专题05成对数据的统计分析（8类压轴题型）（教师版）_2027版高中《压轴培优讲义》高二下学期（人教A版选择性必修第三册）

专题05 成对数据的统计分析压轴题
知识点1：样本相关系数
现实生活中的数据，由于度量对象和单位的不同等，数值会有大有小，为了去除这些因素的影响，统
计学里一般用







1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
n
n
i
i
i
i
i
i
n
n
n
n
i
i
i
i
i
i
i
i
x
x
y
y
x y
nxy
r
x
x
y
y
x
nx
y
ny





















来衡量y 与x 的线性相关性
强弱，我们称r 为变量x 和变量y 的样本相关系数.
知识点2：一元线性回归模型参数的最小二乘法
回归直线方程过样本点的中心( , )
x y ，是回归直线方程最常用的一个特征；
我们将
ˆ
ˆ
ˆ
y
bx
a


称为Y 关于x 的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验
回归直线。这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的ˆ ˆ
,b a ，叫做b ，a 的最小二乘估计,其
中ˆb 称为回归系数，它实际上也就是经验回归直线的斜率，ˆa 为截距.
其中





1
1
2
2
2
1
1
ˆ
ˆ
ˆ
n
n
i
i
i
i
i
i
n
n
i
i
i
i
x
x
y
y
x y
nxy
b
x
x
x
nx
a
y
bx























知识点3：决定系数
2
R
（1）残差平方和
残差平方和


2
1
ˆ
n
i
i
i
y
y



，残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合效果越差.
（2）决定系数
2
R
决定系数R 是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，它代表解释变量客户预报变量的能力.




2
2
1
2
1
ˆ
1
n
i
i
i
n
i
i
y
y
R
y
y







，
2
R 越大，即拟合效果越好，
2
R 越小，模型拟合效果越差.
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（3）决定系数
2
R 与相关系数r 的联系与区别
①相关系数r 反映两个变量的相关关系的强弱及正相关或负相关，决定系数
2
R 反映回归模型的拟合效果.
②在含有一个解释变量的线性模型中，决定系数
2
R 的数值是相关系数r 的平方，其变化范围为[0,1] ，而相
关系数的变化范围为[ 1,1]

.
③当相关系数|
|
r 接近于1 时，说明两变量的相关性较强，当|
|
r 接近于0 时，说明两变量的相关性较弱；
而当
2
R 接近于1 时，说明经验回归方程的拟合效果较好.
知识点4：分类变量与列联表
(1)分类变量
为了方便,会使用一种特殊的随机变量,区别不同的现象或性质,这随机变量称为分类变量.
(2)2 2

列联表
①2×2 列联表给出了两个分类变量数据的交叉分类频数．
②定义一对分类变量X 和Y ，我们整理数据如下表所示：
X
Y
合计
1y
2y
1x
a
b
a
b

2x
c
d
c
d

合计
a
c

b
d

n
a
b
c
d




知识点2：独立性检验
(1)独立性检验定义:
利用
2
的取值推断分类变量X 和Y 是否独立的方法称为
2
独立性检验，读作“卡方独立性检验”．简称
独立性检验．
(2)独立性检验公式：
2
2
(
)
(
)(
)(
)(
)
n ad
bc
a
b c
d a
c b
d







其中n
a
b
c
d



（注意使用公式时分子的平方不要忽略了）
题型一一元线性回归方程
1．（2022 上·广东佛山·高三统考阶段练习）汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素．我国
近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业发展，某汽车制造
企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：
年份t
2017
2018
2019
2020
2021
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年份代码

2016
x x
t

1
2
3
4
5
销量
/
y 万辆
10
12
17
20
26
(1)统计表明销量y 与年份代码x 有较强的线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程，并预测该地区新能源
汽车的销量最早在哪一年能突破50 万辆；
(2)为了解购车车主的性别与购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车）的情况，该企业心随机调查了该
地区200 位购车车主的购车情况作为样本其中男性车主中购置传统燃油汽车的有w 名，购置新能源汽车的
有45 名，女性车主中有20 名购置传统燃油汽车．
①若
95
w 
，将样本中购置新能源汽车的性别占比作为概率，以样本估计总体，试用（1）中的线性回归方
程预测该地区2023 年购置新能源汽车的女性车主的人数（假设每位车主只购买一辆汽车，结果精确到千人）；
②设男性车主中购置新能源汽车的概率为p ，将样本中的频率视为概率，从被调查的所有男性车主中随机
抽取5 人，记恰有3 人购置新能源汽车的概率为

f
p ，求当w 为何值时，

f
p 最大．
附：
ˆ
ˆ
y
bx
a


为回归方程，
1
2
2
1
ˆ
n
i
i
i
n
i
i
x y
nxy
b
x
nx







，
ˆ
ˆa
y
bx


．
【答案】(1)
4
5
y
x


，2028 年
(2)①15.5万人；②
30
w 
【详解】（1）解：由题意得
1 2
3
4
5
3
5
x





，
1
1 10
2 12
3 17
5
4
20
5 2
2
6
9
n
i
i
i
x y











，
10 12 17
20
26
17
5
y






，
2
2
2
2
2
2
1
1
2
3
4
5
55
n
i
i
x








．
所以
1
2
2
1
295
5 3 17
ˆ
4
55
45
n
i
i
i
n
i
i
x y
nx y
b
x
nx












，
ˆ
ˆ
17
4
3
5
a
y
bx






．
所以y 关于x 的线性回归方程为
4
5
y
x


，令
4
5
50
y
x


，得
11.25
x 
，
所以最小的整数为12，2016
12
2028


，
所以该地区新能源汽车的销量最早在2028 年能突破50 万辆．
（2）解：①由题意知，该地区200 名购车者中女性有200
95
45
60



名，
故其中购置新能源汽车的女性车主的有60
20
40


名．
所购置新能源汽车的车主中，女性车主所占的比例为
40
8
40
45
17


．
所以该地区购置新能源汽车的车主中女性车主的概率为8
17 ．
预测该地区2023 年购置新能源汽车的销量为33 万辆，
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因此预测该地区2020 年购置新能源汽车的女性车主的人数为8
33
15.5
17 

万人
②由题意知，
45
,0
135
45
p
w
w




，则


3
3
2
5
4
3
5
( )
C
(1
)
10
2
f p
p
p
p
p
p









4
3
2
2
2
( )
10 5
8
3
10
5
8
3
f
p
p
p
p
p
p
p







2
10
(
1)(5
3)
p
p
p



当
3
0, 5
p






时，知

0
f
p


所以函数
( )
f p 单调递增
当
3,1
5
p






时，知

0
f
p


所以函数
( )
f p 单调递减
所以当

3 ,
5
p
f
p

取得最大值
3
2
3
5
3
3
3
216
C
1
5
5
5
625
f 

















．
此时
45
3
45
5
w


，解得
30
w 
，所以当
30
w 
时
( )
f p 取得最大值216
625 ．
2．（2022 上·浙江·高三慈溪中学校联考开学考试）随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩
大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，2020 年的考研人数是341 万人，2021 年考研人数是377 万人．某
省统计了该省其中四所大学2022 年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格：
大学
A 大学
B 大学
C 大学
D 大学
2022 年毕业人数x（千人）
7
6
5
4
2022 年考研人数y（千人）
0.5
0.4
0.3
0.2
(1)已知y 与x 具有较强的线性相关关系，求：y 关于x 的线性回归方程y
bx
a




；
(2)假设该省对选择考研的大学生每人发放0.5 万元的补贴．
①若该省大学2022 年毕业生人数为8 千人，估计该省要发放补贴的总全额：
②若A 大学的毕业生中小浙、小江选择考研的概率分别为p ，3
1
p ，该省对小浙、小江两人的考研补贴总
金额的期望不超过0.75 万元，求p 的取值范围．
参考公式：





1
1
2
2
2
1
1
n
n
i
i
i
i
i
i
n
n
i
i
i
i
x
x
y
y
x y
nxy
b
x
x
x
nx
















，
ˆ
ˆa
y
bx


．
【答案】(1) 
0.1
0.2
y
x


(2)①300（万元）；②1 5
,
3 8






【详解】（1）由题意得
4
5
6
7
5.5
4
x





，
0.2
0.3
0.4
0.5
0.35
4
y





，
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又
4
1
7
0.5
6 0.4
5 0.3
4 0.2
8.2
i
i
i
x y









，∴
4
1
4
8.2
4
5.5
0.35
0.5
i
i
i
x y
xy








∵
4
2
2
2
2
2
1
7
6
5
4
126
i
i
x







，∴
4
2
2
2
1
4
126
4
5.5
5
i
i
x
x







，
∴
4
1
4
2
2
1
4
0.5
ˆ
0.1
5
4
i
i
i
i
i
x y
xy
b
x
x









，所以
ˆ
ˆ
0.35
0.1 5.5
0.2
a
y
bx






，
故得y 关于x 的线性回归方程为
0.1
0.2
y
x


．
（2）①将
8
x 
代入
0.1
0.2
0.1 8
0.2
0.6
y
x





，
估计该省要发放补贴的总金额为0.6 1000 0.5 300


＝
（万元）
②设小浙、小江两人中选择考研的的人数为X，则X 的所有可能值为0，1，2；





2
0
1
2
3
3
5
2
P X
p
p
p
p







，







2
1
1
3
1
2
3
6
6
1
P X
p
p
p
p
p
p








，




2
2
3
1
3
P X
p
p
p
p





，
∴







2
2
2
0
3
5
2
6
6
1
1
3
2
4
1
E X
p
p
p
p
p
p
p












，
∴




0.5
0.5
4
1
0.75
E
X
p




，解得
5
8
p 
，
又0
3
1 1
p

，∴1
2
3
3
p


，∴1
5
3
8
p


，
故p 的取值范围为1 5
,
3 8





．
3．（2020·湖北武汉·校考模拟预测）消费者信心指数是反映消费者信心强弱的指标；它是预测经济走势和
消费趋向的一个先行指标，是监测经济周期变化的重要依据.
消费者信心指数值介于0 和200 之间.指数超过100 时，表明消费者信心处于强信心区；指数等于100 时，
表示消费者信心处于强弱临界点；指数小于100 时，表示消费者信心处于弱信心区.
我国某城市从2016 年到2019 年各季度的消费者信心指数如下表1：
2016 年
2017 年
2018 年
2019 年
第一季度
104.50
111.70
118.50
119.30
第二季度
104.00
110.20
114.60
118.20
第三季度
105.50
114.20
110.20
118.10
第四季度
106.80
113.20
113.20
119.30
将2016 年至2019 年该城市各季度的消费者信心指数整理得到如下频数分布表2：
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分组
[100,105)
[105,110)
[110,115)
[115,120]
频数
2
2
7
5
记2016 年至2019 年年份序号为(
1,2,3,4)
x x 
，该城市各年消费者信心指数的年均值(四舍五入取整)为y，x
与y 的关系如下表3：
年份序号x
1
2
3
4
消费者信心指数年均值y
105
112
114
119
（1）求从2016 年至2019 年该城市各季度消费者信心指数中任取2 个，至少有一个不小于115 的概率；
（2）在表2 中各区间内的消费者信心指数用其所在区间的中点值代替，设任取一个消费者信心指数X 为随
机变量，求X 的分布列和数学期望(保留2 位小数)；
（3）根据表3 的数据建立y 关于x 的线性回归方程，并根据你建立的回归方程，预报2020 年该城市消费
者信心指数的年平均值.
参考数据和公式：
1
2
3
4
2.5
4
x





，
105 112
114
119
112.5
4
y





，；
ˆ
ˆ
ˆ
y
bx
a


；
ˆ
ˆa
y
bx


；





1
2
1
ˆ
n
i
i
i
n
i
i
x
x
y
y
b
x
x








.
【答案】（1）13
24 ；（2）分布列见解析，112.19；
（3）
22
ˆ
101.5
5
y
x


，预报2020 年该城市消费者信心指数的年平均值123.5.
【详解】（1）根据2016 年至2019 年该城市各季度的消费者信心指数的频数分布表2，
可得频数共有2
2
7
6
16




个，其中不小于115 共有5 个，
所以从2016 年至2019 年该城市各季度消费者信心指数中任取2 个，
至少有一个不小于115 的概率为
2
1
1
5
5
11
2
16
65
13
120
24
C
C C
P
C




.
（2）由表2 中各区间内的消费者信心指数用其所在区间的中点值代替，则任取一个消费者信心指数X 为随
机变量，可得随机变量的可能取值为
102.5,107.5,112.5,117.5
X 
，
其中
2
1
2
1
(
102.5)
,
(
107.5)
16
8
16
8
P X
P X






,
7
5
(
112.5)
, (
117.5)
16
16
P X
P X




,
所以随机变量X 的分布列为：
X
102.5
107.5
112.5
117.5
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P
1
8
1
8
7
16
5
16
可得随机变量X 的期望为


1
1
7
5
102.5
107.5
112.5
117.5
112.19
8
8
16
16
E X 








.
（3）由题意知
1
2
3
4
2.5
4
x





，
105 112
114
119
112.5
4
y





，
又由



1
(1
2.5)(105 112.5)
(2
2.5)(112 112.5)
n
i
i
i
x
x
y
y










(3
2.5)(114 112.5)
(4
2.5)(119 112.5)
22









2
2
2
2
2
1
(1
2.5)
(2
2.5)
(3
2.5)
(4
2.5)
5
n
i
i
x
x












，
所以





1
2
1
22
ˆ
5
n
i
i
i
n
i
i
x
x
y
y
b
x
x









，
又由
22
ˆ
ˆ
112.5
2.5
101.5
5
a
y
bx






，
所以变量y 关于x 的线性回归方程
22
ˆ
101.5
5
y
x


，
当
5
x 
时，
22
ˆ
5 101.5
123.5
5
y 


，
即预报2020 年该城市消费者信心指数的年平均值123.5.
练一练
1．（2020 下·福建·高三统考阶段练习）为贯彻落实党中央全面建设小康社会的战略部署，某贫困地区的广
大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作.经过多年的精心帮扶，截至2018 年底，按照农村家庭人均年
纯收入8000 元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康.2019 年7 月，为估计该地能否在2020 年全
面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家庭2019 年1 至6 月的人均月纯收入，作出散点图如下：
根据相关性分析，发现其家庭人均月纯收入y 与时间代码x 之间具有较强的线性相关关系（记2019 年1 月、
2 月……分别为
1
x ，
2
x 
，…，依此类推），由此估计该家庭2020 年能实现小康生活.但2020 年1 月突如
其来的新冠肺炎疫情影响了奔小康的进展，该家庭2020 年第一季度每月的人均月纯收入均只有2019 年12
月的预估值的2
3 .
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（1）求该家庭2020 年3 月份的人均月纯收入；
（2）如果以该家庭3 月份人均月纯收入为基数，以后每月的增长率为a ，为使该家庭2020 年能实现小康生
活，a 至少应为多少？（结果保留两位小数）
参考数据：
6
1
9310
i
i
i
x y



，6
8610
xy 
，
2
45
4 120 4
62.81



，
10
1.15
4.05

.
参考公式：线性回归方程
ˆ
ˆ
ˆ
y
bx
a


中，





1
2
1
ˆ
n
i
i
i
n
i
i
x
x
y
y
b
x
x








，
ˆ
ˆa
y
bx


；
1
2
2
3
3
(1
)
1
n
n
n
n
a
C a
C a
C a




（
10
n≥
，|
| 0.15
a 
）.
【答案】（1）500 元；（2）0.07.
【详解】（1）依题意得：
1
2
3
4
5
6
3.5
6
x







，
6
8610
410
6
6 3.5
x y
y
x





，
所以



6
6
1
1
6
i
i
i
i
i
i
x
x
y
y
x y
xy








9310
8610
700



，


6
2
1
25
9
1
1
9
25
17.5
4
4
4
4
4
4
i
i
x
x










，
所以





6
1
6
2
1
700
ˆ
40
17.5
i
i
i
i
i
x
x
y
y
b
x
x










，
ˆ
ˆ
410
40 3.5
270
a
y
bx






，
所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ
40
270
y
x


.
令
12
x 
时，得2019 年12 月该家庭人均月纯收入预估值为40 12
270
750



元，
所以，2020 年第一季度每月的人均月纯收入均为
2
750
500
3


元，
所以，2020 年3 月份该家庭的人均月纯收入为500 元.
（2）因为每月的增长率为a ，设从3 月开始到12 月的纯收入之和为
10
S ，则
2
9
10
500
500 (1
)
500 (1
)
500 (1
)
S
a
a
a












10
500
1 (1
)
a
a









，
依题意，令
10
500
1 (1
)
8000
500
500
7000
a
a











（*），
当
0.15
a 
时，


10
10
500
1.15
1
30500
7000
0.15
3
S





，（*）成立；
当0
0.15
a


时，由（*）得
10
(1
)
1
7000
14
500
a
a



，
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即
2
3
1 10
45
120
1
14
a
a
a
a





，
所以
2
120
45
4
0
a
a



，解得
0.07
a 
或
0.45
a 
（舍去），
综上得：
0.07
a 
，
所以，为使该家庭2020 年能实现小康生活，a 至少应为0.07 .
2．（2021 下·广东河源·高二河源市河源中学校考开学考试）现有一环保型企业，为了节约成本拟进行生产
改造，现将某种产品产量x 与单位成本y 统计数据如表：
月份
1
2
3
4
5
6
产量( 千件)
2
3
4
3
4
5
单位成本( 元/ 件)
73
72
71
73
69
68
(1)试确定回归方程y
bx
a




