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2016-2017 学年安徽省宿州市埇桥区九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分）
1．（4 分）﹣10+3 的结果是（ ）
A．﹣7 B．7C．﹣13 D．13
2．（4 分）剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一，
它在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受，它较多地利用了图形的轴对称的性质
以下几个剪纸图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（4 分）以下计算正确的是（ ）
A．x8
x
﹣4=x4 B．（a4）2=a16 C．（a3b2）3=a4b5 D．a6÷a2=a4
4．（4 分）估计
的值（ ）
A．在4 和5 之间B．在3 和4 之间C．在2 和3 之间D．在1 和2 之间
5．（4 分）某种商品原价是100 元，经两次降价后的价格是90 元．设平均每次降价
的百分率为x，可列方程为（ ）
A．100x（1
2x
﹣
）=90 B．100（1+2x）=90 C．100（1
x
﹣）2=90 D．100（1+x）2=90
6．（4 分）某校九年级（1）班全体学生2015 年初中毕业体育考试的成绩统计如下
表：
成绩（分）
35
39
42
44
45
48
50
人数（人）
2
5
6
6
8
7
6
根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（ ）
A．该班一共有40 名同学
B．该班学生这次考试成绩的众数是45 分
C．该班学生这次考试成绩的中位数是45 分
D．该班学生这次考试成绩的平均数是45 分
7．（4 分）由若干个相同的小正方体搭建而成的几何体的三视图如图所示，则这个
几何体共有小正方体（ ）
第1页（共28页）
A．4 个B．5 个C．6 个D．7 个
8．（4 分）如图所示的是由一个小矩形与52 个边长为1 的小正方形组成的大矩形
小矩形的长与宽之比是7：5，若设小矩形的长为x，宽为y，则根据题意可列方程
组（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（4 分）如图，在边长为2 的正方形ABCD 中剪去一个边长为1 的小正方形
CEFG，动点P 从点A 出发，沿A→D→E→F→G→B 的路线绕多边形的边匀速运动到
点B 停止（不含点A 和点B），则△ABP 的面积S 随着时间t 变化的函数图象大致
为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（4 分）我们把不相等的两个实数a，b 中较大的实数a 记作max{a，b}=a，例如：
max{2，3}=3，max{
1
﹣，﹣2}=
1
﹣，那么关于x 的方程max{x，2x}=3x+1 的解是（
）
A．x=
B．x=
C．x=
D．x=﹣
第2页（共28页）
二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分）
11．（5 分）我国神州十一号载人飞船于2016 年10 月17 日成功发射，并于2016
年11 月18 日成功返回地面，其中飞船的在轨时间大约为2700000 秒，用科学记
数法表示2700000 是 ．
12．（5 分）不等式组
的解集是 ．
13．（5 分）如图，将矩形纸片的两只直角分别沿EF、DF 翻折，点B 恰好落在AD 边
上的点B′处，点C 恰好落在边B′F 上．若AE=3，BE=5，则FC= ．
14．（5 分）将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中∠CAD=∠ACB=90°，
∠ACD=30°，∠B=45°，则有下列结论：①AD：BC=AE：CE；②∠BEC=70°；③BC= AD；
④CD：AB=2：，其中正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填在
横线上）
三、解答题（本大题共2 小题，每小题8 分，共16 分）
15．（8 分）化简并求值：（﹣）•（a2
4
﹣），其中a=﹣．
16．（8 分）如图，在边长为1 个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点
△ABC 和直线l．
（1）画出△ABC 关于直线l 成轴对称的△A0B0C0；
