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2021 年山东省烟台市中考数学试卷
一、选择题（本题共12 个小题，每小题3 分，满分36 分）每小题都给出标号为A,B,C,D
四个备选答案，其中有且只有一个是正确的
1．若x 的相反数是3，则x 的值是（ ）
A．﹣3
B．﹣
C．3
D．±3
2．下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6
B．a2+a3＝a5
C．（a2）3＝a6
D．a2÷a3＝a
4．一个正方体沿四条棱的中点切割掉一部分后，如图所示，则该几何体的左视图是
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．2021 年5 月15 日，天问一号探测器成功着陆火星，迈出了我国星际探测征程的重要一
步．已知火星与地球的近距离约为5500 万公里，5500 万用科学记数法表示为（ ）
A．0.55×108
B．5.5×107
C．55×106
D．5.5×103
6．一副三角板如图放置，两三角板的斜边互相平行，每个三角板的直角顶点都在另一个三
角板的斜边上，图中∠α 的度数为（ ）
A．45°
B．60°
C．75°
D．85°
7．如图，在直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A，B，C 在坐标轴上，若点B 的坐标为
（﹣1，0），∠BCD＝120°，则点D 的坐标为（ ）
A．（2，2）
B．（
，2）
C．（3，
）
D．（2，
）
8．如图所示，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：
按键的结果为m；
按键的结果为n；
按键的结果为k．
下列判断正确的是（ ）
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2
A．m＝n
B．n＝k
C．m＝k
D．m＝n＝k
9．已知关于x 的一元二次方程x2﹣mnx+m+n＝0，其中m，n 在数轴上的对应点如图所示，
则这个方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
10．连接正六边形不相邻的两个顶点，并将中间的六边形涂成黑色，制成如图所示的镖盘
将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在黑色区域的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．如图，二次函数y＝ax2+bx+c 的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y 轴交于点
C．下列结论：
①ac＞0；
②当x＞0 时，y 随x 的增大而增大；
③3a+c＝0；
④a+b≥am2+bm．
其中正确的个数有（ ）
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3
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
12．由12 个有公共顶点O 的直角三角形拼成的图形如图所示，∠AOB＝∠BOC＝…＝
∠LOM＝30°．若OA＝16，则OG 的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共6 个小题，每小题3 分，满分18 分）
13．若代数式
在实数范围内有意义，则x 的取值范围为 ．
14．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A
处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B 观察井水水岸D，视线BD 与井口的直
径AC 交于点E，如果测得AB＝1 米，AC＝1.6 米，AE＝0.4 米，那么CD 为 米．
15．幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译
出来，就是一个三阶幻方．将数字1～9 分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行，
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4
每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15，则a 的值为 ．
16．数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40 米，当无人
机与旗杆的水平距离是45 米时，观测旗杆顶部的俯角为30°，则旗杆的高度约为
米．
（结果精确到1 米，参考数据：
≈1.41，
≈1.73）
17．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，⊙O 是△ABC 的外接圆，点A，
B，O 在网格线的交点上，则sin∠ACB 的值是 ．
18．综合实践活动课上，小亮将一张面积为24cm2，其中一边BC 为8cm 的锐角三角形纸片
（如图1），经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形BCDE（如图2），则矩
形的周长为 cm．
三、解答题（本大题共7 个小题，满分66 分
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19．（6 分）先化简，再求值：
，从﹣2＜x≤2 中选出合适的
x 的整数值代入求值．
20．（8 分）2021 年是中国共产党成立100 周年．为普及党史知识，培养爱国主义精神，
今年五月份，某市党校举行党史知识竞赛，每个班级各选派15 名学员参加了网上测试，
现对甲、乙两班学员的分数进行整理分析如下：
甲班15 名学员测试成绩（满分100 分）统计如下：
87，84，88，76，93，87，73，98，86，87，79，85，84，85，98．
乙班15 名学员测试成绩（满分100 分）统计如下：
77，88，92，85，76，90，76，91，88，81，85，88，98，86，89
（1）按如表分数段整理两班测试成绩
班级
70.5～
75.5
75.5～
80.5
80.5～
85.5
85.5～
90.5
90.5～
95.5
95.5～
100.5
甲
1
2
a
5
1
2
乙
0
3
3
6
2
1
表中a＝ ；
（2）补全甲班15 名学员测试成绩的频数分布直方图；
（3）两班测试成绩的平均数、众数、中位数、方差如表所示：
班级
平均数
众数
中位数
方差
甲
86
x
86
44.8
乙
86
88
y
36.7
表中x＝ ，y＝ ．
（4）以上两个班级学员掌握党史相关知识的整体水平较好的是 班；
（5）本次测试两班的最高分都是98 分，其中甲班2 人，乙班1 人．现从以上三人中随
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机抽取两人代表党校参加全市党史知识竞赛，利用树状图或表格求出恰好抽取甲、乙两
班各一人参加全市党史知识竞赛的概率．
21．（8 分）如图，正比例函数y＝
x 与反比例函数y＝
（x＞0）的图象交于点A，过点
A 作AB⊥y 轴于点B，OB＝4，点C 在线段AB 上，且AC＝OC．
（1）求k 的值及线段BC 的长；
（2）点P 为B 点上方y 轴上一点，当△POC 与△PAC 的面积相等时，请求出点P 的坐
标．
22．（9 分）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40 元的小
商品进行直播销售，如果按每件60 元销售，每天可卖出20 件．通过市场调查发现，每
件小商品售价每降低5 元，日销售量增加10 件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5 元．为提高市场竞争力，
促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，
则该商品至少需打几折销售？
23．（10 分）如图，已知Rt△ABC 中，∠C＝90°．
（1）请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）．
①作∠BAC 的角平分线AD，交BC 于点D；
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②作线段AD 的垂直平分线EF 与AB 相交于点O；
③以点O 为圆心，以OD 长为半径画圆，交边AB 于点M．
（2）在（1）的条件下，求证：BC 是⊙O 的切线；
（3）若AM＝4BM，AC＝10，求⊙O 的半径．
24．（11 分）有公共顶点A 的正方形ABCD 与正方形AEGF 按如图1 所示放置，点E，F
分别在边AB 和AD 上，连接BF，DE，M 是BF 的中点，连接AM 交DE 于点N．
【观察猜想】
（1）线段DE 与AM 之间的数量关系是 ，位置关系是 ；
【探究证明】
（2）将图1 中的正方形AEGF 绕点A 顺时针旋转45°，点G 恰好落在边AB 上，如图
2，其他条件不变，线段DE 与AM 之间的关系是否仍然成立？并说明理由．
25．（14 分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c 经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y 轴正半轴
交于点C，且OC＝2OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x 轴于点E．直线y＝mx+n 经过
B，C 两点．
（1）求抛物线及直线BC 的函数表达式；
（2）点F 是抛物线对称轴上一点，当FA+FC 的值最小时，求出点F 的坐标及FA+FC 的
最小值；
（3）连接AC，若点P 是抛物线上对称轴右侧一点，点Q 是直线BC 上一点，试探究是
否存在以点E 为直角顶点的Rt△PEQ，且满足tan∠EQP＝tan∠OCA．若存在，求出点
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P 的坐标；若不存在，请说明理由．
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