86.从包络到二次曲线系
一．基本原理
1.直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲
线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
2.微分几何中已经给出曲线系包络线的一般解法：因为曲线
上任一点均满
:
( , )
0
C
f x y
足
，又由曲线
与曲线
相切时的切线方程相同，
( , , )
0
F x y t
:
( , )
0
C
f x y
( , , )
0
F x y t
可知关于的函数
对的导数等于0，即包络曲线
上的任一点均满足下列方程
t
( , , )
F x y t
t
C
组：
消去参数，即可求得包络曲线
的方程．
( , , )
0,
( , , )
0,
t
F x y t
F
x y t
t
C
3.二次曲线系核心定理：给定五个点，其中任何三个点都不共线，则过这五个点有且仅有
一条圆锥曲线. 进一步可得：由
组成的曲线：
.
2
1,l
l
1
1
1
2
2
2
(
)(
)
0
a x
b y
c
a x
b y
c
圆锥曲线上的四点共圆问题：设圆锥曲线方程为
，则存在四
2
2
0
Ax
Cy
Dx
Ey
F
+
+
+
+
=
点共圆的情况必为
，由
2
2
1
1
1
2
2
2
(
)
(
)(
)
0
ax
by
cx
dy
e
a x
b y
c
a x
b y
c
于没有
的项，必有
.
xy
1 2
2 1
0
a b
a b
+
=
证明：由
组成的曲线即
2
1,l
l
1
1
1
2
2
2
(
)(
)
0
a x
b y
c
a x
b y
c
所以经过它与
的四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式
不同时为0)：
,
(
①
2
2
1
1
1
2
2
2
(
)
(
)(
)
0
ax
by
cx
dy
e
a x
b y
c
a x
b y
c
必要性.若四个交点共圆，则存在
使方程①表示圆，所以式①左边的展开式中含
项
,
xy
的系数
.而
(否则③表示曲线
，不表示圆)，所以
1 2
2 1
(
)
0
a b
a b
0
1 2
2 1
0
a b
a b
.
充分性.当
时，式①左边的展开式中不含
的项，选
时，再令式①左
1 2
2 1
0
a b
a b
xy
1
边的展开式中含
项的系数相等，即
，得
.
2
2, y
x
1
2
1 2
a
a a
b
bb
1
2
1 2
a a
b b
b
a
此时曲线①即
②
2
2
0
x
y
c x
d y
e
的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹.而题中的四个
交点都在曲线②上，所以曲线②表示圆.这就证得了四个交点共圆.
二．典例分析
例1（湖北省部分地市州25 届高三元月联考）．直线族是指具有某种共同性质的直线的全
体，例如
表示过点
的直线族（不包括直线
）．直线族的包络曲线
1
y
kx
k
R
0,1
0
x
定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切
线都是该直线族中的某条直线．已知直线族
，则下列说法正确的是
1
,
ax
by
a b
R
（ ）
A．若
，则该直线族的包络曲线为圆
cos ,
sin
0,2π
a
b
B．若
，则该直线族的包络曲线为椭圆
cos
sin
,
(
0,
0,2π )
a
b
m
n
m
n
C．当
时，点
可能在直线族
上
3
3
1
,
(
0)
2
2
a
b
t
t
t
3
0
0
0
,2
0
x
x
x
1
ax
by
D．当
时，曲线
是直线族
的包络曲线
2
0
a
b
2
4
0
x
y x
1
ax
by
解析：对于A，设圆
：
上的点为
，直线
的斜率为
，
O
2
2
1
x
y
(cos ,sin )
P
OP
sin
cos
OP
θ
k
θ
过点
作圆的切线，由
，得
，所以切线的方程为
P
l
1
OP
l
k
k
cos
sin
l
θ
k
θ
l
，即
，故A 正确；
cos
sin
(
cos )
sin
θ
y
θ
x
θ
θ
cos
sin
1
x
θ
y
θ
对于B，设椭圆
上的点为