（2）画出将△A0B0C0向上平移1 个单位得到的△A1B1C1．
第3页（共28页）
四、解答题（本大题共2 小题，每小题8 分，共16 分）
17．（8 分）现有一组有规律排列的数：1、﹣1、、﹣、、﹣、1、﹣1、、﹣、、﹣
、…其中，1、﹣1、、﹣、、﹣这六个数按此规律重复出现．问：
（1）第50 个数是什么数？
（2）把从第1 个数开始的前2015 个数相加，结果是多少？
（3）从第1 个数起，把连续若干个数的平方加起来，如果和为520，则共有多少个
数的平方相加？
18．（8 分）如图，直线y1=kx+b 与双曲线y2= 交于A，B 两点，它们的横坐标分别为
1 和5．
（1）当m=5 时，①求直线AB 的解析式；
②连接AO，BO，求△AOB 的面积；
（2）当y1＞y2时，直接写出x 的取值范围．
五、解答题（本大题共2 小题，每小题10 分，共20 分）
19．（10 分）如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15 米，从A 点经过旗杆顶点恰好
看到矮建筑物的墙角C 点，且俯角α 为60°，又从A 点测得D 点的俯角β 为30°，
第4页（共28页）
若旗杆底部G 点为BC 的中点，求矮建筑物的高CD．
20．（10 分）如图，AB 是⊙O 的直径，延长BA 至点P，过点P 作⊙O 的切线PC，切
点为C，过点B 向PC 的延长线作垂线BE 交该延长线于点E，BE 交⊙O 于点D，已
知PA=1，PC= OC，
（1）求BE 的长；
（2）连结DO，延长DO 交⊙O 于F，连结PF，
①求DE 的长；
②求证：PF 是⊙O 的切线．
六、解答题（本大题共12 分）
21．（12 分）小明有一个呈等腰直角三角形的积木盒，现在积木盒中只剩下如图1
所示的九个空格，图2 是可供选择的A、B、C、D 四块积木．
（1）小明选择把积木A 和B 放入图3，要求积木A 和B 的九个小圆恰好能分别与
图3 中的九个小圆重合，请在图3 中画出他放入方式的示意图（温馨提醒：积木A
和B 的连接小圆的小线段还是要画上哦！）；
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（2）现从A、B、C、D 四块积木中任选两块，求恰好能全部不重叠放入的概率．
七、解答题（本大题共12 分）
22．（12 分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，
0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m，△AMB 的面积为
S．
求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．
（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y=
x
﹣上的动点，判断有几个位置能够
使得点P、Q、B、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．
八、解答题（本大题共14 分）
23．（14 分）已知△ABC 与△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，
AC=BC=4，AD=DE，点F 是BE 的中点，连接DF，CF．
（1）如图1，当点D 在AB 上，且点E 是AC 的中点时，求CF 的长．
（2）如图1，若点D 落在AB 上，点E 落在AC 上，证明：DF⊥CF．
（3）如图2，当AD⊥AC，且E 点落在AC 上时，判断DF 与CF 之间的关系，并说明理
由．
（4）在（3）的条件下，若AD=2，求CF 的长．
第6页（共28页）
第7页（共28页）
2016-2017 学年安徽省宿州市埇桥区九年级（下）期中数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分）
1．（4 分）（2016•南开区一模）﹣10+3 的结果是（ ）
A．﹣7 B．7C．﹣13 D．13
【分析】根据有理数的加法法则，即可解答．
【解答】解：﹣10+3=﹣（10
3
﹣）=
7
﹣，故选：A．
【点评】本题考查了有理数的加法，解决本题的关键是熟记有理数的加法法则．
2．
（4 分）
（2017 春•埇桥区期中）剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国汉族最
古老的民间艺术之一，它在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受，它较多地利用
