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1．设函数
，
，当
时，曲线
与
恰有一个交点，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
2．关于函数
，
的图象与直线
（为常数）的交点情况，下
列说法正确的是（ ）
A．当
或
，有0 个交点
B．当
或
，有1 个交点
C．当
，有2 个交点
D．当有2 个交点时，设2 个交点的横坐标分
别为
，
，则
3．若函数
有且仅有一个零点，则实数
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．若函数
的图象与
的图象至少有12 个交点，则
的取值范围是( )
1
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A．
B．
C．
D．
5．已知正三棱台
的体积为
，
，
，则
与平面ABC 所成角
的正切值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
6．一个正四棱台形油槽的上、下底面边长分别为
，容积为
（厚度忽略不
计），则该油槽的侧棱与底面所成角的正切值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．在空间中，三个平面PAB，PBC，PAC 相交于一点P，已知
，则直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
8．在直四棱柱
中，底面
为直角梯形，
，点M 在该四棱柱表面上运动，且满足
平面
平面
．当线段
的长度取到最大值时，直线
与底面
所成
角的正弦值是（ ）
2
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A．
B．
C．
D．
9．设函数
，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
10．若
，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．若实数
满足关系式
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．已知函数
，
，若
，则
的最大
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3
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13．对于函数
和
，下列说法中正确的有（ ）
A．
与
有相同的零点
B．
与
有相同的最大值
C．
与
有相同的最小正周期
D．
与
的图象有相同的对称轴
14．对于函数
，下列选项中正确的有（ ）
A．
在
上单调递减
B．
的图象关于原点对称
C．
的最小正周期为
D．
的最大值为2
15．关于函数
，下列说法正确的是（ ）
A．函数
在
上最大值为
B．函数
的图象关于点
对称
C．函数
在
上单调递增
D．函数
的最小正周期为
16．先将函数
图象上所有点的横坐标缩小到原来的
，纵坐标不变，再把图象
4
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向右平移
个单位长度，最后把所得图象向上平移一个单位长度，得到函数
的图象，
则关于函数
，下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期为
B．在
上单调递增
C．
时
D．其图象关于点
对称
17．抛物线C：
的准线为l，P 为C 上的动点，过P 作
的一条切
线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l 与
相切
B．当P，A，B 三点共线时，
C．当
时，
D．满足
的点
有且仅有2 个
18．设
为抛物线
的焦点，直线
与
的准线，交于点
．已知与
相切，切点为
，直线
与
的一个交点为
，则（ ）
A．点
在
上
B．
C．以
为直径的圆与相离
D．直线
与
相切
19．过抛物线
上一点
作两条直线，
，与E 的另一个交点为A，
与E 的另一个交点为B，抛物线的焦点为F，则（ ）
5
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A．E 的准线方程为
B．过点M 与E 相切的直线方程为
C．以
为直径的圆与y 轴相切
D．若
，则
20．直线经过抛物线
的焦点，且与抛物线
相交于
两点，
下列说法正确的是（ ）
A．
，
B．直线的斜率为1 时，
C．
的最小值为6
D．以
为直径的圆与
的准线相切
6
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参考答案：
1．D
【分析】解法一：令
，分析可知曲线
与
恰有
一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得
，并代入检验即可；
解法二：令
，可知
为偶函数，根据偶函数的对称性可知
的零点只能为0，即可得
，并代入检验即可.
【详解】解法一：令
，即
，可得
，
令
，
原题意等价于当
时，曲线
与
恰有一个交点，
注意到
均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，
可得
，即
，解得
，
若
，令
，可得
因为
，则
，当且仅当
时，等号成立，
可得
，当且仅当
时，等号成立，
则方程
有且仅有一个实根0，即曲线
与
恰有一个交点，
所以
符合题意；
综上所述：
.
解法二：令
，
原题意等价于
有且仅有一个零点，
因为
，
则
为偶函数，
1
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根据偶函数的对称性可知
的零点只能为0，
即
，解得
，
若
，则
，
又因为
当且仅当
时，等号成立，
可得
，当且仅当
时，等号成立，
即
有且仅有一个零点0，所以
符合题意；
故选：D.
2．B
【分析】由“五点法”作出
的图像，根据数形结合可逐一判断各选项.