，过点
作圆的切线，当切线斜率
2
2
2
2
1
x
y
m
n
( cos , sin )
P m
n
P
l
存在时，设
，
，联立得：
，
y
kx
b
2
2
2
2
1
x
y
m
n
y
kx
b
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(
)
2
0
n
m k
x
kbm x
m b
m n
所以
，
.作商：
，得
2
2
2
2
cos
kbm
n
m k
m
2
2
2
2
sin
cos
b
n
m
km
n
k
b
n
2
2
cos
sin
m
k
n
m
n
，所以切线的方程为
，即
；
cos
sin
k
n
m
l
cos
sin
(
cos )
sin
θ
y
n
θ
x
m
θ
m
n
θ
cos
sin
1
x
y
m
n
当切线斜率不存在时，
或
，则切线方程
和
亦满足
0
y
n
y
n
cos
sin
1
x
y
m
n
，故B 正确；
对于C，将
代入
得
，构造
，
3
0
0
,2
x
x
2
3
3
2
y
t x
t
3
2
3
0
0
2
3
2
0
t
t x
x
3
2
3
0
0
( )
2
3
2
f t
t
t x
x
，当
时，
；当
，
.所以
在
上单调
0
( )
6 (
)
f t
t t
x
0
(0,
)
t
x
( )
0
f t
0
(
,
)
t
x
( )
0
f t
( )
f t
0
(0,
)
x
递减，
在
上单调递增，因而当
时，
取到最小值
( )
f t
0
(
,
)
x
0
t
x
( )
f t
，所以
在
无零点，
无解，故C 错
3
2
3
3
0
0
0
0
0
0
(
)
2
3
2
0
f x
x
x x
x
x
( )
f t
(0,
)
3
2
3
0
0
2
3
2
0
t
t x
x
误；
对于D，若
不在直线族上，则将
代入直线
得
无
0
0
,
x
y
0
0
,
x
y
2
1
1
y
x
a
a
2
0
0
1
0
y a
ax
解，则
，所以
,因而可得当
在曲线
上时，则一定在直线
2
0
0
4
0
x
y
2
0
0
4
x
y
0
0
,
x
y
2
4
x
y
族上，
联立
和
得
，所以
，故直线
2
1
1
y
x
a
a
2
4
x
y
2
2
4
4
0
x
x
a
a
2
2
4
4
Δ
4
0
a
a
和
相切，又
不包括直线
，所以
是直线族
2
1
1
y
x
a
a
2
4
x
y
1
ax
by
0
y
2
4
0
x
y x
1
ax
by
的包络曲线，故D 正确.故选：ABD.
例2．一曲线族的包络线（Envelope）是这样的曲线：该曲线不包含于曲线族中，但过该
曲线上的每一点，都有曲线族中的一条曲线与它在这一点处相切，若圆
：
是
1
C
2
2
1
x
y
直线族
的包络线，则
，
满足的关系式为_________；若曲线
是
1
0
,
ax
by
a b
R
a
b
2
C
直线族
的包络线，则
的长为__________.
2
1
2
2
4
0
t
x
ty
t
t
R
2
C
解析：由题意，若圆
：
是直线族
的包络线，可得
1
C
2
2
1
x
y
1
0
,
ax
by
a b
R
，可得
；又由曲线
是直线族
的包络
2
2
1
1
a
b
2
2
1
a
b
2
C
2
1
2
2
4
0
t
x
ty
t
t
R
线，可得
为定值，则
，可得
，此时
，
2
2
2
1
4
1
xt
y
t
x
t
r
2
1
0
4
y
x
x
2
1
x
y
2
r
所以曲线
的方程为
，所以曲线
的周长为
.故答案为：
2
C
2
2
2
1
4
x
y
2
C
4
2
2
1
a
b
；
.
4
例3．造纸术是中国四大发明之一，彰显了古代人民的智慧.根据史料记载盛唐时期折纸艺
术开始流行，19 世纪折纸与数学研究相结合，发展成为折纸几何学.在一次数学探究课
上，学生们研究了圆锥曲线的包络线折法.如图，在一张矩形纸片上取一点
，记矩形一边
P
所在直线为，将点
折叠到上（即
），不断重复这个操作，就可以得到由这些折痕包
l
P
l
P
围形成的抛物线，这些折痕就是抛物线的包络线.在抛物线
的所有包络线中，恰
2
:
4
C x
y
好过点
的包络线所在的直线方程为_________.
