54.数列凸凹性及其在新概念压轴中的应用
一．基本原理
定义1.若实数列
满足条件
，则称
是一个凸数列.
ia
1
1 2 ,(
2,
,
1)
i
i
i
a
a
a
i
n
…
ia
若上述不等式反向,则称数列
是一个凹数列.
ia
定义2.若非负实数列
满足条件
，则称
是一个对数凸
ia
2
1
1
(
2,
,
1 )
i
i
i
a a
a i
n
…
ia
数列.若上述不等式反向,则称数列
是一个对数凹数列.
ia
注1：这个定义完全是类比函数的凸凹性得到的：凸函数自变量
的平均数
的
1
2
,
x x
1
2
2
x
x
函数值
不大于凌晨讲数学函数值的平均数
，几何解释：凸函
1
2
2
x
x
f
1
2
2
f
x
f
x
数的图象上弧线
位于线段
的下方；
AAB
AB
凹函数自变量
的平均数
的函数值
不小于函数值的平均数
1
2
,
x x
1
2
2
x
x
1
2
2
x
x
f
，几何解释：凹函数的图象上弧线
位于线段
的上方；
1
2
2
f
x
f
x
AAB
AB
(图1：凸函数) (图2：凹函数)
注2.显然，等比数列
满足
，即
既是对数凸数列也是对数凹数
ib
2
1
1
,
2
i
i
i
b
b
b i
…
ib
列.
二．典例分析
例1．对于数列{
}，若对任意
，都有
，则称该数列{
}为“凸数
na
*
nN
2
1
2
n
n
n
a
a
a
na
列”．设
，若
是凸数列，则实数
的取值范
2
2
2
n
n
m
mn
n
b
5
6
7
,
,
,
,
5,
N
n
b b b
b
n
n
m
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
1 ,
3
15 ,
77
1 ,
3
3,
5
解析：数列
，
，
，
是“上凸数列”，得
，
，
5b
6b
7b
2
1
2
n
n
n
b
b
b
5
n…
即
，
2
2
2
2
1
(
2)
(
2)
(
1)
(
1)
2
2
2 2
2
2
2
m
m
m
n
n
n
mn
n
m n
n
m n
n
即
，化简得
，当
时，
2
2
2
2
(
2)
(
2)
(
1)
(
1)
2
2
2
n
n
n
mn
n
m n
n
m n
n
2
(
4 )
2
m n
n
n
5
n…
，若
恒成立，则
恒成立，
2
4
4
0
n
n
n n
2
(
4 )
2
m n
n
n
2
2
1
4
4
(
2)
2
n
m
n
n
n
n
令
则
单调递增，当
时，取最小值
，故
2,
3,
N
t
n
t
t
4
t
t
3
t
5
3
4
5
3
t
t
又当
时，
的最大值为
，所以
，则
的取值范围是
，
5
n…
1
3
4
5
t
t
3
5
3
5
m
m
3,
5
故选：D
例2.若数列
满足
，则称数列
为凹数列．已知等差数列
的
na
1
1
2
2
n
n
n
a
a
a
n
na
nb
公差为
，
，且数列
是凹数列，则
的取值范围为_______.
d
1
4
b
nb
n
d
解析：因为等差数列
的公差为
，
，所以
，因为数
nb
d
1
4
b
1
(
1)
4
(
1)
nb
b
n
d
n
d
列
是凹数列，所以
恒成立，即
，
nb
n
1
1
2
1
1
n
n
n
b
b
b
n
n
n
4
(
2)
4
4
(
1)
2
1
1
n
d
nd
n
d
n
n
n
恒成立，所以
恒成立，即
，恒成
4
4
4
2
1
1
d
d
d
d
d
d
n
n
n
4
4
4
2
1
1
d
d
d
n
n
n
立，
因为
，所以
，两边同乘以
，
2
n
1
1
0
n
n
1
1
0
n
n n
得
，即
，恒
4
1
4
1
2 4
1
1
d n n
d
n
n
d
n
n
2
2
2 4
1
0
d
n
n
成立，所以
，解得
，所以
的取值范围为
，故答案为：
2 4
0
d
4
d
d
(
,4]
(
,4]
例3.定义：数列
对一切正整数
均满足
，称数列
为“凸数列”，以下
{
}
na
n
2
1
2
n
n
n
a
a
a
{
}
na
关于“凸数列”的说法：
①等差数列
一定是凸数列；
{
}
na
②首项
，公比
且
的等比数列
一定是凸数列；
1
0
a
0
q
1
q
{
}
na
③若数列
为凸数列，则数列
是单调递增数列；
{
}
na
1
n
n
a
a
④若数列
为凸数列，则下标成等差数列的项构成的子数列也为凸数列．
{
}
na
其中正确说法的序号是__________.
