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2018 年山东省德州市宁津县中考数学一模试卷
一．选择题：本大题共12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请选出正确
选项，每小题选对得4 分，选错、不选或多选均记零分．
1．（4 分）﹣
的相反数是（ ）
A．
B．﹣
C．2018
D．﹣2018
2．
（4 分）将数字“6”旋转180°，得到数字“9”；将数字“9”旋转180°，得到数字“6”．现
将数字“69”旋转180°，得到的数字是（ ）
A．96
B．69
C．66
D．99
3．（4 分）在下列时间段内时钟的时针和分针会出现重合的是（ ）
A．5：20﹣5：26
B．5：26﹣5：27
C．5：27﹣5：28
D．5：28﹣5：29
4．（4 分）如图所示的几何体是由五个小正方体组成的，它的左视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（4 分）分式方程
﹣1＝
的解为（ ）
A．x＝1
B．x＝﹣1
C．无解
D．x＝﹣2
6．（4 分）某公司有15 名员工，他们所在部门及相应每人所创年利润如下表所示：
部门
人数
每人所创年利润（单位：
万元）
A
1
10
B
3
8
C
7
5
D
4
3
这15 名员工每人所创年利润的众数、中位数分别是（ ）
A．10，5
B．7，8
C．5，6.5
D．5，5
7．（4 分）若点M（﹣7，m）、N（﹣8，n）都在函数y＝﹣（k2+2k+4）x+1（k 为常数）的图象上，则
m 和n 的大小关系是（ ）
A．m＞n
B．m＜n
C．m＝n
D．不能确定
8．（4 分）如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A′处，
折痕为CD，则∠A′DB＝（ ）
A．40°
B．30°
C．20°
D．10°
9．（4 分）某车间有27 名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母
16 个或螺栓22 个，若分配x 名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓
和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（ ）
A．22x＝16（27﹣x）
B．16x＝22（27﹣x）
C．2×16x＝22（27﹣x）
D．2×22x＝16（27﹣x）
10．（4 分）已知函数y＝ax2﹣2ax﹣1（a 是常数，a≠0），下列结论正确的是（ ）
A．当a＝1 时，函数图象经过点（﹣1，1）
B．当a＝﹣2 时，函数图象与x 轴没有交点
C．若a＜0，函数图象的顶点始终在x 轴的下方
D．若a＞0，则当x≥1 时，y 随x 的增大而增大
11．
（4 分）将一些相同的“○”按如图所示摆放，观察每个图形中的“○”的个数，若第n 个
图形中“○”的个数是78，则n 的值是（ ）
A．11
B．12
C．13
D．14
12．（4 分）在平面直角坐标系内，直线AB 垂直于x 轴于点C（点C 在原点的右侧），并分别与
直线y＝x 和双曲线y＝
相交于点A、B，且AC+BC＝4，则△OAB 的面积为（ ）
A．2
+3 或2
﹣3 B．
+1 或
﹣1
C．2
﹣3
D．
﹣1
二、填空题：本大题共6 小题，共24 分，只要求填写最后结果，每小题填对得4 分．
13．（4 分）不等式组
的解集为 ．
14．（4 分）已知关于x 的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0 有两个不相等的实数根，则a 的取值范
围是 ．
15．（4 分）小明和小华玩“石头、剪子、布”的游戏，若随机出手一次，则小华获胜的概率是
16．（4 分）如图，在⊙O 中，圆心角∠AOB＝120°，弦AB＝2
cm，则⊙O 的半径是 ．
17．（4 分）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，两个三角板的一直
角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点
在纸条的另一边上，则∠1 的度数是 ．
18．（4 分）在平面直角坐标系中，如果点P 坐标为（m，n），向量
可以用点P 的坐标表示为
＝（m，n）．
已知：
＝（x1，y1），
＝（x2，y2），如果x1•x2+y1•y2＝0，那么
与
互相垂直，下列四组
向量：
①
＝（2，1），
＝（﹣1，2）；
②
＝（cos30°，tan45°），
＝（1，sin60°）；
③
＝（
﹣
，﹣2），
＝（
+
，
）；
④
＝（π0，2），
＝（2，﹣1）．
其中互相垂直的是 （填上所有正确答案的符号）．
三、解答题：本大题共7 小题，共78 分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（8 分）先化简，再求值：
﹣
÷
，其中x＝
﹣1
