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6.概率与统计
1.分类加法计数原理、分步乘法计数原理
(1)分类加法计数原理：完成一件事共有n 类办法，关键词是“分类”.每类办法中分别有m1，m2，…，mn
种方法，且每种方法都能独立地完成这件事，每种方法得到的都是最后结果，只需一种方法就可完成这件
事，那么完成这件事共有m1+ m 2+ …
+ m n 种方法；
(2)分步乘法计数原理：完成一件事共有n 个步骤，关键词是“分步”.每个步骤中分别有m1，m2，…，mn
种方法，除最后一步外，其他每步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步
也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，那么完成这件事共有m1·
m 2·…·
m n种方
法.
2.排列与排列数
(1)排列：一般地，从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同
元素中取出m 个元素的一个排列.
(2)排列数：从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m
个元素的排列数，用符号An
m表示.
(3)排列数公式：An
m=n ( n -1)(
n -2)
…
( n - m +1)
=
n！
(n-m)！(m，n∈N*，且m≤n).
3.组合与组合数
(1)组合：一般地，从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素
的一个组合；
(2)组合数：从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m
个元素的组合数，用符号Cn
m表示；
(3)组合数公式：Cn
m= An
m
Am
m=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
m！
=
n！
m！(n-m)！(m，n∈N*，且m≤n)；
(4)组合数的性质：①Cn
m=Cn
n-m；②Cn+1
m =Cn
m+Cn
m-1.
4.二项式定理
(a+b)n=Cn
0a n + Cn
1a n -1 b 1 + …
+ Cn
ka n - k b k + …
+ Cn
nb n (n∈N*).
这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式，其中各项的系数Cn
k(k=0，1，2，…，
n)叫做二项式系数.式中的Cn
ka n - k b k 叫做二项展开式的通项，用Tk+1表示，即展开式的第k+1 项：Tk+1=Cn
ka n - k b k .
5.二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Cn
m=Cn
n-m.
(2)增减性与最大值：二项式系数先增后减，中间一项或两项的二项式系数最大.二项式系数为Cn
k，当k<
n+1
2
时，Cn
k随k 的增加而增大；由对称性知，二项式系数的后半部分，Cn
k随k 的增加而减小.
当n 是偶数时，中间的一项Cn
n
2取得最大值；
当n 是奇数时，中间的两项Cn
n-1
2 和Cn
n+1
2 相等，且同时取得最大值.
(3)各二项式系数的和
(a+b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n，即Cn
0+Cn
1+Cn
2+…+Cn
k+…+Cn
n=2 n .
二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即Cn
1+Cn
3+Cn
5+…=Cn
0+Cn
2+Cn
4+…
=2 n -1 .
6.概率的计算公式
(1)古典概型的概率计算公式
P(A)= 事件A 包含的样本点个数
样本空间包含的样本点个数.
(2)互斥事件的概率计算公式
P(A∪B)=P ( A ) +P ( B ) .
(3)对立事件的概率计算公式
P(A)=1-P ( A ) .
(4)条件概率公式
P(B|A)= P( AB)
P( A) .
(5)概率的乘法公式
P(AB)=P ( A ) P ( B | A ) .
(6)事件的相互独立性
①两个事件相互独立：对任意事件A 与B，P(AB)=P ( A ) P ( B ) ⇔事件A 与事件B 相互独立；
②相互独立的性质：如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B，A与B，A与B也都相互独立.
(7)全概率公式
P(B)=
n
Σ
i=1
P ( A i) P ( B | A i).
(A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω).
*(8)贝叶斯公式
P(Ai|B)= P( Ai)P( B|Ai)
P(B)
=
P( Ai)P( B|Ai)
n
Σ
k =1
P( Ak)P( B|Ak)(i=1，2，…，n).
7.统计中四个数据特征
(1)众数：
①在样本数据中，出现次数最多的那个数据.
②频率分布直方图中，众数是最高矩形的底边中点的横坐标.
(2)中位数：在样本数据中，将数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，位于中间的那个数据.如果数据的
个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数.
(3)样本均值与方差
均值：一个容量为n 的样本，它的变量值分别为x1，x2，…，xn，则均值(平均数)x= x1+ x2+…+ xn
n
=1
n
n
Σ
i=1
xi；
方差：一个容量为n 的样本，它的变量值分别为x1，x2，…，xn，均值为x，则方差s2=1
n
n
Σ
i=1
( xi- x)
2，标
准差s=√
1
n
n
Σ
i=1
( xi- x)
2.
(4)百分位数
计算一组n 个数据的第p 百分位数的步骤
①按从小到大排列原始数据.
②计算i=n×p%.
若i 不是整数，大于i 的比邻整数为j，则第p 百分位数为第j 项数据；
若i 是整数，则第p 百分位数为第i 项与第i+1 项数据的平均数.
8.频率分布表、频率分布直方图及其相关的计算
由频率分布表或频率分布直方图进行有关计算时，要掌握下列结论
①小长方形的面积=组距× 频率
组距=频率.
②各小长方形的面积之和等于1.
③频数
样本量=频率，可变形为频数
频率=样本量，样本量×频率=频数.
