微专题29 统计与成对数据的统计分析
高考定位 高考对本专题内容的考查往往以实际问题为背景,考查随机抽样与用样本估计总体、经
验回归方程的求解与运用、独立性检验问题,常与概率综合考查,中等难度.
【真题体验】
1.(2025·新高考Ⅱ卷)样本数据2,8,14,16,20 的平均数为( )
A.8
B.9
C.12
D.18
答案 C
解析 由题意1
5(2＋8＋14＋16＋20)＝12.
2.(2025·新高考Ⅰ卷)为研究某疾病与超声波检查结果的关系,从做过超声波检查的人群中随机调查
了1 000 人,得到如下列联表:
组别
超声波检查结果
合计
正常
不正常
患该疾病
20
180
200
未患该疾病
780
20
800
合计
800
200
1 000
(1)记超声波检查结果不正常者中患有该疾病的概率为p,求p 的估计值;
(2)根据小概率值α＝0.001 的独立性检验,分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附:χ2＝
n(ad −bc)
2
(a＋b)(c＋d )(a＋c)(b＋d ),
α
0.050
0.010
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
解 (1)由题表可知,检查结果不正常者有200 人,检查结果不正常者中患有该疾病的有180 人,
所以由样本估计总体得p＝180
200＝0.9.
(2)零假设H0:超声波检查结果与是否患该疾病无关.
χ2＝1 000×(20×20−180×780)
2
800×200×200×800
＝765.625>10.828,
所以依据小概率值α＝0.001 的独立性检验,我们推断H0不成立,
即认为超声波检查结果与是否患该疾病有关.
3.(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的
总材积量,随机选取了10 棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积(单位:m2)和材积量(单位:m3),得
到如下数据:
样本号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
根部横
截
面积xi
0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06
0.6
材积量
yi
0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40
3.9
并计算得
10
∑
i=1
xi
2＝0.038,
10
∑
i=1
yi
2＝1.615 8,
10
∑
i=1
xiyi＝0.247 4.
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01);
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186
m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积
量的估计值.
附:相关系数r＝
n
∑
i=1
( xi−x)( yi−y)
√
n
∑
i=1
( xi−x)
2n
∑
i=1
( yi−y)
2
,√1.896≈1.377.
解 (1)样本中10 棵这种树木的根部横截面积的平均值x＝0.6
10 ＝0.06(m2),
样本中10 棵这种树木的材积量的平均值
y ＝3.9
10 ＝0.39(m3),
据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06 m2,平均一棵的材积量为0.39 m3.
(2)样本的相关系数
r＝
10
∑
i=1
( xi−x)( yi−y)
√
10
∑
i=1
( xi−x)
210
∑
i=1
( yi−y)
2
＝
10
∑
i=1
xi yi−10 x y
√
(
10
∑
i=1
xi
2−10 x
2)(
10
∑
i=1
yi
2−10 y
2)
＝
0.247 4−10×0.06×0.39
√(0.038−10×0.06
2)(1.615 8−10×0.39
2)
＝
0.013 4
√0.000 189 6≈0.013 4
0.013 77≈0.97.
(3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为Y m3,
又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比,可得0.06
0.39 ＝186
Y ,解得Y＝1 209(m3).
则该林区这种树木的总材积量估计为1 209 m3.
【热点突破】
热点一 用样本估计总体
1.频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距,纵坐标表示频率
组距,频率＝组距× 频率
组距.
2.在频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.
3.利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数.
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即众数.
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和相等.
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方
形底边中点的横坐标之和.
考向1 统计图表与数字特征的应用
例1 (1)(多选)某市2020 年到2025 年常住人口变化图如图所示,则( )
A.该市2020 年到2025 年这6 年的常住人口的极差约为38 万
B.该市2020 年到2025 年这6 年的常住人口呈递增趋势
C.该市2020 年到2025 年这6 年的常住人口的第60 百分位数为730.50 万
D.该市2020 年到2025 年这6 年的常住人口的中位数为717.02 万
(2)(2025·潍坊模拟)若一组样本数据x1,x2,x3,x4的平均数为2,方差为4,则数据x1,x2,x3,x4,2x1＋
2,2x2＋2,2x3＋2,2x4＋2 的平均数和方差分别为( )
A.4,14
B.4,6
C.3,14
D.3,6
答案 (1)ACD (2)A
解析 (1)由图可知,该市2020 年到2025 年这6 年的常住人口的极差约为736.00－698.12≈38(万),A
正确;
这6 年的常住人口前3 年呈递增趋势,后三年也递增,但后三年的常住人口低于前3 年,B 错误;
该市2020 年到2025 年这6 年的常住人口按照从小到大的顺序排列为
698.12,703.09,703.54,730.50,732.20,736.00,6×0.6＝3.6,所以第60 百分位数为730.50 万,中位数
为703.54＋730.50
2
＝717.02(万),C,D 均正确.