20．（10 分）为发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某学校计划开设四门选修课：乐
器、舞蹈、绘画、书法．学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选
择而且只能选择其中一门）．对调查结果进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，请
结合图中所给信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 人，在扇形统计图中，m 的值是 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在被调查的学生中，选修书法的有2 名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取2 名
同学代表学校参加某社区组织的书法活动，请写出所抽取的2 名同学恰好是1 名男同学
和1 名女同学的概率．
21．（10 分）如图，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线交BC 于点F，交△ABC 的外接圆⊙O
于点D，连接BD，过点D 作直线DM，使∠BDM＝∠DAC．
（1）求证：直线DM 是⊙O 的切线；
（2）求证：DE2＝DF•DA．
22．（12 分）某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准，按照新标准，用户每月缴纳
的水费y（元）与每月用水量x（m3）之间的关系如图所示．
（1）求y 关于x 的函数解析式；
（2）若某用户二、三月份共用水40m3（二月份用水量不超过25m3），缴纳水费79.8 元，则该
用户二、三月份的用水量各是多少m3？
23．
（12 分）如图，两座建筑物的水平距离BC＝30m，从A 点测得D 点的俯角α 为30°，测得C
点的俯角β 为60°，求这两座建筑物的高度．
24．（12 分）探究题
㈠小明在玩积木游戏时，把三个正方形积木摆成一定的形状，正视图如图①，
问题（1）：若此中的三角形△DEF 为直角三角形，P 的面积为9，Q 的面积为15，则M 的面
积为 ．
问题（2）：若P 的面积为36cm2，Q 的面积为64cm2，同时M 的面积为100cm2，则△DEF 为
三角形．
㈡图形变化：如图②，分别以直角△ABC 的三边为直径向三角形外作三个半圆，你能找出
这三个半圆的面积之间有什么关系吗？请说明理由．
25．（14 分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x 轴交于A、B 两点，
与y 轴交于点C，且BO＝OC＝3AO，直线y＝﹣
x+1 与y 轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）证明：△DBO∽△EBC；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC 是等腰三角形？若存在，请直接写出符
合条件的P 点坐标，若不存在，请说明理由．
2018 年山东省德州市宁津县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题：本大题共12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请选出正确
选项，每小题选对得4 分，选错、不选或多选均记零分．
1．（4 分）﹣
的相反数是（ ）
A．
B．﹣
C．2018
D．﹣2018
【分析】根据相反数的定义，即可解答．
【解答】解：﹣
的相反数是
，
故选：A．
【点评】本题考查了相反数，解决本题的关键是熟记相反数的定义．
2．
（4 分）将数字“6”旋转180°，得到数字“9”；将数字“9”旋转180°，得到数字“6”．现
将数字“69”旋转180°，得到的数字是（ ）
A．96
B．69
C．66
D．99
【分析】直接利用中心对称图形的性质结合69 的特点得出答案．
【解答】解：现将数字“69”旋转180°，得到的数字是：69．
故选：B．
【点评】此题主要考查了生活中的旋转现象，正确想象出旋转后图形是解题关键．
3．（4 分）在下列时间段内时钟的时针和分针会出现重合的是（ ）
A．5：20﹣5：26
B．5：26﹣5：27
C．5：27﹣5：28
D．5：28﹣5：29
【分析】解这个问题的难处在于时针转过多大的角度，这就要弄清楚时针与分针转动速度
的关系．每一小时，分针转动360°，而时针转动30°，即分针每转动1°时针转动（
）°，依
据这一关系列出方程，可以求出．
【解答】解：设：从5：20 开始，经过x 分钟，时针和分针会出现重合．
此时分针指向4，时针与分针之间的夹角是30+20×0.5＝40°．
则：6x﹣0.5x＝40
x≈7.27，
即从5：20 开始，经过大约7.27 分钟，时针和分针会出现重合，在5：27﹣5：28 时间段内重
合．
故选：C．
【点评】本题考查钟表分针所转过的角度计算．说明钟表里的分钟与时针的转动问题本质
上与行程问题中的两人追及问题非常相似．行程问题中的距离相当于这里的角度；行程问
