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1 / 14 第4 讲 万有引力与宇宙航行 1.（2024·山东高考5 题）“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24 小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫 星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为（ ） A.√ r 3 a 3 B.√ a 3 r 3 C.r 3 a 3 D.a 3 r 3 解析：D “鹊桥二号”中继星在24 小时椭圆轨道上运行时，由开普勒第三定律有a 3 T 2＝k，对地球同步卫星由开 普勒第三定律有r 3 T 2＝k'，又常量k 与中心天体的质量成正比，所以M 月 M 地 ＝k k '＝a 3 r 3 ，D 正确。 2.（2024·新课标卷16 题）天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c 的轨 道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07 倍，周期约为0.06 年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的（ ） A.0.001 倍 B.0.1 倍 C.10 倍 D.1 000 倍 解析：B GMm r 2 ＝m4 π 2 T 2 r→M＝4 π 2r 3 GT 2 →M 红 M 太 ＝r行 3 T 地 2 r地 3 T 行 2＝0.07 3 0.06 2≈0.1，B 正确。 3.（2024·海南高考6 题）嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则 月球的平均密度为（ ） A.3 π （1+k ） 3 GT 2k 3 B. 3 π GT 2 C.π （1+ k ） 3GT 2k D.3 π （1+k ） 3 GT 2 解析：D 万有引力提供向心力： 2 / 14 GMm （R＋ℎ） 2 ＝m 4 π 2 T 2 （R＋ℎ） 密度公式：ρ＝M V 球体体积公式：V ＝4 3 π R 3 已知条件：ℎ∶R＝k ] ρ＝3 π （1+k ） 3 GT 2 ， D 正确。 4.（2024·湖北高考4 题）太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如 图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P 点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的 反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则（ ） A.空间站变轨前、后在P 点的加速度相同 B.空间站变轨后的运动周期比变轨前的小 C.空间站变轨后在P 点的速度比变轨前的小 D.空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大 解析：A 变轨前、后，根据a＝GM r 2 可知，空间站在P 点的加速度相同，A 正确；由于变轨后的轨道半长轴大于 变轨前的轨道半径，则根据开普勒第三定律可知，空间站变轨后的运动周期比变轨前的大，B 错误；变轨时，空 间站喷气加速，因此变轨后其在P 点的速度比变轨前的大，C 错误；变轨后，空间站在近地点的速度最大，大于 变轨后在P 点的速度，结合C 项分析可知，变轨后空间站在近地点的速度大于变轨前的速度，D 错误。 考点一 开普勒定律和万有引力定律 1.开普勒定律理解 （1）根据开普勒第二定律，行星在椭圆轨道上运动时，相等时间内扫过的面积相等，则v1r1＝v2r2； （2）根据开普勒第三定律，r 3 T 2＝k，若为椭圆轨道，则r 为半长轴，若为圆轨道，则r＝R； （3）行星运行过程中机械能守恒，即Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2。 