；
(2)指出产量每增加1000 件时，单位成本平均下降多少？
(3)假定单位成本为70 元/ 件时，产量应为多少件？
( 参考公式：





1
1
2
2
2
1
1
,
n
n
i
i
i
i
i
i
n
n
i
i
i
i
x
x
y
y
x y
nxy
b
a
y
bx
x
x
x
nx




















)
( 参考数据
2
1
1
1481,
79
n
n
i
i
i
i
i
x y
x






)
【答案】(1) 
1.818
77.363
y
x


(2)1.818 元
(3)4050 件
【详解】（1）设x 表示每月产量( 单位：千件)，y 表示单位成本( 单位：元/ 件)，作散点图如图．
由图知y 与x 间呈线性相关关系．
设线性回归方程为y
bx
a




，其中
2
3
4
3
4
5
3.5
6
x







，
73
72
71
73
69
68
71
6
y







，
由公式可求得


2
1481 6 3.5 71
1.818
7
ˆ
9
6
3.5
b





，


71
1.818
3.5
77.3
ˆ
ˆ
63
a
y
bx






，
回归方程为
1.818
77.363
y
x


.
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（2）由回归方程知，每增加1000 件产量，单位成本下降1.818 元．
（3）当
70
y 
时，70
1.818
77.363
x


，得
4.050
x 
千件．
单位成本是70 元/ 件时，产量约为4050 件．
3．（2023 上·江苏常州·高三华罗庚中学校考阶段练习）直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目
前已被广大消费者所接受．针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，
以下是该公司2023 年前5 个月的带货金额：
月份x
1
2
3
4
5
带货金额y /万元
350
440
580
700
880
(1)求变量x ，y 之间的线性回归方程，并据此预测2023 年7 月份该公司的直播带货金额．
(2)该公司随机抽取55 人进行问卷调查，得到如下不完整的列联表：
参加过直播带货
未参加过直播带货
总计
女性
25
30
男性
10
总计
请填写上表，并判断是否有90%的把握认为参加直播带货与性别有关．
参考数据：
590
y 
，


5
2
1
10
i
i
x
x




，


5
2
1
176400
i
i
y
y




，



5
1
1320
i
i
i
x
x
y
y





，
441000
664

．
参考公式：线性回归方程的斜率





1
2
1
ˆ
n
i
i
i
n
i
i
x
x
y
y
b
x
x








，截距
ˆ
ˆa
y
bx


．
附：







2
2
n ad
bc
K
a
b
c
d
a
c
b
d






，其中n
a
b
c
d



．


2
0
P K
k

0.15
0.10
0.05
0.025
0k
2.072
2.706
3.841
5.024
【答案】(1)
132
194
ˆy
x


；预测2023 年7 月份该公司的直播带货金额为1118 万元
(2)列联表见解析，参加直播带货与性别有关
【详解】（1）因为


1
1
2
3
4
5
3
5
x 






，
590
y 
，


5
2
1
10
i
i
x
x




，



5
1
1320





i
i
i
x
x
y
y
，
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所以





5
5
1
2
1
2
ˆ
1320
13
10
i
i
i
i
i
x
x
y
y
b
x
x










，
590 132 3
194
ˆa 


，
所以变量x ，y 之间的线性回归方程为
132
194
ˆy
x


，
当
7
x 
时，
8
ˆ
132 7
194
111
y 



（万元）．
所以预测2023 年7 月份该公司的直播带货金额为1118 万元．
（2）补全完整的列联表如下．
参加过直播带货
未参加过直播带货
总计
女性
25
5
30
男性
15
10
25
总计
40
15
55
零假设
0
H ：参加直播带货与性别无关，
根据以上数据，经计算得到


2
2
0.1
55
25 10
5 15
3.743
2.706
30 25 40 15
K
x










，
根据小概率值
0.1

的独立性检验我们推断
0
H 不成立，
即有90%的把握认为参加直播带货与性别有关.
题型二相关系数r
1．（2024·全国·高三专题练习）近年来，我国新能源汽车技术水平不断进步、产品性能明显提升，产销规
模连续六年位居世界首位．某汽车城从某天开始连续的营业天数x 与新能源汽车销售总量y（单位：辆）的
统计数据如下表所示：
从某天开始连续的营业天数x
10
20
30
40
50
新能源汽车销售总量y/辆
62
68
75
81
89
(1)已知可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明（结果精确到0.001）；
(2)求y 关于x 的经验回归方程
ˆ
ˆ
ˆ
y
bx
a


，并预测该汽车城连续营业130 天的汽车销售总量．
参考数据：
5
1
11920
i
i
i
x y



，
5
2
1
28575
i
i
y



，
5
2.236

．
参考公式：相关系数
1
2
2
2
2
1
1
n
i
i
i
n
n
i
i
i
i
x y
nxy
r
x
nx
y
ny










，经验回归方程
ˆ
ˆ
ˆ
y
a
bx


中斜率与截距的最小二乘估计公
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式分别为
1
2
2
1
ˆ
n
i
i
i
n
i
i
x y
nxy
b
x
nx







，
ˆ
ˆ
ˆ
a
y
bx


．
【答案】(1)答案见解析
(2) ˆ
0.67
54.9
y
x


，142 辆．
【详解】（1）（1）
10
20
30
40
50
30
5
x






，
62
68
75
81 89
75
5
y






，
5
5 30 75
11250
xy 


，
5
2
2
2
2
2
2
1
10
20
30
40
50
5500
i
i
x








，
则相关系数
5
1
5
5
2
2
2
2
1
1
5
5
5
i
i
i
i
i
i
i
x y
xy
r
x
x
y
y










，
2
2
11920 11250
670
0.999
1000
450
5500
5 30
28575
5 75








.
y 与x 的相关系数近似为0.999，说明y 与x 的线性相关程度相当高，
从而可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．
（2）（2）由（1）得
5
1
5
2
2
1
5
670
ˆ
0.67
1000
5
i
i
i
i
i
x y
xy
b
x
x









，
ˆ
ˆ
75
0.67 30
54.9
a
y
bx






，
所以y 关于x 的经验回归方程为ˆ
0.67
54.9
y
x


．
将
130
x 
代入ˆ
0.67
54.9
y
x


，得ˆ
0.67 130
54.9
142
y 



，
所以预测该汽车城连续营业130 天的汽车销售总量为142 辆．
2．（2024 上·福建莆田·高三莆田第六中学校考阶段练习）近年来我国新能源汽车产业迅速发展，下表是某
地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表：
年份x
2018
2019
2020
2021
2022
销量y（万台）
1.60
1.70
1.90
2.20
2.60
某机构调查了该地区100 位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示：
购置传统燃油车
购置新能源车
总计
男性车主
35
60
女性车主
25
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100
①参考公式：相关系数







1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
n
n
i
i
i
i
i
i
n
n
n
n
i
i
i
i
i
i
i
i
x
x
y
y
x y
nxy
r
x
x
y
y
x
nx
y
ny























；
②参考数据：6.6
2.6

；③卡方临界值表：

0.10
0.05
0.010
0.005
0.001


2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
其中







2
2
n ad
bc
a
b
c
d
a
c
b
d







，n
a
b
c
d



.
(1)求新能源乘用车的销量y 关于年份x 的线性相关系数，并判断y 与x 之间的线性相关关系的强弱；（若
|
| [0.751]
,
r 
，相关性较强；若|
| [0.30 0.75)
,
r 
，相关性一般；若
)
,
|
| [0 0 0
.3
r 
，相关性较弱）
(2)请将上述2
2
列联表补充完整，根据小概率值
0.05

的独立性检验，分析购车车主购置新能源乘用车与
性别是否有关系？
【答案】(1)
0.96
r 
，y 与x 之间的线性相关性较强
(2)列联表见解析，认为购车车主购置新能源乘用车与性别是有关，此推断犯错误概率不大于0.05
【详解】（1）由表格知：
2020
x 
，
2.00
y 
，
所以






5
2
2
2
2
2
1
2
1
0
1
2
10
i
i
x
x









，












5
2
2
2
2
2
2
1
1
0.4
0.3
0.1
0.2
0.6
0.66
i
y
y









，








5
1
2
0.4
1
0.3
0
1 0.2
2 0.6
2.5
i
i
i
x
x
y
y













，
由上，有







5
1
5
5
2
2
1
1
2.5
2.5
0.96
2.6
10
0.66
i
i
i
i
i
i
i
x
x
y
y
r
x
x
y
y
















0.75

，
所以y 与x 之间的线性相关性较强；
（2）依题意，完善表格如下：
购置传统燃油车
购置新能源车
总计
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50
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则
2x 的观测值


2
2
100
35 25 15 25
25
4.17
3.841
50 50 40 60
6
x











，
根据小概率值
0.05

的独立性检验，我们认为购车车主购置新能源乘用车与性别是有关，此推断犯错误概
率不大于0.05.
3．（2024 上·黑龙江·高二校联考期末）直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费
者所接受.针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货销售金额稳步提升，以下是该公
司2023 年前6 个月的带货金额：
月份x
1
2
3
4
5
6
带货金额
/
y 万元
254
354
454
954
1654
2054
(1)根据统计表中的数据，计算变量y 与x 的样本相关系数r ，并判断两个变量y 与x 的相关程度（若
0.75
r 
，
则认为相关程度较强；否则没有较强的相关程度，精确到0.01）；
(2)若y 与x 的相关关系拟用线性回归模型表示，试求y 关于x 的经验回归方程，并据此预测2023 年10 月份
该公司的直播带货金额（精确到整数）.
附：经验回归方程
ˆ
ˆ
ˆ
y
bx
a


，其中





1
1
2
2
2
1
1
ˆ
ˆ
ˆ
,
n
n
i
i
i
i
i
i
n
n
i
i
i
i
x
x
y
y
x y
nxy
b
a
y
bx
x
x
x
nx

















，
样本相关系数







1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
n
n
i
i
i
i
i
i
n
n
n
n
i
i
i
i
i
i
i
i
x
x
y
y
x y
nxy
r
x
x
y
y
x
nx
y
ny





















；
参考数据：


6
6
2
1
1
26734,
200 70
i
i
i
i
i
x y
y
y







.
【答案】(1)
0.96
r 
，y 与x 相关程度较强，且正相关；
(2) ˆ
382.86
386.01
y
x


，预测2023 年10 月份该公司的直播带货金额为3443 万元.
【详解】（1）由已知可得
1
2
3
4
5
6
254
354
454
954
1654
2054
3.5,
954
6
6
x
y














.
又


6
2
2
2
2
2
2
2
1
(1 3.5)
(2
3.5)
(3
3.5)
(4
3.5)
(5
3.5)
(6
3.5)
17.5
i
i
x
x
















，
所以




6
6
2
1
2
1
70 ,
200 70
2
i
i
i
i
x
x
y
y








，
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则样本相关系数




6
1
6
6
2
2
1
1
6
26734
6 954 3.5
6700
0.96
7000
70
200 70
2
i
i
i
i
i
i
i
x y
xy
r
x
x
y
y
















因为样本相关系数
0.96
0.75
r 

，所以y 与x 相关程度较强，且正相关.
（2）设y 关于x 的经验回归方程为
ˆ
ˆ
ˆ
y
bx
a


，其中


6
1
6
2
2
1
6
26734
6 3.5 954
2680
ˆ
382.86
7
70
2
i
i
i
i
i
x y
xy
b
x
x


















，
ˆ
ˆ
954
382.86 3.5
386.01
a
y
bx






，
所以y 关于x 的经验回归方程为ˆ
382.86
386.01
y
x


.
把
10
x 
代入得ˆ
3443
y 
（万元）.
所以预测2023 年10 月份该公司的直播带货金额为3443 万元.
练一练
1．（2023 上·陕西西安·高三交大附中校考阶段练习）某骑行爱好者近段时间在专业人士指导下对骑行情况
进行了统计，各次骑行期间的身体综合指标评分x 与对应用时y （单位：小时）如下表：
身体综合指标评分（x ）
1
2
3
4
5
用时（y /小时）
10
8.5
8
7
6.5
(1)由上表数据看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数如以说明；
(2)建立y 关于x 的回归方程.
参考数据和参考公式：相关系数







1
2
2
1
1
n
i
i
i
n
n
i
i
i
i
x
x
y
y
r
x
x
y
y











，





1
2
1
n
i
i
i
n
i
i
x
x
y
y
b
x
x









，
ˆ
ˆa
y
bx


，3
1.73

.
【答案】(1)答案见解析
(2) ˆ
0.85
10.55
y
x


【详解】（1）由题意得
1
2
3
4
5
3
5
x






，
10
8.5
8
7
6.5
8
5
y






，












5
2
2
2
2
2
2
1
1 3
2
3
3
3
4
3
5
3
10
i
i
x
x














，












5
2
2
2
2
2
2
1
10
8
8.5
8
8
8
7
8
6.5
8
7.5
i
i
y
y














，









5
1
2 2
1
0.5
0 1
1
2
1.5
8.5
i
i
i
x
x
y
y










，
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因此相关系数







5
1
5
5
2
2
1
1
8.5
8.5
8.5
0.98
5 1.73
10 7.5
5 3
i
i
i
i
i
i
i
x
x
y
y
r
x
x
y
y




















.
即相关系数近似为0.98

，y 与x 负相关，且相关程度相当高，从而可用线性回归模型拟合y 与x 的关系；
（2）由（1）中数据，得





5
1
5
2
1
8.5
0.85
10
i
i
i
i
i
x
x
y
y
b
x
x












，


8
3
0 85
10 55
ˆ
ˆa
y
bx
.
.





，
所以y 关于x 的回归方程为ˆ
0.85
10.55
y
x


.
2．（2023 上·河北沧州·高三校联考阶段练习）比亚迪, 这个在中国乘用车市场嶡露头角的中国品牌, 如今已
经在全球汽车品牌销量前十中占据一席之地．这一成就不仅是比亚迪的里程硨，更是中国新能源汽车行业
的里程碑，标志着中国已经在全球范围内成为了新能源汽车领域的强国．比亚迪旗下的宋plus 自2020 年9
月上市以来，在SUV 车型中的月销量遥遥领先，现统计了自上市以来截止到2023 年8 月的宋plus 的月销量
数据．
(1)通过调查研究发现，其他新能源汽车的崛起、购置税减免政策的颁布等，影响了汽车的月销量，现将残
差过大的数据剔除掉，得到2022 年8 月至2023 年8 月部分月份月销量y（单位：万辆）和月份编号x 的成
对样本数据统计．
月份
2022.8
2022.9
2022.12
2023.1
2023.2
2023.3
2023.4
2023.6
2023.7
202.8
月份编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
月销量（单位：
万辆）
4.25
4.59
4.99
3.5
3.78
3.01
2.46
2.72
3.02
3.28
请用样本相关系数说明y 与x 之间的关系可否用一元线性回归模型拟合？若能，求出y 关于x 的经验回归方
程；若不能，请说明理由．（运算过程及结果均精确到0.01）（若
0.75
r 
，则线性相关程度很高，可用一
元线性回归模型拟合）
(2)为庆祝2023 年“双节”（中秋节和国庆节），某地4s店特推出抽奖优惠活动，奖项共设一、二、三等奖三
个奖项，其中一等奖、二等奖、三等奖分别奖励1 万元、5 千元、2 千元，抽中一等奖、二等奖、三等奖的
概率分别为1 1 1
,
,
6 3 2 ．现有甲、乙两人参加了抽奖活动（每人只有一次抽奖机会），假设他们是否中奖相互
独立，求两人所获奖金总额超过1 万元的概率．
参考公式：样本相关系数







1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
n
n
i
i
i
i
i
i
n
n
n
n
i
i
i
i
i
i
i
i
x
x
y
y
x y
nxy
r
x
x
y
y
x
nx
y
ny






























，
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




1
1
2
2
2
1
1
ˆ
,
ˆ
ˆ
n
n
i
i
i
i
i
i
n
n
i
i
i
i
x
x
y
y
x y
nxy
b
a
y
bx
x
x
x
nx

















．
参考数据：
10
10
10
2
2
2
2
1
1
1
178.26,
19.58,
10
82.5,
10
6.20
i
i
i
i
i
i
i
x y
x y
x
x
y
y












，82.5
6.20
22.62


．
【答案】(1)能，
0.21
4.715
y
x


(2) 11
36
【详解】（1）依题意，


1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5.5
10
x 











，
因为
19.58
x y 
，所以
19.58
3.56
5.5
y 

，
因为
10
10
10
2
2
2
2
1
1
1
178.26,
10
82.5,
10
6.20
i
i
i
i
i
i
i
x y
x
x
y
y











，82.5
6.20
22.62


，
所以
10
1
10
10
2
2
2
2
1
1
10
178.26 10 19.58
17.54
0.78
22.62
82.5
6.20
10
10
i
i
i
i
i
i
i
x y
xy
r
x
x
y
y


























，
则
0.75
r 
，
故y 与t 的线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合，
此时
10
1
10
2
2
1
10
178.26 10 19.58
ˆ
0.21
82.5
10
i
i
i
i
i
x y
xy
b
x
x











，
则
ˆ
ˆ
3.56
0.21 5.5
4.715
a
y
bx






，
所以y 关于x 的经验回归方程为
0.21
4.715
y
x


.
（2）依题意，甲、乙两人所获奖金总额超过1 万元必须两人中至少有一人获得一等奖，
所以甲、乙两人所获奖金总额超过1 万元的概率为
1
1
11
1
1
1
6
6
36