题中的速度相当于这里时（分）针的转动速度．
4．（4 分）如图所示的几何体是由五个小正方体组成的，它的左视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据三视图定义分别作出三视图即可判断．
【解答】解：该几何体的三视图如下：
主视图：
；俯视图：
；左视图：
，
故选：D．
【点评】本题主要考查三视图，掌握三视图的定义和作法是解题的关键．
5．（4 分）分式方程
﹣1＝
的解为（ ）
A．x＝1
B．x＝﹣1
C．无解
D．x＝﹣2
【分析】分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验
即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝3，
整理得：2x﹣x+2＝3
解得：x＝1，
检验：把x＝1 代入（x﹣1）（x+2）＝0，
所以分式方程的无解．
故选：C．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转
化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
6．（4 分）某公司有15 名员工，他们所在部门及相应每人所创年利润如下表所示：
部门
人数
每人所创年利润（单位：万元）
A
1
10
B
3
8
C
7
5
D
4
3
这15 名员工每人所创年利润的众数、中位数分别是（ ）
A．10，5
B．7，8
C．5，6.5
D．5，5
【分析】根据表格中的数据可以将这组数据按照从小到大的顺序排列起来，从而可以找到
这组数据的中位数和众数．
【解答】解：由题意可得，
这15 名员工的每人创年利润为：10、8、8、8、5、5、5、5、5、5、5、3、3、3、3，
∴这组数据的众数是5，中位数是5，
故选：D．
【点评】本题考查众数和中位数，解答本题的关键是明确众数和中位数的定义，会找一组
数据的众数和中位数．
7．（4 分）若点M（﹣7，m）、N（﹣8，n）都在函数y＝﹣（k2+2k+4）x+1（k 为常数）的图象上，则
m 和n 的大小关系是（ ）
A．m＞n
B．m＜n
C．m＝n
D．不能确定
【分析】根据一次函数的变化趋势即可判断m 与n 的大小．
【解答】解：由于k2+2k+4＝（k+1）2+3，
∵（k+1）2≥0，
∴k2+2k+4＝（k+1）2+3＞0，
∴﹣（k2+2k+4）＜0，
∴该函数是y 随着x 的增大而减少，
∵﹣7＞﹣8，
∴m＜n，
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的性质，解题的关键是判断k2+2k+4 与0 的大小关系，本题属于
中等题型．
8．（4 分）如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A′处，
折痕为CD，则∠A′DB＝（ ）
A．40°
B．30°
C．20°
D．10°
【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠A′DB＝∠CA'D﹣
∠B，又折叠前后图形的形状和大小不变，∠CA'D＝∠A＝50°，易求∠B＝90°﹣∠A＝40°，
从而求出∠A′DB 的度数．
【解答】解：∵Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，
∴∠B＝90°﹣50°＝40°，
∵将其折叠，使点A 落在边CB 上A′处，折痕为CD，则∠CA'D＝∠A，
∵∠CA'D 是△A'BD 的外角，
∴∠A′DB＝∠CA'D﹣∠B＝50°﹣40°＝10°．
故选：D．
【点评】本题考查图形的折叠变化及三角形的外角性质．关键是要理解折叠是一种对称变
换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．
解答此题的关键是要明白图形折叠后与折叠前所对应的角相等．
9．（4 分）某车间有27 名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母
16 个或螺栓22 个，若分配x 名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓
和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（ ）
A．22x＝16（27﹣x）
B．16x＝22（27﹣x）
C．2×16x＝22（27﹣x）
D．2×22x＝16（27﹣x）
【分析】设分配x 名工人生产螺栓，则（27﹣x）名生产螺母，根据每天生产的螺栓和螺母按
1：2 配套，可得出方程．
【解答】解：设分配x 名工人生产螺栓，则（27﹣x）名生产螺母，
∵一个螺栓套两个螺母，每人每天生产螺母16 个或螺栓22 个，
∴可得2×22x＝16（27﹣x）．
故选：D．
【点评】本题考查了根据实际问题抽象一元一次方程，要保证配套，则生产的螺母的数量
是生产的螺栓数量的2 倍，所以列方程的时候，应是螺栓数量的2 倍＝螺母数量．
10．（4 分）已知函数y＝ax2﹣2ax﹣1（a 是常数，a≠0），下列结论正确的是（ ）