2.天体质量和密度的计算 注意：（1）天体表面的重力加速度g＝GM R 2 ，是g 的决定式，具有普适性。 3 / 14 （2）若绕行天体绕中心天体表面（如近地）做匀速圆周运动时，轨道半径r≈R，则中心天体的密度ρ＝3 π GT 2。 【例1】 2024 年4 月中下旬，太阳系中被称为“恶魔彗星”的庞士—布鲁克斯彗星即将到达近日点，届时在视野 良好的情况下可以通过肉眼观测到该彗星。如图所示，已知地球的公转轨道半径为1 AU（AU 为天文单位），该 彗星的运行轨道近似为椭圆，其近日点与远日点之间的距离约为34 AU，则这颗彗星绕太阳公转的周期约为（ ） A.17 年 B.17√17年 C.34 年 D.34√34年 答案：B 解析：设地球的轨道半径为R1，公转周期为T1，彗星的轨道半径为R2，公转周期为T2，根据开普勒第三定律可知 R1 3 T 1 2 ＝R2 3 T 2 2 ，其中R1＝1 AU，R2＝17 AU，T1＝1 年，解得T2＝17√17年，B 正确。 【例2】 （2024·安徽合肥二模）2024 年3 月，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。鹊桥二号入轨 后，通过轨道修正、近月制动等系列操作，最终进入近月点约200 km、远月点约16 000 km、周期为24 h 的环 月大椭圆冻结轨道。已知月球半径约1 800 km，万有引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。由上述数据可知月球的 质量接近于（ ） A.7.5×1018 kg B.7.5×1020 kg C.7.5×1022 kg D.7.5×1024 kg 答案：C 解析：环月大椭圆冻结轨道的周期与半长轴分别为T1＝24 h，R1＝200+16 000+2×1 800 2 km＝9 900 km， 令近月圆轨道卫星的周期为T2，则有G Mm R 2 ＝m4 π 2 R T 2 2 ，根据开普勒第三定律有R1 3 T 1 2 ＝R 3 T 2 2，联立解得 M≈7.67×1022 kg，可知月球的质量接近于7.5×1022 kg。故选C。 【例3】 （多选）（2024·广东高考9 题）如图所示，探测器及其保护背罩通过弹性轻绳连接降落伞。在接近某 行星表面时以60 m/s 的速度竖直匀速下落。此时启动“背罩分离”，探测器与背罩断开连接，背罩与降落伞保持 连接。已知探测器质量为1 000 kg，背罩质量为50 kg，该行星的质量和半径分别为地球的1 10和1 2。地球表面重 力加速度大小取g＝10 m/s2。忽略大气对探测器和背罩的阻力。下列说法正确的有（ ） 4 / 14 A.该行星表面的重力加速度大小为4 m/s2 B.该行星的第一宇宙速度为7.9 km/s C.“背罩分离”后瞬间，背罩的加速度大小为80 m/s2 D.“背罩分离”后瞬间，探测器所受重力对其做功的功率为30 kW 答案：AC 解析：在星球表面，根据G Mm R 2 ＝mg，可得g＝GM R 2 ，行星的质量和半径分别为地球的1 10和1 2。地球表面重力加 速度大小g＝10 m/s2，可得该行星表面的重力加速度大小g'＝4 m/s2，故A 正确；在星球表面上空，根据万有引力 提供向心力，有G Mm R 2 ＝mv 2 R ，可得星球的第一宇宙速度v＝√ GM R ，行星的质量和半径分别为地球的1 10和1 2，可 得该行星的第一宇宙速度v 行＝√5 5 v 地，地球的第一宇宙速度为7.9 km/s，所以该行星的第一宇宙速度v 行＝√5 5 ×7.9 km/s，故B 错误；“背罩分离”前，探测器及其保护背罩和降落伞整体做匀速直线运动，对探测器受力分 析，可知探测器与保护背罩之间的作用力F＝mg'＝4 000 N，“背罩分离”后，背罩所受的合力大小为4 000 N，对背罩，根据牛顿第二定律F＝m'a，解得a＝80 m/s2，故C 正确；“背罩分离”后瞬间探测器所受重力对其 做功的功率P＝mg'v＝1 000×4×60 W＝240 kW，故D 错误。 考点二 人造卫星和天体运动 1.人造卫星运动问题的分析要点 2.