.
3．（2024·河南·模拟预测）近日“脆皮大学生”话题在网上引发热议，更多的人开始关注青少年身体素质.身
体健康指数H 与体质测试成绩Y 有一定的相关关系，随机收集某大学20 名学生的数据得



20
1
38
i
i
i
H
H
Y
Y





，
20
1
80
i
i
H



，
20
1
1256
i
i
Y



，H 与Y 的方差满足



2
D H
D Y


.
(1)求H 与Y 的相关系数r 的值；
(2)建立Y 关于H 的线性回归方程，并预测
6
H 
时体质测试成绩.
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参考公式：相关系数







1
2
2
1
1
n
i
i
i
n
n
i
i
i
i
H
H
Y
Y
r
H
H
Y
Y











，
回归方程

Y
a
bH


中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：





1
2
1
n
i
i
i
n
i
i
H
H
Y
Y
b
H
H









，ˆa
Y
bH


.
【答案】(1)0.95
(2) 
0.95
59
Y
H


，64.7
【详解】（1）由题意知




20
2
1
1
2
20
i
i
D H
H
H





，
所以


20
2
1
40
i
i
H
H




，同理


20
2
1
40
i
i
Y
Y




，







20
1
20
20
2
2
1
1
i
i
i
i
i
i
i
H
H
Y
Y
r
H
H
Y
Y











38
0.95
40


.
（2）由题意





20
1
20
2
1
ˆ
0.95
i
i
i
i
i
H
H
Y
Y
b
H
H









，
20
1
1
62.8
20
i
i
Y
Y




，
20
1
1
4
20
i
i
H
H




，
则

ˆ
59
ˆa
Y
bH



，
0.95
59
Y
H


，
当
6
H 
时，
64.7
Y 
，即可预测
6
H 
时体质测试成绩为64.7.
题型三误差分析
1．（2023 上·江苏苏州·高三南京航空航天大学苏州附属中学校考阶段练习）某学校研究性学习小组在学习
生物遗传学的过程中，为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高y（单位：cm ）与父亲身高x（单位：cm ）
之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了5 对父子的身高数据，如下表：
父亲身高x
160
170
175
185
190
儿子身高y
170
174
175
180
186
参考数据及公式：
5
1
880
i
i
x



，
5
2
1
155450
i
i
x



，
5
1
885
i
i
y



，
5
1
156045
i
i
i
x y



，





1
2
1
ˆ
n
i
i
i
n
i
i
x
x
y
y
b
x
x








，
ˆ
ˆa
y
bx


(1)根据表中数据，求出y 关于x 的线性回归方程，并利用回归直线方程分别确定儿子比父亲高和儿子比父
亲矮的条件，由此可得到怎样的遗传规律？
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(2)记ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
i
i
i
i
i
e
y
y
y
bx
a





，(
1,2,
, )
i
n


，其中
iy 为观测值，ˆiy 为预测值，ˆie 为对应

,
i
i
x y
的残差．求（1）
中儿子身高的残差的和、并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？若成立加以证
明；若不成立说明理由．
【答案】(1) 
0.5
89
y
x


，规律见解析
(2)残差和为0；成立，证明见解析
【详解】（1）
5
1
1
880
176
5
1
5
i
i
x
x






，
5
1
1
885
177
5
1
5
i
i
y
y






，
1
2
2
2
5
1
5
5
156045
5 176 177
ˆ
0.5
155450
5 176
5
i
i
i
i
i
x y
x y
b
x
x













，
ˆ
ˆ
177
0.5 176
89
a
y
bx






，
故回归方程为：
0.5
89
y
x


，
取
0.5
89
y
x
x



，解得
178
x 
，即
178
x 
时，儿子比父亲高；
取
0.5
89
y
x
x



，解得
178
x 
，即
178
x 
时，儿子比父亲矮；
父亲较高时，儿子平均身高要矮于父亲，父亲较矮时，儿子平均身高要高于父亲，
即儿子身高有一个回归，回归到全种群平均高度的趋势.
（2）
1
0.5 160
89
169
y 



，
1
170 169
1
e 


；

2
0.5 170
89
174
y 



，
2
174 174
0
e 


；

3
0.5 175
89
176.5
y 



，
3
175 176.5
1.5
e 


；

4
0.5 185
89
181.5
y 



，
4
180 181.5
1.5
e 


；

5
0.5 190
89
184
y 



，
5
186 184
2
e 


；
故残差的和为1 0 1.5 1.5
2
0





.
对任意具有线性相关关系的变量

1
0
n
i
i
e



.
证明如下：










1
1
1
1
1
ˆ
0
n
n
n
n
n
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
e
y
y
y
bx
a
y
b
x
na
x
y
bx
ny
nb
n


























.
2．（2023 下·江苏淮安·高二统考期末）某乡政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，取得较好的效
果．以下是某农户近5 年种植药材的平均收入的统计数据：
年份
2018
2019
2020
2021
2022
年份代码x
1
2
3
4
5
平均收入y （千元）
59
61
64
68
73
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(1)根据表中数据，现有y
a
bx


与
2
y
c
dx


两种模型可以拟合y 与x 之间的关系，请分别求出两种模型的
回归方程；（结果保留一位小数）
(2)统计学中常通过比较残差的平方和来比较两个模型的拟合效果，请根据残差平方和说明上述两个方程哪
一个拟合效果更好，并据此预测2023 年该农户种植药材的平均收入．
参考数据及公式：



1
217
n
i
i
i
t
t
y
y





，


2
1
374
n
i
i
t
t




，其中
2
i
i
t
x

．





1
2
1
n
i
i
i
n
i
i
x
x
y
y
b
x
x









，a
y
bx




．
【答案】(1)
3.5
54.5
y
x


，
2
0.6
58.4
y
x


；
(2)回归方程
2
0.6
58.4
y
x


拟合效果更好，预测2023 年该农户种植药材的平均收入为8 万元．
【详解】（1）根据农户近5 年种植药材的平均收入情况的统计数据可得：


1 1
2
3
4
5
3
5
x 




，


1 59
61
64
68
73
65
5
y 





，
所以



5
1
35
i
i
i
x
x
y
y





，


5
2
1
10
i
i
x
x




，
则





5
1
5
2
1
35
3.5
10
i
i
i
i
i
x
x
y
y
b
x
x











，
65
3.5
3
54.5
a
y
bx







．
设
2
t
x

，则
2
y
c
dx
c
dt




，所以


2
2
2
2
2
1 1
2
3
4
5
11
5
t 





，
则





5
1
5
2
1
217
0.6
374
i
i
i
i
i
t
t
y
y
d
t
t










，

65
0.6 11
58.4
c
y
d t







．
所以，两种模型的回归方程分别为
3.5
54.5
y
x


，
2
0.6
58.4
y
x


．
（2）回归方程为
3.5
54.5
y
x


时，将x 值代入可得估计值分别为58，61.5，65，68.5，72，则残差平方和
为









2
2
2
2
2
59 58
61 61.5
64 65
68 68.5
73 72
3.5










．
回归方程为
2
0.6
58.4
y
x


时，将x 值代入可得估计值分别为59，60.8，63.8，68，73.4，
则残差平方和为









2
2
2
2
2
59 59
61 60.8
64 63.8
68 68
73 73.4
0.24










．
因为0.24
3.5

，所以回归方程
2
0.6
58.4
y
x


拟合效果更好，应选择该方程进行拟合．
当
6
x 
时，
2
0.6 6
58.4
80
y 



，
故预测2023 年该农户种植药材的平均收入为80 千元，即8 万元．
3．（2022 下·福建福州·高二福州三中校考期末）现代物流成为继劳动力、自然资源外影响企业生产成本及
利润的重要因素.某企业去年前八个月的物流成本和企业利润的数据（单位:万元)如表所示:
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月份
1
2
3
4
5
6
7
8
物流成本x
83
83.5
80
86.5
89
84.5
79
86.5
利润y
114
116
106
122
132
114
m
132
残差
ˆ
i
i
i
e
y
y


0.2
0.6
1.8
-3
-1
-4.6
-1
根据最小二乘法公式求得线性回归方程为ˆ
3 2
151 8
y
x


.
. .
(1)求m 的值，并利用已知的线性回归方程求出八月份的残差值
8e
(2)通过残差分析，怀疑残差绝对值最大的那组数据有误，经再次核实后发现其真正利润应该为116 万元.请
重新根据最小二乘法的思想与公式，求出新的线性回归方程.
附1
8
8
8
2
2
1
1
1
78880,
56528,
84,
(
)
904
i
i
i
i
i
i
i
x y
x
x
y
y











附2
2
2
1
2
1
ˆ
(
)
1
.
(
)
n
i
i
i
n
i
i
y
y
R
y
y







附3
1
2
1
(
)(
)
ˆ
(
)
n
i
i
i
n
i
i
x
x
y
y
b
x
x








1
2
2
1
ˆ
ˆ
,
.
n
i
i
i
n
i
i
x y
nx y
a
y
bx
x
nx










【答案】(1)
100
m 
；
8ˆ
7
e 
；
(2)线性回归方程模型为ˆ
2.7
111.8
y
x


.
【详解】（1）由已知数据可得：
83
83.5
80
86.5
89
84.5
79
86.5
84
8
x









，
因为点(
)
,x y 在回归直线ˆ
3 2
151 8
y
x


.
. 上，所以
3.2 84 151.8
117
y 



，
所以114 116 106 122 132 114
132
117 8
m









，
所以
100
m 
，
所以八月份的残差值


8
132
3.2 86.5 151.8
7
e 




；
（2）由已知可得
1
0.2
e 
，
2
0.6
e 
，
3
1.8
e 
，
4
3
e 
，
5
1
e ，
6
4.6
e 
，
7
1
e ，
又由(1)知
8
7
e 
所以8 月份的残差绝对值最大，所以8 月份的真正利润应该为116 万元，
此时
8
1
78880
86.5 (132 116)
77496
i
i
i
x y







，
117 8
(132 116)
115
8
y




又
8
2
1
56528,
84
i
i
x
x




，
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所以
1
2
2
2
1
77496
8 84 115
ˆ
2.7
56528
8 84
n
i
i
i
n
i
i
x y
nx y
b
x
nx













，
ˆ
ˆ
115
2.7 84
111.8
a
y
bx






，
所以数据核实后的新的线性回归方程为ˆ
2.7
111.8
y
x


.
练一练
1．（2022 下·山东淄博·高二统考期末）随机选取变量x 和变量Y 的5对观测数据，选取的第

1,2,3,4,5
i i 
对
观测数据记为

,
i
i
x y
，其数值对应如下表所示：
编号i
1
2
3
4
5
ix
9
8
7
6
5
iy
75
95
110
135
150
计算得：
5
1
1
7
5
i
i
x
x




，
5
1
1
113
5
i
i
y
y




，
5
2
2
1
5
10
i
i
x
x




，
2
5
2
1
5
3630
i
i
y
y




，
5
1
3765
i
i
i
x y



．
(1)求变量x 和变量Y 的样本相关系数（小数点后保留4 位），判断这两个变量是正相关还是负相关，并推断
它们的线性相关程度；
(2)假设变量Y 关于x 的一元线性回归模型为


2
0,
Y
bx
a
e
E e
D e









.
（ⅰ）求Y 关于x 的经验回归方程，并预测当
10
x 
时Y 的值；
（ⅱ）设
ie 为


1,2,3,4,5
i
x
x i


时该回归模型的残差，求
1e 、
2e 、
3e 、
4e 、
5e 的方差．
参考公式：







1
2
2
1
1
n
i
i
i
n
n
i
i
i
i
x
x
y
y
r
x
x
y
y











，





1
2
1
ˆ
n
i
i
i
n
i
i
x
x
y
y
b
x
x








，
ˆ
a
y
b x

．
【答案】(1)答案见解析
(2)①答案见解析；②4
【详解】（1）解：







5
1
1
5
5
2
2
2
5
2
2
2
1
1
5
1
1
5
5
3765
5 7 113
0.9972
10 3630
5
5
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
r
x
x
y
y
x y
xy
x
x
y
y
x
x
y
y


























，
所以，这两个变量负相关，且具有较强的线性相关性.
（2）解：①
5
1
5
2
2
1
5
190
19
10
5
i
i
i
i
i
x y
xy
b
x
x











，则
113 19 7
246
a
y
bx







，
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所以，Y 关于x 的经验回归方程为
19
246
y
x


，
当
10
x 
时，则
19 10
246
56
y 



，
所以，当
10
x 
时，Y 的预测值为56；
②由

19
246
i
i
i
i
i
e
y
y
y
x





，计算得该回归模型的残差如下表所示：
ix
9
8
7
6
5

ie
0
1
3

3
1

所以，残差的方差为




2
2
2
2
2
2
0
1
3
3
1
4
5






.
2．（2022 下·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）甲、乙两名同学在对具有相关关系的两个
变量进行回归分析时，得到如下数据.
x
4
6
8
10
12
y
4
12
24
50
72
甲发现表中散点集中在曲线
2
1
2
y
c x
c x


附近（其中
1c ，
2c 是参数，且
1
0
c 
）.他先设
y
y
x

，将表中数据
进行转换，得到新的成对数据


,
1,2,3,4,5
i
i
x y
i


，再用一元线性回归模型

y
bx
a



拟合；乙根据数据得
到线性回归方程为
8.7
37.2
y
x


.
(1)列出新的数据表


,
1,2,3,4,5
i
i
x y
i


，并求

y
bx
a



；
(2)在统计学中，我们通常计算不同回归模型的残差平方和（残差平方和用
2v 表示）来判断拟合效果，
2v 越
小，拟合效果越好.乙同学计算出其模型的残差平方和为143.6，请你计算甲同学模型
2
1
2
y
c x
c x


的残差平
方和，并比较拟合效果.
（参考公式：





1
2
1
n
i
i
i
n
i
i
x
x
y
y
b
x
x









，



2
2
1
n
i
i
i
v
y
y




.）
【答案】(1)数据表见解析，
0.65
1.8
y
x


；
(2)20.24，
2
1
2
y
c x
c x


拟合效果好.
【详解】（1）新数据对( ,
)(
1,2,3,4,5)
i
i
x y
i 

如下表：
x
4
6
8
10
12
y
1
2
3
5
6
因此
4
6
8 10
12
1
2
3
5
6
8
3.4
5
5
x
y












，
，
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则
2
2
2
2
2
(4 8)(1 3.4)
(6 8)(2 3.4)
(8 8)(3 3.4)
(10 8)(5 3.4)
(12 8)(6 3.4)
4
2
0
2
4
b




















26
0.65
40


，
3.4
0.65 8
1.8
a
y
bx







，
所以
0.65
1.8
y
x


.
（2）由（1）得：
2
0.65
1.8
y
x
x


，当
1
4
x 
时，
1
4(0.65 4 1.8)
3.2
y 


，
当
2
6
x 
时，
2
6(0.65 6 1.8)
12.6
y 


，当
3
8
x 
时，
3
8(0.65 8 1.8)
27.2
y 


，
当
4
10
x 
时，
4
10(0.65 10 1.8)
47
y 



，当
5
12
x 
时，
5
12(0.65 12 1.8)
72
y 



，

i
i
y y
，对应值表为：
y
4
12
24
50
72
y
3.2
12.6
27.2
47
72
因此
2
2
2
2
2
2
0.8
0.6
3.2
3
0
20.24
v 





，显然143.6
20.24
＞
所以模型
2
1
2
y
c x
c x


拟合效果好．
3．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）身高体重指数(BMI)的大小直接关系到人的健康状况，某高
中高三(1)班班主任为了解该班学生的身体健康状况，从该班学生中随机选取5 名学生，测量其身高、体重
的数据如下表.
学生编号
1
2
3
4
5
身高x/cm
l65
170
175
170
170
体重y/kg
58
67
67
65
63
(1)求体重关于身高的线性回归方程，并预测身高为180cm 的同学的体重；
(2)试分析学生的体重差异约有多少是由身高引起的？(注:结果保留两位小数)参考公式:线性回归方程
ˆ
ˆ
ˆ
y
bx
a


中，
1
1
2
2
2
1
1
(
)(
)
ˆ
(
)
n
n
i
i
i
i
i
i
n
n
i
i
i
i
x y
nxy
x
x
y
y
b
x
nx
x
x















，
ˆ
ˆa
y
bx


，其中x ，y 为样本平均值，
2
2
1
2
1
ˆ
(
)
1
(
)
n
i
i
n
i
i
y
y
R
y
y







.
【答案】(1) ˆ
0.9
89
y
x


，身高为180cm 的同学的体重大约为73kg ；
(2) 72%
【详解】（1）解：依题意可
165 170 175 170 170
170
5
x






，
58
67
67
65
63
64
5
y






，










2
2
2
2
2
2
1
(
)
165 170
170 170
175 170
170 170
170 170
50
n
i
i
x
x














，





1
(
)(
)
165 170
58
64
175 170
67
64
45
n
i
i
i
x
x
y
y













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所以
1
2
1
(
)(
)
45
ˆ
0.9
50
(
)
n
i
i
i
n
i
i
x
x
y
y
b
x
x










，
ˆ
ˆ
64
0.9 170
89
a
y
bx






所以回归直线方程为ˆ
0.9
89
y
x


，
当
180
x 
时ˆ
0.9 180
89
73
y 



，所以身高为180cm 的同学的体重大约为73kg ；
（2）由（1）回归方程可得，各组数据的残差，如表所示：
学生编号
1
2
3
4
5
身高
/ cm
x
165
170
175
170
170
体重
/ kg
y
58
67
67
65
63
残差ˆe
1.5