A．当a＝1 时，函数图象经过点（﹣1，1）
B．当a＝﹣2 时，函数图象与x 轴没有交点
C．若a＜0，函数图象的顶点始终在x 轴的下方
D．若a＞0，则当x≥1 时，y 随x 的增大而增大
【分析】A、将a＝1 代入原函数解析式，令x＝﹣1 求出y 值，由此得出A 选项不符合题意；
B、将a＝2 代入原函数解析式，令y＝0，根据根的判别式△＝8＞0，可得出当a＝﹣2 时，
函数图象与x 轴有两个不同的交点，即B 选项不符合题意；C、利用配方法找出二次函数
图象的顶点坐标，令其纵坐标小于零，可得出a 的取值范围，由此可得出C 选项不符合题
意；D、利用配方法找出二次函数图象的对称轴，结合二次函数的性质，即可得出D 选项符
合题意．此题得解．
【解答】解：A、当a＝1 时，函数解析式为y＝x2﹣2x﹣1，
当x＝﹣1 时，y＝1+2﹣1＝2，
∴当a＝1 时，函数图象经过点（﹣1，2），
∴A 选项不符合题意；
B、当a＝﹣2 时，函数解析式为y＝﹣2x2+4x﹣1，
令y＝﹣2x2+4x﹣1＝0，则△＝42﹣4×（﹣2）×（﹣1）＝8＞0，
∴当a＝﹣2 时，函数图象与x 轴有两个不同的交点，
∴B 选项不符合题意；
C、∵y＝ax2﹣2ax﹣1＝a（x﹣1）2﹣1﹣a，
∴二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣1﹣a），
当﹣1﹣a＜0 时，有a＞﹣1，
∴C 选项不符合题意；
D、∵y＝ax2﹣2ax﹣1＝a（x﹣1）2﹣1﹣a，
∴二次函数图象的对称轴为x＝1．
若a＞0，则当x≥1 时，y 随x 的增大而增大，
∴D 选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点
的坐标特征以及二次函数的性质，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
11．
（4 分）将一些相同的“○”按如图所示摆放，观察每个图形中的“○”的个数，若第n 个
图形中“○”的个数是78，则n 的值是（ ）
A．11
B．12
C．13
D．14
【分析】根据小圆个数变化规律进而表示出第n 个图形中小圆的个数，进而得出答案．
【解答】解：第1 个图形有1 个小圆；
第2 个图形有1+2＝3 个小圆；
第3 个图形有1+2+3＝6 个小圆；
第4 个图形有1+2+3+4＝10 个小圆；
第n 个图形有1+2+3+…+n＝
个小圆；
∵第n 个图形中“○”的个数是78，
∴78＝
，
解得：n1＝12，n2＝﹣13（不合题意舍去），
故选：B．
【点评】此题主要考查了图形变化类，正确得出小圆个数变化规律是解题关键．
12．（4 分）在平面直角坐标系内，直线AB 垂直于x 轴于点C（点C 在原点的右侧），并分别与
直线y＝x 和双曲线y＝
相交于点A、B，且AC+BC＝4，则△OAB 的面积为（ ）
A．2
+3 或2
﹣3 B．
+1 或
﹣1
C．2
﹣3
D．
﹣1
【分析】根据题意表示出AC，BC 的长，进而得出等式求出m 的值，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：设点C 的坐标为（m，0），则A（m，m），B（m，
），
所以AC＝m，BC＝
．
∵AC+BC＝4，
∴可列方程m+
＝4，
解得：m＝2±
．
故
＝2±
，
所以A（2+
，2+
），B（2+
，2﹣
）或A（2﹣
，2﹣
），B（2﹣
，2+
），
∴AB＝2
．
∴△OAB 的面积＝
×2
×（2±
）＝2
±3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，正确表示出各线段长是解题关键．
二、填空题：本大题共6 小题，共24 分，只要求填写最后结果，每小题填对得4 分．
13．（4 分）不等式组
的解集为 ﹣
7 ≤
x ＜
1
．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、
大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣3（x﹣2）＞4，得：x＜1，
解不等式
≤
，得：x≥﹣7，
则不等式组的解集为﹣7≤x＜1，
故答案为：﹣7≤x＜1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
14．（4 分）已知关于x 的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0 有两个不相等的实数根，则a 的取值范
围是
a ＞﹣
1 且
a ≠
0
．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠0 且△＝（﹣2）2﹣4a（﹣1）＞
0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得a≠0 且△＝（﹣2）2﹣4a（﹣1）＞0，
解得a＞﹣1 且a≠0．
故答案为a＞﹣1 且a≠0．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac 有