了图形的轴对称的性质，以下几个剪纸图案是轴对称图形但不是中心对称图形的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意，故此选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形：如果一
个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；
中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图
第8页（共28页）
形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
3．（4 分）（2017 春•埇桥区期中）以下计算正确的是（ ）
A．x8
x
﹣4=x4 B．（a4）2=a16 C．（a3b2）3=a4b5 D．a6÷a2=a4
【分析】根据合并同类项、积的乘方和幂的乘方进行计算即可．
【解答】解：A、x8
x
﹣4，不能合并，故A 错误；
B、（a4）2=a8，故B 错误；
C、（a3b2）3=a9b6，故C 错误；
D、a6÷a2=a4，故D 正确；
故选D．
【点评】本题考查了积的乘方和幂的乘方，掌握运算性质是解题的关键．
4．（4 分）（2016•和平区一模）估计
的值（ ）
A．在4 和5 之间B．在3 和4 之间C．在2 和3 之间D．在1 和2 之间
【分析】先估算出的大小，进而可得出结论．
【解答】解：∵25＜31＜36，
∴5＜＜6，
∴3＜﹣2＜4．
故选B．
【点评】本题考查的是估算无理数的大小，先根据题意估算出的取值范围是解答
此题的关键．
5．（4 分）（2016•灵璧县一模）某种商品原价是100 元，经两次降价后的价格是90
元．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为（ ）
A．100x（1
2x
﹣
）=90 B．100（1+2x）=90 C．100（1
x
﹣）2=90 D．100（1+x）2=90
【分析】设该商品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格
（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是100（1
x
﹣），第二次后的价格是
100（1
x
﹣）2，据此即可列方程求解．
【解答】解：根据题意得：100（1
x
﹣）2=90．
故答案为：100（1
x
﹣）2=90．
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【点评】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到等式两边的平
衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．
6．（4 分）（2015•安徽）某校九年级（1）班全体学生2015 年初中毕业体育考试的
成绩统计如下表：
成绩（分）
35
39
42
44
45
48
50
人数（人）
2
5
6
6
8
7
6
根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（ ）
A．该班一共有40 名同学
B．该班学生这次考试成绩的众数是45 分
C．该班学生这次考试成绩的中位数是45 分
D．该班学生这次考试成绩的平均数是45 分
【分析】结合表格根据众数、平均数、中位数的概念求解．
【解答】解：该班人数为：2+5+6+6+8+7+6=40，
得45 分的人数最多，众数为45，
第20 和21 名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为：
=45，
平均数为：
=44.425．
故错误的为D．
故选D．
【点评】本题考查了众数、平均数、中位数的知识，掌握各知识点的概念是解答本
题的关键．
7．（4 分）（2017 春•埇桥区期中）由若干个相同的小正方体搭建而成的几何体的
三视图如图所示，则这个几何体共有小正方体（ ）
A．4 个B．5 个C．6 个D．7 个
【分析】根据三视图，该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有两行2
列，故可得出该几何体的小正方体的个数．
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【解答】解：综合三视图，我们可得出，这个几何体的底层应该有4 个小正方体，第
二层应该有1 个小正方体，
因此搭成这个几何体的小正方体的个数为4+1=5 个，