(2)因为一组样本数据x1,x2,x3,x4的平均数为2,方差为4,
则x＝1
4
4
∑
i=1
xi＝2,可得
4
∑
i=1
xi＝8,
方差为s2＝1
4
4
∑
i=1
( xi−2)
2＝4,
可得
4
∑
i=1
( xi−2)
2＝16,
因此,数据x1,x2,x3,x4,2x1＋2,2x2＋2,2x3＋2,2x4＋2 的平均数为
x'＝1
8[
4
∑
i=1
xi＋
4
∑
i=1
(2 xi＋2)]
＝1
8(3
4
∑
i=1
xi＋8)＝3×8＋8
8
＝4,
方差为s'2＝1
8[
4
∑
i=1
( xi−4)
2＋
4
∑
i=1
(2 xi＋2−4)
2]
＝1
8[
4
∑
i=1
( xi−2−2)
2＋
4
∑
i=1
(2 xi−4＋2)
2]
＝1
8
4
∑
i=1
[(xi－2－2)2＋(2xi－4＋2)2]
＝5
8
4
∑
i=1
(xi－2)2＋4
8
4
∑
i=1
(xi－2)＋4
＝5
8×16＋4
8×(8－2×4)＋4＝14.
考向2 用样本的频率分布估计总体分布
例2 (多选)(2025·哈尔滨二模)某高中为了解该校学生的体质情况,对全校同学进行了身体素质测试,
现随机抽取所有测试同学中的100 名,经统计这一部分同学的体测分数均介于40 至100 之间;为进
一步分析该校学生体质情况,现将数据整理得到如图所示频率分布直方图,则下列结论正确的是(
)
A.a＝0.010
B.样本中得分不低于80 分的同学有15 名
C.估计样本的40%分位数为66 分
D.该组数据的平均数大于众数
答案 ABC
解析 对于A,由(0.005＋2a＋0.015＋0.025＋0.035)×10＝1,可得a＝0.010,正确;
对于B,样本中得分不低于80 分的频率为(0.01＋0.005)×10＝0.15,故样本中得分不低于80 分的同
学有100×0.15＝15,正确;
对于C,第一个矩形面积为0.1,第二个矩形面积为0.15,第三个矩形面积为0.25,
0.1＋0.15＝0.25,0.1＋0.15＋0.25＝0.5,
所以样本的40%分位数60＋10×3
5＝66,正确;
对于D,平均数为45×0.1＋55×0.15＋65×0.25＋75×0.35＋85×0.1＋95×0.05＝68.5,
众数为75,故D 错误.
易错提醒 1.对于给出的统计图表,一定要结合问题背景理解图表意义.
2.频率分布直方图中纵坐标不要误以为是频率.
训练1 (1)(2025·温州二模)某班级有30 名男生和20 名女生,现调查学生周末在家学习时长(单位:小
时),得到男生样本数据的平均值为8,方差为2,女生样本数据的平均值为10.5,方差为0.75,则该班
级全体学生周末在家学习时长的平均值x和方差s2的值分别是( )
A.x＝9.5,s2＝1.5
B.x＝9,s2＝1.5
C.x＝9.5,s2＝3
D.x＝9,s2＝3
(2)(多选)(2025·沧州模拟)某学校组织“综合体能测试”,现从所有参加体能测试的学生中,随机抽
取100 名学生的“综合体能测试”成绩,并统计如下,则( )
成绩
[70,75]
(75,80]
(80,85]
(85,90]
(90,95]
(95,100]
频数
6
12
18
30
24
10
A.这100 名学生的“综合体能测试”成绩高于80 的学生超八成
B.这100 名学生的“综合体能测试”成绩的中位数大于85
C.这100 名学生的“综合体能测试”成绩的众数为85
D.这100 名学生的“综合体能测试”成绩的平均数在90 至95 之间
答案 (1)D (2)AB
解析 (1)x＝
30
30＋20·8＋
20
30＋20·21
2
＝24
5 ＋21
5 ＝9,
s2＝
30
30＋20·[2＋(9－8)2]＋
20
30＋20·[0.75＋(9－10.5)2]＝3.
