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第60 练 专题强化：用“动态圆”思想分析临界问题
分值：60 分
1~5 题每小题4 分，共20 分
1.(多选)如图所示，在矩形GHIJ 区域内分布着垂直纸面向里的匀强磁场，P 点是GH 边的中点，四个完全
相同的带电粒子仅在洛伦兹力的作用下，以大小不同的速率从P 点射入匀强磁场，它们轨迹在同一平面(纸
面)内，忽略粒子重力及相互作用，下列说法正确的是( )
A.①、②、③、④这四个粒子在矩形GHIJ 磁场区域的运动周期相同
B.④粒子的速率最大
C.③粒子的向心加速度最大
D.②粒子在矩形GHIJ 磁场区域运动的时间最长
2.一线状粒子源垂直于匀强磁场边界不断地发射速度相同的同种粒子，不考虑粒子的重力和粒子间的相互
作用，则粒子经过磁场的区域(阴影部分)可能是( )
3.(2025·山东省名校期中联考)如图所示，直角三角形ABC 区域中存在一匀强磁场，磁感应强度为B，已知
AB 边长为L，∠C＝30°，相同带正电粒子(不计重力及粒子间相互作用)以不同的速率从A 点沿AB 方向射
入磁场，则( )
A.粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短
B.粒子在磁场中运动的时间最长时，是从C 点射出的
C.粒子速度越大，在磁场中运动的路程越长
D.粒子在磁场中运动的最长路程为2
3πL
4.(多选)如图，空间存在着垂直于纸面、磁感应强度为B 的匀强磁场(图中未画出)，M 是垂直于x 轴的荧光
屏，O 点到屏M 的距离为R。O 点为一粒子源，从O 点沿Oy 方向发射出一束速度不同、比荷相同的带正
电粒子，经磁场偏转后均能水平向右垂直打在屏M 上，已知粒子以最大速度v0在磁场中运动轨迹如图中所
示，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则( )
A.磁场方向垂直于纸面向里
B.带电粒子的比荷为v0
BR
C.磁场区域最小面积为π R
2
4
D.磁场区域最小面积为(π -2)R
2
4
5.(多选)如图所示，平面直角坐标系中，A 点的坐标为(√3d，0)，在y 轴和直线AD 之间存在垂直纸面向里
的匀强磁场Ⅰ，在AD 和AC 之间存在垂直纸面向外的匀强磁场Ⅱ，磁感应强度大小均为B，AD 与y 轴平
行，AD、AC 边界的夹角∠DAC＝30°。质量为m、电荷量为＋q 的粒子可在边界AC 上的不同点射入，入
射速度垂直AC 且垂直磁场，若入射速度大小为qBd
m ，不计粒子重力，则( )
A.粒子在磁场中的运动半径为d
B.粒子距A 点0.5d 处射入，不会进入Ⅰ区
C.若粒子能进入区域Ⅰ，则粒子在区域Ⅰ中运动的最短时间为2π m
3qB
D.若粒子能进入区域Ⅰ，则粒子从距A 点(√3－1)d 处射入，在区域Ⅰ内运动的时间最短
6~8 题每小题6 分，9 题15 分，共33 分
6.(2024·山东省实验中学月考)如图，半径R＝2 m 的圆形区域内有一垂直纸面向里的匀强磁场，P 为磁场边
界上的一点，大量相同的带正电粒子，在纸面内沿各个方向以相同的速率从P 点射入磁场，这些粒子射出
磁场时的位置均位于PQ 圆弧上且Q 点为最远点。已知PQ 圆弧长等于磁场边界周长的四分之一，不计粒
子重力和粒子间的相互作用，则该圆形磁场中有粒子经过的区域面积为( )
A.(3π－2) m2
B.(2π－2) m2
C.3π m2
D.2π m2
7.(2024·山东淄博市检测)一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所
示，其中虚线bc 足够长，∠abc＝135°。其他地方磁场的范围足够大。一束质量为m、电荷量为q 的带正
电粒子，在纸面内从a 点垂直于ab 射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用及粒子重
力。以下说法正确的是( )
A.从bc 边射出的粒子在磁场中运动的时间都相等
B.若从a 点入射的速度越大，则在磁场中运动的时间越长
C.粒子在磁场中最长运动时间不大于5 π m
4 qB
D.粒子在磁场中最长运动时间不大于3 π m