分析卫星变轨问题的两个观点 （1）动力学观点 ①点火加速，v 突然增大，Gmm中 r 2 ＜mv 2 r ，卫星将做离心运动。 ②点火减速，v 突然减小，Gmm中 r 2 ＞mv 2 r ，卫星将做近心运动。 5 / 14 （2）能量观点 ①同一卫星在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。 ②卫星经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。 【例4】 （2024·河北二模）已知一个星球x 的密度与地球的密度相同，星球x 与地球的半径之比为1∶4，假设 卫星A 与卫星B 分别绕地球和星球x 做匀速圆周运动，且两卫星的轨道半径相同，如图所示。则下列说法正确的 是（ ） A.卫星A 与卫星B 的加速度大小之比为4∶1 B.卫星A 与卫星B 的线速度大小之比为2∶1 C.卫星A 与卫星B 的环绕周期之比为1∶8 D.地球与星球x 的第一宇宙速度之比为1∶4 答案：C 解析：星球的质量为M＝ρ·4 3 πR3，卫星环绕中心天体做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有G Mm r 2 ＝ma，联 立得a＝4 π Gρ R 3 3r 2 ，则卫星A 与卫星B 的加速度大小之比为64∶1，故A 错误；由G Mm r 2 ＝mv 2 r ，得v＝ √ 4 π Gρ R 3 3r ，则卫星A 与卫星B 的线速度大小之比为8∶1，故B 错误；由万有引力提供向心力可知G Mm r 2 ＝m 4 π 2 T 2 r，T＝√ 3 π r 3 Gρ R 3，可知卫星A 与卫星B 的环绕周期之比为1∶8，故C 正确；根据上面的公式v＝√ 4 π Gρ R 3 3r ， 可得当R＝r 时环绕速度最大，该速度为第一宇宙速度，此时v＝√ 4 π Gρ R 2 3 ，地球与星球x 的第一宇宙速度之比 为4∶1，故D 错误。 【例5】 （多选）（2024·陕西西安期中）2024 年2 月29 日21 时03 分，在西昌卫星发射中心，互联网高轨卫星 01 星成功发射升空，顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。如图所示，互联网高轨卫星01 星最终在距地面 高度约为36 000 公里的轨道Ⅱ上运行，若该卫星先被发射到椭圆轨道Ⅰ上运行，在A 处通过变轨转移至圆形轨道 Ⅱ上运行，A、B 分别为椭圆轨道Ⅰ的远地点和近地点，下列说法正确的是（ ） A.互联网高轨卫星01 星先后在轨道Ⅰ、Ⅱ运行时经过A 点的速率相等 B.互联网高轨卫星01 星沿轨道Ⅰ、Ⅱ经过A 点时的加速度相等 C.互联网高轨卫星01 星在轨道Ⅱ上运行的周期小于其在轨道Ⅰ上运行的周期 6 / 14 D.互联网高轨卫星01 星在轨道Ⅰ上运行时经过B 点时的速率大于在轨道Ⅱ上运行时的速率 答案：BD 解析：互联网高轨卫星01 星从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ要在A 点加速，则在轨道Ⅰ经过A 点的速率小于在轨道Ⅱ运行时 经过A 点的速率，选项A 错误；根据G Mm r 2 ＝ma，可得a＝GM r 2 ，可知互联网高轨卫星01 星沿轨道Ⅰ、Ⅱ经过A 点时的加速度相等，选项B 正确；根据开普勒第三定律r 3 T 2＝k 可知，互联网高轨卫星01 星在轨道Ⅱ上运行的周期 大于其在轨道Ⅰ上运行的周期，选项C 错误；若经过B 点做圆轨道，根据G Mm r 2 ＝mv 2 r ，可得v＝√ GM r ，可知在 此圆轨道上的速度大于在轨道Ⅱ上的运行速度；而从此圆轨道转移到轨道Ⅰ需要在B 点加速，可知互联网高轨卫 星01 星在轨道Ⅰ上运行时经过B 点时的速率大于在轨道Ⅱ上运行时的速率，选项D 正确。 【例6】 （多选）（2024·河北高考8 题）2024 年3 月20 日，鹊桥二号中继星成功发射升空，为嫦娥六号在月球 背面的探月任务提供地月间中继通信。鹊桥二号采用周期为24 h 的环月椭圆冻结轨道（如图），近月点A 距月心 约为2.0×103 km，远月点B 距月心约为1.8×104 km，CD 为椭圆轨道的短轴，下列说法正确的是（ ） A.