专题03 函数的性质及应用
易错点1 复合函数定义域的理解不当致错
易错典题
【例1】（24-25 高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数
的定义域为
.记
的定义域为
集合
的定义域为集合
.则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
的定义域为
.
当
时，
（易错点）
定义域是x 的取值范围
的定义域为
，即
.
令
，解得
（易错点）
目录
第一部分 易错点剖析
易错典题
避错攻略
举一反三
易错点1 复合函数定义域的理解不当致错
易错点2 研究性质时忽略函数的定义域致错
易错点3 使用换元法忽略新元的范围
易错点4 忽略分段函数自变量的范围致错
易错点5 混淆“单调区间”与“在区间上单调”致错
易错点6 忽略对参数取值范围讨论而致错
第二部分 易错题闯关
1
中的
与
中的x 的取值范围一致
的定义域为
，即
.
“
”是“
”的必要不充分条件，
故选：B.
【错因分析】本题要注意定义域是指自变量x 的取值范围，此外
与
中
的范围
一致.
知识混淆：误以为
x 范围一致.
概念模糊：对复合函数定义域的概念不清，导致思维存在漏洞.
望文生义：求复合函数
的定义域就认为是求
的范围，而实质是求自变量x 的范围.
避错攻略
【方法总结】已知
的定义域求解
的定义域，或已知
的定义域求
的定义域，遵
循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同，另外对于实
际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.
【知识链接】1 复合函数的概念：
若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当
时，称函数y=f[g(x)]为
f(t)与g(x)在D 上的复合函数，其中x 称为自变量,t 为中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函
数.
2 抽象函数或复合函数的定义域：
（1）函数的定义域是自变量x 的取值范围，比如：函数f(x)的定义域是指x 的取值范围，函数
y=f[g(x)]的定义域也是指x 的取值范围，而不是g(x)的取值范围.
（2）f(t)，f(x)，f[φ(x)]，f[h(x)]四个函数中的t，x，φ(x)，h(x)在对应关系f 下的范围相同，在同一
函数f 作用下，括号内整体的取值范围相同.
（3）已知f(x)的定义域为A，求f[φ(x)]的定义域，其实质是已知φ(x)的取值范围(值域)为A，求x 的
取值范围.
（4）已知f[φ(x)]的定义域为B，求f(x)的定义城，其实质是已知f[φ(x)]中x 的取值范围为B，求
φ(x)的取值范围(值域)，这个范围就是f(x)的定义域.
举一反三
【变式1-1】（25-26 高三上·江苏镇江·月考）已知函数
的定义域为
，则
的
定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
2
【变式1-2】（25-26 高三上·全国·期末）函数
的定义域为
，函数
，
则
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（25-26 高三上·山东菏泽·期中）已知函数
的定义域和值域分别为
和
，
则函数
的定义域和值域分别为（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
易错点2 研究性质时忽略函数定义域致错
易错典题
【例2】(2026 四川广安期中)奇函数
是定义域为
上的增函数.且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
，
D．
【答案】B
【解析】
，
，
是奇函数，
，
是定义域为
上的增函数，
（易错点），
注意定义域优先
，解得
，
的取值范围是
.
3
【错因分析】求解本题时要保证2a+1 和-a+2 均在定义域(-3,3)内,不要忘记这个条件.
知识混淆：研究函数性质时，忽略了“定义域优先”这一原则.
概念模糊：解不等式时逻辑推导不清晰，未考虑2a+1,-a+2 在定义域，导致思维存在漏洞.
望文生义：看到解不等式直接利用函数单调性脱去“f”，而忽视了考虑在函数定义域范围内解不等式.
避错攻略
【方法总结】建立“定义域优先”的解题原则.
【知识链接】1.函数单调性与定义域
函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函
数单调性必须在给定的定义域区间上进行。
（1）单调区间区间I 是定义域的子集，即应在函数的定义域内研究单调性．
（2）如果函数y＝f(x)存在多个单调区间，应当用“，”或“和”连接．
（3）单调性是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质．
（4）复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内
层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合
函数是减函数.