故选B
【点评】本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对
空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视
图拆违章”就更容易得到答案．
8．（4 分）（2017 春•埇桥区期中）如图所示的是由一个小矩形与52 个边长为1 的
小正方形组成的大矩形，小矩形的长与宽之比是7：5，若设小矩形的长为x，宽为
y，则根据题意可列方程组（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】设小矩形的长为x，宽为y，根据题意列方程组解答即可．
【解答】解：设小矩形的长为x，宽为y，可得：
，
故选A
【点评】本题主要考查根据实际问题列方程组的能力，将未知量根据相等关系转
化为方程是解题的关键．
9．（4 分）（2017 春•埇桥区期中）如图，在边长为2 的正方形ABCD 中剪去一个边
长为1 的小正方形CEFG，动点P 从点A 出发，沿A→D→E→F→G→B 的路线绕多边
形的边匀速运动到点B 停止（不含点A 和点B），则△ABP 的面积S 随着时间t 变
化的函数图象大致为（ ）
第11页（共28页）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据点P 在AD、DE、EF、FG、GB 上时，△ABP 的面积S 与时间t 的关系确定
函数图象．
【解答】解：当点P 在AD 上时，△ABP 的底AB 不变，高增大，所以△ABP 的面积S
随着时间t 的增大而增大；
当点P 在DE 上时，△ABP 的底AB 不变，高不变，所以△ABP 的面积S 不变；
当点P 在EF 上时，△ABP 的底AB 不变，高减小，所以△ABP 的面积S 随着时间t
的减小而减小；
当点P 在FG 上时，△ABP 的底AB 不变，高不变，所以△ABP 的面积S 不变；
当点P 在GB 上时，△ABP 的底AB 不变，高减小，所以△ABP 的面积S 随着时间t
的减小而减小；
故选：B．
【点评】本题考查的是动点问题的函数图象，正确分析点P 在不同的线段上△ABP
的面积S 与时间t 的关系是解题的关键．
10．（4 分）（2017 春•埇桥区期中）我们把不相等的两个实数a，b 中较大的实数a
记作max{a，b}=a，例如：max{2，3}=3，max{
1
﹣，﹣2}=
1
﹣，那么关于x 的方程
max{x，2x}=3x+1 的解是（ ）
A．x=
B．x=
C．x=
D．x=﹣
【分析】根据新定义分x＞2x、2x＞x 两种情况，分别列出方程求解即可．
【解答】解：①当x＞2x，即x＜0 时，有：x=3x+1，
解得：x=﹣；
②当2x＞x，即x＞0 时，有2x=3x+1，
第12页（共28页）
解得：x=
1
﹣（不合题意）；
综上，关于x 的方程max{x，2x}=3x+1 的解是﹣，
故选B．
【点评】本题主要考查对新定义的理解及解分式方程的能力，由新定义会分类讨
论是前提，准确解分式方程及方程的解的取舍是关键．
二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分）
11．
（5 分）
（2017 春•埇桥区期中）我国神州十一号载人飞船于2016 年10 月17 日
成功发射，并于2016 年11 月18 日成功返回地面，其中飞船的在轨时间大约为
2700000 秒，用科学记数法表示2700000 是
2.7
×
10
6
．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确
定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移
动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
【解答】解：将2700000 用科学记数法表示为：2.7×106．
故答案为：2.7×106
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
12．（5 分）（2014•佛山）不等式组
的解集是
x ＜
﹣
6
．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：
，
由①得，x＜﹣3，
由②得，x＜﹣6，
故此不等式组的解集为：x＜﹣6．
故答案为：x＜﹣6．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小