(2)A 中,这100 名学生的“综合体能测试”成绩高于80 的学生人数为18＋30＋24＋10＝82,所以A
正确;
B 中,成绩不超过85 的学生人数为6＋12＋18＝36,所以B 正确;
C 中,成绩分布在(85,90]的人数为30,但不一定成绩的众数为85,所以C 不正确;
D 中,由于1
100(75×6＋80×12＋85×18＋90×30＋95×24＋100×10)＝89.2,所以D 不正确.
热点二 回归分析
求经验回归方程的步骤
(1)依据成对样本数据画出散点图,确定两个变量具有线性相关关系(有时可省略).
(2)计算出x,y,
n
∑
i=1
xi
2,
n
∑
i=1
xiyi的值.
(3)计算^a,^b.
(4)写出经验回归方程.
例3 (2025·福州质检)近几年我国新能源汽车产业快速发展,据行业数据显示,新能源汽车的数量在
不断增加.下表为某城市统计的近5 年新能源汽车的新增数量,其中x 为年份代号,y(单位:万辆)代表
新增新能源汽车的数量.
年份
2020
2021
2022
2023
2024
年份代号x
1
2
3
4
5
新增新能源
汽车y/万辆
1.2
1.8
2.5
3.2
3.8
(1)计算样本相关系数r,判断是否可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系,当|r|∈[0.75,1]时,可以认
为两个变量有很强的线性相关性;否则,没有很强的线性相关性.
(2)求y 关于x 的经验回归方程,并据此估计该城市2026 年的新增新能源汽车的数量;
参考数据:√43.6≈6.603.
参考公式:^b＝
n
∑
i=1
( xi−x)( yi−y)
n
∑
i=1
( xi−x)
2
,^a＝y －^b x,r＝
n
∑
i=1
( xi−x)( yi−y)
√
n
∑
i=1
(xi−x)
2
√
n
∑
i=1
( yi−y)
2
.
解 (1)由题意可得x＝1
5(1＋2＋3＋4＋5)＝3,
y ＝1
5(1.2＋1.8＋2.5＋3.2＋3.8)＝2.5,
则r＝
5
∑
i=1
xi yi−5 x y
√(
5
∑
i=1
xi
2−5 x
2)√
5
∑
i=1
( yi−y)
2
＝
1.2＋3.6＋7.5＋12.8＋19−5×3×2.5
√55−5×3
2×√1.69＋0.49＋1.69＋0.49
＝
6.6
√10×√4.36≈6.6
6.603≈0.999 5,
因为0.999 5>0.75,故可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系.
(2)由题意可得^b＝
5
∑
i=1
xi yi−5 x y
5
∑
i=1
xi
2−5 x
2
＝6.6
10 ＝0.66,
^a＝y －^b x＝2.5－0.66×3＝0.52,
则y 关于x 的经验回归方程为^y＝0.66x＋0.52,
当x＝7 时,^y＝0.66×7＋0.52＝5.14,
所以估计该市2026 年新增新能源汽车5.14 万辆.
易错提醒 1.样本点不一定在经验回归直线上,但点(x,y)一定在经验回归直线上.
2.求^b时,灵活选择公式,注意公式的推导和记忆.
3.利用样本相关系数判断相关性强弱时,看|r|的大小,而不是r 的大小.
4.区分样本相关系数r 与决定系数R2.
5.通过经验回归方程求的都是估计值,而不是真实值.
训练2 当前,新一轮科技革命和产业变革蓬勃兴起,以区块链为代表的新一代信息技术迅猛发展,
现收集某地近6 年区块链企业总数量相关数据,如表:
年份
2020
2021
2022
2023
2024
2025
编号x
1
2
3
4
5
6
企业总数
量y/百个
50
78
124
121
137
352
(1)若用模型y＝aebx拟合y 与x 的关系,根据提供的数据,求出y 与x 的经验回归方程;
(2)为了促进公司间的合作与发展,区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛,邀请甲、乙、丙
三家区块链公司参赛.比赛规则如下:①每场比赛有两个公司参加,并决出胜负;②每场比赛获胜的公
司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛;③在比赛中,若有一个公司首先获胜两场,则本次比
赛结束,该公司获得此次信息化技术比赛的“优胜公司”称号.已知在每场比赛中,甲胜乙的概率为
1
2,甲胜丙的概率为1
3,乙胜丙的概率为3
5,若首场由甲乙比赛,求甲公司获得“优胜公司”称号的概
率.