2.函数奇偶性与定义域
偶函数的定义：如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝F(x) 成立，则称F(x)为
偶函数．
奇函数的定义：如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝－F(x)成立，则称F(x)
为奇函数．
(1)奇偶函数定义的等价形式．
奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0，偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0．
(2)函数具有奇偶性的前提是定义域关于原点对称．
一个函数不论是奇函数还是偶函数，定义域必须关于原点对称，否则这个函数就不满足是奇函数或是偶函
数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．例如y＝ ，定义域为[0，＋∞)，不具有奇偶性．
举一反三
【变式1-1】2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知定义在
上的偶函数
，且当
时，
单调递增，则关于
的不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2025 高三·全国·专题练习）定义在
上的函数
，则满足
的x 的取值范围是（ ）
A．
B．
4
C．
D．
【变式1-3】（25-26 高三上·河北邢台·期中）已知
是定义在
上的偶函数，对任意的
，当
时，
恒成立，若
，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
易错点3 使用换元法忽略新元的范围
易错典题
【例3】（24-25 高三上·吉林·阶段练习）已知
，则
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令
（易错点），
注意新元t 的取值范围
由
，
则
，即
.
故选：C.
【错因分析】本题求解时设
，换元后要注意
这一范围，如果忽略新元的范围，容易错选A.
知识混淆：将新元与旧元的取值范围混淆，从而导致错解.
概念模糊：利用换元法求得解析式后，考虑问题不周全，不求新元的取值范围，从而导致未考虑定义域的
错误.
望文生义：换元法求函数解析式时，想当然认为新元范围与旧元范围一致.
避错攻略
【方法总结】换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小;若新变量的
取值范围被扩大了,则在求解之后要加以检验.
【知识链接】1.换元法
换元就是引入辅助未知数,把题中某一个(些)字母的表达式用另一个(些)字母的表达式来代换,这种解
题方法,叫做换元法,又称变量代换法.
5
换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对
象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.例如通过换元来降次,或化分式、
根式为整式等,换元的关键是选择适当的式子进行代换.
2.
常见的换元方法
（1）根式代换：一般是指将根式部分通过换元，使原函数表达式转化为我们所熟悉的一元二次方程形式；
（2）整体代换：将所求表达式整体换元；
（3）三角代换：三角代换分为两种情况：①用三角函数的性质将代数或几何问题转化成三角问题，转化
的过程要注意定义域的取值问题；②逆向三角代换：是指将三角问题，通过换元法转化成我们所熟悉的一
元二次方程的问题。
举一反三
【变式3-1】（25-26 高三上·云南·期末）已知函数
，则函数
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-2】（25-26 高三上·全国·期末）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-3】（25-26 高三上·陕西榆林·月考）已知函数
，则
的解析式为
.
易错点4 忽略分段函数自变量的范围致错
易错典题
【例4】(2025 湖南长沙期中)已知函数f(x)={
- x
2+20 x -64, x∈[3,12),
- x - 324
x +76, x∈[12,40],则f(f(10))的值为
;f(x)的最大值为 .
【答案】31;40
【解析】∵f(10)=-102+20×10-64=36, f(f(10))=f(36)=-36-
∴
324
36 +76=31.
当x∈[3,12)时,f(x)=-x2+20x-64=-(x-10)2+36,
故当
x=10
时
,f(x)
取得最大值
, 为
f(10)=36
(易错点).
6
注意求的是x∈[3,12)时f(x)的最大值
当x∈[12,40]时,f(x)=-x-324
x +76=-(x + 324
x )+76≤-2√x· 324
x
+76=40,当且仅当x=324
x ,即x=18 时,等号成立,
则f(x)的最大值为f(18)=40.
而36<40,所以f(x)的最大值为40.
【错因分析】本题是分段函数的求值问题,多重函数求值时要注意由内算到外,同时要注意找准自变量取值
所对应的解析式;第二个空是求分段函数的最值,要考虑其在每一段定义域内的最值,最后进行比较.
知识混淆：将分段函数的最值与某一段的最值混为一谈.
概念模糊：对分段函数的概念理解不够透彻，从而导致思维存在漏洞.
望文生义：受思维定势的影响，对于分段函数的求值问题只考虑第一段解析式，而忽略了其他段解析式.
避错攻略
【方法总结】分段函数分段处理！
【知识链接】1．分段函数的定义
在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数，通常叫做分段函数．
【理解】(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．
(2)处理分段函数问题时，要首先确定自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．要
注意写解析式时各区间端点的开闭，做到不重复、不遗漏．
(3)分段函数的定义域是各段定义域的并集，分段函数的值域是分别求出各段上的值域后取并集．
2．分段函数的题型
（1）分段函数图象的画法
①作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图
象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.
②对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分
段函数，然后分段作出函数图象.
