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“活结”和“死结”“动杆”和“定杆” 目标要求 知道“活结”和“死结”“动杆”和“定杆”的区别，掌握各自的受力特点。 “活结”和“死结”问题 分类 模型结构(举例) 模型解读 模型特点 “活结”模 型 “活结”一般由绳跨过滑轮或绳上挂 一光滑挂钩而形成，绳子因“活结” 而弯曲，但实际为同一根绳 “活结”两侧的绳子 上的张力大小处处相 等 “死结”模 型 “死结”把绳子分为两段，且不可沿 绳子移动，“死结”两侧的绳因结而 变成两根独立的绳 “死结”两侧的绳子 上张力不一定相等 例1 (2024·山东济宁市期中)如图所示，细绳一端固定在A 点，跨过与A 等高的光滑定滑轮B 后在另 一端悬挂一个沙桶Q。现有另一个沙桶P 通过光滑轻质挂钩挂在AB 之间，稳定后挂钩下降至C 点， ∠ACB＝120°，下列说法正确的是( ) A.若只增加Q 桶内的沙子，再次平衡后C 点位置不变 B.若只增加P 桶内的沙子，再次平衡后C 点位置不变 C.若在两桶内增加相同质量的沙子，再次平衡后C 点位置不变 D.若在两桶内增加相同质量的沙子，再次平衡后沙桶Q 位置上升 “动杆”和“定杆”问题 分类 模型结构(举例) 模型解读 模型特点 “动杆”模 型 轻杆用光滑的转轴或铰链连 接，轻杆可围绕转轴或铰链 自由转动 当杆处于平衡时，杆所 受的弹力方向一定沿杆 向内或向外 “定杆”模 型 轻杆被固定在接触面上，不 发生转动 杆所受的弹力方向不一 定沿杆，可沿任意方向 例2 (2025·山东东营市开学考)甲图中，轻杆AB 一端与墙上的光滑的铰链连接，另一端用轻绳系住， 绳、杆之间夹角为30°，在B 点下方悬挂质量为m 的重物。乙图中，轻杆CD 一端插入墙内，另一端装 有光滑小滑轮，现用轻绳绕过滑轮挂住质量为m 的重物，绳、杆之间夹角也为30°。甲、乙中杆都垂直 于竖直墙，则下列说法中正确的是( ) A.甲、乙两图中杆中弹力之比为1∶√3 B.甲图中杆的弹力更大 C.两根杆中弹力方向均沿杆方向 D.若甲、乙中轻绳能承受最大拉力相同，则重物质量增大时(甲、乙中重物质量始终相等)，乙中轻绳先 断裂 “晾衣架”中的“活结”问题 1.模型结构示例 2.模型解读 如图所示，晾晒衣服的绳子轻且光滑，悬挂衣服的衣架的挂钩也是轻质光滑的，轻绳两端分别固定在两根 竖直杆上的A、B 两点，衣服处于静止状态。如果保持绳子A 端位置不变，将B 端分别移动到不同的位置。 结点为O。由于绳子拐弯处是平滑连接，故FOA＝FOB＝F 水平方向：Fsin θ1＝Fsin θ2，结合几何关系知θ1＝θ2＝θ 竖直方向：Fcos θ+Fcos θ＝mg 故F＝mg 2cosθ ，可知F 只与θ 有关。由几何关系：sin θ＝ d LOA+ LOB ＝d L(L 为绳的总长)。 可知θ 只与两杆之间的水平距离d 有关。 3.模型特点：若d 不变，上、下移动绳子B 端，θ 不变，F 不变；两杆之间水平距离越远，θ 越大，F 越大。 例3 (多选) ( 2024·山东泰安市校考)如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N 上的a、b 两点，悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态。如果只人为改变一个条件， 当衣架静止时，下列说法正确的是( ) A.将绳的右端上移到b'，绳子拉力大小不变 B.将杆N 向右移一些，绳子拉力变大 C.绳的两端高度差越小，绳子拉力越小 D.若换挂质量更大的衣服，则衣架悬挂点右移 1.(多选)(2025·山东济宁市实验中学月考)如图所示，在竖直平面内有固定的半径为R 的半圆轨道，其两 端点M、N 连线水平。将一轻质小环A 套在轨道上，一细线穿过轻环，一端系在M 点，另一端系一质 量为m 的小球，小球恰好静止在图示位置。不计一切摩擦，重力加速度为g，下列说法正确的是( ) A.细线对M 点的拉力大小为√3 2 mg B.轨道对轻环的支持力大小为√3mg C.细线对轻环的作用力大小为mg D.图示位置时MA＝√3R 2.