【详解】因为函数
，
，
所以
，
，
，
，
且易知
在
上单调递减，在
上单调递增，
据此可作出
在
上的大致图象如图所示．
对于选项A：由图可知当
时有1 个交点，故A 错误；
对于选项B：由图可知当
或
时有1 个交点，故B 正确；
对于选项C：由图可知当
时，有且只有1 个交点，故C 错误；
对于选项D：由图可知有2 个交点时
，故D 错误．
故选：B．
2
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3．D
【解析】推导出函数
的图象关于直线
对称，由题意得出
，进而可
求得实数
的值，并对
的值进行检验，即可得出结果.
【详解】
，
则
，
，
，所以，函数
的图象关于直线
对称.
若函数
的零点不为
，则该函数的零点必成对出现，不合题意.
所以，
，即
，解得
或
.
①当
时，令
，得
，作出函
数
与函数
的图象如下图所示：
3
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此时，函数
与函数
的图象有三个交点，不合乎题意；
②当
时，
，
，当且仅当
时，
等号成立，则函数
有且只有一个零点.
综上所述，
.
故选：D.
【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，考查函数图象对称性的应用，解答的关键
就是推导出
，在求出参数后要对参数的值进行检验，考查分析问题和解决问题的
能力，属于中等题.
4．D
【分析】根据两个函数都是偶函数，分别画出两个函数当
时的图象，由图象确定不等
式，即可求得
的取值范围.
【详解】
与
都是偶函数，所以只需
时，有至少个交点，
即可画出
时，函数
的图象与
的图象，如图，由图可知，
4
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,得
，即
的取值范围是
.
故选:D.
【方法点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)
分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形
结合求解．
5．B
【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高
，做辅助线，结合正三棱
台的结构特征求得
，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台
补成正三棱锥
，
与平面ABC 所成角即为
与平面ABC 所成角，
根据比例关系可得
，进而可求正三棱锥
的高，即可得结果.
【详解】解法一：分别取
的中点
，则
，
可知
，
设正三棱台
的为，
则
，解得
，
如图，分别过
作底面垂线，垂足为
，设
，
5
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则
，
，
可得
，
结合等腰梯形
可得
,
即
，解得
，
所以
与平面ABC 所成角的正切值为
；
解法二：将正三棱台
补成正三棱锥
，
则
与平面ABC 所成角即为
与平面ABC 所成角，
因为
，则
，
可知
，则
，
设正三棱锥
的高为
，则
，解得
，
6
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取底面ABC 的中心为
，则
底面ABC，且
，
所以
与平面ABC 所成角的正切值
.
故选：B.
6．D
【分析】利用棱台的体积公式求出正四棱台的高，进而得正四棱台的侧棱与底面所成角的
正切值．
【详解】设正四棱台形油槽的高为
，
依题意，得
，解得
．
设该正四棱台的侧棱与底面所成角为
，
所以
，
故选：D
7．A
【分析】如图，作
，作A 点在平面PBC 射影为O，连接OE，OF，设
，由题目条件可得
，即可得答案.
【详解】如图，作
，作A 点在平面PBC 射影为O，连接OE，OF，设
.
因
，则
.
因
平面PFOE，
平面PFOE，则
，且
为PA 与平面
7
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PBC 所成角，
又
，
，
平面AOE，
平面
AOF，
则
平面AOE，
平面AOF.
又
平面AOE，
平面AOF，则
.
又
，
，
，则
，
故
，结合
，得
.
又
，则
，故PA 与平面PBC 所成角的正弦值等于
.
故选：A
8．B
【分析】根据直四棱柱的几何关系，利用面面垂直的判定定理找出点M 在四棱柱表面上的
运动轨迹，再根据线段
的长度取到最大值时确定具体位置，根据几何法做出直线
与底面
所成的角，即可求得其正弦值.
【详解】根据几何体特征，四棱柱
是直四棱柱，
所以
平面
，
平面
，所以
，
要满足平面
平面
，作
于
，延长
交
于
，交
的延长线
于
，
作
交
于
，连接
，如下图所示；
8
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又因为
，所以
平面
，即
平面
而
平面
，所以平面
平面
，
又因为点M 在该四棱柱表面上运动，所以点M 的轨迹是线段
；
又因为底面
为直角梯形，
，
所以
，即
，得
，所以
；
又
，所以
，即
为线段
的中点，
，所以
，
易知，当线段
的长度取到最大值时，点
于点
重合，
此时，
即为直线
与底面
所成的角，
，
，
所以，线段
的长度取到最大值时，直线
与底面
所成角的正弦值是
.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用几何体特征，充分利用空间想象根据面面垂直
的判定定理找出满足题意的动点的轨迹，再根据轨迹形状确定线段最长时的具体位置，找
出线面角即可求得结果.
