，圆盘上的小圆柱线速度在垂直于T 形支架上侧水平线的分速度等于
支架运动的速度，可知，圆盘上的小圆柱转到圆心等高处时，T 形支架的瞬时速度达到最大值，大小恰好
等于小圆柱线速度，故A 错误；
B．小球振动稳定后，它振动的频率等于圆盘上的小圆柱圆周运动的频率，则有
C．绳子上产生的波的传播速度
故C 正确；
D．图中小圆柱至最高点与最低点时，小球也恰好运动至最高点与最低点，即小球简谐运动的振幅恰好等
于小圆柱圆周运动的半径，即小圆柱体圆周运动的半径为0.05m，则圆盘的半径大于0.05m，故D 错误。
故选C
8．（2025·陕西省西安中学·一模）如图所示，
点为某弹簧振子的平衡位置，该弹簧振子在A、B 两点之
间做简谐运动，取向右为正方向。A、B 两点间的距离为
时振子沿
轴正方向经过
点，
时经过
点。已知振子经过
两点时的速度大小均为
，
两点之间的距离为
，下
列说法正确的是（ ）
A. 该简谐运动的周期可能为
B. 该简谐运动的周期可能为
C. 若
时振子第一次通过
点，
和
时，振子速度相同
D. 若
时振子第一次通过
点，从
到
的时间内，振子的位移和系统的弹性势能都在
逐渐减小
【答案】A
【解析】AB．由题可知，从C 点沿
轴正方向直接运动到D 点，所用时间为
，从C 点沿
轴正方向到
达B 点再第二次回到D 点，运动了
，因此从C 点沿
轴正方运动到D 点所用时间为
或
（n=0,1,2,3…）
可得周期为
或
（n=0,1,2,3…）
A 正确，B 错误；
C．若
时振子第一次通过
点，则振动周期
在
时，振子第二次通过
点，速度方向与
时的速度方向相反，C 错误；
D．
时恰好经过O 点向左运动，在
时恰好运动到A 点，在这段时间内，振子的位移和系统的
弹性势能都在逐渐增大，D 错误。
故选A。
1．（2025 年北京卷第15 题）
（1）下列实验操作，正确的是________（填选项前的字母）。
A. 用单摆测重力加速度时，在最高点释放摆球并同时开始计时
B. 探究变压器原、副线圈电压与匝数的关系时，使用多用电表的交流电压挡测电压
C. 用多用电表测电阻前应先把两表笔短接，调整欧姆调零旋钮使指针指向欧姆零点
【答案】（1）B
【解析】
A．最高点小球速度为0，有加速过程造成摆动不明显，计时不准确，摆球在最低点速度最快，因此需要在
最低点开始计时，A 错误；
B．变压器原、副线圈上为交变电压，使用多用电表的交流电压挡测量，B 正确；
C．用多用电表测电阻之前需要先进行机械调零，之后选择合适的倍率，然后将红黑表笔短接，进行欧姆
调零，C 错误。
故选B。
2．（2025 年甘肃卷第8 题）（多选）如图，轻质弹簧上端固定，下端悬挂质量为
的小球A，质量为m
的小球B 与A 用细线相连，整个系统处于静止状态。弹簧劲度系数为k，重力加速度为g。现剪断细线，
下列说法正确的是（ ）
A. 小球A 运动到弹簧原长处的速度最大
B. 剪断细线的瞬间，小球A 的加速度大小为
C. 小球A 运动到最高点时，弹簧的伸长量为
D. 小球A 运动到最低点时，弹簧的伸长量为
【答案】BC
【解析】A．剪断细线后，弹力大于A 的重力，则A 先向上做加速运动，随弹力的减小，则向上的加速度
减小，当加速度为零时速度最大，此时弹力等于重力，弹簧处于拉伸状态，选项A 错误；
B．剪断细线之前则
剪断细线瞬间弹簧弹力不变，则对A 由牛顿第二定律
解得A 的加速度
选项B 正确；
C．剪断细线之前弹簧伸长量
