专练17 “18~19”解答题
18.(17 分)已知集合A＝{x|x＝m＋√3n,m∈Z,n∈Z},集合B 满足B＝{x|x∈A 且1
x ∈A}.
(1)判断2＋√3,3－√3,0,7＋4√3中的哪些元素属于B;
(2)证明:若x∈B,y∈B,则xy∈B;
(3)证明:若x＝m＋√3n∈B,则m2－3n2＝1.
(1)解
1
2＋√3＝2－√3符合,
1
3−√3 ＝3＋√3
6
不符合,0 没有倒数,不符合,
1
7＋4√3＝7－4√3符合.
综上,2＋√3,7＋4√3属于B.
(2)证明 先证明若x∈A,y∈A,则xy∈A,
设x＝m＋√3n,y＝p＋√3q,
m,n,p,q 是整数,
xy＝(m＋√3n)(p＋√3q)＝mp＋3nq＋(mq＋np)√3,
由于mp＋3nq,mq＋np 都是整数,所以xy∈A,
该命题得证.
当x∈B,y∈B 时,有1
x , 1
y ∈A,
所以1
x · 1
y ＝1
xy ∈A,即证得xy∈B.
(3)证明 根据题意,1
x ＝
1
m＋√3n ＝m−√3n
m
2−3n
2
＝
m
m
2−3n
2 ＋
−n
m
2−3n
2 √3∈A,
所以
m
m
2−3n
2,
−n
m
2−3n
2都是整数,
因此(
m
m
2−3n
2)
2
－3(
−n
m
2−3n
2)
2
＝m
2−3n
2
(m
2−3n
2)
2 ＝
1
m
2−3n
2是整数,
所以m2－3n2＝±1,
假设m2－3n2＝－1,m2＋1＝3n2,
则m2＋1 应为3 的倍数,
设t 为整数,若m＝3t,m2＋1＝9t2＋1,不是3 的倍数,
若m＝3t＋1,m2＋1＝9t2＋6t＋2＝3(3t2＋2t)＋2,不是3 的倍数,
若m＝3t＋2,m2＋1＝9t2＋12t＋5＝3(3t2＋4t)＋5,不是3 的倍数,
因此m2－3n2≠－1,即证得m2－3n2＝1.
19.(17 分)如图,椭圆Γ1: x
2
m ＋y
2
n ＝1(m>n>0),Γ2: x
2
n ＋y
2
m ＝1,已知Γ1右顶点为H(2,0),且它们的交点
分别为P1(1,1),P(－1,1),P3(－1,－1),P4(1,－1).
(1)求Γ1与Γ2的标准方程;
(2)过点P1作直线MN,交Γ1于点M,交Γ2于点N,设直线P3M 的斜率为k1,直线P3N 的斜率为k2,求
k2
k1;(上述各点均不重合)
(3)点Q1是Γ1上的动点,直线Q1P1交Γ2于点Q2,直线Q2P2交Γ1于点Q3,直线Q3P3交Γ2于点Q4,直线
Q4P4与直线Q1P1交于点N,求点G 坐标,使直线NG 与直线NH 的斜率之积为定值.(上述各点均不重
合)
解 (1)由题意得m＝4,又因为P1(1,1)在Γ1上,代入Γ1得1
4 ＋1
n＝1,所以n＝4
3 ,
则Γ1:
x
2
4 ＋y
2
4
3
＝1,Γ2:
x
2
4
3
＋y
2
4 ＝1.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),
则k P1 M·k P3 M ＝( y1−1)( y1＋1)
( x1−1)( x1＋1) ＝y1
2−1
x1
2−1 ,
又因为
x1
2
4 ＋y1
2
4
3
＝1,
所以y1
2＝4
3(1−x1
2
4 )＝4−x1
2
3
,
则k P1 M·k P3 M ＝
4−x1
2
3
−1
x1
2−1
＝－1
3,
同理可得k P1 N·k P3 N＝－3,所以
k2
k1＝9.
(3)设直线Q1Q2,Q2Q3,Q3Q4,Q4N 分别为l1,l2,l3,l4,其斜率依次为k1,k2,k3,k4,
设直线l1:y－1＝k1(x－1),联立3 x
2
4 ＋y
2
4 ＝1,得(k1
2＋3)x2＋2k1(1－k1)x＋k1
2－2k1－3＝0,
即有xQ2·xP1＝k1
2−2k1−3
k1
2＋3
,
所以xQ2＝k1
2−2k1−3
k1
2＋3
,
代入直线方程得yQ2＝−k1
2−6k1＋3
k1
2＋3
,
则k2＝
yQ2−1
xQ2＋1 ＝−2k1
2−6k1
2k1
2−2k1
＝－
k1＋3
k1−1 ,
设f(x)＝－x＋3
x−1 ,
则经过P1,P2的两直线l1,l2之间斜率满足关系k2＝f(k1),
将直线l2,l3绕原点顺时针旋转π
2 后也会经过P1,P2,
所以两者斜率满足－1
k3＝f(−1
k2),
所以k3＝－
1
f(−1
k2)
＝−1−k2
−1＋3k2
＝
−1
k1＋2,
同理将直线l3,l4绕原点顺时针旋转π 后也会经过P1,P2,
所以两直线斜率满足k4＝f(k3),
k4＝－
k3＋3
k3−1 ＝－(
−1
k1＋2)＋3
(
−1
k1＋2)−1
＝3k1＋5
k1＋3 ,
设N(x,y),则有y −1
x−1＝k1, y ＋1
x−1 ＝k4,
代入上式得y ＋1
x−1 ＝
3· y −1
x−1 ＋5
y −1
x−1 ＋3
,
得y2＝5x2－16x＋12＝(5x－6)(x－2),
因此存在定点G(
6
5 ,0),
使直线GN 和直线HN 的斜率之积为定值5