参考数据:
6
∑
i=1
ui＝28.5,
6
∑
i=1
xiui＝106.05,其中,ui＝ln yi.
参考公式:对于一组数据(xi,yi)(i＝1,2,3,…,n),其经验回归方程^y ＝^bx＋^a的斜率和截距的最小二乘
估计分别为^b＝
n
∑
i=1
xi yi−n x· y
n
∑
i=1
xi
2−n x
2
,^a＝y －^b x.
解 (1)令^u＝ln ^y＝ln(^ae
^b x)＝^bx＋ln ^a,
x＝1＋2＋3＋4＋5＋6
6
＝3.5,u＝28.5
6 ＝4.75,
则^b＝
6
∑
i=1
xiui−n x·u
6
∑
i=1
xi
2−n x
2
＝
106.05−6×3.5×4.75
1
2＋2
2＋3
2＋4
2＋5
2＋6
2−6×3.5
2＝0.36,
ln ^a＝4.75－0.36×3.5＝3.49,所以^a＝e3.49,
所以y＝e3.49·e0.36x＝e0.36x＋3.49.
(2)设甲公司获得“优胜公司”称号为事件A,
则P(A)＝1
2 × 1
3 ＋1
2 × 2
3 × 3
5 × 1
2 ＋1
2 × 2
5 × 1
3 × 1
2 ＝3
10,
所以甲公司获得“优胜公司”称号的概率为3
10.
热点三 独立性检验
独立性检验的一般步骤
(1)根据样本数据列成2×2 列联表;
(2)根据公式
χ2＝
n(ad −bc)
2
(a＋b)(c＋d )(a＋c)(b＋d),计算χ2的值;
(3)查表比较χ2与临界值的大小关系,作统计判断.χ2越大,对应假设事件H0成立(两类变量相互独立)
的概率越小,H0不成立的概率越大.
例4 (2025·菏泽模拟)在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演,某机构随机抽取了100 名观
众进行问卷调查,得到了如下数据:
喜欢
不喜欢
男性
40
10
女性
20
30
(1)依据α＝0.001 的独立性检验,试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联?
(2)从这100 名样本观众中任选1 名,设事件A＝“选到的观众是男性”,事件B＝“选到的观众喜
欢机器人团体舞蹈表演节目”,比较P(B|A)和P(B|A)的大小,并解释其意义.
χ2＝
n(ad −bc)
2
(a＋b)(c＋d )(a＋c)(b＋d),n＝a＋b＋c＋d.
α
0.050
0.010
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
解 (1)零假设H0:是否喜欢机器人表演节目与性别无关.
根据列联表中的数据得
χ2＝100×(40×30−10×20)
2
50×50×60×40
＝50
3
≈16.667>10.828＝x0.001,
依据α＝0.001 的独立性检验,可以推断H0不成立,
即是否喜欢机器人表演节目与性别有关联.
(2)依题意得P(B|A)＝n( AB)
n( A ) ＝40
50 ＝4
5 ,
P(B|A)＝n( A B)
n( A) ＝20
50 ＝2
5,
则P(B|A)>P(B|A),
意义:该样本中男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的概率比女性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢
的概率大;
或者男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的人数比女性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的人数多
等等.
易错提醒 1.χ2越大,两分类变量无关的可能性越小,推断犯错误的概率越小,通过表格查得无关的
可能性.
2.有99.5%的把握认为两个变量有关,就是在犯错误的概率不超过0.005 的前提下认为两个变量有
关,并不是指两个变量无关的可能性为0.005.
训练3 (2025·六安调研)某学校有A,B 两家餐厅,A 餐厅有2 种套餐选择,B 餐厅有4 种套餐选择,且
这6 种套餐各不相同.A 餐厅距离教学楼相比于B 餐厅要近很多,经调查发现,100 名不同性别的学
生选择餐厅用餐的情况如表:
男
女
在A 餐厅用餐
40
20
在B 餐厅用餐
15
25
(1)求某天甲、乙两名同学选择同一套餐用餐的概率;
(2)依据α＝0.005 的独立性检验,能否认为性别与选择餐厅之间有关联?