9．C
9
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【分析】解法一：由题意可知：
的定义域为
，分类讨论
与
的大小
关系，结合符号分析判断，即可得
，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质
分析
的符号，进而可得
的符号，即可得
，代入可得最值.
【详解】解法一：由题意可知：
的定义域为
，
令
解得
；令
解得
；
若
，当
时，可知
，
此时
，不合题意；
若
，当
时，可知
，
此时
，不合题意；
若
，当
时，可知
，此时
；
当
时，可知
，此时
；
可知若
，符合题意；
若
，当
时，可知
，
此时
，不合题意；
综上所述：
，即
，
则
，当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为
；
解法二：由题意可知：
的定义域为
，
令
解得
；令
解得
；
则当
时，
，故
，所以
；
时，
，故
，所以
；
10
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故
， 则
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为
.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：分别求
、
的根，以根和函数定义域为临界，比
较大小分类讨论，结合符号性分析判断.
10．C
【分析】方法一：利用已知条件转化利用分类讨论和基本不等式求解即可；
方法二：利用已知条件转化为二次函数求解即可.
【详解】方法一：由
，
，
消去得到
，
令
，
，
则
，即
，
，当且仅当
时，等号成立，
故
的最大值为
．
当
时，
，不成立，
当
时，
，
故
的最大值为
.
综上所述：
的最大值为
．
方法二：由
，
，
可消去得到
，
则
，令
，
11
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，
当
时，
，
故
的最大值为
．
故选：C．
11．C
【分析】令
，则
，把
看作关于
的一元二次方程的两根，结合
，
求t 的范围，再由
，应用二次函数的性质求最小值.
【详解】令
，则
，
将
看作关于
的一元二次方程的两根，
则
，故
，可得
或
，
由
，
结合二次函数性质，
在
上递减，在
上递增，
又
，
所以
的最小值为
.
故选：C
【点睛】关键点点睛：令
，将
看作关于
的一元二次方程的两根，利用
求参数范围为关键.
12．A
【分析】由已知可得出
，分析函数
的单调性，可得出
，即可得
出
，结合二次函数的基本性质可求得
的最大值.
【详解】因为函数
、
均为
上的增函数，所以，函数
为
上的增
12
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函数，
，因为
，其中
，
所以，
，故
，
当且仅当
时等号成立，故
的最大值为
.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于利用指对同构思想结合函数单调性得出
，将所求代数式转化为以为自变量的函数，将问题转化为函数的最值来处理.
13．BC
【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.
【详解】A 选项，令
，解得
，即为
零点，
令
，解得
，即为
零点，
显然
零点不同，A 选项错误；
B 选项，显然
，B 选项正确；
C 选项，根据周期公式，
的周期均为
，C 选项正确；
D 选项，根据正弦函数的性质
的对称轴满足
，
的对称轴满足
，
显然
图像的对称轴不同，D 选项错误.
故选：BC
14．AB
【分析】A.令
，利用正弦函数的性质判断；B.利用奇函数的定义判断；C.利用正弦函
数的周期性判断；D；利用正弦函数的最值判断；
13
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【详解】A.当
时，
，因为
在
单调递减，
所以
在
单调递减，故选项A 正确；
B.因为
，所以
为奇函数，
所以
的图象关于原点对称．故选项B 正确；
C. 代入周期公式得
，故选项C 错误；
D.
，
的最大值为1，故选项D 错误.
故选：AB．
15．BD
【分析】根据给定条件，利用正弦函数的图象性质，逐项分析判断作答.
【详解】对于A，当
时，
，
，
最大值为
2，A 错误；
对于B，因为
，则函数
的图象关于点
对称，B 正确；
对于C，当
时，
，函数
在
上不单调，则
在
上不单调，C 错误；
对于D，函数
的最小正周期
，D 正确.
故选：BD.
16．AB
【分析】利用给定变换求出函数
的解析式，根据
可判断A；利用整体代换的方
法，根据
的范围，求出
的范围，再利用正弦函数的图象和性质可判断B 和C；根据
14
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关于点
对称，
的图象向上平移后对称中心也向上平移一个单位，
可判断D.
【详解】将
图象上所有点的横坐标缩小到原来的
，纵坐标不变，得到
，
再把图象向右平移
个单位长度，得到
，
最后把所得图象向上平移一个单位长度，得到
.
对于A，
，故A 正确；
对于B，
在
单调递增，
当
时，
，
在
上单调递增，故B 正确；
对于C，当
时，
，
，
，故C 错误；
对于D，当
时，函数
满足
，
函数
关于点
对称，
关于点
对称，故D 错误.