解析：在①中，由等差数列
的性质可得
，不满足
，
na
2
1
2
n
n
n
a
a
a
2
1
2
n
n
n
a
a
a
所以数列不是“凸数列”；故不正确
在②中，因为数列
的首项
，公比
且
，所以
，
na
1
0
a
0
q
1
q
1
1
0
n
na
a q
所以
＝
，所以数列
一定是凸数列；故正确.
2
2
n
n
a
a
2
2
1
1
2
2
n
n
n
n
n
a
a q
q
a
a q
a
na
在③中，因为数列
为凸数列，所以数列
对一切正整数
均满足
，
na
na
n
2
1
2
n
n
n
a
a
a
所以
，所以数列
是单调递增数列，故正确的；
2
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
1
n
n
a
a
在④中，数列
为凸数列，则下标成等差数列的项构成的子数列也为凸数列是正确的．
na
综上所述，②③④正确．
例4（2024 届浙江金华高三三模）若正实数数列
满足
，则称
是
nc
2
*
1
2
n
n
n
c
c c
n
N
nc
一个对数凸数列；若实数列
满足
，则称
是一个凸数列.已知
是
n
d
1
2
2
n
n
n
d
d
d
n
d
na
一个对数凸数列，
．
ln
n
n
b
a
(1)证明：
；
1 10
5
6
a a
a a
(2)若
，证明：
；
1
2
2024
1
a a
a
1012
1013
1
a
a
(3)若
，
，求
的最大值．
1
1
b
2024
2024
b
10
b
解析：（1）法一：由题意得：
，∴
，
2
1
2
n
n
n
a
a a
2
1
1
2
1
1
2
1
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
∴
，
，
，
，
，将以上式子累乘得：
，也即
10
6
9
5
a
a
a
a
9
5
8
4
a
a
a
a
8
4
7
3
a
a
a
a
7
3
6
2
a
a
a
a
6
2
5
1
a
a
a
a
10
6
5
1
a
a
a
a
成立．
1 10
5
6
a a
a a
（2）法一：∵
，∴
，
1
2
1
n
n
n
n
a
a
a
a
1
1
2
1
1
1
n k
n k
n
n
n k
n k
n k
n
n
n k
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
∴
，则
，
1
1 1
n k
n k
n k
n k
a
a
a
a
k
n
1012
1013
1011
1014
1010
1015
1
2024
a
a
a
a
a
a
a a
∴
，∴
．
1012
1012
1013
1
2
2024
1
a
a
a a
a
1012
1013
1
a
a
法二：∵
，∴
，也即
，同时，由
1
2
2024
1
a a
a
1
2
2024
(
)
ln
0
a a
a
1
2
2024
0
b
b
b
可得：
，∴
，也即
，
2
1
2
n
n
n
a
a a
2
1
2
ln
ln
n
n
n
a
a a
1
2
2 n
n
n
b
b
b
1
2
1
n
n
n
n
b
b
b
b
∴
，
，…，
，
1013
1012
2024
2023
b
b
b
b
1012
1011
2023
2022
b
b
b
b
2
1
1013
1012
b
b
b
b
将以上式子累加得：
，也即
，同理可得：
1013
1
2024
1012
b
b
b
b
1012
1013
1
2024
b
b
b
b
，
，……
，
1012
1013
2
2023
b
b
b
b
1012
1013
3
2022
b
b
b
b
1012
1013
1012
1013
b
b
b
b
将以上式子累加得：
，∴
，∴
1012
1013
1
2
1012
0
n
b
b
b
b
b
1012
1013
0
b
b
，∴
成立．
1012
1013
ln
ln
0
a
a
1012
1013
1
a
a
（3）由
可得：
，∴
，也即
2
2
2
n
n
n
a
a a
2
2
2
ln
ln
n
n
n
a
a a
1
2
2 n
n
n
b
b
b
，
1
2
1
n
n
n
n
b
b
b
b
∴
，
，…，
，
2024
2023
11
10
b
b
b
b
2023
2022
11
10
b
b
b
b
11
10
11
10
b
b
b
b
将以上式子累加得：
①，另外，
，
2024
10
11
10
2014
b
b
b
b
11
10
10
9
b
b
b
b
11
10
9
8
b
b
b
b
，…，
，将以上式子累加得：
②，结合①②式可得：
11
10
2
1
b
b
b
b
11
10
10
1
9 b
b
b
b
，∴
，化简得：
，另外，显然有
2024
10
10
1
11
10
2014
9
b
b
b
b
b
b
10
10
2024
1
2014
9
b
b
10
10
b
nb
n
符合题意，此时
，综上，
的最大值为10．
10
10
b
10
b
例5.若实数列
满足条件
，
、
、
，则称
是一个“凸数列”.
na
2
1
2
n
n
n
a
a
a
1
n
2
L
na
（1）判断数列
和
是否为“凸数列”?