3
1.5

1
1

所以







5
2
2
2
2
2
2
1
(
)
1.5
3
1.5
1
1
15.5
i
i
i
y
y









，


5
2
2
2
2
2
2
1
(
)
( 6)
3
3
1
1
56
i
i
y
y









，
则
2
15.5
1
0.72
56
R 

，
故学生的体重差异约有72% 是由身高引起的．
题型四非线性回归模型
1．（2023·全国·高三专题练习）近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了
一段时间的推广期，由于推广期优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计
了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x 表示活动推出的天数，y 表示每天使用扫码支付的人
次（单位：十人次），统计数据如表1 所示：
表1：
x
1
2
3
4
5
6
7
y
6
11
21
34
66
101
196
根据以上数据，绘制了如图1 所示的散点图.
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参考数据：
y
v
7
1
i
i
i
x y

7
1
i i
i
x v

0.54
10
62.14
1.54
2535
50.12
3.47
其中
lg
i
i
v
y

，
7
1
7
1
i
i
v
v


.
参考公式：
对于一组数据
1
1
2
2
(
,
),(
,
),...,(
,
)
n
n
u v
u v
u v ，其回归直线v
u




的斜率和截距的最小二乘估计分别为

1
2
2
1
n
i
i
i
n
i
i
u v
nuv
u
nu








，

a
v
u



.
(1)根据散点图判断，在推广期内，y
a
bx


与
x
y
c d

（,c d 均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支
付的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的判断结果及表1 中的数据，求y 关于x 的回归方程，并预测活动推出第8 天使用扫码支付的
人次；
【答案】(1)
x
y
c d

适宜；
(2)
0.25
ˆ
3.47 10
x
y 

，3470.
【详解】（1）由于表中点的走势不在任何一条直线附近，因此应该是非线性的，故可判断
x
y
c d

适宜作
为扫码支付的人数y 关于活动推出天数x 的回归方程类型;
（2）
x
y
c d


，两边同时取常用对数得: lg
lg
lg
y
c
x
d


;
设lg
,
lg
lg
y
v
v
c
x
d



7
2
1
4,
1.54,
140
i
i
x
v
x






，
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
7
1
7
2
2
2
1
7
50.12
7 4 1.54
7
lg
0.25
140
7 4
28
7
i
i
i
i
i
x v
xv
d
x
x













，
把样本中心点

4,1.54 代入
lg
lg
v
c
x
d


，得:
0.54
0.25
v
x



，

lg
0.54
0.25
y
x



，
y
关于x 的回归方程式:


0.54 0.25
0.54
0.25
0.25
10
10
10
4
0
ˆ
3. 7 1
x
x
x
y






.
把
8
x 
代入上式: 
2
3.47 10
347
y 


,
故活动推出第8 天使用扫码支付的人次为3470.
2．（2022·山东青岛·统考一模）规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回
的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，
否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进
行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功．
(1)某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数
为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望；
(2)为验证抽球试验成功的概率不超过
1
2 ，有1000 名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记t 表示成功时抽
球试验的轮次数，y 表示对应的人数，部分统计数据如下：
t
1
2
3
4
5
y
232
98
60
40
20
求y 关于t 的回归方程

b
y
a
t



，并预测成功的总人数（精确到1）；
(3)证明：


2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
· · 1
2
2
3
2
3
4
2
3
2
1
n
n











































．
附：经验回归方程系数：
1
2
2
1
n
i
i
i
n
i
i
x y
nx y
b
x
nx









，a
y
bx




；
参考数据：
5
2
1
1.46
i
i
x



，
0.46
x 
，
2
0.212
x 
（其中
1
i
i
x
t

，
5
1
1
5
i
i
x
x


）．
【答案】(1)分布列见解析，数学期望为29
12
(2)回归方程为
270
34.2
y
t


，预测成功的总人数为465
(3)证明见解析
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【详解】（1）由题知，X 的取值可能为1，2，3 所以


2
1
2
1
1
1
4
P X
C









；


2
2
1
1
2
3
1
1
1
2
1
12
P X
C
C























；


2
2
1
1
2
3
1
1
2
3
1
1
3
P X
C
C
































；
所以X 的分布列为：
X
1
2
3
P
1
4
1
12
2
3
所以数学期望为


1
1
2
3
2
24
29
1
2
3
4
12
3
12
12
E X







.
（2）令
1
i
i
x
t

，则y
bx
a




，由题知：
5
1
315
i
i
i
x y



，
90
y 
，
所以
5
1
5
2
2
1
5
315
5 0.46 90
108
270
1.46
5 0.212
0.4
5
i
i
i
i
i
x y
x y
b
x
x















，
所以
90
270 0.46
34.2
a 



，
270
34.2
y
x


，
故所求的回归方程为：
270
34.2
y
t


，
所以，估计
6
t 
时，
11
y 
；估计
7
t 
时，
4
y 
；估计
8
t 时，
0
y 
；
预测成功的总人数为450
11
4
465



.
（3）由题知，在前n 轮就成功的概率为


2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
2
3
4
2
3
1
P
n
n














































又因为在前n轮没有成功的概率为


2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
2
3
1
P
n



























1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
1
1
n
n
n
n

















































1
3
2
4
1
1
2
2
2
3
3
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n















































1 2
2
1
2
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n











，
故


2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
2
3
4
2
3
2
1
n
n














































.
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3．（2020 下·陕西西安·高二统考期末）某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组
成．每批产品的非原料总成本y （元）与生产该产品的数量x （千件）有关，经统计得到如下数据：
x
1
2
3
4
5
6
7
y
6
11
21
34
66
101
196
根据以上数据，绘制如图所示的散点图．
观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用对数函数模型
ln
y
a
b
x


和指数函数模型
x
y
c d

分
别对两个变量的关系进行拟合．
（1）根据散点图判断，
ln
y
a
b
x


与
x
y
c d

（c ，d 均为大于零的常数）哪一个适宜作为非原料总成本y
关于生产该产品的数量x 的回归方程类型；（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表1 中的数据，建立y 关于x 的回归方程；
（3）已知每件产品的原料成本为10 元，若该产品的总成本不得高于123470 元，请估计最多能生产多少千
件产品．
参考数据：
y
v
7
1
i
i
i
x y

7
1
i
i
i
x v

0.54
10
62.14
1.54
2535
50.12
3.47
其中
lg
i
i
v
y

，
1
1
7
n
i
i
v
v


．
参考公式：对于一组数据

1
1
,
u v
，

2
2
,
u v
，…，

,
n
n
u v
，其回归直线
ˆ
ˆ
ˆ
v
a
u



的斜率和截距的最小二乘估
计公式分别为
1
2
2
1
ˆ
n
i i
i
n
i
i
u v
nuv
u
nu








，
ˆ
ˆa
v
u



．
【答案】（1）
x
y
c d

适宜；（2）
0.25
3.47 10
x
y 

；（3）12 千件产品．
【详解】（1）根据散点图判断，
x
y
c d

适宜作为非原料总成本y 关于生产该产品的数量x 的回归方程类
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型．
（2）由
x
y
c d

，两边同时取常用对数得


lg
lg
lg
lg
x
y
c d
c
x
d




．
设lg y
v

，∴
lg
lg
v
c
x
d


，
∵
7
2
1
4,
1.54,
140
i
i
x
v
x





，
∴
7
1
7
2
2
2
1
7
50.12
7 4 1.54
7
lg
0.25
140
7 4
28
7
i i
i
i
i
x v
xv
d
x
x












．
把(4,1.54) 代入
lg
lg
v
c
x
d


，得lg
0.54
c 
，
∴ˆ
0.54
0.25
v
x


，∴
ˆ
lg
0.54
0.25
y
x


，
∴
0.54 0.25
0.25
ˆ
10
3.47 10
x
x
y




，
即y 关于x 的回归方程为
0.25
ˆ
3.47 10
x
y 

．
（3）设生产了x 千件该产品.则生产总成本为
0.25
( )
3.47 10
10 1000
x
g x
x




．
又
0.25
( )
3.47 10
10000
x
g x
x



在其定义域内单调递增，且
3
(12)
3.47 10
120000
123470
g




，
故最多能生产12 千件产品．
4．（2022 上·广东深圳·高三校联考期中）红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只
红蜘蛛的平均产卵数y（个）和平均温度x（℃）有关，现收集了以往某地的7 组数据，得到下面的散点图
及一些统计量的值.
(1)根据散点图判断，y
bx
a


与
edx
y
c

（其中e
2.718

…为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵
数y（个）关于平均温度x（℃）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)由（1）的判断结果及表中数据，求出y 关于x 的回归方程.（计算结果精确到0.1）
附：回归方程中y
bx
a




，





1
1
2
2
2
1
1
n
n
i
i
i
i
i
i
n
n
i
i
i
i
x
x
y
y
x y
nxy
b
x
x
x
nx
















，
ˆ
ˆa
y
bx


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参考数据（
ln
z
y

）
7
2
1
i
i
x

7
1
i
i
i
x y

7
1
i
i
i
x z

x
y
z
5215
17713
714
27
81.3
3.6
(3)根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22℃以下的年数占60%，
对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22℃至28℃的年数占30%，柚子产量会下降20%；
平均气温在28℃以上的年数占10%，柚子产量会下降50%.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各种
防害措施供果农选择.
在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200 万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益＝
产值－防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理由.
方案1：选择防害措施A，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18 万；
方案2：选择防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛虫害，但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害，费用是
10 万；
方案3：不采取防虫害措施.
【答案】(1)
edx
y
c

更适宜
(2)
0.3
4.5
e
x
y


(3)选择方案1 最佳，理由见解析
【详解】（1）由散点图可以判断，
edx
y
c

更适宜作为平均产卵数y 关于平均温度x 的回归方程类型.
（2）将
edx
y
c

两边同时取自然对数，可得ln
ln
y
c
dx


，
由题中的数据可得，
7
1
7
33.6
i
i
i
x z
xz




，


7
7
2
2
2
1
1
7
112
i
i
i
i
x
x
x
x








，
所以
7
1
7
2
2
1
7
33.6
0.3
112
7
i
i
i
i
i
x z
xz
d
x
x









，
则ln
3.6
0.3 27
4.5
c
z
dx






，
所以z 关于x 的线性回归方程为
0.3
4.5
z
x


，
故y 关于x 的回归方程为
0.3
4.5
e
x
y


；
（3）用
1
X ，
2
X 和
3
X 分别表示选择三种方案的收益.
采用第1 种方案，无论气温如何，产值不受影响，收益为200 18
182


万，即
1
182
X 
采用第2 种方案，不发生28℃以上的红蜘蛛虫害，收益为200 10
190


万，
如果发生，则收益为100
10
90


万，即
2
190,
28
90,
28
X



不发生
℃以上的红蜘蛛虫害
发生
℃以上的红蜘蛛虫害
，
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同样，采用第3 种方案，有
3
200,
160,
22-28
100,
28
X




不发生虫害
只发生
℃虫害
发生
℃以上虫害
所以，


1
182
E X

，






2
2
2
190
190
90
90
190 0.9
90 0.1 171 9
180
E X
P X
P X













，








3
3
3
3
200
200
160
160
100
100
E X
P X
P X
P X









200 0.6
160 0.3 100 0.1
178







.
显然，


1
E X
最大，所以选择方案1 最佳.
练一练
1．（2020 下·甘肃庆阳·高二校考期中）近期某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设
置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交
车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x 表示活动推出的天数，y 表示每天使用扫码
支付的人次（单位：十人次），统计数据如表1 所示：
表1：
x
1
2
3
4
5
6
7
y
6
11
21
34
66
101
196
根据以上数据，绘制了散点图．
（1）根据散点图判断，在推广期内，y
a
bx


与
x
y
c d

（c，d 均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码
支付的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；
（2）根据（1）的判断结果及表1 中的数据，求y 关于x 的回归方程，并预测活动推出第8 天使用扫码支付
的人次.参考数据：其中
7
1
1
lg
,
7
i
i
i
i
v
y v
v


，
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y
v
7
1
i
i
i
x y

7
1
i i
i
x v

0.54
10
62.14
1.54
2535
50.12
3.47
参考公式：对于一组数据
1
1
( ,
)
u v ，
2
2
(
,
)
u v
，
，(
,
)
n
n
u v
，其回归直线
ˆ
ˆ
ˆv
u




的斜率和截距的最小二乘估
计公式分别为：
1
2
2
1
,
ˆ
ˆ
ˆ
n
i i
i
n
i
i
u v
nuv
v
u
u
nu












.
（3）微信是现代生活进行信息交流的重要工具，据统计，某公司200 名员工中90%的人使用微信，其中每
天使用微信时间在一小时以内的有60 人，其余的员工每天使用微信在一小时以上，若将员工分成青年（年
龄小于40 岁）和中年（年龄不小于40 岁）两个阶段，那么使用微信的人中75%是青年人，若规定：每天
使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中2
3 都是青年人．是否有99.9%的把
握认为“经常使用微信与年龄有关”？
附：
P(K2≥k0)
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828


2
2
(
)
.
(
)
(
)(
)
n ad
bc
k
a
b
c
d
a
c
b
d






【答案】（1）
x
y
c d

；（2）
0.25
ˆ
3.47 10
x
y 

，活动推出第8 天使用扫码支付的人次347；（3）有99.9%
的把握认为“经常使用微信与年龄有关”.
【详解】（1）根据散点图判断
x
y
c d

适合作为扫码支付的人数扫码支付的人次y 关于活动推出天数x 的
回归方程类型；
（2）由（1）知，
x
y
c d

，两边同时取对数得lg
lg
lg
y
c
d x



，
由题意知
lg
,
1.54
i
i
v
y
v


，
7
1
50.12,
4
i i
i
x v
x




，
7
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
3
4
5
6
7
140
i
i
x










，
所以
7
1
7
2
2
1
7
lg
7
i
i
i
i
i
x v
xv
d
x
x







2
50.12
7 4 1.54
0.25
140
7 4




，
所以lg
lg
1.54
0.25 4
0.54
c
v
d x







，lg
0.54
0.25
y
x


，
则y 关于x 的回归方程为
0.54 0.25
0.25
ˆ
10
3.47 10
x
x
y




，
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当
8
x 
时，
2
3.47
34
ˆ
10
7
y 


，故预测活动推出第8 天使用扫码支付的人次347.
（3）由已知得该公司员工中使用微信的有200 90%
180


人，
经常使用微信的有180
60
120


人，其中青年人有
2
120
80
3


人，使用微信的人中青年人有180 75%
135


人，
作出列联表如下：
青年人
中年人
合计
经常使用微信
80
40
120
不经常使用微信
55
5
60
合计
135
45
180
将列联表中的数据代入公式可得


2
2
180
80 5
55 40
13.333
120 60 135 45
k








，
因为13.333
10.828

，所以有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”.
2．（2019 下·福建福州·高二福建省福州第一中学校考期末）红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造
成严重伤害，每只红铃虫的平均产卵数y 和平均温度x 有关，现收集了以往某地的7 组数据，得到下面的散
点图及一些统计量的值.
平均温度
/
x
C

21
23
25
27
29
31
33
平均产卵数y /个
7
11
21
24
66
115
325
ln
z
y

1.9
2.4
3.0
3.2
4.2
4.7
5.8
（1）根据散点图判断，y
bx
a


与
dx
y
ce

（其中
2.718
e 
为自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均
产卵数y 关于平均温度x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求
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出y 关于x 的回归方程.（计算结果精确到0.01）
（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到28 C

以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况
均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28 C

以上的概率为p .记该地今后5 年中，恰好需要3 次人工
防治的概率为

f
p ，求

f
p 的最大值，并求出相应的概率
0p .
附：回归方程y
bx
a




中，





1
1
2
2
2
1
1
n
n
i
i
i
i
i
i
n
n
i
i
i
i
x
x
y
y
x y
nxy
b
x
x
x
nx
















，a
y
bx




.
参考数据
7
2
1
i
i
x

7
1
i
i
i
x y

7
1
i
i
i
x z

y
z
5215
17713
717
81.3
3.6
【答案】（1）
0.33
5.31
x
y
e


；
（2）当
0
3
5
p 
时，
max
3
216
5
625
f
p
f 







.
【详解】解：（1）由散点图可以判断，
dx
y
ce

适宜作为卵数y 关于温度x 的回归方程类型.
对
dx
y
ce

两边取自然对数，得ln
ln
y
c
dx


，
令
ln
z
y


，
ln
a
c

，b
d


，则

z
bx
a




，
由数据得
21 23
25
27
29
31 33
27
7
x








，


7
1
7
36.6
i
i
i
x z
xz




，


7
7
2
2
2
1
1
7
112
i
i
i
i
x
x
x
x








，
所以


1
7
2
2
1
7
7
7
36.6
0.33
112
i
i
i
i
i
x z
x
b
x
xz










，
3.6
0.33 27
5.31
a
z
bx







，
所以z 关于x 的线性回归方程为
0.33
5.31
z
x



，
则y 关于x 的回归方程为
0.33
5.31
x
y
e


；
（2）由



2
3
3
5
1
f
p
C
p
p



得




'
3
2
5
1
3
5
f
p
C
p
p
p




，
因为0
1
p

，令

'
0
f
p 
得3
5
0
p


，解得
3
0
5
p


；
所以

f
p 在
3
0, 5






上单调递增，在3,1
5






上单调递减，
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所以

f
p 有唯一的极大值为
3
5
f 





，也是最大值；
所以当
0
3
5
p 
时，
max
3
216
5
625
f
p
f 







.
3．（2019 上·江西上饶·高二上饶中学校考期中）某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年
研发费用x（单位：千万元）对年销售量y（单位：千万件）的影响，统计了近10 年投入的年研发费用
ix 与
年销售量
1,2
(
,10)
iy i 