剪断细线后A 做简谐振动，在平衡位置时弹簧伸长量
即振幅为
由对称性可知小球A 运动到最高点时，弹簧伸长量为
，选项C 正确；
D．由上述分析可知，小球A 运动到最低点时，弹簧伸长量为
，选项D 错误。
故选BC。
3．（2025 年广东卷第1 题）关于受迫振动和多普勒效应，下列说法正确的是（ ）
A. 系统的固有频率与驱动力频率有关
B. 只要驱动力足够大，共振就能发生
C. 应用多普勒效应可以测量车辆的速度
D. 观察者与波源相互远离时，接收到的波的频率比波源的频率大
【答案】C
【解析】A．系统的固有频率只与系统本身有关，与驱动力频率无关，A 错误；
B．只有驱动力频率与系统固有频率相同时，共振才能发生，B 错误；
CD．根据多普勒效应可知观察者与波源相互远离时，接收到的波的频率比波源的频率小，观察者与波源相
互靠近时，接收到的波的频率比波源的频率大，所以应用多普勒效应可以测量车辆的速度，C 正确，D 错
误。
故选C。
4．（2025 年海南卷第7 题）小组用如图所示单摆测量当地重力加速度
（1）用游标卡尺测得小球直径
，刻度尺测得摆线长
，则单摆摆长
_____
（保
留四位有效数字）；
（2）拉动小球，使摆线伸直且与竖直方向
夹角为
（
），无初速度的释放小球，小球经过_____
点（选填：“最高”或“最低”）时，开始计时，记录小球做了
次全振动用时
，则单摆周期
_____ ，由此可得当地重力加速度
_____
（
）。
【答案】（1）
（2） ①. 最低 ②.
③.
【解析】
【小问1 详解】
单摆的摆长为
【小问2 详解】
[1]为减小实验计时误差，需小球经过最低点时开始计时；
[2]单摆周期
[3]根据单摆周期公式
可得
代入数值得
5．（2025 年河北卷第9 题）（多选）如图，截面为等腰三角形的光滑斜面体固定在水平地面上，两个相
同的小物块通过不可伸长的细绳跨过顶端的轻质定滑轮，静止在斜面体两侧，细绳与斜面平行。此外，两
物块分别用相同的轻质弹簧与斜面体底端相连，且弹簧均处于原长。将左侧小物块沿斜面缓慢拉下一小段
距离，然后松开。弹簧始终在弹性限度内，斜面倾角为
，不计摩擦和空气阻力。在两物块运动过程中，
下列说法正确的是（ ）
A. 左侧小物块沿斜面做简谐运动
B. 细绳的拉力随左侧小物块加速度的增大而增大
C. 右侧小物块在最高位置的加速度与其在最低位置的加速度大小相等
D. 若
增大，则右侧小物块从最低位置运动到最高位置所用的时间变长
【答案】AC
【解析】A．对左侧小物块，设沿斜面向下的位移为x，则有
此时，对右侧小物块，有
联立可得
则左侧小物块受到的合外力
，方向与位移方向相反，故其做简谐运动，故A 正确；
B．根据以上分析，可得
，绳拉力保持不变，故B 错误；
C．同理可知，右侧小物块也做简谐运动，根据对称性，其在最高和最低位置的加速度大小相等，故C 正
确；
D．弹簧振子振动周期
，与斜面夹角无关，故D 错误。
故选AC。
6．（2025 年湖北卷第9 题）（多选）质量均为m 的小球a 和b 由劲度系数为k 的轻质弹簧连接，小球a 由
不可伸长的细线悬挂在O 点，系统处于静止状态，如图所示。将小球b 竖直下拉长度l 后由静止释放。重
力加速度大小为g，忽略空气阻力，弹簧始终在弹性限度内。释放小球b 后（ ）
A. 小球a 可能会运动
B. 若小球b 做简谐运动，则其振幅为
C 当且仅当
时，小球b 才能始终做简谐运动
D. 当且仅当
时，小球b 才能始终做简
谐运动