如下关系：当△＞0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0 时，方程有两个相等的
两个实数根；当△＜0 时，方程无实数根．
15．（4 分）小明和小华玩“石头、剪子、布”的游戏，若随机出手一次，则小华获胜的概率是
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小华获胜的情
况数，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有9 种等可能的结果，小华获胜的情况数是3 种，
∴小华获胜的概率是：
＝
，
故答案为：
．
【点评】此题主要考查了列表法和树状图法求概率知识，用到的知识点为：概率＝所求情
况数与总情况数之比．
16．（4 分）如图，在⊙O 中，圆心角∠AOB＝120°，弦AB＝2
cm，则⊙O 的半径是
2 cm
．
【分析】作OC⊥AB 于C，利用垂径定理得到直角三角形，解此直角三角形求得圆的半径即
可．
【解答】解：作OC⊥AB 于C，则AC＝
AB＝
cm．
∵∠AOB＝120°，OA＝OB，
∴∠A＝30°．
∴在Rt△AOC 中，r＝OA＝
＝2cm．
故答案为：2cm．
【点评】本题考查的是垂径定理及解直角三角形的知识，解题的关键是利用垂径定理构造
直角三角形．
17．（4 分）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，两个三角板的一直
角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点
在纸条的另一边上，则∠1 的度数是
15°
．
【分析】过A 点作AB∥a，利用平行线的性质得AB∥b，所以∠1＝∠2，∠3＝∠4＝30°，加
上∠2+∠3＝45°，易得∠1＝15°．
【解答】解：如图，过A 点作AB∥a，
∴∠1＝∠2，
∵a∥b，
∴AB∥b，
∴∠3＝∠4＝30°，
而∠2+∠3＝45°，
∴∠2＝15°，
∴∠1＝15°．
故答案为15°．
【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
18．（4 分）在平面直角坐标系中，如果点P 坐标为（m，n），向量
可以用点P 的坐标表示为
＝（m，n）．
已知：
＝（x1，y1），
＝（x2，y2），如果x1•x2+y1•y2＝0，那么
与
互相垂直，下列四组
向量：
①
＝（2，1），
＝（﹣1，2）；
②
＝（cos30°，tan45°），
＝（1，sin60°）；
③
＝（
﹣
，﹣2），
＝（
+
，
）；
④
＝（π0，2），
＝（2，﹣1）．
其中互相垂直的是
①③④
（填上所有正确答案的符号）．
【分析】根据向量垂直的定义进行解答．
【解答】解：①因为2×（﹣1）+1×2＝0，所以
与
互相垂直；
②因为cos30°×1+tan45°•sin60°＝
×1+1×
＝
≠0，所以
与
不互相垂直；
③因为（
﹣
）（
+
）+（﹣2）×
＝3﹣2﹣1＝0，所以
与
互相垂直；
④因为π0×2+2×（﹣1）＝2﹣2＝0，所以
与
互相垂直．
综上所述，①③④互相垂直．
故答案是：①③④．
【点评】本题考查了平面向量，零指数幂以及解直角三角形．解题的关键是掌握向量垂直
的定义．
三、解答题：本大题共7 小题，共78 分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（8 分）先化简，再求值：
﹣
÷
，其中x＝
﹣1
【分析】原式第二项利用除法法则变形，约分后利用同分母分式的减法法则计算得到最简
结果，把x 的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝
﹣
•
＝
﹣
＝
，
当x＝
﹣1 时，原式＝
．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（10 分）为发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某学校计划开设四门选修课：乐
器、舞蹈、绘画、书法．学校采取随机抽样的方法进行问卷调查（每个被调查的学生必须选
择而且只能选择其中一门）．对调查结果进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图，请
结合图中所给信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有
50
人，在扇形统计图中，m 的值是
30%
；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在被调查的学生中，选修书法的有2 名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取2 名
同学代表学校参加某社区组织的书法活动，请写出所抽取的2 名同学恰好是1 名男同学
和1 名女同学的概率．
【分析】（1）由舞蹈的人数除以占的百分比求出调查学生总数，确定出扇形统计图中m 的
值；