的数据，得到散点图如图所示.
（1）利用散点图判断y
a
bx


和
d
y
c x

（其中,c d 均为大于0 的常数）哪一个更适合作为年销售量y 和年
研发费用x 的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）；
（2）对数据作出如下处理，令
ln
,
ln
i
i
i
i
u
x v
y


，得到相关统计量的值如表：根据第（1）问的判断结果及
表中数据，求y 关于x 的回归方程；
10
1
i
i
v

10
1
i
i
u




10
1
i
i
i
u
u
v
v






10
2
1
i
i
u
u



15
15
28.25
56.5
附：对于一组数据




1
1
2
2
,
,
,
,
,
,
n
n
u v
u v
u v

，其回归直线
ˆ
ˆ
ˆv
u




的斜率和截距的最小二乘估计分别为





1
2
1
ˆ
ˆ
ˆ
,
n
i
i
i
n
i
i
u
u
v
v
v
u
u
u













.
【答案】（1）
d
y
c x

更合适（2）
3
4
y
e
x

【详解】（1）由散点图可知，选择回归类型
d
y
c x

更合适；
（2）对
d
y
c x

两边取对数，得ln
ln
ln
y
c
d
x


，即
1
v
nc
du


.
由表中数据求得
10
1
15
3
10
10
2
i
i
u
u
v






，





1
2
1
28.25
1
ˆ
56.5
2
n
i
i
i
n
i
i
u
u
v
v
d
u
u










.
令lnc
m

，则
3
1
3
3
ˆ
ˆ
2
2
2
4
m
v
du






，即
3
4
c
e

.
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∴年销售量y 与年研发费用x 的回归方程为
3
4
y
e
x

；
4．（2020 上·福建南平·高三统考期末）某购物商场分别推出支付宝和微信“扫码支付”购物活动，活动设置
了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用“扫码支付”．现统计了活动
刚推出一周内每天使用扫码支付的人次，用x 表示活动推出的天数，y 表示每天使用扫码支付的人次，统计
数据如下表所示：
x
1
2
3
4
5
6
7
y
6
11
21
34
66
101
196
（1）根据散点图判断，在推广期内，扫码支付的人y 次关于活动推出天数x 的回归方程适合用
x
y
c d

来
表示，求出该回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；
（2）推广期结束后，商场对顾客的支付方式进行统计，结果如下表：
支付方式
现金
会员卡
扫码
比例
20%
50%
30%
商场规定：使用现金支付的顾客无优惠，使用会员卡支付的顾客享受8折优惠，扫码支付的顾客随机优惠，
根据统计结果得知，使用扫码支付的顾客，享受7 折优惠的概率为1
6 ，享受8 折优惠的概率为1
3 ，享受9折
优惠的概率为
1
2 ．现有一名顾客购买了a 元的商品，根据所给数据用事件发生的频率来估计相应事件发生的
概率，估计该顾客支付的平均费用是多少？
参考数据：设
lg
i
i
v
y

，
7
1
1
1.52
7
i
i
v
v




，
7
1
49.56
i
i
i
x v




，
0.52
10
3.31

参考公式：对于一组数据

1
1
,
u v
，

2
2
,
u v
，…，

,
n
n
u v
，其回归直线
ˆ
ˆ
ˆv
u




的斜率和截距的最小二乘估
计公式分别为：
1
2
2
1
ˆ
n
i i
i
n
i
i
u v
nuv
u
nu








，
ˆ
ˆ
v
u




．
【答案】（1）回归方程为：
0.25
ˆ
3.31 (10
) x
y 

；活动推出第8 天使用扫码支付的人次为331（2）一名顾客
购物的平均费用为0.85a 元
【详解】（1）由
x
y
c d

，两边同时取常用对数得：lg
lg(
)
lg
lg
x
y
c d
c
d x




；
设lg y
v

lg
lg
v
c
d x



4,
1.52
x
v



，
7
2
1
1
4
9 16
25
36
49
140
i
i
x









，
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7
1
7
2
2
2
1
7
49.56
7 4 1.52
7
lg
0.25
140
7 4
28
ˆ
7 4
i i
i
i
i
x v
x v
d
x














，
把样本中心点(4 1.52)
，
代入
lg
lg
v
c
d x



,得: g
2
ˆ
l
0.5
c 
，
0.52
0 5
ˆ
.2
v
x


，
lg
0.52
0
ˆ
.25
y
x



y
关于x 的回归方程为：
0.52 0.25
0.52
0.25
0.25
10
1
ˆ
0
10
3.31 (10
)
x
x
x
y






；
把
8
x 
代入上式，
2
3.31
33
ˆ
10
1
y 


；
活动推出第8 天使用扫码支付的人次为331；
（2）记一名顾客购物支付的费用为，
则的取值可能为：a ，0.9a ，0.8a ，0.7a ；
(
)
0.2
P
a


；
1
(
0.9 )
0.3
0.15
2
P
a




；
1
(
0.8 )
0.5
0.3
0.6
3
P
a





；
1
(
0.7 )
0.3
0.05
6
P
a




分布列为：

a
0.9a
0.8a
0.7a
P
0.2
0.15
0.6
0.05
所以，一名顾客购物的平均费用为：
0.2
0.9
0.15
0.8
0.6
0.7
0.05
0.85
a
a
a
a
a







（元）
题型五回归模型与均值、方差综合
1．（2023 下·福建漳州·高二校考期中）某工厂引进新的生产设备M ，为对其进行评估，从设备M 生产零
件的流水线上随机抽取100 件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：
直径/mm
58
59
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
73
合计
件数
1
1
3
5
6
19
33
18
4
4
2
1
2
1
100
经计算，样本的平均值
65

，标准差
2.2

，以频率值作为概率的估计值.
(1)为评估设备M 对原材料的利用情况，需要研究零件中某材料含量y 和原料中的该材料含量x 之间的相关
关系，现取了8 对观测值，求y 与x 的线性回归方程.
(2)为评判设备M 生产零件的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等
式进行评判（P 表示相应事件的概率）；
①
(
)
0.6826
P
X









；②
(
2
2 )
0.9544
P
X









；③
(
3
3 )
0.9974
P
X









.
评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其
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中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M 的性能等级.
(3)将直径小于等于
2



或直径大于
2



的零件认为是次品．从样本中随意抽取2 件零件，再从设备M
的生产流水线上随意抽取2 件零件，计算其中次品总数Y 的数学期望

E Y .
附：①对于一组数据





1
1
2
2
3
3
n
n
x y
x
y
x
y
x
y

,
,
,
,
,
, ,
,
，其回归直线
ˆ
ˆ
ˆ
y
bx
a


的斜率和截距的最小二乘法
估计公式分别为
1
2
2
1
ˆ
n
i
i
i
n
i
i
x y
nxy
b
x
nx







，
ˆ
ˆ
ˆ
a
y
bx


；
②参考数据：
8
1
52
i
i
x



，
8
1
228
i
i
y



，
8
2
1
478
i
i
x



，
8
1
1849
i
i
i
x y



.
【答案】(1)
367
3209
ˆ
140
280
y
x


(2)设备M 的性能等级为丙级
(3) 6
25
【详解】（1）
8
1
52
i
i
x




，
8
1
228
i
i
y



，
52
8
x


，
228
8
y 
，
8
1
2
2
8
2
1
52
228
8
1849
8
367
8
8
ˆ
140
52
8
478
8
8
i
i
i
i
i
x y
xy
b
x
x


















，
228
367
52
3209
ˆ
ˆ
8
140
8
280
a
y
bx






，
所以y 与x 的线性回归方程为
367
3209
ˆ
140
280
y
x


；
（2）
62.8





，
67.2




，
2
60.6




，
2
69.4




，
3
58.4




，
3
71.6




，
80
(62.8
67.2)
0.8 0.6826
100
P
X




，
94
(60.6
69.4)
0.94
0.9544
100
P
X





，
98
(58.4
71.6)
0.98
0.9974
100
P
X





，
设备M 的性能等级为丙级.
（3）样本中直径小于等于
2



的共有2 件，直径大于
2



的零件共有4 件，
所以样本中次品共6 件，可估计设备M 生产零件的次品率为0.06.由题意可知从设备M 的生产流水线上随
意抽取2 件零件，
其中次品数设为Y1，则
1
6
~
2,100
Y
B




，于是

1
6
3
2 100
25
E Y



；
从样本中随意抽取2 件零件其次品数设为Y2，由题意可知Y2 的分布列为：
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Y2
0
1
2
P
2
94
2
100
C
C
1
1
6
94
2
100
C C
C
2
6
2
100
C
C
故


2
1
1
2
94
6
94
6
2
2
2
2
100
100
100
C
C C
C
3
0
1
2
C
C
C
25
E Y




.
则次品总数Y 的数学期望





1
2
1
2
6
( )
25
E Y
E Y
Y
E Y
E Y





.
2．（2023 下·江西·高二校联考开学考试）近年来，学生职业生涯规划课程逐渐进入课堂，考生选择大学就
读专业时不再盲目扎堆热门专业，报考专业分布更加广泛，之前较冷门的数学、物理、化学等专业报考的
人数也逐年上升.下表是某高校数学专业近五年的录取平均分与当年该学校的最低提档线对照表：
年份
2017
2018
2019
2020
2021
年份代码t
1
2
3
4
5
该校最低提档分数线
510
511
520
512
526
数学专业录取平均分
522
527
540
536
554
提档线与数学专业录取平均分之差
y
12
16
20
24
28
(1)根据上表数据可知，y 与t 之间存在线性相关关系，请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程；
(2)据以往数据可知，该大学每年数学专业的录取分数X 服从正态分布


,16
N 
，其中为当年该大学的数
学录取平均分，假设2022 年该校最低提档分数线为540 分.
①若该大学2022 年数学专业录取的学生成绩在584 分以上的有3 人，本专业2022 年录取学生共多少人？
进入本专业高考成绩前46 名的学生可以获得一等奖学金，则一等奖学金分数线应该设定为多少分？
②在①的条件下，若从该专业获得一等奖学金的学生中随机抽取3 人，用表示其中高考成绩在584 分以
上的人数，求随机变量的分布列与数学期望.
参考公式：





1
2
1
ˆ
n
i
i
i
n
i
i
t
t
y
y
b
t
t








，
ˆ
ˆa
y
bt


.
参考数据：


0.683
P
X









，


2
2
0.954
P
X









，

3
3
0.997
P
X









【答案】(1) ˆ
4
8
y
t


(2)①2000 ；580 分；②详见解析.
【详解】（1）由题意知
1
(1
2
3
4
5)
3
5







t
，
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1
(12
16
20
24
28)
20
5
y 






，



1
16
4
0
4
16
40
n
i
i
i
t
t
y
y










，


2
1
4 1 0 1 4
10
n
i
i
t
t







，所以
40
ˆ
4
10
b 

，
ˆ
ˆ
20
4 3
8
a
y
bt





，
故所求线性回归方程为ˆ
4
8
y
t


．
（2）①由（1）知，当
6
t 
时，ˆ
4 6
8
32
y 



，
故该大学2022 年的数学专业录取平均分约为540
32
572


．即
572

因为584
572
3 4
3






，又


1
(
584)
(
572
3 4)
(
3 )
1
3
3
2
P X
P X
P X
P
X

























1 1
0.997
0.0015
2



，
若该大学2022 年数学专业录取的学生成绩在584 分以上的有3 人，
则本专业2022 年录取学生共
3
2000
0.0015 
；
进入本专业高考成绩前46 名的学生占录取人数的46
0.023
2000 
，
设一等奖学金分数线应该设定为
0x 分，
则


0
0.023
P X
x


，


0
0
1144
1 2 0.023
0.954
P
x
X
x








572
2 4
572
2 4
1 2 0.023
0.954
P
X







0
572
2 4
580
x




，
故一等奖学金分数线应该设定为580 分；
②若从该专业获得一等奖学金的学生中随机抽取3 人，用表示其中高考成绩在584 分以上的人数，其中
该专业获得一等奖学金的学生为46 人，其中高考成绩在584 分以上的有3 人，则的可能取值为0，1，2，
3；


3
43
3
46
C
12341
0
C
15180
P 


；

2
1
43
3
3
46
C C
2709
1
C
15180
P 


；


1
2
43
3
3
46
C C
129
2
C
15180
P 


；

3
3
3
46
C
1
3
C
15180
P 



0
1
2
3
P
12341
15180
903
5060
43
5060
1
15180
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
12341
2709
129
1
9
0
1
2
3
15180
15180
15180
15180
46
E 






.
3．（2022 下·福建漳州·高二校联考期末）为迎接2022 年北京冬奥会，践行“更快、更高、更强”的奥林匹克
格言，落实全民健身国家战略．某校高二年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健康体魄”的年度主题活动，
经过一段时间后，学生的身体素质明显提高．
(1)为了解活动效果，该年级对开展活动以来近6个月体重超重的人数进行了调查，调查结果统计如图，根据
这个散点图可以认为散点集中在曲线
ebx a
y


的附近，请根据下表中的数据求出该年级体重超重人数y 与月
份x 之间的回归方程（系数a 和b 的最终结果精确到0.01），并预测从开展活动以来第几个月份开始该年级
体重超标的人数降至10人以下？
月份x
1
2
3
4
5
6
体重超标人数y
99
77
54
48
32
27
ln
z
y

4.58
4.34
3.98
3.87
3.46
3.29
(2)在某次足球训练课上，球首先由A 队员控制，此后足球仅在A、B、C 三名队员之间传递，假设每名队员
控球时传给其他队员的概率如下表所示：
控球队员
A
B
C
接球队员
B
C
A
C
A
B
概率
m
1
m

2
3
1
3
2
3
1
3
若传球3次，B 队员控球次数的期望值C 队员控球次数的期望值的两倍，求实数m 的值．
附：线性回归方程：y
bx
a




中，
1
2
2
1
ˆ
n
i
i
i
n
i
i
x y
nx y
b
x
nx








，
ˆ
a
y
bx


；
参考数据：
6
1
23.52
i
i
z



，
6
1
77.72
i
i
i
x z



，
6
2
1
91
i
i
x



，ln10
2.30

．
【答案】(1)
0.26
4.83
e
x
y



；从第十个月开始，该年级体重超标的人数降至10人以下．
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(2)
29
39
m 
【详解】（1）由
ebx a
y


得
ln
z
y
bx
a



．
由题意得


1 1
2
3
4
5
6
3.5
6
x 






，
1
1
1
23.52
3.92
6
6
n
i
i
z
z






，
所以
6
1
6
2
2
2
1
6
77.72
6 3.5 3.92
ˆ
0.26
91 6 3.5
6
i
i
i
i
i
x z
xz
b
x
x












，



3
3.92
0.26
3.5
4.83
a
z
bx








．
所以

ln
0.26
4.83
z
y
x




，即y 关于x 的经验回归方程为
0.26
4.83
e
x
y



．
令
0.26
4.83
ln10
2.3
e
10
e
e
x





，所以0.26
4.83
2.3
x



，解得
9.73
x 
，
由于
*
N
x
，所以
10
x 
，
所以从第十个月开始，该年级体重超标的人数降至10人以下．
（2）设随机变量X
Y
、
分别表示B
C
、
队员的控球次数，
由题意得X 的可能取值为0 ，1，2 ．


2
2
2
0
(1
)
(1
)
(1
)
3
3
P X
m
m
m








，


2
2
1
1
2
1
2
3
3
3
3
9
P X
m
m
m
m
m









，


2
4
11
1
1
1
(
0)
(
2)
3
9
3
P X
P X
P X
m
m








，
所以X 的分布列为：
X
0
1
2
P
2
2 (1
)
3
m

2
4
11
1
3
9
3
m
m



2
2
1
3
9
m
m

所以


2
2
2
4
11
1
13
3
0
1 (
)
2 (
)
3
9
3
9
2
2
1
(1
)
3
3
9
m
E
m
m
m
X
m
m











．
同理可得Y 的分布列为：
Y
0
1
2
P
2
2
3 m
2
4
13
2
3
9
9
m
m



2
2
13
7
3
9
9
m
m


所以

2
2
2
4
13
2
13
16
0
1 (
)
2 (
)
3
9
9
9
2
2
13
7
3
3
9
9
m
E Y
m
m
m
m
m












．
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由



2
E X
E Y

，有13
3
13
16
2
9
9
m
m





，解得
29
39
m 
．
练一练
1．（2019·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）某个地区计划在某水库建一座至多安装3 台发电机
的水电站，过去50 年的水文资料显示，水的年入流量X （年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单
位：十亿立方米）都在4 以上，其中，不足8 的年份有10 年，不低于8 且不超过12 的年份有35 年，超过
12 的年份有5 年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.
（1）求未来4 年中，至多有1 年的年入流量超过12 的概率；
（2）若水的年入流量X 与其蕴含的能量y （单位：百亿万焦）之间的部分对应数据为如下表所示：
年入流量X
6
8
10
12
14
蕴含的能量y
1.5
2.5
3.5
5
7.5
用最小二乘法求出y 关于X 的线性回归方程

y
bX
a



；（回归方程系数用分数表示）
（3）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关
系：
年入流量X
4
8
X