2qB
8.(2024·山东省名校联盟联考)如图所示，PQ 为磁感应强度为B＝1×10－2 T、方向垂直纸面向里的匀强磁场
的边界，磁场中的O 点有一粒子源，它均匀地向纸面内各个方向同时发射速率为v＝1×104 m/s、比荷为q
m
＝1×107 C/kg 的带正电的粒子。已知O 点与PQ 的距离为10 cm，不计带电粒子的重力和粒子间的相互作用，
下列说法正确的是( )
A.飞出磁场的粒子数占所有粒子数的三分之一
B.飞出磁场的粒子数占所有粒子数的四分之一
C.PQ 上有粒子飞出的区域长度为20 cm
D.飞出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间是最短时间的4.5 倍
9.(15 分)如图所示，虚线所示的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场区域
圆的半径为R。质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子在纸面内从圆周上的M 点射入磁场。不计粒子重力。
(1)(4 分)如果一个带电粒子沿直径MON 方向射入磁场，速度v1＝qBR
m ，该粒子在磁场中运动的时间为多少？
(2)(5 分)如果大量相同的带电粒子以相同的速率v2在纸面内从M 点沿不同方向射入磁场，不计粒子间相互
作用，v2＝2qBR
m
，求粒子在磁场中运动的时间的最大值；
(3)(6 分)如果大量相同的带电粒子以相同的速率v3在纸面内从M 点沿不同方向射入磁场，v3＝qBR
2m ，不计
粒子间相互作用，求这些粒子在磁场边界上出射点分布的长度。
(7 分)
10.(多选)如图所示，在x 轴上方存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。x 轴上放置一
无限长挡板，挡板上M、N 两点的坐标分别为(－l
2，0)和( l
2，0)，坐标为(0，√3l
2 )的P 点存在一粒子源，
可以在xOy 平面内向各个方向均匀发射速率为v、比荷为q
m的正电粒子，不计粒子重力及粒子间相互作用，
下列说法正确的是( )
A.带电粒子在磁场中顺时针运动
B.若v＝√3qBl
2m
，则打在挡板上的粒子数占总数的1
2
C.若v＝√3qBl
2m
，则挡板上有粒子打到的线段长度为(3＋√3)l
2
D.若v＝qBl
2m ，将挡板撤去，则MN 之间各处均有粒子通过
答案精析
1.AB [对于完全相同的粒子，其q
m相同，又T＝2π m
qB ，则在同一匀强磁场中，周期都相同，由题图知③
粒子在磁场中转过的圆心角最大，所以③粒子在矩形GHIJ 磁场区域运动的时间最长，故A 正确，D 错误；
根据qvB＝mv
2
r ，可得r＝mv
qB
由于④粒子的半径最大，则④粒子的速率最大，因为a＝v
2
r ，T＝2π r
v
得粒子的向心加速度a＝2π
T v
可知④粒子的向心加速度最大，故B 正确，C 错误。]
2.C [粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，如图所示，
粒子源最左端发射的粒子落在A 点，最右端发射的粒子落在B 点，故选C。]
3.D [当粒子能够从AC 边射出时，由几何关系可知，粒子在磁场中的圆心角都为120°，因此运动时间为t
＝120°
360° T＝2π m
3 Bq ，当粒子速度增大，半径增大，直到不能从AC 边射出，圆心角变小，时间变短，故选项
A、B 错误；粒子速度越大，粒子在磁场中运动的轨迹半径越大，当粒子运动轨迹与BC 边相切时运动轨迹
最长，粒子速度再增大，粒子运动轨迹变短，并不是速度越大，粒子运动轨迹越长，故选项C 错误；当粒
子和BC 边相切时路程最大，此时有R＝AB＝L，由选项A 分析知运动的路程为s＝θR＝2
3πL，故选项D 正
确。]
4.BD [根据左手定则可知，磁场方向垂直于纸面向外，故A 错误；根据R＝mv0
qB ，可知比荷为q
m ＝v0
BR ，
故B 正确；速度小于v0的粒子也能水平向右垂直打在屏M 上，所以磁场边界是过O 点与x 轴夹角为45°斜
线，如图，
则磁场区域最小面积为阴影部分面积Smin＝π R
2
4
－1