2
na
n
n
3
2
n
nb
（2）若
是一个“凸数列”，证明：对正整数
、
、
，当
时，有
na
k
m
n
1
k
m
n
；
n
m
m
k
a
a
a
a
n
m
m
k
（3）若
是一个“凸数列”，证明：对
，有
.
na
1
i
n
1
1
1
1
i
n
i
i
a
a
a
n
n
解析：（1）因为
，
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
0
n
n
n
a
a
a
n
n
n
n
n
n
所以数列
不是“凸数列”，因为
na
，所以数列
为“凸
+2
1
2
3
3
3
3
9
1
3
2
2
1
3
0
2
2
2
2
4
4
2
n
n
n
n
n
n
n
n
b
b
b
nb
数列”；
（2）由题意得
，所以
，
1
1
2
2,3,
k
k
k
a
a
a
k
1
1
k
k
k
k
a
a
a
a
而
，所以
1
1
2
1
1
(
)
n
m
n
n
n
n
m
m
m
m
a
a
a
a
a
a
a
a
n
m
a
a
，
1
m
m
m
na
a
a
a
n
m
又
，
1
1
2
1
1
(
)
m
k
m
m
m
m
k
k
m
m
a
a
a
a
a
a
a
a
m
k
a
a
所以
，故
，证毕；
1
m
k
m
m
a
a
a
a
m
k
n
m
m
k
a
a
a
a
n
m
m
k
（3）①当
时，
即
，由（2）得
1
i
1
1
1
1
i
n
i
i
a
a
a
n
n
2
1
1
1
1
1
n
a
a
a
n
n
，所以
，
1
2
2
1
1
na
a
n
a
a
2
1
1
1
n
na
n
a
a
故
，成立；
2
1
1
1
1
1
n
a
a
a
n
n
②当
时，
即
，显然成立；
i
n
1
1
1
1
i
n
i
i
a
a
a
n
n
1
1
n
n
a
a
③当
时，由（2）得
，
1
i
n
1
1
1
1
n
i
i
a
a
a
a
n
i
i
所以
，
1
1
1
1
n
i
i
ia
ia
n
i a
n
i a
所以
，故
成立.
1
1
1
i
n
na
ia
n
i a
1
1
1
1
i
n
i
i
a
a
a
n
n
综上所述，对
，有
.
1
i
n
1
1
1
1
i
n
i
i
a
a
a
n
n
例6.（2024 届山东青岛高三二模）若数列
的各项均为正数，对任意
，有
na
*
N
n
，则称数列
为“对数凹性”数列．
2
1
2
n
n
n
a
a
a
na
(1)已知数列1，3，2，4 和数列1，2，4，3，2，判断它们是否为“对数凹性”数列，并说明
理由；
(2)若函数
有三个零点，其中
．
2
3
1
2
3
4
( )
f x
b
b x
b x
b x
0(
1,2,3,4)
ib
i
证明：数列
为“对数凹性”数列；
1
2
3
4
,
,
,
b b b b
(3)若数列
的各项均为正数，
，记
的前n 项和为
，
，对任意三个
nc
2
1
c
c
nc
n
S
1
n
n
W
S
n
不相等正整数p，q，r，存在常数t，使得
．
(
)
(
)
(
)
r
p
q
p
q W
q
r W
r
p W
t
证明：数列
为“对数凹性”数列．
n
S
解析（1）根据“对数凹性”数列的定义可知数列1，3，2，4 中
不成立，
2
2
3 4
所以数列1，3，2，4 不是“对数凹性”数列；而数列1，2，4，3，2 中
均成立，
2
2
2
2
1 4
4
2 3
3
4 2
所以数列1，2，4，3，2 是“对数凹性”数列；
（2）根据题意及三次函数的性质易知
有两个不等实数根，
2
2
3
4
( )
2
3
f
x
b
b x
b x
所以
，又
，所以
，显然
2
2
1
3
2
4
3
2
4
Δ
4
4 3
0
3
b
b b
b
b b
0(
1,2,3,4)
ib
i
2
3
2 4
2 4
3
b
b b
b b
，即
不是
的零点，又
1
0
0
0
x
f
b
0
x
f x
2
3
1
2
3
4
1
1
1
1
f
b
b
b
b
x
x
x
x
，
令
，则
也有三个零点，即
有三个
1
t
x
2
3
1
2
3
4
f t
b
b t
b t
b t
3
2
1
2
3
4
3
1
b x
b x
b x
b
f
x
x
零点，则
有三个零点，所以
有两个零点，
3
2
1
2
3
4
g x
b x
b x
b x
b
2
1
2
3
3
2
g
x
b x
b x
b
所以同上有
，故数列
为“对数凹性”数列
2
2
2
2
1 3
2
1 3
1 3
Δ
4
4 3
0
3
b
b b
b
b b
b b
1
2
3
4
,
,
,
b b b b
（3）将
互换得：
，所以
，令
,p q
r
q
p
t
q
p W
p
vr W
r
q W
t
0
t
1,
2
p
q
，得
，所以
，
2
2
1
0
r
W
r W
r
W
1
2
1
2
1
2
1
1
r
W
r W
r
W
W
r
W
W
故数列
是等差数列，记
，所以
n
W
2
2
1
2
1
1
0
2
2
S
c
c
d
W
W
c
，所以
，又因为
2
1
1
1
1
1
2
n
c
c
W
c
n
c
n
d
2
1
n
n
S
nW
dn
c
d n
，所以
，所以
，所以
为单调递
1
1
,
1
,
2
n
n
n
c n
c
S
S
n
1
2
1
nc
c
d n
1
2
0
n
n
c
c
d
nc
增的等差数列，所以
.