8
12
X


12
X 
发电机最多可运行台数
1
2
3
若某台发电机运行，则该台年利润为5000 万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800 万元，欲使水电
站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
附：回归方程系数公式：
1
2
2
1
n
i
i
i
n
i
i
x y
nxy
b
x
nx








，a
y
bx




.
【答案】（1）0.9477 （2）
29
13
40
4
X
y 

（3）欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2 台.
【详解】（1）依题意，


1
10
4
8
0.2
50
P
P
X





，


2
35
8
12
0.7
50
P
P
X





，


3
5
12
0.1
50
P
P X




.
由二项分布得，在未来4 年中至多有1 年的年入流量超过12 的概率为




4
3
0
1
4
3
4
3
3
1
1
P
C
P
C
P
P




0.6561 0.2916
0.9477



.
（2）
10
X 
，
4
y 
，
5
1
229
i
i
i
X y



，
5
2
1
540
i
i
X



，
29
40
b 

，
13
4
a
y
bX




，
所以y 关于X 的线性回归方程为
29
13
40
4
X
y 

.
（3）记水电站年总利润为（单位：万元）.
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①安装1 台发电机的情形.
由于水库年入流量总大于4，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润
5000

，

5000 1
5000
E 

.
②安装2 台发电机的情形.
依题意，当4
8
X


时，一台发电机运行，此时
5000
800
4200



，
因此




1
4200
4
8
0.2
P
P
X
P






；
当
8
X 时，两台发电机运行，此时
5000
2
10000



，
因此




2
3
10000
8
0.8
P
P X
P
P






.由此得的分布列如下：

4200
10000
P
0.2
0.8
所以，

4200 0.2 10000 0.8
8840
E 





.
③安装3 台发电机的情形.
依题意，当4
8
X


时，一台发电机运行，此时
5000 1600
3400



，
因此




1
3400
4
8
0.2
P
P
X
P






；
当8
12
X


时，两台发电机运行，此时
5000
2
800
9200




，
因此




2
9200
8
12
0.7
P
P
X
P






；
当
12
X 
时，三台发电机运行，此时
5000 3
15000



，
因此




15000
12
0.1
P
P X




.由此得的分布列如下：

3400
9200
15000
P
0.2
0.7
0.1
所以，

3400 0.2
9200 0.7
15000 0.1
8620
E 






.
综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2 台.
2．（2020·全国·模拟预测）某厂计划购买50台机床，该种机床使用四年后即被淘汰，并且在使用过程中机
床有一易损零件，若在购进机床同时额外购买这种易损零件作为备用件，此时每个只需300元．在使用期间
如果备件不足再购买，则每个要500元．所以在购买前要决策购买数目．使得该厂购买机床时搭配的易损备
用零件费用最省．为此业内相关人员先搜集了50台以往这种机床在四年内更换的易损零件数，并整理数据
后得如下柱状图．
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以这50台机床更换的易损零件数的频率代替每台机床更换的易损零件数发生的概率．记X 表示2 台机床四
年内实际共需更换的易损零件数，n 表示购买2 台机床的同时备用的易损零件数目，


P X
n

为购买机床
时备用件数n发生的概率．
（1）求


0.5
P X
n


时n 的最小值；
（2）求X 的分布列及备用的易损零件数
19
n 
时X 的数学期望；
（3）将购买的机床分配给50名年龄不同（视技术水平不同）的人加工一批模具，因熟练程度不同而加工出
的产品数量不同，故产生的经济效益也不同．若用变量x 表示不同技工的年龄，变量y 为相应的效益值（元），
根据以往统计经验，他们的每日工作效益满足最小二乘法和y 关于x 的线性回归方程
1.2
40
ˆy
x


，已知他
们年龄x 的方差为
2 14.4
xs 
，所对应的效益方差为
2
22.5
ys 
.
①试预测年龄为50岁的技工使用该机床每日所产生的经济效益；
②试根据r 的值判断使用该批机床的技工人员所产生的效益与技工年龄的相关性强弱．
附：下面三个计算回归直线方程

ˆ
y
bx
a


的斜率ˆb 和截距a 及表示随机变量x 与y 相关关系强弱的系数r 计
算公式：





1
2
1
ˆ
n
i
i
i
n
i
i
x
x
y
y
b
x
x








，







1
2
2
1
1
n
i
i
i
n
n
i
i
i
i
x
x
y
y
r
x
x
y
y












.
【答案】（1）19；（2）分布列见解析，


5490
E X 
元；（3）①100元；②该机床的技工所产生的日经
济效益与技工的年龄具有非常强的相关关系.
【详解】（1）根据图示柱表，易知更换易损零件的频数为10的频率为10
0.2
50 
．易损零件的频数为20 的频
率为20
0.4
50 
．
将频率视为概率，且知每台机床易损零件的发生与否是相互独立的，结合图表得：
当
16
X 
时，


16
8
8
0.2 0.2
0.04
P X 





；
当
17
X 
时，


17
8
9
9
8
0.2 0.4
0.4 0.2
0.16
P X 









；
当
18
X 
时，


18
9
9
10
8
8 10
0.4 0.4
2 0.2 0.2
0.24
P X 











；
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当
19
X 
时，


19
10
9
9 10
11 8
8 11
P X 








2 0.4 0.2
2 0.2 0.2
0.24






．
据互斥事件发生的概率知








18
16
17
18
0.44
0.5
P X
P X
P X
P X









；






19
18
19
0.44
0.24
0.68
0.5
P X
P X
P X









．
于是n 的最小值为19；
（2）由（1）进而知，随机变量X 的可能取值为：16 、17 、18、19、20 、21，
当
20
X 
时，


20
10 10
11 9
9 11
0.2 0.2
2 0.4 0.2
0.2
P X 











；
当
21
X 
时，


21 10 11 11 10
2 0.2 0.2
0.08
P X 








；
当
21
X 
时，


22
11 11
0.2 0.2
0.04
P X 





．
于是分布列为：
X
16
17
18
19
20
21
22
P
0.04
0.16
0.24
0.24
0.2
0.08
0.04
进而结合（1）知，当备用的易损零件数
19
n 
时，X 随机变量取值为16 、17 、18、19、20 、21，需注意
的是，虽备用的易损零件数
19
n 
时，但发生的概率仍按实际需要的X 台机床时计算．
则购买易损零件所产生的实际费用数学期望为


19 300 0.04 19 300 0.16 19 300 0.24 19 300 0.24
E X 

















19 300
500
0.2
19 300
2 500
0.08
19 300
3 500
0.04














19 300 0.04
0.16
0.24
0.24
1240
536
288








3876 1488
536
288
5940





（元）；
（3）①先根据回归方程易知
1.2 50
40
1
ˆ
00
y 



（元），即50岁的技工日使用该机床产生的效益为100元；
②由方差计算公式知






2
2
2
2
1
2
50
1
50
xs
x
x
x
x
x
x











，
即等价化为






2
2
2
2
1
2
50
50 xs
x
x
x
x
x
x






，
同理






2
2
2
2
1
2
50
50 ys
y
y
y
y
y
y






．
又
2 14.4
xs 
，
2
22.5
ys 
，ˆ
1.2
b 
，据公式求出相关系数r 则有
















50
2
50
50
1
1
1
50
2
50
50
50
2
2
2
1
1
1
1
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
x
x
x
x
y
y
x
x
y
y
r
x
x
x
x
y
y
y
y



























2
2
50
12 5
1.2
0.9
ˆ
6
15 5
50
x
y
s
b
s





．
易知：该机床的技工所产生的日经济效益与技工的年龄具有非常强的相关关系．
3．（2023·江苏·统考二模）我国风云系列卫星可以监测气象和国土资源情况.某地区水文研究人员为了了解
汛期人工测雨量x （单位：dm）与遥测雨量y （单位：dm）的关系，统计得到该地区10 组雨量数据如下：
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样本号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
人工测雨量
ix
5.38
7.99
6.37
6.71
7.53
5.53
4.18
4.04
6.02
4.23
遥测雨量
iy
5.43
8.07
6.57
6.14
7.95
5.56
4.27
4.15
6.04
4.49
i
i
x
y

0.05
0.08
0.2
0.57
0.42
0.03
0.09
0.11
0.02
0.26
并计算得
10
2
1
353.6
i
i
x



，
10
2
1
361.7
i
i
y



，
10
1
357.3
i
i
i
x y



，
2
33.62
x 
，
2
34.42
y 
，
34.02
xy 
.
(1)求该地区汛期遥测雨量y 与人工测雨量x 的样本相关系数（精确到0.01），并判断它们是否具有线性相
关关系；
(2)规定：数组

,
i
i
x y
满足
0.1
i
i
x
y


为“I 类误差”；满足0.1
0.3
i
i
x
y



为“II 类误差”；满足
0.3
i
i
x
y


为
“III 类误差”.为进一步研究，该地区水文研究人员从“I 类误差”、“II 类误差”中随机抽取3 组数据与“III 类误差”
数据进行对比，记抽到“I 类误差”的数据的组数为X，求X 的概率分布与数学期望.
附：相关系数







i
i
1
2
2
i
i
1
i 1
n
i
n
n
i
x
x
y
y
r
x
x
y
y











，
304.5
17.4

.
【答案】(1)0.98，汛期遥测雨量y 与人工测雨量x 有很强的线性相关关系；
(2)分布列见解析，15
8
.
【详解】（1）因为







10
10
i
i
i
1
1
10
10
10
10
2
2
2
2
2
2
i
i
1
i 1
1
1
10
10
10
i
i
i
i
i
i
i
i
x
x
y
y
x y
xy
r
x
x
y
y
x
x
y
y































，
代入已知数据，
得



357.3 10 34.02
17.1
0.98
304.5
353.6 10 33.62
361.7 10 34.42
r










.
（2）依题意，“I 类误差”有5 组，“II 类误差”有3 组，“III 类误差”有2 组.
若从“I 类误差”和“II 类误差”数据中抽取3 组，
抽到“I 类误差”的组数X 的所有可能取值为0，1，2，3.
则

3
3
3
8
C
1
0
C
56
P X 


，


1
2
5
3
3
8
C C
15
1
C
56
P X 


，


2
1
5
3
3
8
C C
30
15
2
C
56
28
P X 



，

3
0
5
3
3
8
C C
10
5
3
C
56
28
P X 



.
所以X 的概率分布为
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X
0
1
2
3
P
1
56
15
56
15
28
5
28
所以X 的数学期望


15
15
5
15
1
2
3
56
28
28
8
E X




.
另解：因为


~
3,5,8
X
H
，所以


3 5
15
8
8
E X



.
题型六独立性检验
1．（2024·全国·模拟预测）某学校为了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男
生和女生各50 名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3 小时的学生称为“古文迷”，
否则为“非古文迷”，调查结果如表：
单位：人
古文迷
非古文迷
合计
男生
26
50
女生
20
合计
56
100
(1)请你根据已知条件完成2
2
列联表，根据表中数据能否判断有60% 的把握认为“古文迷”与性别有关？
(2)现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5 人进行调查，再从抽取的5 人中随机抽取3 人进行调查，记
这3 人中“古文迷”的人数为，求随机变量的分布列与数学期望．
参考公式和数据：







2
2
n ad
bc
K
a
b
c
d
a
c
b
d






，其中n
a
b
c
d



．


2
P K
k

0.50
0.40
0.25
0.05
0.025
0.010
k
0.455
0.708
1.321
3.841
5.024
6.635
【答案】(1)列联表见解析，没有把握
(2)分布列见解析，9
5
【详解】（1）（1）根据已知条件完成2
2
列联表如下：
单位：人
古文迷
非古文迷
合计
男生
26
24
50
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女生
30
20
50
合计
56
44
100
提出假设
0
H ：认为“古文迷”与性别无关，
由列联表得


2
2
100
26 20
30 24
50
0.649
0.708
56 44 50 50
77
K











，
所以没有60% 的把握认为“古文迷”与性别有关．
（2）调查的50 名女生中“古文迷”有30 人，“非古文迷”有20 人，按分层抽样的方法抽出5 人，
则“古文迷”的人数为
30
5
3
50


，“非古文迷”人数为
20
5
2
50


，
即抽取的5 人中“古文迷”和“非古文迷”的人数分别为3 和2，
所以的所有取值为1,2,3，
则





1
2
2
1
3
3
2
3
2
3
3
3
3
5
5
5
C C
C C
C
3
3
1
1
,
2
,
3
C
10
C
5
C
10
P
P
P












，
所以随机变量的分布列为：

1
2
3
P
3
10
3
5
1
10
所以

3
3
1
9
1
2
3
10
5
10
5
E 




.
2．（2024·河南·模拟预测）轻食是餐饮的一种形态、轻的不仅仅是食材分量，更是食材烹饪方式简约，保
留食材本来的营养和味道，近年来随着消费者健康意识的提升及美颜经济的火热，轻食行业迎来快速发展.
某传媒公司为了获得轻食行业消费者行为数据，对中国轻食消费者进行抽样调查.统计其中400 名中国轻食
消费者（表中4 个年龄段的人数各100 人）食用轻食的频率与年龄得到如下的频数分布表.
使用频率
[12,25)
[25,38)
[38,51)
[51,64]
偶尔1 次
30
15
5
10
每周1~3 次
40
40
30
50
每周4~6 次
25
40
45
30
每天1 次及以上
5
5
20
10
(1)若把年龄在

12,38 的消费者称为青少年，年龄在[38,64]的消费者称为中老年，每周食用轻食的频率不超
过3 次的称为食用轻食频率低，不低于4 次的称为食用轻食频率高，根据小概率值
0.01

的独立性检验判
断食用轻食频率的高低与年龄是否有关联；
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(2)从每天食用轻食1 次及以上的样本消费者中按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，从中抽取8
人，再从这8 人中随机抽取3 人，记这3 人中年龄在[25,38) 与[51,64]的人数分别为X ，Y ，
X
Y


，
求的分布列与期望；
(3)已知小李每天早餐、晚餐都食用轻食，且早餐与晚餐在低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁3 种轻食中选
择一种，已知小李在某天早餐随机选择一种轻食，如果早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，则晚
餐选择低卡甜品的概率分别为1 2 2
,
,
5 5 3 ，求小李晚餐选择低卡甜品的概率.
参考公式：
2
2
(
)
(
)(
)(
)(
)
n ad
bc
a
b c
d a
c b
d







，n
a
b
c
d



.
附：

0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
x
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【答案】(1)有关
(2)分布列见解析；41
56
(3) 19
45
【详解】（1）补全的2
2
列联表如下：
青少年
中老年
合计
食用轻食频率低
125
95
220
食用轻食频率高
75
105
180
合计
200
200
400
所以


2
2
400
125 105
75 95
9.091
6.635
200 200 220 180











，
所以有99%的把握认为食用轻食频率的高低与年龄有关.
（2）由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8 人中，年龄在[25,38) ，[51,64]内的人数分别为1，2，
依题意，的所有可能取值分别为为0，1，2，
所以
3
1
1
5
5
2
3
3
8
8
C
C C
(
0)
(
0,
0)
(
1,
1)
C
C
6
20
5
P
P X
Y
P X
Y










，
2
1
2
5
2
5
3
3
3
8
8
8
C C
C
1
(
1)
(
0,
1)
(
1,
0)
(
1,
2)
C
C
C
56
31
P
P X
Y
P X
Y
P X
Y














，
1
5
3
8
C
5
(
2)
(
0,
2)
C
56
P
P X
Y






，
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所以的分布列为：

0
1
2
P
20
56
31
56
5
56
所以的数学期望为

20
31
5
41
0
1
+2
56
56
56
56
E 




.
（3）记小李在某天早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，分别为事件
, ,
A B C ，
晚餐选择低卡甜品为事件D ，
则



1
1
1
,
,
3
3
3
P A
P B
P C



，





1
2
2
,
,
5
5
3
P D A
P D B
P D C



，
所以










1
1
1
2
1
2
19
,
3
5
3
5
3
3
45
P D
P A P D A
P B P D B
P D C
P D










，
所以小李晚餐选择低卡甜品的概率为19
45 .
3．（2024·全国·高三专题练习）例某市近年来空气污染较为严重，现随机抽取一年（365 天）内100 天的
空气中PM2.5 指数的检测数据，统计结果如下：
PM2.5 指数


0,50


50,100


100,150


150,200


200,250


250,300
300

空气质量
优
良
轻微污染
轻度污染
中度污染
中度重污染
重度污染
天数
4
13
18
30
9
11
15
记某企业每天由空气污染造成的经济损失为S（单位：元），PM2.5 指数为x．当x 在区间

0,100 内时对企
业没有造成经济损失；当x 在区间

100,300 内时对企业造成的经济损失成直线模型；当PM2.5 指数为150
时造成的经济损失为500 元；当PM2.5 指数为200 时，造成的经济损失为700 元；当PM2.5 指数大于300
时造成的经济损失为2000 元．
(1)试写出
S x 的表达式；
(2)试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于500 元且不超过900 元的概率；
(3)若本次抽取的样本数据有30 天是在供暖季，其中有8 天为重度污染，完成下面列联表，并根据小概率值
0.05

的独立性检验，分析该市本年度空气重度污染是否与供暖有关．
非重度污染
重度污染
合计
供暖季
非供暖季
合计
100
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附：

0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
x
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828







2
2
n ad
bc
a
b
c
d
a
c
b
d







，其中n
a
b
c
d



．
【答案】(1) 