【答案】AD
【解析】B．如果A 球不动而B 球单独振动则B 球做简谐振动，简谐振动的平衡位置合力为零，即B 球初
始时刻位置，则可知B 的振幅为，B 错误；
ACD．A 球发生运动的临界条件为弹簧对A 球向上的弹力大于A 球的重力，则此时对A 球有
对B 球有此时加速度
由简谐振动的对称性可得向下拉到最低点松手释放的加速度也为
，则有
解得
即
，否则A 球会发生运动，AD 正确，C 错误。
故选AD。
7．（2025 年四川卷第5 题）如图所示，甲、乙、丙、丁四个小球用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，从
左至右摆长依次增加，小球静止在纸面所示竖直平面内。将四个小球垂直纸面向外拉起一小角度，由静止
同时释放。释放后小球都做简谐运动。当小球甲完成2 个周期的振动时，小球丙恰好到达与小球甲同侧最
高点，同时小球乙、丁恰好到达另一侧最高点。则（ ）
A. 小球甲第一次回到释放位置时，小球丙加速度为零
B. 小球丁第一次回到平衡位置时，小球乙动能
零
C. 小球甲、乙的振动周期之比为
D. 小球丙、丁的摆长之比为
【答案】C
【解析】根据单摆周期公式
可知
CD．设甲的周期为
，根据题意可得
可得
，
，
可得
，
根据单摆周期公式
结合
可得小球丙、丁的摆长之比
故C 正确，D 错误；
A．小球甲第一次回到释放位置时，即经过
（
）时间，小球丙到达另一侧最高点，此时速度为零，
位移最大，根据
可知此时加速度最大，故A 错误；
B．根据上述分析可得
小球丁第一次回到平衡位置时，小球乙振动的时间为
（即
）可知此时小球乙经过平衡位置，此时
速度最大，动能最大，故B 错误。
故选C。
8．（2024 年1 月浙江卷第10 题）如图1 所示，质量相等的小球和点光源，分别用相同的弹簧竖直悬挂于
同一水平杆上，间距为，竖直悬挂的观测屏与小球水平间距为
，小球和光源做小振幅运动时，在观测
屏上可观测小球影子的运动。以竖直向上为正方向，小球和光源的振动图像如图2 所示，则（ ）
A.
时刻小球向上运动
B.
时刻光源的加速度向上
C.
时刻小球与影子相位差为
D.
时刻影子的位移为
【答案】D
【解析】A．以竖直向上为正方向，根据图2 可知，
时刻，小球位于平衡位置，随后位移为负值，且位
移增大，可知，
时刻小球向下运动，故A 错误；
B．以竖直向上为正方向，
时刻光源的位移为正值，光源振动图像为正弦式，表明其做简谐运动，根据
可知，其加速度方向与位移方向相反，位移方向向上，则加速度方向向下，故B 错误；
C．根据图2 可知，小球与光源的振动步调总是相反，由于影子是光源发出的光被小球遮挡后，在屏上留
下的阴影，可知，影子与小球的振动步调总是相同，即
时刻小球与影子相位差为0，故C 错误；
D．根据图2 可知，
时刻，光源位于最低点，小球位于最高点，根据直线传播能够在屏上影子的位置也
处于最高点，影子位于正方向上的最大位移处，根据几何关系有
解得
即
时刻影子的位移为5A，故D 正确。
故选D。
9．（2024 年北京卷第9 题）图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机
在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a 随时间t 变化的曲线为正弦曲线，
如图乙所示。下列说法正确的是（ ）
A.
时，弹簧弹力为0
B.