鹊桥二号从C 经B 到D 的运动时间为12 h B.鹊桥二号在A、B 两点的加速度大小之比约为81∶1 C.鹊桥二号在C、D 两点的速度方向垂直于其与月心的连线 D.鹊桥二号在地球表面附近的发射速度大于7.9 km/s 且小于11.2 km/s 答案：BD 解析：鹊桥二号从C 经B 到D 的过程与月心连线扫过的面积大于鹊桥二号从D 经A 到C 的过程与月心连线扫过的 面积，由开普勒第二定律可知，鹊桥二号从C 经B 到D 的运动时间t1大于鹊桥二号从D 经A 到C 的运动时间t2， 又t1＋t2＝T，故t1＞T 2 ＝12 h，A 错误；鹊桥二号运动过程中，由牛顿第二定律有GMm r 2 ＝ma，则鹊桥二号在A、 B 两点的加速度大小之比aA aB ＝rB 2 r A 2≈81 1 ，B 正确；由速度方向为轨迹切线方向并结合几何关系可知，鹊桥二号在 C、D 两点的速度方向不垂直于其与月心的连线，C 错误；鹊桥二号在地球表面附近的发射速度一定大于第一宇宙 速度（7.9 km/s），其又没有完全脱离地球的束缚，所以其发射速度小于第二宇宙速度（11.2 km/s），D 正确。 考点三 双星（或三星）问题 7 / 14 【例7】 1974 年拉塞尔豪尔斯和约瑟夫泰勒发现赫尔斯—泰勒脉冲双星。如图，该双星系统在互相公转时，不 断发射引力波而失去能量，因此逐渐相互靠近，这现象为引力波的存在提供了首个间接证据。假设靠近过程短时 间内两星球质量不变，下列说法正确的是（ ） A.质量较大的星球，其所受的向心力越大 B.质量较大的星球，其向心加速度较小 C.靠近过程线速度大小可能不变 D.靠近过程周期越来越大 答案：B 解析：两星球之间的万有引力分别提供了两星球做圆周运动所需的向心力，所以两星球的向心力大小相等，故A 错误；设大脉冲星质量为m1，半径为r1，小脉冲星质量为m2，半径为r2，两者距离为L，有Gm1m2 L 2 ＝m1a1，G m1m2 L 2 ＝m2a2，可见质量较大的星球，其向心加速度较小，故B 正确；靠近过程，即r1、r2、L 变小，由Gm1m2 L 2 ＝ m1ω2r1，Gm1m2 L 2 ＝m2ω2r2，化简得ω＝√ G（m1＋m2） L 3 ，T＝2π ω ＝2π√ L 3 G（m1＋m2） ，可见两星在靠近过程 周期越来越小，又因为在靠近过程不断发射引力波而失去能量，所以靠近过程两星线速度大小越来越小，故C、D 错误。 1.天体运动的追及问题 情境 分析 两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运 动，a 卫星的角速度为ωa，b 卫星的角速度为ωb，若 某时刻两卫星正好在同一直线上 当它们转过的角度之差ωaΔt－ωbΔt＝（2n＋1）π（n＝0， 1，2，3，…）时，两卫星相距最远（两卫星异侧） 当它们转过的角度之差ωaΔt－ωbΔt＝2nπ（n＝1，2， 3，…）时，两卫星相距最近（两卫星同侧） 提醒：（1）当两颗卫星之间的距离最近和最远时，它们都处在同一条直线上。 8 / 14 （2）若两颗卫星的初始位置与中心天体在同一直线上，内轨卫星所转过的圆心角与外轨卫星所转过的圆心角之差 为π 的整数倍时就是出现最近或最远的时刻。 【典例1】 （多选）（2024·湖北黄冈检测）三颗人造卫星A、B、C 都在赤道正上方同方向绕地球做匀速圆周运 动，A、C 为地球同步卫星，某时刻A、B 相距最近，如图所示。已知地球自转周期为T1，B 的运行周期为T2，则 下列说法正确的是（ ） A.C 加速可追上同一轨道上的A B.经过时间 T 1T 2 2（T 1－T 2），A、B 相距最远 C.A、C 向心加速度大小相等，且小于B 的向心加速度 D.