如图(a)、(b)、(c)所示为三种形式的吊车的示意图，OA 为杆，AB 为缆绳，杆和缆绳重力不计，当它 们吊起相同重物时，杆OA 受力分别为Fa、Fb、Fc，下列关系正确的是( ) A.Fa>Fb>Fc B.Fa>Fc＝Fb C.Fa＝Fb>Fc D.Fa＝Fb＝Fc 3.(2024·山东德州市模拟)抖空竹是一种传统杂技节目，叫“抖空钟”，南方也叫“扯铃”。表演者用两 根短竿系上绳子，将空竹(也有用壶盖或酒瓶)扯动使之旋转，并表演出各种身段。如图所示，表演者手 持短竿使细绳一端A 不动，另一端B 沿图中的四个方向缓慢移动，忽略空竹转动的影响，不计空竹和 轻质细绳间的摩擦力，且认为细绳不可伸长。下列说法正确的是( ) A.细绳B 端沿虚线a 向左移动时，细绳对空竹的合力增大 B.细绳B 端沿虚线b 向上移动时，细绳的拉力大小不变 C.细绳B 端沿虚线c 斜向上移动时，细绳的拉力减小 D.细绳B 端沿虚线d 向右移动时，细绳的拉力不变 答案精析 例1 C [对沙桶Q 受力分析有FT＝GQ，若两绳的夹角为θ，对C 点受力分析可知，C 点受三力而平衡， 而C 点为“活结”绳上的点，两侧绳的张力大小相等，有2FTcos θ 2＝GP，联立可得2GQcos θ 2＝GP，故只增 大Q 的重力时，夹角θ 变大，C 点上升；只增大P 的重力时，夹角θ 变小，C 点下降，A、B 错误；当θ＝ 120°时，GP＝FT＝GQ，故两沙桶增加相同质量的沙子，P 和Q 的重力仍相等，C 点的位置不变，C 正确，D 错误。] 例2 B [题图甲中的杆有铰链相连，可以自由转动，弹力方向沿杆方向，题图乙中的杆一端插在墙里， 不能自由转动，弹力方向不一定沿杆方向，而是沿两根绳合力的反方向，故C 错误； 题图甲中，以B 点为研究对象，受力分析如图(a)，根据平衡条件可得 FN＝ mg tan30° ＝√3mg 题图乙中，以D 点为研究对象，受力分析如图(b)，受到重物的拉力、上边绳的拉力和CD 杆的弹力，由于 拉力FT'和重力的夹角为120°且大小均为mg，则由几何知识可得FN'＝FT'＝mg 即轻杆中的弹力大小为mg，则甲、乙两图中杆中弹力之比为√3∶1，故A 错误，B 正确； 题图甲中轻绳的拉力大小为FT＝ mg sin30° ＝2mg 题图乙中轻绳的拉力大小FT'＝mg 若甲、乙中轻绳能承受最大拉力相同，则重物质量增大时，甲中轻绳先断裂，故D 错误。] 例3 AB [设衣架挂于绳上O 点，衣架与衣服质量之和为m，绳aOb 长为L，M、N 的水平距离为d，bO 延长线交M 于a'，由几何关系知a'O＝aO，sin θ＝d L，由平衡条件有2Fcos θ＝mg，则F＝mg 2cosθ 。当绳右 端从b 上移到b'时，d、L 不变，θ 不变，故F 不变，选项A 正确，C 错误；将杆N 向右移一些，L 不变，d 变大，θ 变大，cos θ 变小，则F 变大，选项B 正确；只改变衣服的质量，则m 变化，其他条件不变，则 sin θ 不变，θ 不变，衣架悬挂点不变，选项D 错误。 ] 跟踪训练 1.BD [轻环两侧细线的拉力大小相等，均为FT＝mg，则细线对M 点的拉力大小为mg，故A 错误；轻环 两侧细线的拉力与轻环对半圆轨道的压力的夹角相等，设为θ，由OA＝OM 得∠OMA＝∠MAO＝θ，则3θ ＝90°，得θ＝30°，轻环受力平衡，则轨道对轻环的支持力大小FN＝2mgcos θ＝√3mg，故B 正确；细线对 轻环的作用力是轻环两侧细线拉力的合力，大小为FN'＝FN＝√3mg，此时MA＝2Rcos θ＝√3R，故C 错误， D 正确。 ] 2.C [分别对三种形式的结点进行受力分析，各图中FT＝mg。 在图(a)中，Fa＝2FTcos 30°＝√3mg，在图(b)中，Fb＝FTtan 60°＝√3mg，在图(c)中，Fc＝FTcos 30°＝√3 2 mg，故选C。] 3.B [细绳B 端沿虚线a 向左移动时，细绳对空竹的合力与空竹的重力等大反向，可知合力不变，A 错误； 细绳B 端沿虚线b 向上移动时，A、B 两点水平间距不变，绳长不变，可知细绳与竖直方向的夹角θ 不变， 则细绳的拉力大小不变，B 正确；细绳B 端沿虚线c 斜向上移动时，细绳与竖直方向的夹角θ 增大，则细 绳的拉力将增大，C 错误；细绳B 端沿虚线d 向右移动时，细绳与竖直方向的夹角θ 增大，则细绳的拉力 将增大，D 错误。]