（2）求出绘画与书法的学生数，补全条形统计图即可；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出恰好为一男一女的情况数，即可求出所求概率．
【解答】解：（1）20÷40%＝50（人），15÷50＝30%；
故答案为：50；30%；
（2）50×20%＝10（人），50×10%＝5（人），如图所示：
（3）∵5﹣2＝3（名），
∴选修书法的5 名同学中，有3 名男同学，2 名女同学，
男1
男2
男3
女1
女2
男1
﹣﹣﹣
男2 男1
男3 男1
女1 男1
女2 男1
男2
（男1 男2）
﹣﹣﹣
男3 男2
女1 男2
女2 男2
男3
（男1 男3）
男2 男3
﹣﹣﹣
女1 男3
女2 男3
女1
（男1，女1）
男2 女1
男3 女1
﹣﹣﹣
女2 女1
女2
（男1 女2）
男2 女2
男3 女2
女1 女2
﹣﹣﹣
所有等可能的情况有20 种，其中抽取的2 名同学恰好是1 名男同学和1 名女同学的情况
有12 种，
则P（一男一女）＝
＝
．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，条形统计图，扇形统计图，弄清题中的数据是解本
题的关键．
21．（10 分）如图，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线交BC 于点F，交△ABC 的外接圆⊙O
于点D，连接BD，过点D 作直线DM，使∠BDM＝∠DAC．
（1）求证：直线DM 是⊙O 的切线；
（2）求证：DE2＝DF•DA．
【分析】（1）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC，再根据∠BDM＝∠DBC，即可判定
BC∥DM，进而得到OD⊥DM，据此可得直线DM 是⊙O 的切线；
（2）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED＝∠EBD，即可得出DB＝DE，再
判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2＝DF•DA，据此可得DE2＝DF•DA．
【解答】解：（1）如图所示，连接OD，
∵点E 是△ABC 的内心，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴
＝
，
∴OD⊥BC，
又∵∠BDM＝∠DAC，∠DAC＝∠DBC，
∴∠BDM＝∠DBC，
∴BC∥DM，
∴OD⊥DM，
∴直线DM 是⊙O 的切线；
（2）如图所示，连接BE，
∵点E 是△ABC 的内心，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠CBD，∠ABE＝∠CBE，
∴∠BAE+∠ABE＝∠CBD+∠CBE，
即∠BED＝∠EBD，
∴DB＝DE，
∵∠DBF＝∠DAB，∠BDF＝∠ADB，
∴△DBF∽△DAB，
∴
＝
，即DB2＝DF•DA，
∴DE2＝DF•DA．
【点评】本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解
题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形
的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
22．（12 分）某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准，按照新标准，用户每月缴纳
的水费y（元）与每月用水量x（m3）之间的关系如图所示．
（1）求y 关于x 的函数解析式；
（2）若某用户二、三月份共用水40m3（二月份用水量不超过25m3），缴纳水费79.8 元，则该
用户二、三月份的用水量各是多少m3？
【分析】（1）根据函数图象可以分别设出各段的函数解析式，然后根据函数图象中的数据
求出相应的函数解析式；
（2）根据题意对x 进行取值进行讨论，从而可以求得该用户二、三月份的用水量各是多少
m3．
【解答】解：（1）当0≤x≤15 时，设y 与x 的函数关系式为y＝kx，
15k＝27，得k＝1.8，
即当0≤x≤15 时，y 与x 的函数关系式为y＝1.8x，
当x＞15 时，设y 与x 的函数关系式为y＝ax+b，
，得
，
即当x＞15 时，y 与x 的函数关系式为y＝2.4x﹣9，
由上可得，y 与x 的函数关系式为y＝
；
（2）设二月份的用水量是xm3，
当15＜x≤25 时，2.4x﹣9+2.4（40﹣x）﹣9＝78≠79.8，
故此种情况不符合题意，
当0＜x≤15 时，令1.8x+2.4（40﹣x）﹣9＝79.8，
解得，x＝12，
∴40﹣x＝28，
答：该用户二、三月份的用水量各是12m3、28m3．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，求出相应的函数解
析式，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答．
23．
（12 分）如图，两座建筑物的水平距离BC＝30m，从A 点测得D 点的俯角α 为30°，测得C
点的俯角β 为60°，求这两座建筑物的高度．