在相同时间内，C 与地心连线扫过的面积等于B 与地心连线扫过的面积 答案：BC 解析：卫星C 加速后做离心运动，轨道变高，不可能追上卫星A，选项A 错误；A、B 两卫星由相距最近至相距最 远时，两卫星转的圈数差n（n＝1，2，3…）个半圈，设经历时间为t，有t T 2 －t T 1 ＝n 2，解得经历的时间t＝ nT 1T 2 2（T 1－T 2） （n＝1，2，3…），当n＝1 时，可知选项B 正确；根据万有引力提供向心力有GMm r 2 ＝ma 可得a ＝GM r 2 ，由于rA＝rC＞rB，可知A、C 向心加速度大小相等，且小于B 的向心加速度，选项C 正确；对于轨道半径 为r 的卫星，根据万有引力提供向心力有GMm r 2 ＝m4 π 2 T 2 r，可得卫星周期为T＝2π√ r 3 GM ，则该卫星在相同时间t0 内扫过的面积S0＝π r 2t0 T ＝t0 2 √GMr，由于rC＞rB，所以在相同时间内，C 与地心连线扫过的面积大于B 与地心连 线扫过的面积，选项D 错误。 2.黑洞 当某一定质量的类星体的半径减至足够小时，引力非常大，由于光也受引力作用，强大的引力也可以使此类星体 表面以光速c 传播的光线都射不出去（已知任何物体的速度都不会超过光速），这一星体就可能成为黑洞。 【典例2】 （多选）如图所示，黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸（光速为c）。若 黑洞的质量为M，半径为R，引力常量为G，其逃逸速度公式为v'＝√ 2GM R 。如果天文学家观测到一可视天体以 速度v 绕某黑洞做半径为r 的匀速圆周运动，则下列说法正确的有（ ） A.该黑洞的质量为v 2r G B.该黑洞的质量为Gv2r 9 / 14 C.该黑洞的最大半径为2GM c 2 D.该黑洞的最小半径为2GM c 2 答案：AC 解析：对于可视天体，根据万有引力提供向心力有G Mm r 2 ＝mv 2 r ，得黑洞的质量为M＝v 2r G ，故A 正确，B 错误； 根据逃逸速度公式v'＝√ 2GM R ≥c，得黑洞的半径为R≤2GM c 2 ，即黑洞的最大半径为Rmax＝2GM c 2 ，故C 正确， D 错误。 1.（多选）经过71 年的长途跋涉，编号为12P/Pons-Brooks 的彗星（以下简称12P 彗星）于2024 年4 月21 日通过 近日点。若只考虑12P 慧星与太阳的作用力，下列说法正确的是（ ） A.太阳处在12P 彗星椭圆轨道的中心点上 B.12P 彗星在近日点的速度比在远日点的速度大 C.12P 彗星轨道半长轴的三次方与它公转周期的二次方的比值是一个定值 D.在远离太阳的过程中，12P 彗星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积逐渐增大 解析：BC 根据开普勒第一定律可知，太阳处在12P 彗星椭圆轨道的焦点上，选项A 错误； 根据开普勒第二定 律可知，12P 彗星在近日点的速度比在远日点的速度大，选项B 正确； 根据开普勒第三定律可知，12P 彗星轨道 半长轴的三次方与它公转周期的二次方的比值是一个定值，选项C 正确；根据开普勒第二定律可知，在远离太阳 的过程中，12P 彗星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，选项D 错误。 2.（多选）（2024·湖北武汉模拟预测）节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补 充历法，早在《淮南子》中就有记载。现行二十四节气划分是以地球和太阳的连线每扫过15°定为一个节气，如 图所示的是北半球二十四个节气时地球在公转轨道上位置的示意图，其中冬至时地球在近日点附近。根据示意图， 下列说法正确的是（ ） A.芒种时地球公转速度比小满时小 B.芒种到小暑的时间间隔比大雪到小寒的长 C.立春时地球公转的加速度与立秋时大小相等 D.春分、夏至、秋分、冬至四个节气刚好将一年的时间分为四等份 解析：AB 从图中我们可以看到，冬至时地球位于近日点附近，公转速度最快。随着地球向远日点移动，公转速 度逐渐减慢。因此，芒种 （位于远日点附近）时的地球公转速度应该比小满 （位于近日点和远日点之间）时慢， 10 / 14 故A 正确；地球公转轨道是椭圆形的，但轨道上的速度并不是均匀分布的。由于公转速度的变化，芒种到小暑的 时间间隔与大雪到小寒的时间间隔并不相等。从图中可以看出，芒种到小暑的时间间隔要大于大雪到小寒的时间 间隔，故B 正确；地球公转的加速度与地球到太阳的距离有关。