附:χ2＝
n(ad −bc)
2
(a＋b)(c＋d )(a＋c)(b＋d ).
α
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
3.841
6.635
7.879 10.828
解 (1)一共有6 种套餐,甲、乙各选择一种,共有62＝36 种情况,
甲、乙两名同学选择同一种套餐有6 种情况,
所以甲、乙两名同学选择同一套餐的概率p＝6
36 ＝1
6.
(2)零假设H0:性别与选择餐厅之间没有关联,
χ2＝100×(40×25−15×20)
2
60×40×55×45
≈8.249>7.879,
根据小概率α＝0.005 的独立性检验,推断H0不成立,
所以依据α＝0.005 的独立性检验,认为性别与选择餐厅之间有关联.
此推断犯错误的概率不超过0.005.
【精准强化练】
一、单选题
1.(2025·天津南开区模拟)如图是由一组实验数据得到的散点图,以下四个回归方程类型中适合作为
y 与x 的回归方程类型的是( )
A.y＝ax＋b
B.y＝ax2＋b
C.y＝aex＋b
D.y＝aln x＋b
答案 C
解析 由散点图中各点的变化趋势:非线性、且x∈R 上单调递增,所以适合指数型模型.
2.(2025·郑州二模)某小区随机调查了10 位业主2 月份每户的天然气使用量,数据如下(单
位:cm3):18,19,20,20,21,21,22,23,23,24.估计该小区业主月均用气量的样本数据的60%分位数为(
)
A.21
B.21.5
C.22
D.22.5
答案 B
解析 10×60%＝6,则样本数据的60%分位数为21＋22
2
＝21.5.
3.(2025·武汉二模)某批产品检验后的评分,由统计结果制成如图所示的频率分布直方图,下列说法
中正确的是( )
A.a＝0.05
B.评分的众数估值为70
C.评分的第25 百分位数估值为67.5
D.评分的平均数估值为76
答案 C
解析 由题意得10(2a＋3a＋4a＋5a＋6a)＝1,
解得a＝0.005,A 错误,
所以平均数为0.1×55＋0.15×95＋0.2×65＋0.3×75＋0.25×85＝76.5,故D 错误;
众数为70＋80
2
＝75,故B 错误;
因为0.1＋0.2＝0.3,第25 百分位数估计为60＋10×3
4＝67.5,故C 正确.
4.(2025·银川诊断)若变量y 与x 之间存在线性相关关系,且根据最小二乘法得到的经验回归方程为
^y＝2x＋^a,样本点中心为(3,6.5),则样本点(2.5,7)的残差为( )
A.－1.5
B.1.5
C.0.5
D.－0.5
答案 B
解析 依题意,6.5＝2×3＋^a,所以^a＝0.5,
即经验回归方程为^y＝2x＋0.5,
又当x＝2.5 时,^y＝2×2.5＋0.5＝5.5,
所以样本点(2.5,7)的残差为7－5.5＝1.5,故选B.
5.2025 年4 月,某地区鲜菜、食用油、粮食、禽肉、鲜果、鸡蛋、猪肉价格同比(与去年同期相比)
的变化情况如图所示,则下列说法正确的是( )
A.食用油、粮食、禽肉、鲜果、鸡蛋、猪肉这6 种食品中,食用油价格同比涨幅最小
B.猪肉价格同比涨幅超过禽肉价格同比涨幅的5 倍
C.2024 年4 月鲜菜价格要比2025 年4 月高
D.这7 种食品价格同比涨幅的平均数超过10%
答案 C
解析 由图可知,粮食价格同比涨幅比食用油价格同比涨幅小,故A 错误;
猪肉价格同比涨幅为34.4%,禽肉价格同比涨幅为8.5%,34.4%－5×8.5%<0,故B 错误;
因为鲜菜价格同比涨幅为－21.2%,说明2024 年4 月鲜菜价格要比2025 年4 月高,故C 正确;
这7 种食品价格同比涨幅的平均数为34.4 %＋10.4 %＋9.6 %＋8.5 %＋3 %＋7.6 %−21.2%
7
≈7.47%<10%,故D 错误.