（2）分段函数的求值
①确定要求值的自变量属于哪一段区间．
②代入该段的解析式求值，直到求出值为止．
（3）求某条件下自变量的值(或范围)
先对x 的取值范围分类讨论，然后代入不同的解析式，解方程(不等式)求解，注意需检验所求的值是
否在所讨论的区间内．若题目是含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．
（4）根据分段函数的解析式解不等式
①对变量分类讨论代入相应的解析式求解．
②画出分段函数的图像判断单调性，利用单调性求解．
（5）求分段函数的最值
分别求出每一段的最值或值域进行比较求出最值
（6）根据单调性求参数
从两方面入手，一是分析各段的单调性，二是比较分段点的大小关系.
7
举一反三
【变式4-1】（2024·吉林·模拟预测）已知
若
，则实数
的值为（ ）
A．1
B．4
C．1 或4
D．2
【变式4-2】（2024·浙江温州·一模）已知函数
的值域为
，则实数
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-3】（2024·浙江温州·一模）已知函数
的值域为
，则实数
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
易错点5 混淆“单调区间”与“在区间上单调”致错
易错典题
【例5】（25-26 高三上·河北·期中）已知函数f(x)=|2x+a|.
(1)若f(x)的单调递增区间为[3,+∞),求实数a 的值;
(2)若f(x)在区间[3,+∞)上单调递增,求实数a 的取值范围.
【解析】(1)由题意知f(x)={
-2 x -a, x<−a
2 ,
2 x +a, x ≥−a
2 ,
∴函数f(x)的单调递增区间为[- a
2 ,+∞),
3=-
∴
a
2, ( 易错点)
- a
2为增区间和减区间的分界点
解得a=-6.
8
(2)由(1)可知, f(x)的单调递增区间为[- a
2 ,+∞),
f(x)
∵
在[3,+∞)上单调递增,
-
∴a
2≤ 3, (易错点)
[3,+∞)为单调增区间的子区间
即a≥-6.
∴实数a 的取值范围为[-6,+∞).
【错因分析】将单调区间为I 与在区间I 上单调视为同一个概念，从而造成错解.
知识混淆：混淆“单调区间”与“在区间上单调”，导致思维混乱.
概念模糊：未正确理解函数单调性的概念，从而导致思维受阻.
望文生义：遇到在区间I 上单调就想当然认为I 是单调区间，从而造成逻辑错误.
避错攻略
【方法总结】单调区间是指一个函数的定义域中所有具有递增或递减性质的区间;在区间上单调是指函数在
某一个区间上单调,二者有本质区别,若函数在区间[a,b]上单调,则该函数在此区间的任意子区间上具有相同
的单调性.
【知识链接】
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
设函数y＝f(x)的定义域为D，如果∀x1，x2∈D
当x1＜x2时，都有f ( x 1) ＜
f ( x 2)，那么就称函数y
＝f(x)是增函数；当I 是定义域D 上的一个区间
时，也称函数y＝f(x)在区间I 上单调递增
当x1＜x2时，都有f ( x 1) ＞
f ( x 2)，那么就称函数y
＝f(x)是减函数；当I 是定义域D 上的一个区间
时，也称函数y＝f(x)在区间I 上单调递减
图象
描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I 上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在区间I 上具有单调性，区间I 叫做
函数y＝f(x)的单调区间.
[微提醒] (1)求函数单调区间或讨论函数单调性必须先求函数的定义域.(2)一个函数的同一种单调区间用
“和”或“，”连接，不能用“∪”连接.(3)函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是
单调函数.
2.函数单调性的相关结论
9
(1)函数单调性的两个等价结论
①∀x1，x2∈I 且x1≠x2，有f ( x1)−f ( x2)
x1－x2
＞0 或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在区间I 上单调递增.
②∀x1，x2∈I 且x1≠x2，有f ( x1)−f ( x2)
x1－x2
＜0 或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在区间I 上单调递减.
(2)在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减
函数－增函数＝减函数.
(3)函数y＝f(x)(f(x)＞0 或f(x)＜0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝
1
f ( x )的单调性相反.
(4)复合函数y＝f(g(x))的单调性的判断方法：同增异减.