2,1
A
解析：依题意，抛物线
的每条包络线与该抛物线相切，显然过点
的包络
2
:
4
C x
y
2,1
A
线所在的直线斜率存在，设方程为
，由
消去
并整理得：
1
(
2)
y
k x
2
1
(
2)
4
y
k x
x
y
y
，则
，解得
，所以所求直线方程为
2
4
8
4
0
x
kx
k
2
16
32
16
0
k
k
1
k
.故答案为：
1
0
x
y
1
0
x
y
例4．若集合A 表示由满足一定条件的全体直线组成的集合，定义：若集合
中的每一条
A
直线都是某圆上一点处的切线，且该圆上每一点处的切线都是
中的一条直线，则称该圆
A
为集合
的包络圆.
A
(1)若圆
是集合
的包络圆.
2
2
:
4
E x
y
{( , )
2}
A
x y
ax
by
∣
（i）求a，b 满足的关系式;
（ii）若
，求的取值范围;
3
4
0
a
b
t
t
(2)若集合
的包络圆为C，P 是
上任意一
{( , )
cos
(
6)sin
6 2
0,
}
A
x y
x
y
R
∣
C
点，判断
轴上是否存在定点M，N，使得
，若存在，求出点M，N 的坐
y
|
|
2 2
|
|
3
PM
PN
标；若不存在，请说明理由.
解析：（1）（i）因为圆
是集合
的包络圆，所以圆心
2
2
:
4
E x
y
{( , )
2}
A
x y
ax
by
∣
到直线
的距离为2，即
，化简得
，即a，b 满足的
0,0
E
2
ax
by
2
2
2
2
a
b
2
2
1
a
b
关系式为
.
2
2
1
a
b
（ii）由
及
，可得圆
与直线
有公共点，
2
2
1
a
b
3
4
0
a
b
t
2
2
1
x
y
3
4
0
x
y
t
所以
，解得
，故的取值范围是
．
2
2
1
3
4
t
5
5
t
t
5,5
（2）设
，由题意可知点
到直线
的距离为与
无关
,
C m n
C
cos
6 sin
6 2
0
x
y
的定值，
即
为与
无关的定值，所以
，
．故
，
2
2
cos
6 sin
6 2
sin
cos
m
n
d
0
m
6
0
n
0, 6
C
此时，
．所以
的方程为
，设
，则
，即
6 2
d
C
2
2
6
72
x
y
,
P x y
2
2
6
72
x
y
，假设
轴上存在定点
，
，使得
，设
，
2
2
36 12
x
y
y
y
M
N
2 2
3
PM
PN
1
0,
M
y
，
2
0,
N
y
则
，
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
PM
x
y
y
x
y
y y
y
x
y
y y
y
x
y
y
PN
2
1
1
2
2
2
2
6
36
8
2
6
36
9
y
y
y
y
y
y
所以
解得
或
所以
，
或
1
2
2
2
1
2
8
6
6
,
9
8
36
36
,
9
y
y
y
y
1
2
2,
3,
y
y
1
2
14,
15,
y
y
0,2
M
0,3
N
0, 14
M
，
．
0, 15
N
例5．直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如
表示过点
的
1
y
kx
k
R
0,1
直线族（不包括直线
轴），直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲
y
线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
(1)圆
是直线族
的包络曲线，求
满足的关系式；
2
2
:
(
3)
4
M
x
y
1
,
mx
ny
m n
R
,
m n
(2)若点
不在直线族
的任意一条直线上，求
的取值范围及直
0
0
,
N x
y
2
Ω : y
tx
t
t
R
0y
线族
的包络曲线
的方程；
Ω
E
(3)在（2）的条件下，过直线
上的动点
作曲线
的两条切线，切点分别为
4
4
0
x
y
P
E
，求原点
到直线
的距离
的最大值.