大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13．（5 分）（2015•武进区一模）如图，将矩形纸片的两只直角分别沿EF、DF 翻折，
点B 恰好落在AD 边上的点B′处，点C 恰好落在边B′F 上．若AE=3，BE=5，则FC=
第13页（共28页）
4
．
【分析】由折叠的性质得到B′E=BE=5，BF=B′F，∠BFE═∠EFB′，∠C′FD=∠DFC，连接
BB′，根据线段垂直平分线的性质得到EF⊥BB′，通过三角形全等可证得CF=AB′=4．
【解答】解：由题意得：B′E=BE=5，BF=B′F，∠BFE═∠EFB′，∠C′FD=∠DFC，
∴∠EFD=90°，
∴∠3+∠2=90°，
连接BB′，
∴EF⊥BB′，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
∵AE=3，四边形ABCD 是矩形，
∴∠A=∠C=90°，AD∥BC，
∴∠AB′B=∠1，AB′=
=4，
∴∠AB′B=∠2，
∵CD=AB=8，
在△ABB′与△CDF 中，
，
∴△ABB′≌△CDF（AAS），
∴CF=AB′=4．
【点评】此题考查了折叠的性质，矩形的性质，等边三角形的判定与性质以及直角
三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合
第14页（共28页）
思想的应用．
14．（5 分）（2017 春•埇桥区期中）将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中
∠CAD=∠ACB=90°，∠ACD=30°，∠B=45°，则有下列结论：①AD：BC=AE：CE；
②∠BEC=70°；③BC= AD；④CD：AB=2：，其中正确结论的序号是
③④
．（把
所有正确结论的序号都填在横线上）
【分析】由AD∥BC 知△ADE∽△BCE，即可判断①；由∠ACD=30°、∠B=∠BAC=45°，
利用外角性质可判断②；设AD=x，根据直角三角形的性质和勾股定理分别表示出
AC、BC、AB 的长，即可判断③④．
【解答】解：∵∠CAD=∠ACB=90°，
∴AD∥BC，
∴△ADE∽△BCE，
∴= ，故①错误；
∵∠ACD=30°，∠B=∠BAC=45°，
∴∠BEC=∠BAC+∠ACD=75°，故②错误；
设AD=x，则CD=2x，
∴BC=AC=
=
= x，
即BC= AD，故③正确；
∵AB=
=
= x，
∴= = ，故④正确；
故答案为：③④．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相
似三角形的判定与性质及直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键．
三、解答题（本大题共2 小题，每小题8 分，共16 分）
第15页（共28页）
15．（8 分）（2017 春•埇桥区期中）化简并求值：（﹣）•（a2
4
﹣），其中a=﹣．
【分析】根据分式的运算法则即可化简求值．
【解答】解：原式=（a
2
﹣）2﹣（a+2）2
=a2
4a
﹣
+4
a
﹣
2
4a
4
﹣
﹣
=
8a
﹣
当a=﹣时，
原式=2
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于
基础题型．
16．（8 分）（2017 春•埇桥区期中）如图，在边长为1 个单位长度的小正方形组成
的网格中，给出了格点△ABC 和直线l．
（1）画出△ABC 关于直线l 成轴对称的△A0B0C0；
（2）画出将△A0B0C0向上平移1 个单位得到的△A1B1C1．
【分析】（1）先画出A、B、C 的对称点A0、B0、C0即可；
（2）点A0、B0、C0的对称点A1、B1、C1即可；
【解答】解：（1）△ABC 关于直线l 成轴对称的△A0B0C0如图所示；
（2）将△A0B0C0向上平移1 个单位得到的△A1B1C1如图所示；
第16页（共28页）
【点评】本题考查轴对称变换、平移变换等知识，解题的关键是作出对称点以及对
应点解决问题，属于中考常考题型．
四、解答题（本大题共2 小题，每小题8 分，共16 分）
17．（8 分）（2015•蜀山区一模）现有一组有规律排列的数：1、﹣1、、﹣、、﹣、
1、﹣1、、﹣、、﹣、…其中，1、﹣1、、﹣、、﹣这六个数按此规律重复出现．
问：
（1）第50 个数是什么数？
（2）把从第1 个数开始的前2015 个数相加，结果是多少？
（3）从第1 个数起，把连续若干个数的平方加起来，如果和为520，则共有多少个
数的平方相加？
【分析】（1）首先根据这列数的排列规律，可得每6 个数一个循环：1、﹣1、、﹣、