故选：AB.
15
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17．ABD
【分析】A 选项，抛物线准线为
，根据圆心到准线的距离来判断；B 选项，
三
点共线时，先求出
的坐标，进而得出切线长；C 选项，根据
先算出
的坐标，然
后验证
是否成立；D 选项，根据抛物线的定义，
，于是问题转化成
的
点的存在性问题，此时考察
的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直
接设
点坐标进行求解.
【详解】A 选项，抛物线
的准线为
，
的圆心
到直线
的距离显然是，等于圆的半径，
故准线和
相切，A 选项正确；
B 选项，
三点共线时，即
，则
的纵坐标
，
由
，得到
，故
，
此时切线长
，B 选项正确；
C 选项，当
时，
，此时
，故
或
，
当
时，
，
，
，
不满足
；
当
时，
，
，
，
不满足
；
于是
不成立，C 选项错误；
D 选项，方法一：利用抛物线定义转化
根据抛物线的定义，
，这里
，
16
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于是
时
点的存在性问题转化成
时
点的存在性问题，
，
中点
，
中垂线的斜率为
，
于是
的中垂线方程为：
，与抛物线
联立可得
，
，即
的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个
点，使得
，D 选项正确.
方法二：（设点直接求解）
设
，由
可得
，又
，又
，
根据两点间的距离公式，
，整理得
，
，则关于的方程有两个解，
即存在两个这样的
点，D 选项正确.
故选：ABD
18．BCD
【分析】A 选项，联立直线与抛物线方程，根据根的判别式得到点
在
上；B 选项，
作出辅助线，结合抛物线定义得到相等关系，再由大边对大角作出判断；C 选项，证明出
以
为直径的圆与
轴相切，得到C 正确；D 选项，设出直线
方程，与抛物线方程联
立求出
点坐标，从而求出直线
方程，联立抛物线，根据根的判别式得到答案.
17
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【详解】对于A，联立直线与
的方程，消去
得
，因为与
相切，
所以
，即
，所以点
在
上，A 错误．
对于B，过点
作
垂直于
的准线，垂足为
，由抛物线定义知
，
因为
，所以
，所以在
中，
，
由大边对大角得
，B 正确．
对于C，
，由A 选项与
相切，切点为
，可得
，其中
，
则
的中点坐标为
，
且
，故半径为
，
由于半径等于以
为直径的圆的圆心横坐标，
故以
为直径的圆与
轴相切，所以与相离，C 正确；
对于D，设直线
方程为
，与
联立得
，
所以
，解得
，则
，
因为
，所以直线
方程为
，
联立直线
与曲线
的方程得
，
因为
，所以直线
与
相切，D 正确．
18
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故选：BCD．
【点睛】抛物线的相关结论，
中，过焦点
的直线与抛物线交于
两点，则以
为直径的圆与
轴相切，
以
为直径的圆与准线相切；
中，过焦点
的直线与抛物线交于
两点，则以
为直径的圆与
轴相切，
以
为直径的圆与准线相切.
19．BCD
【分析】根据点在抛物线上求出
即可判断A，联立方程消元后利用判别式判断B，根据
抛物线的性质得出线段中点到
轴的距离判断C，由直线的斜率公式及点在抛物线上化简
条件即可判断D.
【详解】对于A，因为点
在抛物线
上，
所以
，则
，抛物线方程为
，则其准线方程为
，故A 错误；
对于B，联立
，消元得
，则
，
故直线
与抛物线相切，又点
在直线上，
则过点M 与E 相切的直线方程为
，故B 正确；
对于C，由抛物线定义知
，线段
中点的横坐标
，
即线段
的中点到
轴的距离为
，
所以以
为直径的圆与y 轴相切，故C 正确；
对D，设
，则
，
即
，
所以
，即
，
19
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所以
，故D 正确.
故选：BCD
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【分析】直线的方程可设为
，与抛物线方程联立可得
，
,
,
，
从而可判断A；根据
可判断BC；设线段
的中点为
，求出点
到
准线
的距离,即可判断D.
【详解】依题意可知直线过抛物线
的焦点
,且直线的方程可设为
,
将直线方程与抛物线
方程联立可得
，
因为
，所以
，
,
所以
,
，故A 正确；
,
当
时,
有最小值4，故C 错误；
当直线的斜率为1 时，则
，故
，故B 错误；
设线段
的中点为
，则
,
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所以点
到准线
的距离为
,
所以以
为直径的圆与
的准线相切,故D 正确.
故选:AD.
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