立春时和立秋时，地球到太阳的距离并不相等 （立春时离太阳较近，立秋时离太阳较远），因此公转加速度也不相等，故C 错误；春分、夏至、秋分、冬至四 个节气虽然分别代表了春、夏、秋、冬四季的开始，但它们并不刚好将一年的时间分为四等份。实际上，由于地 球公转轨道是椭圆形的，各季节的时间并不相等，故D 错误。 3.（2024·河北三模）2024 年5 月3 日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射， 自此开启世界首次月球背面采样返回之旅。若将来宇航员在月球（视为质量分布均匀的球体）表面以大小为v0的 初速度竖直上抛一物体（视为质点），已知引力常量为G，月球的半径为R、密度为ρ。物体从刚被抛出到刚落回 月球表面的时间为（ ） A. 2v0 3 π ρGR B. 3 v0 π ρGR C. 3 v0 2π ρGR D. 6 v0 π ρGR 解析：C 设月球表面的重力加速度为g0，则有G Mm R 2 ＝mg0，解得g0＝GM R 2 ＝G R 2×4 3 πR3ρ＝4 π ρGR 3 ，根据竖直 上抛运动的规律可知，物体落回月球表面的时间t＝2v0 g0 ＝2v0× 3 4 π ρGR ＝ 3 v0 2π ρGR ，C 正确。 4.（多选）（2024·湖南高考7 题）2024 年5 月3 日，“嫦娥六号”探测器顺利进入地月转移轨道，正式开启月球 之旅。相较于“嫦娥四号”和“嫦娥五号”，本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采集，并通过升空器将月 壤转移至绕月运行的返回舱，返回舱再通过返回轨道返回地球。设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为 月球半径。已知月球表面重力加速度约为地球表面的1 6 ，月球半径约为地球半径的1 4 。关于返回舱在该绕月轨道上 的运动，下列说法正确的是（ ） A.其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度 B.其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度 C.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的√ 2 3 倍 D.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的√ 3 2 倍 解析：BD 地球的第一宇宙速度等于卫星在近地轨道的环绕速度，根据万有引力提供向心力得GMm R 2 ＝mv 2 R ，结 合mg＝GMm R 2 得第一宇宙速度v＝√gR，又g 月＝1 6g 地，R 月＝1 4 R 地，可知返回舱相对月球的速度小于地球的第一 宇宙速度，选项A 错误，B 正确；根据万有引力提供向心力得，在近地（月）轨道上有GMm R 2 ＝m4 π 2 T 2 R，又GM ＝gR2，得T＝√ 4 π 2 R g ，可得T 月 T 地 ＝√ R月 R地 ·√ g地 g月 ＝√ 3 2 ，可知选项C 错误，D 正确。 5.（2024·广东深圳二模）2024 年3 月20 日，长征八号火箭成功发射，将鹊桥二号直接送入预定地月转移轨道。如 图所示，鹊桥二号在进入近月点P、远月点A 的月球捕获椭圆轨道，开始绕月球飞行。经过多次轨道控制，鹊桥二 号最终进入近月点P 和远月点B、周期为24 小时的环月椭圆轨道。关于鹊桥二号的说法正确的是（ ） 11 / 14 A.离开火箭时速度大于地球的第三宇宙速度 B.在捕获轨道运行的周期大于24 小时 C.在捕获轨道上经过P 点时，需要点火加速，才可能进入环月轨道 D.经过A 点的加速度比经过B 点时大 解析：B 鹊桥二号离开火箭时速度要大于第一宇宙速度小于第二宇宙速度，才能进入到地月转移轨道，A 错误； 由开普勒第三定律a 3 T 2＝k，鹊桥二号在捕获轨道上运行的周期大于在环月轨道上运行的周期，B 正确；在P 点要由 捕获轨道变轨到环月轨道，鹊桥二号需要做近心运动，必须降低速度，所以经过P 点时，需要点火减速，C 错误； 根据万有引力提供向心力知G Mm r 2 ＝ma，解得a＝GM r 2 ，则经过A 点的加速度比经过B 点时小，D 错误。 