④频率分布直方图中第p 百分位数的计算方法
如图，若{
(h+n)(b-a)< p % ,
(h+n+m)(b-a)> p % ,
则第p 百分位数落在区间[a，b)内，且第p 百分位数为a+ p % -(h+n)(b-a)
m
.
9.离散型随机变量的均值和方差
(1)均值和方差的定义：
若离散型随机变量X 的分布列如表所示，
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
则随机变量X 的均值E(X)=
n
Σ
i=1
xipi，方差D(X)=E(X 2)-(E(X))2=
n
Σ
i=1
[( xi- E( X )]
2pi；
(2)均值和方差的性质：E(aX+b)=aE
( X )+
b ，D(aX+b)=a 2 D ( X ) .
10.两点分布
若一次试验只有两个可能结果，分别称为“成功”(概率为p)、“失败”(概率为1-p)，这样的试验称为伯
努利试验，用随机变量X 表示试验的结果，则X 服从参数为p 的两点分布，其分布列为
X
1
0
P
p
1-p
其E(X)=p，D(X)=p (1-
p ) .
11.二项分布
一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p(0<p<1)，用X 表示事件A 发生的次数，
则X 服从参数为n，p 的二项分布，记为X~B(n，p)，P(X=k)=Cn
kpk(1-p)n-k(k=0，1，2，…，n)，其分布列为
X
0
1
…
k
…
n
P
Cn
0p0
(1-p)n
Cn
1p1
(1-p)n-1
…
Cn
kpk
(1-p)n-k
…
Cn
npn
(1-p)0
其E(X)=np，D(X)=np
(1-
p ) .
12.超几何分布
假设一批产品共有N 件，其中有M 件次品，从N 件产品中随机抽取n 件(不放回)，用X 表示抽取的n 件产
品中的次品数，则X 服从参数为N，M，n 的超几何分布，且P(X=k)=C M
k C N - M
n-k
C N
n
，max{0,n-( N - M )}
≤k≤min{n, M }，其分布列为
X
0
1
…
k
…
P C M
0 C N - M
n
C N
n
C M
1 C N - M
n-1
C N
n
…
C M
k C N - M
n-k
C N
n
…
其E(X)=nM
N .
13.正态分布
(1)正态曲线的定义
函数f(x)=
1
σ √2π e
- ( x - μ)
2
2σ
2 ，x∈R(其中μ∈R，σ>0 为参数)，其图象为正态密度曲线，简称正态曲线.
(2)正态曲线的特点
①曲线位于x 轴上方与x 轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x = μ 对称；
③曲线在x = μ 处达到峰值
1
σ √2π ；
④曲线与x 轴之间的区域的面积为1；
⑤当σ 一定时， 曲线的位置由μ 确定，曲线随着μ 的变化而沿x 轴平移；
⑥当μ 一定时，曲线的形状由σ 确定，
σ 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；
σ 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.
(3)正态分布
定义
若随机变量X 的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X 服从
正态分布，记为X~N
( μ ，
σ 2 ) .
三个常
用数据
①P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7；
②P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5；
③P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
14.一元线性回归模型
(1)经验回归方程(经验回归函数或经验回归公式)y
^ =b
^x+a
^一定过点(x，y)，
其中{
b
^
=
n
Σ
i=1
( xi- x)( yi- y)
n
Σ
i=1
( xi- x)
2
=
n
Σ
i=1
xi yi-n x y
n
Σ
i=1
xi
2-n x
2
,
a
^
= y -b
^
x .
(2)样本相关系数r 具有如下性质：
①|r|≤1；
②|r|越接近于1，成对样本数据的线性相关程度越强；
③|r|越接近于0，成对样本数据的线性相关程度越弱.
15.独立性检验
利用随机变量χ2=
n(ad -bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c)(b+d )
(n=a+b+c+d)的取值推断分类变量X 和Y 是否独立的方法称为χ2独立性检验.
1.关于两个计数原理应用的注意事项
分类加法计数原理和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题的计算方法，区别在
于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件
事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.
2.排列、组合问题的求解方法与技巧
(1)特殊元素或特殊位置优先安排.(2)合理分类与准确分步.(3)排列、组合混合问题先选后排.(4)相邻问题捆
绑处理.(5)不相邻问题插空处理.(6)定序问题排除法处理.(7)正难则反，等价条件.
3.二项式定理应用时的注意事项
(1)注意区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细.
项的系数与a，b 有关，可正可负，二项式系数只与n 有关，恒为正.
(2)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.
4.应用互斥事件的概率加法公式时，一定要先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，
再求和.
5.正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定
是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.
6.易混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数
据的频率求错.
7.要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别
(1)在P(A|B)中，事件A，B 发生有时间上的差异，B 先A 后；在P(AB)中，事件A，B 同时发生.
(2)样本空间不同，在P(A|B)中，事件B 成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为Ω，因而有P(A|
B)≥P(AB).
8.(1)易忘记判定随机变量是否服从二项分布，盲目使用二项分布的均值和方差公式计算致误.
(2)涉及求分布列时，要注意区分是二项分布还是超几何分布.