时，手机位于平衡位置上方
C. 从
至
，手机的动能增大
D. a 随t 变化的关系式为
【答案】D
【解析】A．由题图乙知，
时，手机加速度为0，由牛顿第二定律得弹簧弹力大小为
A 错误；
B．由题图乙知，
时，手机的加速度为正，则手机位于平衡位置下方，B 错误；
C．由题图乙知，从
至
，手机的加速度增大，手机从平衡位置向最大位移处运动，速度减小，
动能减小，C 错误；
D．由题图乙知
则角频率
则a 随t 变化的关系式为
D 正确。
故选D。
10．（2024 年甘肃卷第5 题）如图为某单摆的振动图像，重力加速度g 取
，下列说法正确的是（
）
A. 摆长为1.6m，起始时刻速度最大
B. 摆长为2.5m，起始时刻速度为零
C. 摆长为1.6m，A、C 点的速度相同
D. 摆长为2.5m，A、B 点的速度相同
【答案】C
【解析】由单摆的振动图像可知振动周期为
，由单摆的周期公式
得摆长为
x-t 图像的斜率代表速度，故起始时刻速度为零，且A、C 点的速度相同，A、B 点的速度大小相同，方向不
同。
综上所述，可知C 正确，故选C。
11．（2024 年河北卷第6 题）如图，一电动机带动轻杆在竖直框架平面内匀速转动，轻杆一端固定在电动
机的转轴上，另一端悬挂一紫外光笔，转动时紫外光始终竖直投射至水平铺开的感光纸上，沿垂直于框架
的方向匀速拖动感光纸，感光纸上就画出了描述光点振动的
图像．已知轻杆在竖直面内长
,电动
机转速为
．该振动的圆频率和光点在
内通过的路程分别为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】紫外光在纸上
投影做的是简谐振动，电动机的转速为
因此角频率
周期为
简谐振动的振幅即为轻杆的长度
，12.5s 通过的路程为
故选C。
12．（2024 年辽宁卷第7 题）如图（a），将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点O，竖
直向上为正方向建立x 轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的
图像如（b）所示（不考虑自转影响），设地球、该天体的平均密度分别为
和
，地球半径是该天体半
径的n 倍。
的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】设地球表面的重力加速度为
，某球体天体表面的重力加速度为
，弹簧的劲度系数为
，根据
简谐运动的对称性有
可得
可得
设某球体天体的半径为
，在星球表面，有
联立可得
故选C。
13．（2024 年湖北卷第12 题）某同学设计了一个测量重力加速度大小g 的实验方案，所用器材有：2g 砝
码若干、托盘1 个、轻质弹簧1 根、米尺1 把、光电门1 个、数字计时器1 台等。
具体步骤如下：
①将弹簧竖直悬挂在固定支架上，弹簧下面挂上装有遮光片的托盘，在托盘内放入一个砝码，如图（a）
所示。
②用米尺测量平衡时弹簧的长度l，并安装光电门。
③将弹簧在弹性限度内拉伸一定长度后释放，使其在竖直方向振动。
④用数字计时器记录30 次全振动所用时间t。
⑤逐次增加托盘内砝码
数量，重复②③④的操作。
该同学将振动系统理想化为弹簧振子。已知弹簧振子的振动周期
，其中k 为弹簧的劲度系数，
M 为振子的质量。
（1）由步骤④，可知振动周期
_____。
（2）设弹簧的原长为
，则l 与g、
、T 的关系式为
_____。
（3）由实验数据作出的
图线如图（b）所示，可得
_____
（保留三位有效数字，
取
9.87）。
（4）本实验的误差来源包括_____（双选，填标号）。
A. 空气阻力
B. 弹簧质量不为零
C. 光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）AC
【解析】【小问1 详解】
30 次全振动所用时间t，则振动周期
【小问2 详解】
弹簧振子
振动周期
可得振子的质量
振子平衡时，根据平衡条件
可得
则l 与g、
、T 的关系式为
【小问3 详解】
根据
整理可得
则
图像斜率
解得
【小问4 详解】
A．空气阻力的存在会影响弹簧振子的振动周期，是实验的误差来源之一，故A 正确；
B．弹簧质量不为零导致振子在平衡位置时弹簧的长度变化，不影响其他操作，根据（3）中处理方法可知
对实验结果没有影响，故B 错误；
C．根据实验步骤可知光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置会影响振子周期的测量，是实验的误差来源
之一，故C 正确。
故选AC。
14．（2024 年湖南卷第12 题）在太空，物体完全失重，用天平无法测量质量。如图，某同学设计了一个
动力学方法测量物体质量的实验方案，主要实验仪器包括：气垫导轨、滑块、轻弹簧、标准砝码、光电计
时器和待测物体，主要步骤如下：
（1）调平气垫导轨，将弹簧左端连接气垫导轨左端，右端连接滑块；
（2）将滑块拉至离平衡位置20cm 处由静止释放，滑块第1 次经过平衡位置处开始计时，第21 次经过平衡
位置时停止计时，由此测得弹簧振子的振动周期T；
（3）将质量为m 的砝码固定在滑块上，重复步骤（2）；
（4）依次增加砝码质量m，测出对应的周期T，实验数据如下表所示，在图中绘制T2—m 关系图线______；
m/kg
T/s
T2/s2
0.000
0.632
0.399
0.050
0.775
0.601
0.100
0.893
0.797
0.150
1.001
1.002
0.200
1.105
1.221
0.250
1.175
1.381
（5）由T2—m 图像可知，弹簧振子振动周期的平方与砝码质量的关系是________（填“线性的”或“非
线性的”）；
（6）取下砝码后，将待测物体固定在滑块上，测量周期并得到T2 = 0.880s2，则待测物体质量是
________kg（保留3 位有效数字）；
（7）若换一个质量较小的滑块重做上述实验，所得T2—m 图线与原图线相比将沿纵轴________移动（填
“正方向”“负方向”或“不”）。
【答案】 ①.