、﹣；然后用50 除以6，根据余数的情况判断出第50 个数是什么数即可；
（2）首先用2015 除以6，求出一共有多少个循环，以及剩下的数是多少；然后用循
环的个数乘以1+（﹣1）+ +（﹣）+（）+（﹣），再加上剩下的数，求出把从第1 个
数开始的前2015 个数相加，结果是多少即可；
（3）首先求出1、﹣1、、﹣、、﹣六个数的平方和是多少；然后用520 除以六个
数的平方和，根据商和余数的情况，判断出一共有多少个数的平方相加即可．
【解答】解：（1）这列数每6 个数一个循环：1、﹣1、、﹣、、﹣；
∵50÷6=8…2，
∴第50 个数是﹣1．
第17页（共28页）
（2）∵2015÷6=335…5，1+（﹣1）+ +（﹣）+（）+（﹣）=0，
，
∴从第1 个数开始的前2015 个数的和是：
335×0+ = ．
（3）∵
=12，
520÷12=43…4，而且
，
∴43×6+3=261，
即共有261 个数的平方相加．
【点评】此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用
规律，解答此题的关键是判断出：这列数每6 个数一个循环：1、﹣1、、﹣、、﹣
，而且每个循环的6 个数的和是0．
18．（8 分）（2017 春•埇桥区期中）如图，直线y1=kx+b 与双曲线y2= 交于A，B 两点，
它们的横坐标分别为1 和5．
（1）当m=5 时，①求直线AB 的解析式；
②连接AO，BO，求△AOB 的面积；
（2）当y1＞y2时，直接写出x 的取值范围．
【分析】（1）①由反比例函数图象上点的坐标特征可得出点A、B 的坐标，根据点
A、B 的坐标利用待定系数法，即可求出直线AB 的解析式；
②设直线AB 与x 轴的交点为E，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点E 的
坐标，根据三角形的面积公式结合S△AOB=S△AOE
S
﹣△BOE，即可求出△AOB 的面积；
（2）观察函数图象，根据两函数图象的上下位置关系，即可找出当y1＞y2时，x 的
取值范围．
【解答】解：（1）①当x=1 时，y2= =3，
第18页（共28页）
∴点A 的坐标为（1，5）；
当x=5 时，y2= =1，
∴点B 的坐标为（5，1）．
将点A（1，5）、B（5，1）代入y1=kx+b 中，
，解得：
，
∴直线AB 的解析式为y1=
x
﹣+6．
②设直线AB 与x 轴的交点为E，如图所示．
当y1=
x
﹣+6=0 时，x=6，
∴点E 的坐标为（6，0），
∴S△AOB=S△AOE
S
﹣△BOE= ×6×5﹣×6×1=12．
（2）观察函数图象可知：当x＜0 或1＜x＜5 时，直线在双曲线的上方，
∴当y1＞y2时，x 的取值范围为x＜0 或1＜x＜5．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例（一次）函数图象
上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键
是：（1）①根据点A、B 的坐标利用待定系数法求出直线AB 的解析式；②利用分割
图形求面积法求出△AOB 的面积；（2）根据两函数图象的上下位置关系，找出不
等式的解集．
五、解答题（本大题共2 小题，每小题10 分，共20 分）
19．（10 分）（2014•开江县二模）如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15 米，从A
点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C 点，且俯角α 为60°，又从A 点测得D
点的俯角β 为30°，若旗杆底部G 点为BC 的中点，求矮建筑物的高CD．
第19页（共28页）
【分析】根据点G 是BC 中点，可判断EG 是△ABC 的中位线，求出AB，在Rt△ABC
和在Rt△AFD 中，利用特殊角的三角函数值分别求出BC、DF，继而可求出CD 的长
度．
【解答】解：过点D 作DF⊥AF 于点F，
∵点G 是BC 中点，EG∥AB，
∴EG 是△ABC 的中位线，
∴AB=2EG=30 米，
在Rt△ABC 中，∵∠CAB=30°，
∴BC=ABtan∠BAC=30× =10 米．
在Rt△AFD 中，∵AF=BC=10 米，
∴FD=AF•tanβ=10 × =10 米，
∴CD=AB
FD=30
10=20
﹣
﹣
米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利
用三角函数的知识求解相关线段的长度．
20．（10 分）（2017 春•埇桥区期中）如图，AB 是⊙O 的直径，延长BA 至点P，过点