0,
0,100
4
100,
100,300
2000,
300,
x
S x
x
x
x












(2) 39
100
(3)列联表见解析；认为该市本年度空气重度污染与供暖有关，此推断犯错误的概率不大于0.05．
【详解】（1）当


100,300
x
时，设
S x
kx
b

，当PM2.5 指数为150 时造成的经济损失为500 元；
当PM2.5 指数为200 时，造成的经济损失为700 元，代入解得
4,
100
k
b


，即
4
100
S x
x


；
综上，可得






0,
0,100
4
100,
100,300
2000,
300,
x
S x
x
x
x












（2）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于500 元且不超过900 元”为事件A，
由500
900
S


，即500
4
100
900
x



，
得150
250
x


，频数为30
9
39


，
故

39
100
P A 
．
（3）根据题中数据得到如下2×2 列联表：
非重度污染
重度污染
合计
供暖季
22
8
30
非供暖季
63
7
70
合计
85
15
100
零假设为
0
H ：重度污染与供暖无关，
因为


2
2
100
63 8
22 7
4.575
3.841
85 15 30 70










，
根据小概率值
0.05

的独立性检验，推断
0
H 不成立，
即认为该市本年度空气重度污染与供暖有关，此推断犯错误的概率不大于0.05．
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1．（2024·全国·高三专题练习）为加快推动旅游业复苏，进一步增强居民旅游消费意愿，山东省人民政府
规定自2023 年1 月21 日起至3 月31 日在全省实施景区门票减免．据统计，活动开展以来游客至少去过两
个及以上景区的人数占比为90%．某市旅游局从游客中随机抽取100 人（其中年龄在50 周岁及以下的有60
人）了解他们对全省实施景区门票减免活动的满意度，并按年龄（50 周岁及以下和50 周岁以上）分类统计
得到如下不完整的2×2 列联表：
不满意
满意
总计
50 周岁及以下
55
50 周岁以上
15
总计
100
(1)根据统计数据完成以上2×2 列联表，根据小概率值
0.001

的独立性检验，能否认为对全省实施景区门
票减免活动是否满意与年龄有关联（结果精确到0.01）？
(2)现从本市游客中随机抽取3 人了解他们的出游情况，设其中至少去过两个及以上景区的人数为X，若以
本次活动中至少去过两个及以上景区的人数的频率为概率，求X 的分布列和数学期望．
参考公式及数据：







2
2
n ad
bc
a
b
c
d
a
c
b
d







，其中n
a
b
c
d



．

0.100
0.050
0.010
0.001
x
2.706
3.841
6.635
10.828
【答案】(1)列联表见解析，认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联
(2)分布列见解析，数学期望为2.7
【详解】（1）由题意得，抽取的100 人年龄在50 周岁及以下的有60 人，则年龄在50 周岁以上的有40 人，
补全的2×2 列联表如下：
不满意
满意
总计
50 周岁及以下
5
55
60
50 周岁以上
15
25
40
总计
20
80
100
零假设为
0
H ：全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄无关．
则


2
2
100
5 25 15 55
12.76
10.828
20 80 60 40











．
所以根据小概率值
0.001

的独立性检验，推断
0
H 不成立，即认为对全省实施景区门票减免活动是否满意
与年龄有关联；
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（2）由题意可得，游客至少去过两个及以上景区的概率为0.9，
则


3,0.9
X
B

，X 的所有可能取值为0，1，2，3，


0
3
3
0
C
0.1
0.001
P X 



，


1
2
3
1
C
0.9 0.1
0.027
P X 




，


2
2
3
2
C
0.9
0.1
0.243
P X 




，


3
3
3
3
C
0.9
0.729
P X 



，
所以X 的分布列为：
X
0
1
2
3
P
0.001
0.027
0.243
0.729
因为


3,0.9
X
B

，所以数学期望


3 0.9
2.7
E X 

．
2．（2024·全国·模拟预测）杭州第19 届亚运会又称“2022 年杭州亚运会”，是继1990 年北京亚运会、2010
年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．某高校部分学生十分关注杭州
亚运会，若将累计关注杭州亚运会赛事消息50 次及以上的学生称为“亚运会达人”，未达到50 次的学生称为
“非亚运会达人”．现从该校随机抽取100 名学生，得到数据如表所示：
亚运会达人
非亚运会达人
合计
男生
40
56
女生
24
合计
(1)补全2
2
列联表，并判断能否有99%的把握认为是否为“亚运会达人”与性别有关？
(2)现从样本的“亚运会达人”中按性别采用分层抽样的方法抽取6 人，然后从这6 人中随机抽取3 人，记这3
人中女生的人数为X，求X 的分布列和数学期望．
附：







2
2
n ad
bc
K
a
b
c
d
a
c
b
d






，n
a
b
c
d



．


2
P K
k

0.050
0.010
0.005
k
3.841
6.635
7.879
【答案】(1)表格见解析，有99%的把握认为是否为“亚运会达人”与性别有关
(2)分布列见解析，1
【详解】（1）解：根据题意，补全的2
2
列联表如表所示：
亚运会达人
非亚运会达人
合计
男生
40
16
56
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女生
20
24
44
合计
60
40
100
根据表中的数据可得


2
2
100
40 24
20 16
1600
6.926
60 40 56 44
231
K










，
因为6.926
6.635

，所以有99%的把握认为是否为“亚运会达人”与性别有关．
（2）解：从样本的“亚运会达人”中按性别采用分层抽样的方法抽取6 人，其中男生有4 人，女生有2 人，
故X 的所有可能取值为0，1，2，
则


3
4
3
6
C
1
0
C
5
P X 


，

2
1
4
2
3
6
C C
3
1
C
5
P X 


，


1
2
4
2
3
6
C C
1
2
C
5
P X 


，
所以X 的分布列为
X
0
1
2
P
1
5
3
5
1
5
所以期望为X 的数学期望


1
3
1
0
1
2
1
5
5
5
E X





．
3．（2023 上·江西·高三吉安一中校联考期末）为进一步保护环境，加强治理空气污染，某市环保监测部门
对市区空气质量进行调研，随机抽查了市区300 天的空气质量等级与当天空气中
2
SO 的浓度（单位：
3
μg/m ），
整理数据得到下表：
2
SO 的浓度
空气质量等级


0 50
，


50150
，


150 475
，
1（优）
84
18
6
2（良）
15
21
24
3（轻度污染）
9
24
27
4（中度污染）
3
36
33
若某天的空气质量等级为1 或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3 或4，则称这天“空气
质量不好”.
附：







2
2
n ad
bc
K
a
b
c
d
a
c
b
d






；


2
0
P K
k

0.050
0.010
0.001
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0k
3.841
6.635
10.828
(1)完成下面的2
2
列联表：
2
SO 的浓度
空气质量


0150
，


150 475
，
合计
空气质量好
空气质量不好
合计
(2)根据（1）中的列联表，判断是否有99.9%的把握认为该市一天的空气质量与当天
2
SO 的浓度有关？
【答案】(1)表格见解析
(2)有99.9%的把握认为该市一天的空气质量与当天
2
SO 的浓度有关
【详解】（1）由表格数据可得列联表如下：
2
SO 的浓度
空气质量


0150
，


150 475
，
合计
空气质量好
138
30
168
空气质量不好
72
60
132
合计
210
90
300
（2）由（1）知


2
2
300 138 60
72 30
26.8
10.828
210 90 168 132
K









，
所以有99.9%的把握认为该市一天的空气质量与当天
2
SO 的浓度有关.
4．（2024·广东佛山·统考一模）高中进行体育与健康学业水平测试，有利于提升学生身体素质和健康水平，
培养学生创新精神和实践能力.某学校对高三年级学生报名参加体育与健康学业水平测试项目的情况进行了
普查，全年级1070 名学生中有280 名报名参加羽毛球项目，其中530 名女生中有64 名报名参加羽毛球项
目.
(1)从该校高三年级中任选一名学生，设事件A 表示“选到的学生是女生”，事件B 表示“选到的学生报名参加
羽毛球项目”，比较

P B A 和

P B A 的大小，并说明其意义；
(2)某同学在该校的运动场上随机调查了50 名高三学生的报名情况，整理得到如下列联表：
性别
羽毛球
合计
报名
没报名
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女
12
8
20
男
13
17
30
合计
25
25
50
根据小概率值
0.05

的独立性检验，能否认为该校高三年级学生的性别与羽毛球的报名情况有关联？得到
的结论与第（1）问结论一致吗？如果不一致，你认为原因可能是什么？
附：





2
2
(
)
n ad
bc
a
b
c
d
a
c
b
d








0.050
0.010
0.001
x
3.841
6.635
10.828
【答案】(1) 

32
265
P B A 
，

2
5
P B A 
，



P B A
P B A

，意义见解析
(2)不能认为该校高三年级学生的性别与羽毛球的报名情况有关联，结论不一致，原因见解析
【详解】（1）由题意得，






530
540
64
280
64
216
,
,
,
1070
1070
1070
1070
1070
P A
P A
P AB
P AB






，
所以




64
32
530
265
P AB
P B A
P A



，




216
2
540
5
P AB
P B A
P A



，
则



P B A
P B A

，
意义为女生想要报名参加羽毛球项目的人数比男生想要报名参加羽毛球项目的人数少
（2）提出假设
0 :
H
该校高三年级学生的性别与羽毛球的报名情况无关，
则


2
2
50
17 12 13 8
4
1.333
3.841
20 25 25 30
3












，
所以根据小概率值
0.05

的独立性检验，不能认为该校高三年级学生的性别与羽毛球的报名情况有关联，
得到的结论与第（1）问结论不一致，可能原因是调查的50 名高三学生样本容量小，结论具有随机性
题型七独立性检验与数列
1．（2024 上·湖北黄冈·高三浠水县第一中学校考期末）篮球是一项风靡世界的运动，是深受大众喜欢的一
项运动.
喜爱篮球运动
不喜爱篮球运动
合计
男性
60
40
100
女性
20
80
100
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合计
80
120
200
(1)为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100 名观众进行调查，得到如上2
2
列
联表，判断是否有99.9%的把握认为喜爱篮球运动与性别有关；
(2)校篮球队中的甲、乙、丙三名球员将进行传球训练，第1 次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可
能的将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记开始传球的人
为第1 次触球者，第n 次触球者是甲的概率记为
nP ，即
1
1
P .
①求
3P （直接写出结果即可）；
②证明：数列
1
3
nP






为等比数列，并比较第9 次与第10 次触球者是甲的概率的大小.


2
0
P
x

0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
0x
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
附：







2
2
n ad
bc
a
b
c
d
a
c
b
d







，n
a
b
c
d



.
【答案】(1)有99.9%的把握认为喜爱篮球运动与性别有关.
(2)①1
2 ；②证明见解析，第9次触球者是甲的概率大.
【详解】（1）（1）根据列联表数据，经计算得
2
2
0.001
200 (60 80
20 40)
100
10.828
100 100 80 120
3
x












,
根据独立性检验：即有99.9%的把握认为喜爱篮球运动与性别有关.
（2）①由题意得：第二次触球者为乙，丙中的一个，第二次触球者传给包括甲的二人中的一人，故传给甲
的概率为
1
2 ，故
3
1
2
P 
.
②第n 次触球者是甲的概率记为
nP ，则当
2
n 
时，第n
1
次触球者是甲的概率为
1
nP ，
第n
1
次触球者不是甲的概率为
1
1
nP 

，
则




1
1
1
1
1
0
1
1
,
2
2
n
n
n
n
P
P
P
P









从而
1
1
1
1
3
2
3
n
n
P
P 









，又
1
1
2
0
3
3
P 


，
所以
1
3
nP







是以2
3 为首项，公比为
1
2

的等比数列，
1
8
9
9
10
9
10
2
1
1
2
1
1
1
2
1
1 1
,
,
,
,
3
2
3
3
2
3
3
3
2
3 3
n
nP
P
P
P
P































故第9次触球者是甲的概率大.
2．（2022 上·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某
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中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100 名，得到如下
数据：
性别
锻炼
不经常
经常
女生
40
60
男生
20
80
(1)依据
0.01

的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
(2)从这200 人中随机选择1 人，已知选到的学生经常参加体育锻炼，求他是男生的概率；
(3)为了提高学生体育锻炼的积极性，集团设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动，在该活动的
某次排球训练课上，甲乙丙三人相互做传球训练，第1 次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地
将球传给另外两个人中的任何一人.求第n次传球后球在甲手中的概率.
附：







2
2
n ad
bc
a
b
c
d
a
c
b
d








0.010
0.005
0.001
x
6.635
7.879
10.828
【答案】(1)可以认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，理由见解析
(2) 4
7
(3)
1
1
1
1
3
2
n















【详解】（1）


2
2
200
40 80
60 20
9.524
6.635
100 100 60 140











，
故依据
0.01

的独立性检验，可以认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
（2）设从这200 人中随机选择1 人，设选到经常锻炼的学生为事件A，选到的学生为男生为事件B，
则

80
n AB 
，
140
n A 
则已知选到的学生经常参加体育锻炼，他是男生的概率




80
4
140
7
n AB
P B A
n A



；
（3）设n 次传球后球在甲手中的概率为
np ，
1,2,3
n 
，
则有
1
0
p 
，


1
1
1
1
1
0
2
2
2
n
n
n
n
p
p
p
p






，
设


1
1
2
n
n
p
p





，则
1
1
3
2
2
n
n
p
p



，
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所以
3
1
2
2



，解得：
1
3

，
所以
1
1
1
1
3
2
3
n
n
p
p










，其中
1
1
1
3
3
p 

，
故数列
1
3
np







是以
1
3

为首项，
1
2

为公比的等比数列，
所以
1
1
1
1
3
3
2
n
np










，
故
1
1
1
1
1
1
1
1
3
3
2
3
2
n
n
np



























，
故第n 次传球后球在甲手中的概率为
1
1
1
1
3
2
n















.
3．（2022 上·广东·高三校联考阶段练习）足球是一项大众喜爱的运动.2022 卡塔尔世界杯揭幕战将在2022
年11 月21 日打响，决赛定于12 月18 日晚进行，全程为期28 天.
(1)为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100 名观众进行调查，得到22 列联表
如下：
喜爱足球运动
不喜爱足球运动
合计
男性
60
40
100
女性
20
80
100
合计
80
120
200
依据小概率值a=0.001 的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关?
(2)校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1 次由甲将球传出，每次传球时，传球者都
等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传
球的人为第1 次触球者，第n 次触球者是甲的概率记为
nP ，即
1
1
P ．
（i）求
3P （直接写出结果即可）；
（ii）证明：数列
1
4
nP






为等比数列，并判断第19 次与第20 次触球者是甲的概率的大小．
【答案】(1)喜爱足球运动与性别有关
(2)（i）
3
1
3
P 
；（ii）证明见解析，甲的概率大
【详解】（1）假设
0
H ：喜爱足球运动与性别独立，即喜爱足球运动与性别无关．
根据列联表数据，经计算得
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2
2
0.001
200 (60 80
20
40)
100
10.828
100 100 80 120
3
x












根据小概率值
0.001

的独立性检验，我们推断
0
H 不成立，
即认为喜爱足球运动与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.001．
（2）（i）由题意得：第二次触球者为乙，丙，丁中的一个，第二次触球者传给包括甲的三人中的一人，故
传给甲的概率为1
3 ，故
3
1
3
P 
．
（ii）第n 次触球者是甲的概率记为
nP ，则当
2
n 
时，第n
1
次触球者是甲的概率为
1
nP ，
第n
1
次触球者不是甲的概率为
1
1
nP 

，
则




1
1
1
1
1
0
1
1
3
3
n
n
n
n
P
P
P
P









，
从而
1
1
1
1
4
3
4
n
n
P
P 








，
又
1
1
3
4
4
P 

，
1
4
nP








是以3
4 为首项，公比为
1
3

的等比数列．
则
1
3
1
1
4
3
4
n
nP










，
∴
18
19
3
1
1
1
4
3
4
4
P










，
19
20
3
1
1
1
4
3
4
4
P










，
19
20
P
P

，故第19 次触球者是甲的概率大
练一练
1．（2022·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）某疾病可分为Ⅰ、Ⅱ两种类型．为了解该疾病类型与性别
的关系，在某地区随机抽取了患该疾病的病人进行调查，其中女性是男性的2 倍，男性患Ⅰ型病的人数占
男性性别病人的5
6 ，女性患Ⅰ型病的人数占女性性别病人的1
3 ．
(1)若在犯错误的概率不超过0.001 的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，求男性患者至少有多少人？
(2)某药品研发公司欲安排甲乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物．两个团队各至多安排2 个接种周期
进行试验．甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为


0
1
p
p


，每人每次花费


0
m m 
元，每人
每次接种每个周期至多接种3 次，第一个周期连续2 次出现抗体则终止本接种周期进入第二个接种周期，
否则需依次接种至第一周期结束，再进入第二周期：第二接种周期连续2 次出现抗体则终止试验，否则需
依次接种至至试验结束；乙团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为

0
1
q
q


，每人每次花费


0
n n 
元，每个周期接种3 次，每个周期必须完成3 次接种，若一个周期内至少出现2 次抗体，则该周期
结束后终止试验，否则进入第二个接种周期，假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立．当
2
3
n
m

，p
q

时，从两个团队试验的平均花费考虑，公司应选择哪个团队？
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(3)乙团队为奖励参与研发的工作人员，特地给参与本次研发的工作人员每人发放价值1000 元的购物卡，并
推出一档“勇闯关，送大奖”的活动．规则是：在某张方格图上标有第0 格、第1 格、第2 格、…第30 格共
31 个方格．棋子开始在第0 格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是
1
2 ，其中
0
1
P ）．
若掷出正面，将棋子向前移动一格（从k 到
1
k ），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从k 到
2
k 
）．重
复多次，若这枚棋子最终停在第29 格，则认为“闯关成功”，并赠送1000 元购物卡；若这枚棋子最终停在第
30 格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束．设棋子移到第n 格的概率为
nP ，若某员工参与
这档“闯关游戏”，试比较一名员工闯关成功和失败的概率，并说明理由．
附：