举一反三
【变式5-1】（25-26,重庆文理学院附属中学校高三上期末）函数
在区间
上是增函数，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】（多选）（25-26 高三上·重庆璧山·期中）已知幂函数
是
上的
偶函数，且函数
在区间
上单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-3】（25-26 高三上·浙江宁波·期中）已知函数
，则下列选项正确的是（
）
A．若
的定义域为
，则
B．若
的定义域为
，则
C．若
的值域为
，则
D．若
在
上单调递增，则
易错点6 忽略对参数取值范围讨论而致错
易错典题
【例6】（2026 安徽天一大联考）若函数
在
上单调递减，则实数
的取值
10
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】 当
时，
为增函数，不合题意；
当
时，
为常数函数，不合题意；
所以
，即
；
于是得
（易错点），
注意考虑每一段函数的单调性
解得
.
【错因分析】本题考查由分段函数单调性求参数的取值范围，其中第一段需对x 的系数分类讨论，第二段
需考虑对称轴与区间
的关系，此外本题还需注意端点1 处函数值的大小关系，即由第一段解析式计
算出的1 处函数值必须不小于由第二段解析式计算出的1 处的函数值.
知识混淆：混淆在定义域内单调与在某一段单调.
概念模糊：未正确理解函数单调性的概念，从而在研究分段函数的单调性时考虑不全面.
望文生义：对参数讨论想当然只讨论各段解析式的单调性，未从整体角度考虑各段之间端点处函数值的限
制条件，从而导致错解.
避错攻略
【方法总结】对于含参的函数问题，要注意恰当讨论，对于含参的分段函数问题，除了要注意研究各段解
析式的性质，还要从整体上把握分段函数的性质.
【知识链接】
1.求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，
切记代入检验．
2.已知分段函数的单调性求参数，切记不要漏掉分段点处函数值大小的比较，常见的类型及应满足的条件
如下：
类型1：函数
，在
上单调増递，则
满足两个条件：
(1)
在
上单调増递增；
(2)
在
上单调増递增；
(3)
.
类型2：函数
，在
上单调増递减，则
满足两性个条件：
11
(1)
在
上单调増递减；
(2)
在
上单调増递减；
(3)
.
举一反三
【变式6-1】（2026·山东·一模）已知
且
，若函数
在
上具有单调性，则实数
的取值范围是 ．
【变式6-2】（24-25 高三上·山东聊城·期中）设
，若
为
的最小
值，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-3】（2026 江西智慧上进期中）已知函数
．
(1)用定义证明
在区间
上单调递增；
(2)若
在区间
上的值域为
，求
、
的值．
一、
单选题
1．（2025 高三上·四川眉山·专题练习）函数
的定义域为[1,2]，则函数
的定义域为
（ ）
A．[0,1]
B．[1,2]
C．[2,4]
D．[4,16]
2．（24-25 高三下·福建泉州·开学考试）已知
的定义域为
，则
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
12
3．（25-26 高三上·全国·期末）函数
的值域为（ ）．
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 高三上·陕西咸阳·期末）已知函数
在
上单调递增，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（25-26 高三上·宁夏吴忠·期中）已知定义在区间
上的偶函数
，当
时，满足对任
意的
，都有
成立，若
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（25-26 高三·浙江杭州·期末）已知函数
且
，对任意的
，且
时，满足
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（25-26 高三上·黑龙江哈尔滨·期末）若函数
存在最大值，则实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（25-26 高一上·江西赣州·期末）已知函数
定义域为
且
，其图象是一条连
续不断的曲线，且满足
，若
，当
时，总有
成立，
且满足
的实数
的取值范围是
，则
（ ）
A．1
B．4
C．5
D．8
二、
多选题
9．（25-26 高三上·江西吉安·期中）下列说法正确的是（ ）
A．若
的定义域为
，则
的定义域为
B．若定义在
上的函数
的值域为
，则
的值域为
C．定义在
上的函数
满足
，则
13
D．已知
，则
10．（24-25 高三上·山东枣庄·阶段练习）已知函数
，则下列关于函数
的结论
正确的是（ ）
A．
B．若
，则x 的值是
C．
的解集为
D．
的值域为
11．（25-26 高三上·江苏连云港·月考）已知函数
，则（ ）
A．
是奇函数
B．当
时，
C．若
，则
，使
D．若
，则
在
上单调递增
三、
填空题
12．（25-26 高三上·湖北黄冈·月考）已知
，则
13．（2026·山东·一模）已知
且
，若函数
在
上具有单调
性，则实数
的取值范围是 ．
14．（2025 高三上·福建厦门·专题练习）若函数
在
上单调递增，则实数
的取值
范围为 .
15．（2025 高三上·上海·专题练习）函数解析式为
，值域为
，图象过点
，则
函数
的值域为 .
14
15