,
A B
O
AB
d
解析：（1）由题可得，直线族
为圆M 的切线， 故满足
1( ,
)
mx
ny
m n
R
，所以
满足
．
2
2
0
3 1
2
m
n
d
m
n
,
m n
2
2
5
4
6
1
0
n
m
n
（2）将点
代入
，可得关于的方程
，因为点
0
0
,
N x
y
2
y
tx
t
t
R
t
2
0
0
0
t
x t
y
不在直线族
上，故方程
无实数解，所以
0
0
,
N x
y
2
y
tx
t
t
R
2
0
0
0
t
x t
y
，那么
，故
，因为区域
的边界为抛物线
， 下
2
0
0
4
0
x
y
2
0
0
4
x
y
0
0
y
2
0
0
4
x
y
2
4
x
y
证：
是
的包络曲线．联立直线
与
，可得
2
4
x
y
2
y
tx
t
t
R
2
y
tx
t
t
R
2
4
x
y
，
2
2
4
4
0
x
tx
t
所以
，故直线族
：
为抛物线
的切线.
2
2
Δ
4
4 4
0
t
t
2
y
tx
t
t
R
2
4
x
y
因此直线族
的包络曲线
的方程为
.
E
2
4
x
y
（3）由（2）得曲线
的方程为
，设
在直线
上，则
E
2
4
x
y
𝐏(𝐱𝟎,𝐲𝟎)
4
4
0
x
y
，即
.设
，易知直线
的斜率存在，设直线
0
0
4
4
0
x
y
0
0
4
4
x
y
𝐀(𝐱𝟏,𝐲𝟏),𝐁(𝐱𝟐,𝐲𝟐)
PA
PA
的方程为
，与
联立，可得
，即
1
1
y
y
k x
x
2
4
x
y
2
1
1
4
x
y
k x
x
.
2
1
1
4
4
4
0
x
kx
kx
y
因为直线
与
相切，所以
，即
.
PA
2
4
x
y
2
1
1
Δ
4
4 4
4
0
k
kx
y
2
1
1
0
k
kx
y
因为
，所以
，
，解得
.所以直线
的方程为
2
1
1
4
x
y
2
2
1
1
4
0
x
k
kx
2
1
0
2
x
k
1
2
x
k
PA
，化简得
，同理可得直线
的方程为
.
2
1
1
1
4
2
x
x
y
x
x
2
1
1
2
4
x
x
y
x
PB
2
2
2
2
4
x
x
y
x
因为点
在切线上，所以
，所以直线
的方程为
，即
𝐏(𝐱𝟎,𝐲𝟎)
2
1
1
0
0
2
2
2
0
0
2
4
2
4
x
x
y
x
x
x
y
x
AB
0
0
2
2
4
x
y
x
x
.将
代入
，得
，化简得
0
0
1
2
y
x x
y
0
0
4
4
x
y
0
0
1
2
y
x x
y
0
0
4
1
2
4
x
y
x x
.则原点
到直线
的距离
.设
，则
,
0
0
2
4
4
0
x x
y
x
O
AB
0
2
0
4
4
16
x
d
x
0
4
t
x
0
4
x
t
所以
，所以
.当
时，
2
2
4
32
80
4 4
16
t
t
d
t
t
t
2
2
2
4
32
80
t
d
t
t
0
t
0
0
4,
0
x
y
，则
重合，不符合题意，所以
，所以
.令
，则
,
A B
0
t
2
2
1
32
80
4
d
t
t
1
u
t
.
2
2
1
80
32
4
d
u
u
对于二次函数
，其对称轴为
，则
时，
2
80
32
4
y
u
u
32
1
2 80
5
u
1
5
u
的最小值为
，所以
有最大值
2
80
32
4
y
u
u
2
1
1
16
1
4
80
32
4
32
4
5
5
5
5
5
2
d
5
4
，则
的最大值为
.
d
5
2
例6.（2022 新高考1 卷）已知点
在双曲线
上，直线交
于
(2,1)
A
2
2
2
2
:
1(
1)
1
x
y
C
a
a
a
l
C
，
两点，直线
，
的斜率之和为0．
P
Q
AP
AQ
（1）求的斜率；
l
（2）若
，求
的面积．
tan
2 2
PAQ
PAQ
解析：（曲线系）点
处的切线方程为
，设直线
的方程为
A
0
1
y
x
AP
，
的方程为
，
的方程
，则过这四条
)
2
(
1
1
x
k
y
AQ
)
2
(
1
2
x
k
y
PQ
b
kx
y
直
线
交
点
的
二
次
曲
线
方
程
为
.