1
1
2
1
0,
2
,
2
n
n
n
n
n
n
n
n c
c
c
c
c
c
c
S
所以
2
2
2
1
2
1
1
1
1
2
4
(
1)
2
n
n
n
n
n
n
S
S S
n
c
c
n n
c
c
c
c
2
2
1
1
2
2
1
1
(
1)
2
2
n
n
n
c
c
c
c
n
c
c
n n
2
2
2
1
1
2
1
1
2
(
1)
2
2
n
n
c
c
c
n
c
c
n n
2
2
2
1
1
1
1
(
1)
2
n
n
n
c
c
n n
c
c
，所以
，数列
是“对数凹性”
2
2
1
1
(
1)
2
n
n
n n
c
c
2
1
1
0
n
c
c
2
1
2
n
n
n
S
S S
n
S
数列
例7 ．如果数列
的任意相邻三项
，
，
满足
，则称该数
na
1
ia
ia
1
ia
2
1
1
(
2,
)
i
i
i
a a
a i
i
N
列为“凸数列”．
（1）已知
是正项等比数列，
是等差数列，且
，
，
na
nb
1
1
1
a
b
3
2
4
1
a
b
b
．记
．
2
3
2
a
b
n
n
n
b
c
a
①求数列
的前
项和；
nc
n
②判断数列
是不是“凸数列”，并证明你的结论；
nc
（2）设
项正数数列
是“凸数列”，求证：
n
1
2
,
,
,
n
a a
a
，
，
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
2
1
1
n
n
n
n
i
j
i
j
i
j
i
j
a
a
a
a
n
n
n
n
2
n
其中
.
nN
解析：（1）①设
的公比为
，
的公差为
，由题意可得
解
{𝐚𝐧}
(
0)
q q
{𝐛𝐧}
d
2
1
2
4 ,
2
1
2 ,
q
d
q
d
得
或
（舍去），
，因此
，
．故
3
q
1
q
2
d
1
*
3
N
n
na
n
*
2
1
N
nb
n
n
，
1
2
1
3
n
n
n
c
从而
，（i）
1
2
3
1
2
2
1
3
5
2
3
2
1
1
3
3
3
3
n
n
n
n
n
n
n
S
c
c
c
c
c
，（ii）
2
3
1
1
1
3
5
2
3
2
1
3
3
3
3
3
3
n
n
n
n
n
S
（i）－（ii）得，
，即
2
3
1
2
1
1
1
1
2
1
2
2
1
2
2
3
3
3
3
3
3
3
n
n
n
n
n
n
S
．②由①，
，所以
*
1
1
3
N
3
n
n
n
S
n
1
2
1
3
n
n
n
c
，故数列
是“凸数列”．
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
1
2
3 2
1
4
4
3
4
4
1
2
1
3
3
3
3
3
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
c c
c
nc
（2）记
，则原不等式等价于
1
2
3
1
2
n
j
n
j
a
S
a
a
a
，即
2
1
1
(
1)
2
n
n
n
S S
a
a
n n
S
a
S
a
2
2
2
1
(
1)
(
1)
n
n
S
n
S a
a
，因而只需证明
2
1
1
2
2
2
n
n
n n
S
n n
S a
a
n n
a a
，因为
，所以
2
1
1
2
n
n
S
S a
a
n n
a a
2
*
1
1
2,
N
i
i
i
a a
a
i
i
，故
，而
1
2
3
2
1
2
3
2
1
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
1
2
1
3
2
n
n
n
a a
a a
a a
2
3
1
2
1
3
2
2
3
1
2
1
2
n
n
n
n
n
S
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
，从而
2
1
3
2
2
3
1
2
1
2
n
n
n
n
n
a a
a a
a
a
a
a
n
a a
，即
2
2
2
1
1
1
1
(
2)
2
2
2
n
n
n
n
S
S a
a
n
a a
n
a a
n
n a a
，结论得证
2
1
1
2
n
n
S
S a
a
n n
a a