6.(2025·广州调研)植物的根是吸收水分和矿物养分的主要器官.已知在一定范围内,小麦对氮元素的
吸收量与它的根长度具有线性相关关系.某盆栽小麦实验中,在确保土壤肥力及灌溉条件相对稳定
的情况下,统计了根长度x(单位:cm)与氮元素吸收量y(单位:mg/天)的相关数据,如下表所示:
x
9.9
12.1 14.8 18.2 19.9 21.8 25.1 27.7 30.4 32.1
y
0.30 0.34 0.42 0.50 0.55 0.60 0.71 0.74 0.78 0.86
根据表中数据可得x＝21.2,y＝0.58 及经验回归直线方程为^y＝0.025x＋a,则( )
A.a＝－0.05
B.变量y 与x 的相关系数r<0
C.在一定范围内,小麦的根长度每增加1 cm,它一天的氮元素吸收量平均增加0.025 mg
D.若对小麦的根长度与钾元素吸收量的相关数据进行统计,则对应回归方程不变
答案 C
解析 由经验回归方程过样本中心点(x,y)知,a＝0.58－0.025×21.2＝0.05,故A 错误;
小麦对氮元素的吸收量与它的根长度具有正相关关系,故相关系数r>0,故B 错误;
由经验回归方程y＝0.025x＋a 可得,在一定范围内,小麦的根长度每增加1 cm,
它一天的氮元素吸收量平均增加0.025 mg,故C 正确;
若研究小麦的根长度与钾元素吸收量的相关关系,回归方程可能发生改变,故D 错误.
7.已知甲、乙两组数据分别为:20,21,22,23,24,25 和a,23,24,25,26,27,若乙组数据的平均数比甲
组数据的平均数大3,则( )
A.甲组数据的第70 百分位数为23
B.甲、乙两组数据的极差不相同
C.乙组数据的中位数为24.5
D.甲、乙两组数据的方差相同
答案 D
解析 由题设得20＋21＋22＋23＋24＋25
6
＝a＋23＋24＋25＋26＋27
6
－3,解得a＝28,
甲组数据中6×70%＝4.2,故第70 百分位数为24,A 错误;
甲组数据的极差为25－20＝5,乙组数据的极差为28－23＝5,所以甲、乙两组数据的极差相同,故
B 错误;
乙组数据从小到大为23,24,25,26,27,28,故其中位数为25＋26
2
＝25.5,C 错误;
甲的平均数为20＋21＋22＋23＋24＋25
6
＝22.5,
乙的平均数为28＋23＋24＋25＋26＋27
6
＝25.5,
所以甲的方差为1
6×(2.52＋1.52＋0.52＋0.52＋1.52＋2.52)＝35
12,
乙的方差为1
6×(2.52＋2.52＋1.52＋0.52＋0.52＋1.52)＝35
12,故两组数据的方差相同,D 正确.
二、多选题
8.(2025·鹤壁模拟)有一组样本数据a,b,c,d,其中a>b>c>d,由这组数据得到的新样本数据为a－2,b
－2,c＋2,d＋2,则( )
A.两组数据的极差一定相等
B.两组数据的平均数一定相等
C.两组数据的中位数可能相等
D.两组数据的方差不可能相等
答案 BC
解析 对于A,假设原样本数据为5,4,2,1,极差为5－1＝4,则新样本数据为3,2,4,3,极差为4－2
＝2,两组数据的极差不相等,故A 错误;
对于B,因为a－2＋b－2＋c＋2＋d＋2＝a＋b＋c＋d,所以两组数据的平均数一定相等,故B 正确;
对于C,由A 中的数据可知两组数据的中位数可能相等,故C 正确;
对于D,假设原样本数据为4,3,2,1,则新样本数据为2,1,4,3,这两组数据一样,故方差可能相等,
故D 错误.
9.(2025·合肥调研)某校高三年级第一次联考后,为分析该年级1 200 名学生的物理学习情况,通过
分层抽样的方法对该年级200 名学生的物理成绩进行统计,整理得到如图所示的频率分布直方图.
则( )
A.a＝0.05
B.估计该年级学生物理成绩的均值为72
C.估计该年级学生物理成绩的中位数为72.5
D.估计该年级物理成绩在80 分及以上的学生人数为240
答案 BCD
解析 A 中,10×(3a＋5a＋8a＋3a＋a)＝1,解得a＝0.005,故A 错误;
B 中,由频率分布直方图可知,估计该年级学生物理成绩的均值为
0.005×10×(3×55＋5×65＋8×75＋3×85＋1×95)＝72,故B 正确;
C 中,∵[50,70)的频率为10×(3＋5)×0.005＝0.4<0.5,[50,80)的频率为10×(3＋5＋8)×0.005＝
0.8>0.5,
∴估计该年级学生物理成绩的中位数为70＋
0.5−0.4
8×0.005×10×10＝72.5,故C 正确;
D 中,估计该年级物理成绩在80 分及以上的学生人数为0.005×10×(3＋1)×1 200＝240,故D 正
确.