6.（2024·湖北三模）2024 年2 月29 日中国在西昌卫星发射中心成功发射了高轨卫星01 星，标志着中国互联网的 效率与质量将进一步提升。已知高轨卫星01 星与地球中心的连线在时间t 内转过的弧度为θ，扫过的面积为S，地 球的半径为R，引力常量为G，则（ ） A.高轨卫星01 星可以静止在咸宁的正上方 B.地球的质量为2S√2Sθ Gt 2 C.地球表面的重力加速度为 S 3 θ R 2t 2 D.地球的第一宇宙速度为√ S 3 θR t 2 解析：B 高轨卫星01 星绕地心做匀速圆周运动，轨道平面必过地心，在赤道正上方，因此不可能静止在咸宁的 正上方，故A 错误；由题意可知，高轨卫星01 星所受的万有引力提供向心力G Mm r 2 ＝mrω2，又S＝πr2 θ 2π ，ω＝θ t ，综合解得地球的质量为M＝2S√2Sθ Gt 2 ，故B 正确；在地球表面，有G Mm R 2 ＝mg，得地球表面的重力加速度为g ＝2S√2Sθ t 2 R 2 ，故C 错误；贴近地球表面，由万有引力提供向心力，可得G Mm R 2 ＝mv1 2 R ，得地球的第一宇宙速度为 v1＝√ 2S√2Sθ t 2 R ，故D 错误。 7.浩瀚的宇宙中有着无数的未知天体，当宇宙中的天体的质量和密度大到一定程度就可以形成黑洞。根据万有引 力知识可得出在黑洞表面，物体的逃逸速度等于光速。已知天体表面的逃逸速度v2和其第一宇宙速度v1的关系为 v2＝√2v1，万有引力常量G＝6.67×10－11 m3/kg·s2，光速c＝3×108 m/s。若某黑洞的密度约为2×1019 kg/m3，试 估算该黑洞半径最小为多少？（ ） A.3×102 m B.5×102 m C.3×103 m D.5×103 m 解析：C 由第一宇宙速度定义可知G Mm R 2 ＝mv1 2 R ，解得第一宇宙速度为v1＝√ GM R ，又M＝ρV＝ρ·4 3 πR3，由题 意可知v2＝√2v1，且对于黑洞有v2＝c，联立可得该黑洞半径最小为R＝√ 3c 2 8 π Gρ ≈3×103 m，故选C。 12 / 14 8.如图所示，由恒星A 与恒星B 组成的双星系统绕其连线上的O 点各自做匀速圆周运动，经观测可知恒星B 的运 行周期为T。若恒星A 的质量为m，恒星B 的质量为2m，引力常量为G，则恒星A 与O 点间的距离为（ ） A.3√ 2GmT 2 9 π 2 B.3√ 9GmT 2 32π 2 C.3√ GmT 2 108 π 2 D.3√ 27GmT 2 4 π 2 解析：A 双星系统两个恒星的角速度相同，周期相同，设恒星A 和恒星B 的轨道半径分别为rA和rB，对A，根据 万有引力提供向心力得Gm·2m L 2 ＝m4 π 2 T 2 rA，对B，根据万有引力提供向心力得Gm·2m L 2 ＝2m4 π 2 T 2 rB，又L＝rA ＋rB，联立解得rA＝3√ 2GmT 2 9 π 2 ，故选A。 9.（多选）2024 年4 月26 日5 时04 分，我国发射的神舟十八号载人飞船与已在轨的空间站组合体完成自主快速交 会对接，它们在地球上空的对接过程如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A.神舟十八号的发射速度应大于第一宇宙速度 B.神舟十八号进入Ⅱ轨道后周期变长 C.M 卫星若要与空间站对接，可以在Ⅲ轨道上点火加速追上空间站 D.神舟十八号在Ⅱ轨道上c 点点火加速进入Ⅲ轨道，此时在Ⅲ轨道上的c 点的加速度大于Ⅱ轨道上的c 点的加速度 解析：AB 第一宇宙速度是地球卫星的最小发射速度，发射“神舟十八号”的速度应大于第一宇宙速度，A 正确； 由开普勒第三定律知，神舟十八号进入Ⅱ轨道后周期变长，B 正确；M 卫星若要与空间站对接，M 卫星应该由低 轨道与高轨道的空间站对接，对接开始时需要点火加速，脱离原有轨道，此后做离心运动与空间站实现对接，若 在同一轨道，M 卫星点火加速轨道会变的更高，C 错误；根据牛顿第二定律有G Mm R 2 ＝ma，可得a＝G M R 2，Ⅲ轨 道上的c 点的加速度等于Ⅱ轨道上的c 点的加速度，D 错误。 13 / 14 10.