②. 线性的 ③. 0.120kg ④. 负方向
【解析】（4）[1]根据表格中的数据描点连线，有
（5）[2]图线是一条倾斜的直线，说明弹簧振子振动周期的平方与砝码质量为线性关系。
（6）[3]在图线上找到T2 = 0.880s2的点，对应横坐标为0.120kg。
（7）[4]已知弹簧振子的周期表达式为
M 是小球质量，k 是弹簧的劲度系数，M 变小，则T 变小，相较原来放相同质量砝码而言，周期变小，图
线下移，即沿纵轴负方向移动。
15．（2024 年广西卷第11 题）单摆可作为研究简谐运动的理想模型。
（1）制作单摆时，在图甲、图乙两种单摆的悬挂方式中，选择图甲方式的目的是要保持摆动中_____不变；
（2）用游标卡尺测量摆球直径，测得读数如图丙，则摆球直径为_____
；
（3）若将一个周期为T 的单摆，从平衡位置拉开
的角度释放，忽略空气阻力，摆球的振动可看为简谐
运动。当地重力加速度为g，以释放时刻作为计时起点，则摆球偏离平衡位置的位移x 与时间t 的关系为
_____。
【答案】（1）摆长 （2）1.06 （3）
【解析】【小问1 详解】
选择图甲方式的目的是要保持摆动中摆长不变；
【小问2 详解】
摆球直径为
【小问3 详解】
根据单摆的周期公式
可得单摆的摆长为
从平衡位置拉开
的角度处释放，可得振幅为
以该位置为计时起点，根据简谐运动规律可得摆球偏离平衡位置的位移x 与时间t 的关系为
16．（2024 年辽宁卷第12 题）图（a）为一套半圆拱形七色彩虹积木示意图，不同颜色的积木直径不同。
某同学通过实验探究这套积木小幅摆动时周期T 与外径D 之间的关系。
（1）用刻度尺测量不同颜色积木的外径D，其中对蓝色积木的某次测量如图（b）所示，从图中读出
______
。
（2）将一块积木静置于硬质水平桌面上，设置积木左端平衡位置的参考点O，将积木的右端按下后释放，
如图（c）所示。当积木左端某次与O 点等高时记为第0 次并开始计时，第20 次时停止计时，这一过程中
积木摆动了______个周期。
（3）换用其他积木重复上述操作，测得多组数据。为了探究T 与D 之间的函数关系，可用它们的自然对
数作为横、纵坐标绘制图像进行研究，数据如下表所示：
颜色
红
橙
黄
绿
青
蓝
紫
2.9392
2.7881
2.5953
2.4849
2.197
1.792
根据表中数据绘制出
图像如图（d）所示，则T 与D 的近似关系为______。
A.
B.
C.
D.