0
]1
)1
(
[
]1
)1
(
[
)1
)(
(
2
1
y
x
k
y
x
k
y
x
b
y
kx
又因为双曲线过这些交点，比较
的系数得
.
xy
0
)
(
1
2
1
k
k
k
又由
，所以
.
0
2
1
k
k
1
k
例7.（2020 一卷）已知A、B 分别为椭圆E：
（a>1）的左、右顶点，G 为E
2
2
2
1
x
y
a
的上顶点，
，P 为直线x=6 上的动点，PA 与E 的另一交点为C，PB 与E 的另
8
AG GB
一交点为D．
（1）求E 的方程；
（2）证明：直线CD 过定点.
解析：（2）设
，则
，将
)
,6
(
0y
P
0
3
3
:
,0
3
9
:
0
0
0
0
y
x
y
y
l
y
x
y
y
l
BP
AP
BP
AP,
写成双直线二次曲线:
，因为
是双直线二
0
)
3
3
)(
3
9
(
0
0
0
0
y
x
y
y
y
x
y
y
D
C
B
A
,
,
,
次曲线与椭圆的交点,联立方程:
考虑到
是已知的，且纵坐标均为
，则联立后的方程必有因式
于是将①式
B
A,
0
y
y
0
按
整理得:
y
由①:
，代入
2
2
9
9
y
x
得:
，由于交点
满足联立后的方程，且纵坐标不为
，
0
)
)
4
6
(
9
(
2
0
0
0
y
y
x
y
y
y
y
D
C,
0
于
是
满足方程
，即直线
的方程为:
D
C,
CD
，按
整理得
，
0
3
)
4
6
(
9
2
0
0
0
y
y
x
y
y
y
0y
令
得定点
.
0
9
0
4
6
0
3
y
x
y
)
0,
2
3
(
例8．（2020 山东卷）已知椭圆C：
的离心率为
，且过点
．
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
2
2
2,1
A
（1）求
的方程：
C
（2）点
，
在
上，且
，
，
为垂足．证明：存在定点
，使得
M
N
C
AM
AN
AD
MN
D
Q
为定值．
DQ
解析：（2）A 点处的切线方程为
，即
．设直线
的方程为
2
1
1
6
3
x
y
3
0
x
y
MA
，直线
的方程为
，直线
的方程为
1
1
2
1
0
k x
y
k
MB
2
2
2
1
0
k x
y
k
MN
．由题意得
．则过A，M，N 三点的二次曲线系方程用椭圆及直线
0
kx
y
m
1
2
1
k
k
×
= -
可表示为
（其中
为系数）．
,
MA MB
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
0
6
3
x
y
k x
y
k
k x
y
k
用直线
及点A 处的切线可表示为
（其中
为系数）．
MN
(
) (
3)
0
kx
y
m
x
y
即
．
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
(
)(
3)
6
3
x
y
k x
y
k
k x
y
k
kx
y
m x
y
对比
项、x 项及y 项系数得
，将①代入②③，消去
并
xy
1
2
1
2
1
2
(1
),
4
(
3 ),
2
1
(
3).
k
k
k
k
k
m
k
k
k
m
①
②
③
,
化简得
，即
．故直线
的方程为
，直线
过
3
2
1
0
m
k
2
1
3
3
m
k
MN
2
1
3
3
y
k x
MN
定点
．又
，D 在以
为直径的圆上．
中点
即为圆心Q．经
2
1
,
3
3
P
AD
MN
AP
AP
4 1
,
3 3
检验，直线
垂直于x 轴时也成立．故存在
，使得
MN
4 1
,
3 3
Q