（2024·浙江6 月选考8 题）与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示， 假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R，小行星甲的远日点到太阳的距离为 R1，小行星乙的近日点到太阳的距离为R2，则（ ） A.小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度 B.小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度 C.小行星甲与乙的运行周期之比T 1 T 2 ≈√ R1 3 R2 3 D.甲、乙两星从远日点到近日点的时间之比t1 t2 ≈√ （R1＋R） 3 （R2＋R） 3 解析：D 由开普勒第二定律知小行星甲在远日点的速度小于在近日点的速度，A 错误；小行星乙在远日点到太阳 的距离与地球到太阳的距离相等，由G Mm r 2 ＝ma 可知，小行星乙在远日点的加速度和地球的公转加速度相等，B 错误；根据开普勒第三定律，有（R1＋R 2 ） 3 T 1 2 ＝（R2＋R 2 ） 3 T 2 2 ，解得 T 1 T 2 ＝√ （R1＋R） 3 （R2＋R） 3 ，C 错误；甲、乙两 星从远日点到近日点的时间之比 t1 t2 ＝ T 1 2 T 2 2 ＝√ （R1＋R） 3 （R2＋R） 3 ，D 正确。 11.（多选）（2024·福建莆田高三二模）如图所示，Ⅰ为北斗卫星导航系统中的静止轨道卫星，其对地张角为 2θ，Ⅱ为地球的近地卫星。已知地球的自转周期为T0，半径为R，万有引力常量为G，根据题中条件，可求出（ ） A.卫星Ⅱ运动的线速度小于卫星Ⅰ的线速度 B.卫星Ⅱ运动的角速度大于卫星Ⅰ的角速度 C.卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加速度之比为sin2θ∶1 D.地球的质量为4 π 2 R 3 GT 0 2 14 / 14 解析：BC 根据万有引力提供向心力，有G Mm r 2 ＝mv 2 r ＝mω2r，可得v＝√ GM r ，ω＝√ GM r 3 ，卫星Ⅱ的轨道半径 小于卫星Ⅰ的轨道半径，则卫星Ⅱ运动的线速度大于卫星Ⅰ的线速度，卫星Ⅱ运动的角速度大于卫星Ⅰ的角速度， 故A 错误，B 正确；根据牛顿第二定律G Mm r 2 ＝ma，可得a＝GM r 2 ，其中rⅠ＝R sinθ ，rⅡ＝R，卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加 速度之比为aⅠ∶aⅡ＝rⅡ 2∶rⅠ 2＝sin2θ∶1，故C 正确；根据万有引力提供向心力，有G Mm rⅠ 2 ＝m4 π 2 T 0 2 rⅠ，解得地球的 质量为M＝ 4 π 2 R 3 GT 0 2sin 3θ ，故D 错误。 12.（多选）（2024·辽宁辽阳二模）2024 年4 月9 日在北美洲南部能观察到日全食，此时月球和太阳的视角相等， 如图所示。已知地球绕太阳运动的周期约为月球绕地球运动周期的13 倍，太阳半径约为地球半径的100 倍，地球 半径约为月球半径的4 倍，月球绕地球及地球绕太阳的运动均可视为圆周运动，根据以上数据可知（ ） A.地球到太阳的距离与月球到地球的距离之比约为400∶1 B.地球对月球的引力与太阳对月球的引力之比约为2∶1 C.太阳的质量约为地球质量的3.8×105倍 D.地球与太阳的平均密度之比约为2∶1 解析：AC 根据题意可知R 太∶R 地＝100，R 月∶R 地＝1∶4，结合视角图可得地球到太阳的距离与月球到地球的距 离之比约为r1∶r2＝400∶1，故A 正确；由GMm r 2 ＝4 π 2mr T 2 ，可得M＝4 π 2r 3 GT 2 ，则太阳的质量与地球质量之比为 M 太 M 地 ＝r1 3T 2 2 r2 3T 1 2＝3.8×105，地球对月球的引力与太阳对月球的引力之比为F地月 F太月 ＝G M 地 r2 2 ∶ G M 太 （r1－r2） 2 ≈0.4， 因星球的密度为ρ＝M V ＝3 M 4 π R 3，则地球与太阳的平均密度之比为ρ 地∶ρ 太＝M 地R太 3 M 太R地 3≈2.6，故C 正确，B、D 错误。
