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新运算为导向的压轴题
1.矩阵可以理解为一个二维数列，在数列的研究中有重要的应用.记一个m 行l 列
的矩阵A 为，A 中第i 行第j 列的元素为ai，j(i＝1，2，3，…，m，j＝1，2，
3，…，l)，记一个l 行n 列的矩阵B 为，我们定义一个双目运算符“⊗”使得矩
阵C＝A⊗B，那么有以下规则：
a.A 的列数必须与B 的行数相等.
b.C 是一个m 行n 列的矩阵.
c.C 中的元素ci，j＝∑ (ai，k×bk，j).
d.若有n 个相同的矩阵A 相⊗后得到一个新矩阵，可将其记作An，⊗.
e.⊗运算满足结合律，不满足交换律.
(1)求⊗.
(2)数列{fn}满足：
存在唯一的矩阵D 使得D⊗＝(n≥3，n∈N*).
①求矩阵D，并用矩阵相⊗的形式表示出矩阵[fn](n≥3，n∈N*)；
②用矩阵相⊗的形式表示出矩阵[∑fi](n≥3，n∈N*).
解 (1)由题意得⊗
＝
＝.
(2)①由题可知
(n≥3，n∈N*)，
所以⊗＝(n≥3，n∈N*)，
所以D＝，
所以＝⊗＝⊗＝…
＝⊗(n≥3，n∈N*)，
所以[fn]＝[1 0]⊗＝[1 0]⊗⊗(n≥3，n∈N*).
②设Sn＝∑fi，
因为(n≥3，n∈N*)，
所以⊗＝(n≥3，n∈N*)，
所以＝⊗
＝⊗＝…
＝⊗
＝⊗(n≥3，n∈N*)，
所以[∑fi]＝[Sn]＝[1 0 0]⊗
＝[1 0 0]⊗⊗(n≥3，n∈N*).
2.已知有序数对X：{x1，x2，x3}，有序数对Y：{y1，y2，y3}，定义“Ω 变换”：
y1＝|x1－x2|，y2＝|x2－x3|，y3＝|x3－x1|，可以将有序数对X 转化为有序数对Y.
(1)对于有序数对X：{3，4，5}，不断进行“Ω 变换”，能得到有序数对{0，0，
0}吗？请说明理由.
(2)设有序数对X：{x1，x2，x3}经过一次“Ω 变换”得到有序数对Y：{y，2，x}
(x≥y)，且有序数对Y 的三项之和为2 024，求的值.
(3)在(2)的条件下，若有序数对Y 经过n 次“Ω 变换”得到的有序数对的三项之
和最小，求n 的最小值.
解 (1)对于有序数对X：{3，4，5}，不断进行“Ω 变换”，得到的有序数对分
别为{1，1，2}，{0，1，1}，{1，0，1}，{1，1，0}，{0，1，1}，…
以下重复出现，所以不能得到有序数对{0，0，0}.
(2)易知y＝|x1－x2|，2＝|x2－x3|，x＝|x3－x1|，
因为有序数对Y 的三项之和为2 024，且x≥y，
所以x＋y＝2 022，x≥1 011≥y，
所以|x3－x1|≥1 011≥|x1－x2|，
故|x3－x1|最大，
即x1>x2>x3或x3>x2>x1.
当x1>x2>x3时，可得
由x＋y＋2＝2 024，得2(x1－x3)＝2 024，
即x＝1 012，所以y＝1 010，
故＝＝.
当x3>x2>x1时，可得
由x＋y＋2＝2 024，得2(x3－x1)＝2 024，
即x＝1 012，所以y＝1 010，
故＝＝.
综上，＝.
(3)有序数对Y：{y，2，y＋2}，
将有序数对Y 经过6 次“Ω 变换”得到的有序数对分别为{y－2，y，2}，{2，y
－2，y－4}，{y－4，2，y－6}，{y－6，y－8，2}，{2，y－10，y－8}，{y－
12，2，y－10}，
由此可见，经过6 次“Ω 变换”后得到的有序数对也是形如{y，2，y＋2}的有序
数对，与有序数对Y“结构”完全相同，但最大项减小12，
因为1 010＝12×84＋2，所以将有序数对Y 经过6×84＝504 次“Ω 变换”后得
到的有序数对为{2，2，4}.
接下来经过“Ω 变换”后得到的有序数对分别为{0，2，2}，{2，0，2}，{2，
2，0}，{0，2，2}，{2，0，2}，…
从以上分析可知，以后数对循环出现，所以有序数对各项之和不会更小，
所以当n≥505 时，经过n 次“Ω 变换”得到的有序数对的三项之和均最小，为
4.
所以n 的最小值为505.