（4）请写出一条提高该实验精度的改进措施：______。
【答案】（1）7.54##7.55##7.56
（2）10 （3）A
（4）见解析
【解析】【小问1 详解】
刻度尺的分度值为0.1cm，需要估读到分度值下一位，读数为
【小问2 详解】
积木左端两次经过参考点O 为一个周期，当积木左端某次与O 点等高时记为第0 次并开始计时，之后每计
数一次，经历半个周期，可知，第20 次时停止计时，这一过程中积木摆动了10 个周期。
【小问3 详解】
由图（d）可知，
与
成线性关系，根据图像可知，直线经过
与
，则有
解得
则有
解得
可知
故选A。
【小问4 详解】
为了减小实验误差，提高该实验精度的改进措施：用游标卡尺测量外径D、换用更光滑的硬质水平桌面、
通过测量40 次或60 次左端与O 点等高所用时间来求周期、适当减小摆动的幅度。
17．（2023 年湖南卷第11 题）某同学探究弹簧振子振动周期与质量的关系，实验装置如图（a）所示，轻
质弹簧上端悬挂在铁架台上，下端挂有钩码，钩码下表面吸附一个小磁铁，其正下方放置智能手机，手机
中的磁传感器可以采集磁感应强度实时变化的数据并输出图像，实验步骤如下：
（1）测出钩码和小磁铁的总质量
;
（2）在弹簧下端挂上该钩码和小磁铁，使弹簧振子在竖直方向做简谐运动，打开手机的磁传感器软件，
此时磁传感器记录的磁感应强度变化周期等于弹簧振子振动周期；
（3）某次采集到的磁感应强度
的大小随时间变化的图像如图（b）所示，从图中可以算出弹簧振子振
动周期
______（用“
”表示）；
（4）改变钩码质量，重复上述步骤；
（5）实验测得数据如下表所示，分析数据可知，弹簧振子振动周期的平方与质量的关系是______（填
“线性的”或“非线性的”）；
0.015
2.43
0.243
0.059
0.025
3.14
0.314
0.099
0.035
3.72
0.372
0.138
0.045
4.22
0 422
0.178
0.055
4.66
0.466
0.217
（6）设弹簧的劲度系数为
，根据实验结果并结合物理量的单位关系，弹簧振子振动周期的表达式可能
是______（填正确答案标号）；
A．
B．
C．
D．
（7）除偶然误差外，写出一条本实验中可能产生误差的原因：____________．
【答案】 ①.
②. 线性的 ③. A ④. 空气阻力
【解析】（3）[1]从图中可以算出弹簧振子振动周期
（5）[2]分析数据可知，弹簧振子振动周期的平方与质量的比值接近于常量3.95，则弹簧振子振动周期的
平方与质量的关系是线性的；
（6）[3]因
的单位为
因为s（秒）为周期的单位，则其它各项单位都不是周期的单位，故选A。
（7）[4]除偶然误差外，钩码振动过程中受空气阻力的影响可能会使本实验产生误差。
18．（2023 年河北卷第6 题）某实验小组利用图装置测量重力加速度。摆线上端固定在
点，下端悬挂一
小钢球，通过光电门传感器采集摆动周期。
（1）关于本实验，下列说法正确的是_______________。（多选）
A.小钢球摆动平面应与光电门
形平面垂直 B.应在小钢球自然下垂时测量摆线长度
C.小钢球可以换成较轻的橡胶球 D.应无初速度、小摆角释放小钢球
（2）组装好装置，用毫米刻度尺测量摆线长度
，用螺旋测微器测量小钢球直径
。螺旋测微器示数如
图，小钢球直径
_______________
，记摆长
。
（3）多次改变摆线长度，在小摆角下测得不同摆长对应的小钢球摆动周期
，并作出
图像，如图。
根据图线斜率可计算重力加速度
_______________
（保留3 位有效数字，
取9.87）。
（4）若将摆线长度误认为摆长，仍用上述图像法处理数据，得到的重力加速度值将_______________（填
“偏大”“偏小”或“不变”）。
【答案】 ①. ABD ②. 20.035##20.036##20.034 ③. 9.87 ④. 不变
【解析】（1）[1]A．使用光电门测量时，光电门
形平面与被测物体的运动方向垂直是光电门使用的基
本要求，故A 正确；
B．测量摆线长度时，要保证绳子处于伸直状态，故B 正确；
C．单摆是一个理想化模型，若采用质量较轻的橡胶球，空气阻力对摆球运动的影响较大，故C 错误；
D．无初速度、小摆角释放的目的是保持摆球在竖直平面内运动，不形成圆锥摆，且单摆只有在摆角很小
的情况下才可视为简谐运动，使用
计算单摆的周期，故D 正确。