三、填空题
10.某学校有男生400 人,女生600 人.为了调查该校全体学生每天睡眠时间,采用分层随机抽样的方
法抽取样本,计算得男生每天睡眠时间均值为7.5 小时,方差为1,女生每天睡眠时间均值为7 小时,
方差为0.5.若男、女样本量按比例分配,则可估计总体方差为 .
答案 0.76
解析 由题意,总体的均值为400
1 000×7.5＋600
1 000×7＝7.2,
根据分层随机抽样的性质,则总体的方差为400
1 000×[1＋(7.5－7.2)2]＋600
1 000×[0.5＋(7.2－7)2]＝
0.436＋0.324＝0.76.
11.某校数学兴趣小组在某座山测得海拔高度x(单位:千米)与气压y(单位:千帕)的六组数据(xi,yi)(i＝
1,2,…,6),并将其绘制成如图所示的散点图,分析研究发现B 点相关数据不符合实际,删除B 点后
重新进行回归分析,给下列说法,其中正确的是 (填上所有正确的序号).
①删除B 点后,样本数据的两变量x,y 正相关;
②删除B 点后,相关系数r 的绝对值更接近于1;
③删除B 点后,新样本的残差平方和变大;
④删除B 点后,解释变量x 与响应变量y 相关性变弱.
答案 ②
解析 从题中散点图可知,删除B 点后,样本数据的两变量x,y 负相关,所以①错误;
由于B 点较其他点偏离程度大,故删除B 点后,回归效果更好,从而相关系数r 的绝对值更接近于1,
所以②正确;
同理删除B 点后,决定系数R2更接近于1,所以新样本的残差平方和变小,所以③错误;
由②,③分析知解释变量x 与响应变量y 相关性增强,所以④错误.
12.足球是一项大众喜爱的运动,某校足球社通过调查并进行科学的统计分析,对学校学生喜爱足球
是否与性别有关的问题,得出了结论:喜爱足球与性别有关,此推断犯错误的概率不大于0.005.据足
球社透露,他们随机抽取了若干人进行调查,抽取女生人数是男生人数的2 倍,男生喜爱足球的人数
占男生人数的5
6,女生喜爱足球的人数占女生人数的1
3.通过以上信息,可以确定本次足球社所调查
的男生至少有 人.
附:χ2＝
n(ad −bc)
2
(a＋b)(c＋d )(a＋c)(b＋d ).
α
0.10
0.05
0.01 0.005 0.001
xα
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
答案 12
解析 设被调查的男生为x 人,则女生为2x 人,依题意可得到列联表如下:
足球
性别
合计
男生
女生
喜爱
5 x
6
2 x
3
3 x
2
不喜爱
x
6
4 x
3
3 x
2
合计
x
2x
3x
所以χ2＝
3 x(
5 x
6 · 4 x
3 −2 x
3 · x
6)
2
3 x
2 · 3 x
2 · x·2 x
＝2 x
3 ,
因此本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005 的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论,所
以有χ2≥7.879,即2 x
3 ≥7.879,解得x≥11.818 5,
又因为上述列联表中的所有数字均为整数,故x 的最小值为12.
四、解答题
13.(2025·成都诊断)随着移动互联网技术的发展,直播带货已经成为热门的销售方式.通过主播的详
细介绍,顾客对商品有更全面的了解,小张统计了某新手主播开启直播带货后从1 月份到5 月份每
个月的销售量yi(万件)(i＝1,2,3,4,5)的数据,得到如图所示的散点图.
(1)根据散点图判断,模型①y＝a＋bx 与模型②y＝c＋dx2哪一个更适宜作为月销售量y 关于月份代
码x 的回归方程?(给出判断即可,不必说明理由)并求出y 关于x 的回归方程(计算结果精确到0.01);
(2)随机调查了220 名市民对直播带货的认可程度,得到的部分数据如表:
认可
不认可
50 岁以下市民
70
50
50 岁及以上市民
40
60
依据小概率值α＝0.01 的独立性检验,分析市民对直播带货认可程度是否与年龄有关联.