【分析】延长CD，交AE 于点E，可得DE⊥AE，在直角三角形ABC 中，由题意确定出AB 的
长，进而确定出EC 的长，在直角三角形AED 中，由题意求出ED 的长，由EC﹣ED 求出
DC 的长即可．
【解答】解：延长CD，交AE 于点E，可得DE⊥AE，
在Rt△AED 中，AE＝BC＝30m，∠EAD＝30°，
∴ED＝AEtan30°＝10
m，
在Rt△ABC 中，∠BAC＝30°，BC＝30m，
∴AB＝30
m，
则CD＝EC﹣ED＝AB﹣ED＝30
﹣10
＝20
m．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是
解本题的关键．
24．（12 分）探究题
㈠小明在玩积木游戏时，把三个正方形积木摆成一定的形状，正视图如图①，
问题（1）：若此中的三角形△DEF 为直角三角形，P 的面积为9，Q 的面积为15，则M 的面
积为
24
．
问题（2）：若P 的面积为36cm2，Q 的面积为64cm2，同时M 的面积为100cm2，则△DEF 为
直角 三角形．
㈡图形变化：如图②，分别以直角△ABC 的三边为直径向三角形外作三个半圆，你能找出
这三个半圆的面积之间有什么关系吗？请说明理由．
【分析】（一）直接根据勾股定理及正方形的性质进行解答；
（二）根据勾股定理得出AB2＝AC2+BC2，再根据圆的面积公式得出S1、S2、S3．的表达式，
找出其中的关系即可．
【解答】解：（一）
（1）M 的面积为：24．（1 分）
（2）△DEF 为直角三角形．（1 分）
（二）∵△ABC 是直角三角形，
∴AB2＝AC2+BC2，
∵S1＝
π•（
AC）2＝
πAC2，
S2＝
π•（
BC）2＝
πBC2，
S3＝
π•（
AB）2＝
πAB2，
∴S1+S2＝
πAC2+
πBC2
＝
π（AC2+BC2）
＝
πAB2．
∴S1+S2＝S3．
【点评】本题考查的是勾股定理及正方形的性质、圆的面积公式，熟知勾股定理是解答此
题的关键．
25．（14 分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x 轴交于A、B 两点，
与y 轴交于点C，且BO＝OC＝3AO，直线y＝﹣
x+1 与y 轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）证明：△DBO∽△EBC；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC 是等腰三角形？若存在，请直接写出符
合条件的P 点坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求出点C 的坐标，在由BO＝OC＝3AO，确定出点B，A 的坐标，最后用待定
系数法求出抛物线解析式；
（2）先求出点A，B，C，D，E 的坐标，从而求出BC＝3
，BE＝2
，CE＝
，OD＝1，OB
＝3，BD＝
，求出比值，得到
得出结论；
（3）设出点P 的坐标，表示出PB，PC，求出BC，分三种情况计算即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3，
∴c＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴OC＝3，
∵BO＝OC＝3AO，
∴BO＝3，AO＝1，
∴B（3，0），A（﹣1，0），
∵该抛物线与x 轴交于A、B 两点，
∴
，
∴
，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
（2）由（1）知，抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴E（1，﹣4），
∵B（3，0），A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴BC＝3
，BE＝2
，CE＝
，
∵直线y＝﹣
x+1 与y 轴交于点D，
∴D（0，1），
∵B（3，0），
∴OD＝1，OB＝3，BD＝
，
∴
，
，
，
∴
，
∴△BCE∽△BDO，
（3）存在，
理由：设P（1，m），
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴BC＝3
，PB＝
，PC＝
，
∵△PBC 是等腰三角形，
①当PB＝PC 时，
∴
＝
，
∴m＝﹣1，
∴P（1，﹣1），
②当PB＝BC 时，
∴3
＝
，
∴m＝±
，
∴P（1，
）或P（1，﹣
），
③当PC＝BC 时，
∴3
＝
，
∴m＝﹣3±
，
∴P（1，﹣3+
）或P（1，﹣3﹣
），
∴符合条件的P 点坐标为P（1，﹣1）或P（1，
）或P（1，﹣
）或P（1，﹣3+
）或
P（1，﹣3﹣
）
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了点的坐标的确定方法，两点间的距离公式，待定
系数法，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，解本题的关键是判断△BCE∽△BDO．难点
是分类．