P 作⊙O 的切线PC，切点为C，过点B 向PC 的延长线作垂线BE 交该延长线于点
E，BE 交⊙O 于点D，已知PA=1，PC= OC，
（1）求BE 的长；
第20页（共28页）
（2）连结DO，延长DO 交⊙O 于F，连结PF，
①求DE 的长；
②求证：PF 是⊙O 的切线．
【分析】（1）在直角△OPC 中，利用勾股定理即可得到圆的半径长，然后利用相似
三角形的性质求得BE 的长；
（2）①证明△OBD 是等边三角形，即可求得DE 的长；
②首先证明△OPC≌△OPF，根据切线的判定定理即可证得．
【解答】解：（1）设圆的半径是r，则OP=PA+r=1+r，OC=r，PC= r．
∵PC 是圆的切线，
∴∠PCO=90°，
∴在直角△PCO 中，PC2+OC2=OP2，即（r）2+r2=（1+r）2，
解得：r=1 或r=﹣（舍去负值）．
在直角△OPC 中，cos∠POC= = ，
∴∠POC=60°，
∵∠PCO=90°，BE⊥BC，
∴BE∥OC，
∴△OPC∽△BPE，∠B=∠POC=60°，
∴= = ，
∴BE= OC= ；
（2）①在△OBD 中，OB=OD，∠B=60°，
∴△OBD 是等边三角形，BD=OB=1，∠BOD=60°．
∴DE=BE
BD=
﹣
1=
﹣
；
②∵在△OPC 和△OPF 中，
，
第21页（共28页）
∴△OPC≌△OPF（SAS），
∴∠OFP=∠OCP=90°，
∴PF 是⊙O 的切线．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理、切线的判定、三角函
数的综合应用，利用勾股定理求得圆的半径是关键．
六、解答题（本大题共12 分）
21．（12 分）（2016•曲靖模拟）小明有一个呈等腰直角三角形的积木盒，现在积木
盒中只剩下如图1 所示的九个空格，图2 是可供选择的A、B、C、D 四块积木．
（1）小明选择把积木A 和B 放入图3，要求积木A 和B 的九个小圆恰好能分别与
图3 中的九个小圆重合，请在图3 中画出他放入方式的示意图（温馨提醒：积木A
和B 的连接小圆的小线段还是要画上哦！）；
（2）现从A、B、C、D 四块积木中任选两块，求恰好能全部不重叠放入的概率．
【分析】（1）按要求画出图形；
（2）先利用画树状图展示所有12 种等可能的结果数，再找出恰好能全部不重叠
放入的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）如图3，
第22页（共28页）
（2）画树状图：
共有12 种等可能的结果数，其中恰好能全部不重叠放入的结果数为4，
所以恰好能全部不重叠放入的概率= = ．
【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能
的结果求出n，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m，然后根据概率公式求
出事件A 或B 的概率．
七、解答题（本大题共12 分）
22．
（12 分）
（2010•河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，
﹣4），C（2，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m，△AMB 的面积为
S．
求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．
（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y=
x
﹣上的动点，判断有几个位置能够
使得点P、Q、B、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．
第23页（共28页）
【分析】（1）先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式．
（2）设出M 点的坐标，利用S=S△AOM+S△OBM
S
﹣△AOB即可进行解答；
（3）当OB 是平行四边形的边时，表示出PQ 的长，再根据平行四边形的对边相等
列出方程求解即可；当OB 是对角线时，由图可知点A 与P 应该重合．
【解答】解：（1）设此抛物线的函数解析式为：
y=ax2+bx+c（a≠0），
将A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点代入函数解析式得：
解得
，
所以此函数解析式为：y=
；
（2）∵M 点的横坐标为m，且点M 在这条抛物线上，
∴M 点的坐标为：（m，
），