参考公式与数据:^b＝
n
∑
i=1
( xi−x)( yi−y)
n
∑
i=1
( xi−x)
2
＝
n
∑
i=1
xi yi−n x y
n
∑
i=1
xi
2−n x
2
,^a＝y －^b x.
5
∑
i=1
xi
2＝55,
5
∑
i=1
ti
2＝979,
5
∑
i=1
xiyi＝80.8,
5
∑
i=1
tiyi＝335.6,其中ti＝xi
2,χ2＝
n(ad −bc)
2
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d ),
其中n＝a＋b＋c＋d.
α
0.1
0.05
0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
解 (1)由散点图可知,随着x 的增加,y 的增加幅度不一致,是非线性的关系,所以选模型②y＝c＋
dx2更适宜,
由t＝x2,得y＝c＋dt,
可得t ＝1
5
5
∑
i=1
xi
2＝1
5×55＝11,
y ＝1
5×(2.2＋2.4＋3.8＋5.6＋8)＝4.4,
则d＝
5
∑
i=1
(ti−t )( yi−y)
5
∑
i=1
(ti−t )
2
＝
5
∑
i=1
ti yi−5t y
5
∑
i=1
ti
2−5t
2
＝335.6−5×11×4.4
979−5×11
2
≈0.25,
因此c＝y－dt＝4.4－0.25×11＝1.65,
所以y＝1.65＋0.25t,
即y 关于x 的回归方程为y＝1.65＋0.25x2.
(2)零假设为H0:市民对直播带货认可程度与年龄无关联,
χ2＝220×(70×60−40×50)
2
110×110×120×100
≈7.333>6.635,
依据小概率值α＝0.01 的独立性检验,我们推断H0不成立,
即认为市民对直播带货认可程度与年龄有关联,此推断犯错误的概率不超过0.01.
14.(2025·东北三省四市调研)某省为推动刺梨产业的高质量发展,项目组统计了全省近5 年刺梨产
业综合产值如表所示.
年份
2021
2022
2023
2024
2025
年份代码x
1
2
3
4
5
综合产值y
(亿元)
1.5
2
3.5
8
15
(1)请通过样本相关系数,推断y 与x 之间的相关程度(若|r|≥0.75,则线性相关性程度很强;若0.25<|r|
<0.75,则线性相关性程度一般;若|r|≤0.25,则线性相关性程度很弱);
(2)求出y 关于x 的经验回归方程,并预测2026 年该省刺梨产业的综合产值.
参考公式:样本相关系数
r＝
n
∑
i=1
( xi−x)( yi−y)
√
n
∑
i=1
(xi−x)
2
√
n
∑
i=1
( yi−y)
2
,
经验回归直线^y ＝^bx＋^a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为^b＝
n
∑
i=1
( xi−x)( yi−y)
n
∑
i=1
( xi−x)
2
,
^a＝y －^b x.
参考数据:√51≈7.14.
解 (1)依题意,x＝1＋2＋3＋4＋5
5
＝3,
y ＝1.5＋2＋3.5＋8＋15
5
＝6,
5
∑
i=1
(xi－x)(yi－y)＝(－2)×(－4.5)＋(－1)×(－4)＋0×(－2.5)＋1×2＋2×9＝33,
5
∑
i=1
(xi－x)2＝(－2)2＋(－1)2＋02＋12＋22＝10,
5
∑
i=1
(yi－y)2＝(－4.5)2＋(－4)2＋(－2.5)2＋22＋92＝127.5,
故r＝
5
∑
i=1
( xi−x)( yi−y)
√
5
∑
i=1
( xi−x)
25
∑
i=1
( yi−y)
2
＝
33
√10×√127.5 ＝
33
5√51≈
33
5×7.14
≈0.92>0.75,
所以y 与x 之间线性相关性程度很强.
(2)由(1)得^b＝
5
∑
i=1
( xi−x)( yi−y)
5
∑
i=1
( xi−x)
2
＝3.3,
则^a＝y －^b x＝6－3.3×3＝－3.9,
所以y 关于x 的经验回归方程为y＝3.3x－3.9,
当x＝6 时,^y＝3.3×6－3.9＝15.9,
即2026 年该省刺梨产业的综合产值约为15.9 亿元