2R2＝(π -2)R
2
4
，故C 错误，D 正确。]
5.ACD [根据Bqv＝mv
2
r 可得r＝mv
Bq ＝m
Bq·qBd
m ＝d，A 正确；如图甲所示，设粒子从P 点入射时，轨迹
和AD 相切，由几何关系知O1A＝2d，AP＝d，因此粒子距A 点0.5d 处射入，会进入Ⅰ区，B 错误；
粒子在区域Ⅰ运动时间最短时，轨迹如图乙所示，此时MN 平行于x 轴，又MN＝√3d，由几何关系可知，
轨迹对应的圆心角为120°，运动时间为t＝T
3 ＝1
3·2π m
qB ＝2π m
3qB ，C 正确；由几何关系可知∠AO2N＝
30°，又r＝d，则AE＝(√3－1)d，D 正确。]
6.A [设轨迹圆的半径为r，由几何关系∠POQ＝90°，则粒子做圆周运动的半径为r＝√2 R
2
，
圆形磁场中有粒子经过的区域如图中阴影所示，圆形磁场中有粒子经过的区域面积为S＝(π R
2
4
－R
2
2 )＋
π(2r )
2
8
＋π r
2
2 ＝3 π R
2
4
－R
2
2 ＝(3π－2) m2，故选A。]
7.D [画出带电粒子在磁场中运动的动态分析图，如图甲所示。粒子入射的速度越大，其做圆周运动的半
径越大，当粒子都从ab 边射出，所用时间均为半个周期，用时相等；当粒子从bc 边射出时，速度越大，
轨迹半径越大，圆心角越大，运动时间越长，故A、B 错误；
当粒子的速度足够大，半径足够大时，忽略ab 段长度，运动情况可简化为如图乙所示，在直线边界磁场
问题中，根据粒子运动轨迹的对称性，结合几何关系可知此时圆心角为α＝270°，可得粒子在磁场中运动
的最长时间为t＝270°
360° T＝3 π m
2qB ，故C 错误，D 正确。]
8.D [粒子在磁场中，由牛顿第二定律有qvB＝mv
2
r ，运动半径为r＝mv
qB ＝0.1 m＝10 cm，等于O 到PQ 的
距离，各个方向发射的粒子的轨迹如图甲所示，水平向右和水平向左射出的粒子恰经过边界PQ，过O 点
作垂直于PQ 的水平线，则从O 点射向水平线上方的粒子都不能射出磁场，射向水平线下方的粒子都可以
射出磁场，故飞出磁场的粒子数占所有粒子数的一半，故A、B 错误；
粒子从边界飞出的临界点如图乙所示，其中打到最下面的位置距离O 点为2r，故PQ 上有粒子飞出的区域
长度为s＝√(2×0.1)
2-0.1
2 m＋0.1 m＝0.1√3 m＋0.1 m＝(10√3＋10) cm，故C 错误；
如图丙所示，水平向左发射的粒子运动时间最长，所对圆心角为270°，故在磁场中运动时间为tmax＝3
4 T，
如图丁所示，粒子轨迹对应的弦长最短，粒子运动时间最短，所对圆心角为60°，故在磁场中运动时间为
tmin＝T
6 ，所以tmax＝4.5tmin，故D 正确。]
9.(1) π m
2qB (2) π m
3qB (3)π R
3
解析 (1)由v1＝qBR
m ，r1＝mv1
qB ，可得r1＝R，
粒子在磁场中运动的轨迹如图甲所示，圆弧对应的圆心角α1＝90°，由T＝2π m
qB ，
可得t1＝T
4 ＝π m
2qB
(2)由v2＝2qBR
m
，可得r2＝2R
粒子从N 点射出时在磁场运动的时间最长，如图乙所示
由几何关系可知，其轨迹弧对应的圆心角α2＝60°
粒子在磁场中运动的时间的最大值t2＝T
6 ＝π m
3qB
(3)由v3＝qBR
2m
可得r3＝R
2
粒子在磁场边界上出射点距M 点最远时，轨迹弧为一半圆，如图丙所示
由几何关系可知：出射点分布的长度为磁场边界的1
6，即s＝π R
3 。
10.BC [根据左手定则，带电粒子在磁场中逆时针运动，故A 错误；根据半径公式r＝mv
qB ，可得v＝
√3qBl
2m
时r＝√3l
2 ，如图甲所示，则打在挡板上的粒子的两个临界为①和②，对应的角度范围为180°，则
打在挡板上的粒子数占总数的1
2，故B 正确；打在挡板上的长度的两个临界为②和③，对应的长度分别为
l1＝√3l
2 ，l2＝√(2r )
2-r
2＝3l
2 ，故v＝√3qBl
2m
时，挡板上有粒子打到的线段长度为Δl＝l1＋l2＝(3＋√3)l
2
，故C 正确；当v＝qBl
2m 时，可知粒子的轨迹半径为r'＝l
2，打在MN 的临界如图乙中④和⑤，QN 段无粒
子通过，故D 错误。]