∴S=S△AOM+S△OBM
S
﹣△AOB
= ×4×（﹣m2
m
﹣+4）+ ×4×（﹣m）﹣×4×4
=
m
﹣
2
2m
﹣
+8
2m
8
﹣
﹣
=
m
﹣
2
4m
﹣
，
=﹣（m+2）2+4，
∵﹣4＜m＜0，
当m=
2
﹣时，S 有最大值为：S=
4
﹣+8=4．
答：m=
2
﹣时S 有最大值S=4．
第24页（共28页）
（3）设P（x，x2+x
4
﹣）．
当OB 为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ=OB，
∴Q 的横坐标等于P 的横坐标，
又∵直线的解析式为y=
x
﹣，
则Q（x，﹣x）．
由PQ=OB，得|
x
﹣﹣（x2+x
4
﹣）|=4，
解得x=0，﹣4，﹣2±2 ．
x=0 不合题意，舍去．
如图，当BO 为对角线时，知A 与P 应该重合，OP=4．四边形PBQO 为平行四边形
则BQ=OP=4，Q 横坐标为4，代入y=
x
﹣得出Q 为（4，﹣4）．
由此可得Q（﹣4，4）或（﹣2+2 ，2
2
﹣
）或（﹣2
2
﹣
，2+2 ）或（4，﹣4）．
【点评】本题考查了三点式求抛物线的方法，以及抛物线的性质和最值的求解方
法．
八、解答题（本大题共14 分）
23．（14 分）（2017 春•埇桥区期中）已知△ABC 与△ADE 都是等腰直角三角形，
∠ACB=∠ADE=90°，AC=BC=4，AD=DE，点F 是BE 的中点，连接DF，CF．
（1）如图1，当点D 在AB 上，且点E 是AC 的中点时，求CF 的长．
（2）如图1，若点D 落在AB 上，点E 落在AC 上，证明：DF⊥CF．
（3）如图2，当AD⊥AC，且E 点落在AC 上时，判断DF 与CF 之间的关系，并说明理
由．
第25页（共28页）
（4）在（3）的条件下，若AD=2，求CF 的长．
【分析】（1）在直角△BCE 中，利用“勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜
边的一半”解答；
（2）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知DF=BF，根据
∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，得到∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°，DF⊥BF；
（3）DF 与CF 相等且垂直．如图2，延长DE 交BC 于点G，连接FG，易证DG⊥BC．构
建矩形ADGC，结合矩形的性质推知△DEF≌△CGF，由该全等三角形的性质推知：
DF 与CF 相等且垂直．
（4）如图2，连接CD．根据勾股定理可知CD=2 ．再由等腰直角△CDF 的性质和勾
股定理得到：CF=CD÷ = ．
【解答】解：（1）如图1，∵AC=BC=4，点E 是AC 的中点，
∴EC=2．
在直角△BCE 中，BE2=BC2+CE2=20，
∴BE=2 ．
∵CF 是直角△BCE 斜边上的中线，
∴CF= = ；
（2）证明：如图1，∵∠ACB=∠ADE=90°，点F 为BE 中点
∴DF= BE，CF= BE，
∴DF=CF．
∵△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°
∵BF=DF，
∴∠DBF=∠BDF，
第26页（共28页）
∵∠DFE=∠ABE+∠BDF，
∴∠DFE=2∠DBF，
同理得：∠CFE=2∠CBF，
∴∠EFD+∠EFC=2∠DBF+2∠CBF=2∠ABC=90°，
∴DF⊥CF．
（3）DF 与CF 相等且垂直．
如图2，延长DE 交BC 于点G，连接FG，易证DG⊥BC．
∵∠DEA=45°，
∴∠BEG=45°，∠DEF=135°．
又∵∠B=45°，
∴BG=EG．
∵点F 是BE 的中点，
∴FG=FE，FG⊥BE，∠EGF=45°，
∴∠FGC=∠EGF+EGC=135°，
∴∠DEF=∠CGF．
又∵∠ADE=90°，∠ACB=90°，DG⊥BC，
∴四边形ADGC 是矩形，
∴AD=GC，
∴DE=GC，
∴△DEF≌△CGF，
∴∠DFE=∠CFG，DF=CF．
∵∠DFE+∠CFE=90°，
∴CF⊥DF，
∴DF 与CF 相等且垂直．
（4）如图2，连接CD．
∵AD=2，AC=4，根据勾股定理可知CD=2 ．
而根据（3）可知，△CDF 是等腰直角三角形，
∴CF=CD÷ = ．
第27页（共28页）
【点评】此题主要考查三角形综合题，需要掌握等腰直角三角形的性质，三角形的
全等，勾股定理，用勾股定理依次计算线段的长是解本题的关键，也是难点．
第28页（共28页）