故选ABD。
（2）[2]小钢球直径为
（3）[3]单摆周期公式
整理得
由图像知图线的斜率
解得
（4）[4]若将摆线长度
误认为摆长，有
则得到的图线为
仍用上述图像法处理数据，图线斜率不变，仍为
，故得到的重力加速度值不变。
19．（2023 年新课标卷第10 题）一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。
（1）用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径。首先，调节螺旋测微器，拧动微调旋钮使测微螺杆和测
砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐，如图（a）所示，该示数为
___________mm；螺旋测微器在夹有摆球时示数如图（b）所示，该示数为___________mm，则摆球的直
径为___________mm。
（2）单摆实验的装置示意图如图（c）所示，其中角度盘需要固定在杆上的确定点O 处，摆线在角度盘上
所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O 点上方，则摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角
___________5°（填“大于”或“小于”）。
（3）某次实验所用单摆的摆线长度为81.50cm，则摆长为___________cm。实验中观测到从摆球第1 次经
过最低点到第61 次经过最低点的时间间隔为54.60s，则此单摆周期为___________s，该小组测得的重力加
速度大小为___________m/s2.（结果均保留3 位有效数字，π2取9.870）
【答案】①. 0.006##0.007##0.008
②. 20.034##20.033##20.035##20.032
③.
20.027##20.028##20.029 ④. 大于 ⑤. 82.5 ⑥. 1.82 ⑦. 9.83
【解析】（1）[1]测量前测微螺杆与和测砧相触时，图（a）的示数为
[2]螺旋测微器读数是固定刻度读数(0.5mm
整数倍)加可动刻度（0.5mm 以下的小数）读数，图中读数为
[3]则摆球的直径为
（2）[4]角度盘的大小一定，即在规定的位置安装角度盘，测量的摆角准确，但将角度盘固定在规定位置
上方，即角度盘到悬挂点的距离变短，同样的角度，摆线在刻度盘上扫过的弧长变短，故摆线在角度盘上
所指的示数为5°时，实际摆角大于5°；
（3）[5]单摆的摆线长度为81.50 cm，则摆长为
结果保留三位有效数字，得摆长为82.5cm；
[6]一次全振动单摆经过最低点两次，故此单摆的周期为
[7]由单摆的周期表达式
得，重力加速度
20．（2023 年重庆卷第11 题）某实验小组用单摆测量重力加速度。所用实验器材有摆球、长度可调的轻
质摆线、刻度尺、50 分度的游标卡尺、摄像装置等。
（1）用游标卡尺测量摆球直径d。当量爪并拢时，游标尺和主尺的零刻度线对齐。放置摆球后游标卡尺示
数如图甲所示，则摆球的直径d 为________mm。
（2）用摆线和摆球组成单摆，如图乙所示。当摆线长度l＝990.1mm 时，记录并分析单摆的振动视频，得
到单摆的振动周期T＝2.00 s，由此算得重力加速度g 为_____m/s2（保留3 位有效数字）。
（3）改变摆线长度l，记录并分析单摆的振动视频，得到相应的振动周期。他们发现，分别用l 和
作
为摆长，这两种计算方法得到的重力加速度数值的差异大小Δg 随摆线长度l 的变化曲线如图所示。由图可
知，该实验中，随着摆线长度l 的增加，Δg 的变化特点是____________，原因是____________。
【答案】 ①. 19.20 ②. 9.86 ③. 随着摆线长度l 的增加，Δg 逐渐减小 ④. 随着摆线长度l 的
增加，则
越接近于l，此时计算得到的g 的差值越小
【解析】（1）[1]用游标卡尺测量摆球直径d=19mm+0.02mm×10=19.20mm
（2）[2]单摆的摆长为
L=990.1mm+
×19.20mm=999.7mm
根据
可得
带入数据
（3）[3][4]由图可知，随着摆线长度l 的增加，Δg 逐渐减小，原因是随着摆线长度l 的增加，则
越接
近于l，此时计算得到的g 的差值越小。