2
2
n ad
bc
K
a
b
c
d
a
c
b
d






，


2
0
P K
k

0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
0k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【答案】(1)18 人
(2)该公司选择乙团队进行药品研发
(3)该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率，理由见解析
【详解】（1）设男性患者有a 人，则女性患者有2a 人，列联表如下：
Ⅰ型病
Ⅱ型病
合计
男
5
6
a
6
a
a
女
2
3
a
4
3
a
2a
合计
3
2
a
3
2
a
3a
要使在犯错误的概率不超过0.001 的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，
则
2
2
5
4
2
3
2
6
3
6
3
10.828
3
3
3
2
2
2
a
a
a
a
a
a
K
a
a
a a















，解得
16.242
a 
．
∵6
a
Z

，3
a
Z

，∴a 的最小整数值为18，因此．男性患者至少有18 人
（2）设甲研发团队试验总花费为X 元，则X 的可能取值为4m 、5m、6m ，
∵


2
2
4
4
P X
m
p
p
p




，







2
2
2
2
2
4
5
1
1
2
p
P x
m
p
p
p
p
p









，
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


2
2
4
2
6
1
2
1
P X
m
p
p
p





，
∴




4
2
4
4
2
2
4
10 (
)
6
2
1
2
6
X
mp
m p
p
m p
p
mp
m
E








，
函数

2
2
6
f
p
mp
m


在

0,1 递减，∴


4
E X
m

，
设乙研发团队试验总花费为Y 元，则Y 的可能取值为3n 、6n ，
∴



2
2
3
3
2
3
3
1
2
3
Y
n
C q
q
P
q
q
q






，

3
2
6
1 2
3
P Y
n
q
q



，
∴





3
2
3
2
3
2
3
2
3
6
1
2
3
6
9
6
E Y
n
q
q
n
q
q
nq
nq
n










，
设
3
2
6
9
6 ,(0
1)
g q
nq
nq
n
q





，





2
3
6
6
18
1
0
g
q
n
q
q
nq q






，
函数
3
2
6
9
6
g q
nq
nq
n



在

0,1 递减，

6
4
E Y
n
m


，
∴



E X
E Y

恒成立，所以，该公司选择乙团队进行药品研发
（3）棋子开始在第0 格为必然事件，
0
1
P ．
第一次掷硬币出现正面，棋子移到第1 格，其概率为
1
2 ，
1
1
2
P 
．
棋子移到第

2
29
n
n


格的情况是下列两种，而且也只有两种：
棋子先到第
2
n 
格，又掷出反面，其概率为
2
1
2
nP ；
棋子先到第n
1
格，又掷出正面，其概率为
1
1
2
nP ，
所以
2
1
1
1
2
2
n
n
nP
P
P




，即


1
1
2
1
2
n
n
n
n
P
P
P
P






，且
1
0
1
2
P
P


，
所以当1
29
n


时，数列

1
n
n
P
P 

是首项
1
0
1
2
P
P


，公比为
1
2

的等比数列．
则
1
1
1
2
P 
，
1
2
2
1
2
P
P








，
3
3
2
1
2
P
P








，…，
1
1
2
n
n
n
P
P 








，
以上各式相加，得
2
1
1
1
1
2
2
2
n
n
P























，
所以


2
1
1
1
1
2
1
1
1
0,1,2,
,29
2
2
2
3
2
n
n
nP
n










































．
所以闯关成功（即这枚棋子最终停在第29 格）的概率为
30
30
29
2
1
2
1
1
1
3
2
3
2
P
































，
闯关失败（即这枚棋子最终停在第30 格）的概率为
29
29
30
28
1
1
2
1
1
1
1
1
2
2
3
2
3
2
P
P


































．
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30
29
28
29
30
2
1
1
1
1
1
1
1
1
0
3
2
3
2
3
2
P
P


















































所以该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率．
2．（2020·全国·高三校联考阶段练习）2020 年春节即将来临，某市一商家为了在春节期间更好地推销某种
商品，决定分析2019 年春节期间的销售情况以进行反馈调整，已知该商品去年日营销费用和日销售量的关
系如下表所示：
日营销费用x （单位：千元）
2
3
4
5
6
日销售量y （单位：百件）
17
20
24
23
26
并随机抽取了200 名老顾客进行了2020 年购买意愿调查，得到的部分数据如下表所示：
愿意继续购买
不愿意继续购买
男性顾客
50
30
女性顾客
100
（1）求出相关系数r 的大小，并判断去年日销售量y 与日营销费用x 具有哪种线性相关．（规定：若
0.4
r 
为低度线性相关；若0.4
0.7
r


为显著性相关；若0.7
1
r

线性相关；若
0
r 
为无线性相关．）
（2）判断是否有99.9%的把握认为老顾客的性别与2020 年继续购买该商家此商品的意愿具有相关性．
（3）该商家为了在今年春节期间吸引更多的顾客，设计了一个小游戏：顾客可以根据抛一张只有正反面的
卡片出现的结果，操控一枚棋子在方格纸上行进，若小棋子最终停在“幸运格”，则可获得购物优惠券2 千元，
已知卡片出现正，反面的概率分别为2
3 ，1
3 ，方格纸上标有第0 格，第1 格，第2…第30 格．棋子开始在第
0 格，顾客每抛一次卡片，棋子向前移动一次．若抛出正面，棋子向前移动一格（从k 到
1
k ）；若抛出反
面，棋子向前移动两格（从k 到
2
k 
），直到棋子移到第29 格（“幸运格”）或第30 格（“无缘格”）时，游
戏结束．设棋子移到第n 

1
29
n


格的概率为
np ．
（ⅰ）试求
np 的通项公式；
（ⅱ）并求参与游戏一次的顾客获得购物优惠券金额的期望值．
参考公式：







1
2
2
1
1
n
i
i
i
n
n
i
i
i
i
x
x
y
y
r
x
x
y
y











，







2
2
n ad
bc
K
a
b
c
d
a
c
b
d






，其中n
a
b
c
d



．
临界值表：


2
0
P K
k

0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
0k
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
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参考数据：
5
2.236

．
【答案】（1）线性相关；（2）有99.9%的把握认为老顾客的性别与2020 年继续购买该商家此商品的意愿
具有相关性；（3）（ⅰ）
3
1
1
(
) (
,1
29)
4
4
3
n
np
n
N
n






；（ⅱ）1500 元.
【详解】（1）
2
3
4
5
6
17
20
24
23
26
4,
22
5
5
x
y












，



1
(2
4)(17
22)
(3
4)(20
22)
(4
4)(24
22)
(5
4)(23
22)
(6
4)(26
22)
21;
n
i
i
i
x
x
y
y
























2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
(2
4)
(3
4)
(4
4)
(5
4)
(6
4)
10
(17
22)
(20
22)
(24
22)
(23
22)
(26
22)
50
10 5,
n
n
i
i
i
i
x
x
y
y





























因此
21
21 5
0.939
50
10 5
r 


，所以有0.7
1
r

成立，因此去年日销售量y 与日营销费用x 具有线性相关；
（2）因为随机抽取了200 名老顾客进行了2020 年购买意愿调查，所以根据表中数据所知女性顾客中不愿
意继续购买的人数为200 100
50
30
20




，因此列联表如下：
愿意继续购买
不愿意继续购买
男性顾客
50
30
女性顾客
100
20
因为
2
2
200 (50 20 100 30)
11.11
80 120 150 5
10.8
0
28
K










，所以有99.9%的把握认为老顾客的性别与2020 年继续
购买该商家此商品的意愿具有相关性；
（3）（ⅰ）由题意可得；
1
1
2
3
2
2
1
2
2
7
1
2
2
2
2
20
,
,
3
3
3
3
9
3
3
3
3
3
27
p
p
C
p 











，由题意经过分析得：
1
2
2
1
(
,3
29)
3
3
n
n
n
p
p
p
n
N
n







，变形为：
1
1
2
1 (
)
3
n
n
n
n
p
p
p
p






，因此数列

1
n
n
p
p 

是以
3
2
1
27
p
p


为首项，
1
3

为公比的等比数列，因此
3
1
1
1
(
)
(
,3
29)
27
3
n
n
n
p
p
n
N
n








，
所以有：
1
1
2
2
3
4
3
(
)
(
)
(
)
(
)
n
n
n
n
n
n
n
p
p
p
p
p
p
p
p
p














3
4
5
1
1
1
1
1
1
1
1
20
(
)
[
(
)
] [
(
)
]
[
(
)]
27
3
27
3
27
3
27
3
27
n
n
n














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3
4
5
1
1
1
1
1
20
[(
)
(
)
(
)
(
)]
27
3
3
3
3
27
n
n
n











3
1
1
(
) [1 (
)
]
1
20
3
3
1
27
27
1 (
)
3
n







3
1
1
(
)
4
4
3
n



1,2,3
n 
也适合，因此
3
1
1
(
) (
,1
29)
4
4
3
n
np
n
N
n






；
（ⅱ）由题意可知：小棋子最终停在“幸运格”，可获得购物优惠券2 千元，而第29 格是“幸运格”，所以参
与游戏一次的顾客获得购物优惠券金额的期望值为：
29
29
3
1
1
2000
2000[
(
) ]
1500
4
4
3
p




元.
3．（2023·广西·模拟预测）篮球是一项风靡世界的运动，是深受大众喜欢的一项运动．
喜爱篮球运动
不喜爱篮球运动
合计
男性
60
40
100
女性
20
80
100
合计
80
120
200
(1)为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100 名观众进行调查，得到如上2
2
列
联表，判断是否有99.9%的把握认为喜爱篮球运动与性别有关．


2
0
P
x

0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
0x
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
附：





2
2
(
)
n ad
bc
a
b
c
d
a
c
b
d







，n
a
b
c
d



．
(2)校篮球队中的甲、乙、丙三名球员将进行传球训练，第1 次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可
能的将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的
人为第1 次触球者，第n 次触球者是甲的概率记为
nP ，即
1
1
P ．
①求
3P （直接写出结果即可）；
②证明：数列
1
3
nP






为等比数列，并比较第9 次与第10 次触球者是甲的概率的大小．
【答案】(1)有99.9%的把握认为喜爱篮球运动与性别有关．
(2)①
3
1
2
P 
；②证明见解析，第9 次触球者是甲的概率大．
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【详解】（1）假设
0
H ：喜爱篮球运动与性别独立，即喜爱篮球运动与性别无关．
根据列联表数据，经计算得


2
2
0.001
200
60 80
20 40
100
10.828
100 100 80 120
3
x












，
根据小概率值
0.001

的独立性检验，我们推断
0
H 不成立，
即有99.9%的把握认为喜爱篮球运动与性别有关．
（2）①由题意得：第二次触球者为乙，丙中的一个，第二次触球者传给包括甲的二人中的一人，
故传给甲的概率为
1
2 ，故
3
1
2
P 
．
②第n 次触球者是甲的概率记为
nP ，则当
2
n 
时，第n
1
次触球者是甲的概率为
1
nP ，
第n
1
次触球者不是甲的概率为
1
1
nP 

，
则




1
1
1
1
1
0
1
1
2
2
n
n
n
n
P
P
P
P









，
从而
1
1
1
1
3
2
3
n
n
P
P 









，又
1
1
2
3
3
P 

，
∴
1
3
nP







是以2
3 为首项，公比为
1
2

的等比数列，
∴
1
2
1
1
3
2
3
n
nP










，
∴
8
9
9
10
2
1
1
1
2
1
1
1
,
3
2
3
3
3
2
3
3
P
P




















，
9
10
P
P

，
故第9 次触球者是甲的概率大．
题型八独立性检验与实际问题
1．（2023·浙江宁波·统考一模）某中学在运动会期间，随机抽取了200 名学生参加绳子打结计时的趣味性
比赛，并对学生性别与绳子打结速度快慢的相关性进行分析，得到数据如下表：
性别
速度
合计
快
慢
男生
65
女生
55
合计
110
200
(1)根据以上数据，能否有99%的把握认为学生性别与绳子打结速度快慢有关？
(2)现有n

*
N
n
根绳子，共有2n 个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结
完毕视为结束.
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（i）当
3
n 
，记随机变量X 为绳子围成的圈的个数，求X 的分布列与数学期望；
（ii）求证：这n 根绳子恰好能围成一个圈的概率为




2
1
2
!
1 !.
2
!
n
n n
n


附：





2
2
(
)
,
.
n ad
bc
K
n
a
b
c
d
a
b
c
d
a
c
b
d









2
(
)
P K
k

0.100
0.050
0.025
0.010
k
2.706
3.841
5.024
6.635
【答案】(1)有99%的把握，认为学生性别与绳子打结速度快慢有关
(2)（i）分布列见解析，23
15 ；（ii）证明见解析
【详解】（1）依题意，完善2
2
列联表如下，
性别
速度
合计
快
慢
男生
65
35
100
女生
45
55
100
合计
110
90
200
所以
2
2
200 (65 55
35 45)
800
8.08
6.635
90 110 100 100
99
K











.
故有99%的把握，认为学生性别与绳子打结速度快慢有关.
（2）（i）由题知，随机变量X 的所有可能取值为1,2,3，




1
1
1
3
4
2
2
2
2
2
2
2
6
4
2
6
4
2
3
3
3
3
C
2
C
C
8
6
2
1
,
2
C
C
C
C
C
C
15
15
5
A
A
P X
P X













，


2
2
2
6
4
2
3
3
1
1
3
C
C
C
15
A
P X 




，
所以X 的分布列为
X
1
2
3
P
8
15
2
5
1
15
所以


8
2
1
23
1
2
3
15
5
15
15
E X 



.
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（ii）不妨令绳头编号为1,2,3,4,
,2n

，可以与绳头1 打结形成一个圆的绳头除了1，2 外有2
2
n 
种可能，
假设绳头1 与绳头3 打结，那么相当于对剩下n
1
根绳子进行打结，
令


*
N
n n
根绳子打结后可成圆的种数为
n
a ，
那么经过一次打结后，剩下n
1
根绳子打结后可成圆的种数为
1
na ，
由此可得，


1
2
2
,
2
n
n
a
n
a
n




，
所以


1
2
1
2
1
2
2,
2
4 ,
,
2
n
n
n
n
a
a
a
n
n
a
a
a









，
所以





1
1
2
2
2
4
2
2
1 !
n
na
n
n
n
a









，
显然
1
1
a ，故


1
2
1 !
n
na
n




；
另一方面，对2n 个绳头进行任意2 个绳头打结，总共有





2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
1
2
2
2 1
2
!
C
C
C
C
!
2
!
2
!
n
n
n
n
n
n
n
n
n
N
n
n
n
















；
所以








1
2
1
2
1 !
2
!
1 !
2
!
2
!
2
!
n
n
n
n
n
n n
a
P
n
N
n
n










.
2．（2023·福建·校联考模拟预测）为了解学生中午的用穊方式（在食堂就餐或点外卖）与最近食堂间的距
离的关系，某大学于某日中午随机调查了2000 名学生，获得了如下频率分布表（不完整）：
学生与最近食堂间的距离

m
d


0,200


200,400


400,600


600,800


800,
合计
在食堂就餐
0.15
0.10
0.00
0.50
点外卖
0.20
0.00
0.50
合计
0.20
0.15
0.00
1.00
并且由该频率分布表，可估计学生与最近食堂间的平均距离为370m（同一组数据以该组数据所在区间的中
点值作为代表）.
(1)补全频率分布表，并判断是否有99.9%的把握认为学生中午的用餐方式与学生距最近食堂的远近有关（当
学生与最近食堂间的距离不超过400m 时，认为较近，否则认为较远）：
(2)已知该校李明同学的附近有两家学生食堂甲和乙，且他每天中午都选择食堂甲或乙就餐.
（i）一般情况下，学生更愿意去饭菜更美味的食堂就餐.某日中午，李明准备去食堂就餐.此时，记他选择去
甲食堂就餐为事件A ，他认为甲食堂的饭菜比乙食堂的美味为事件D ，且D 、A 均为随机事件，证明：




P D A
P D A

：
（ii）为迎接为期7 天的校庆，甲食堂推出了如下两种优惠活动方案，顾客可任选其一.
①传统型优惠方案：校庆期间，顾客任意一天中午去甲食堂就餐均可获得a 元优惠；
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②“饥饿型”优惠方案：校庆期间，对于顾客去甲食堂就餐的若干天（不必连续）中午，第一天中午不优惠
（即“饥饿”一天），第二天中午获得2b 元优惠，以后每天中午均获得b 元优惠（其中a ，b 为已知数且
0
b
a


）.
校庆期间，已知李明每天中午去甲食堂就餐的概率均为p （0
1
p

），且是否去甲食堂就餐相互独立.又知
李明是一名“激进型”消费者，如果两种方案获得的优惠期望不一样，他倾向于选择能获得优惠期望更大的方
案，如果两种方案获得的优惠期望一样，他倾向于选择获得的优惠更分散的方案.请你据此帮他作出选择，
并说明理由.
附：







2
2
n ad
bc
a
b
c
d
a
c
b
d







，其中n
a
b
c
d



.
a
0.10
0.010
0.001
x
2.706
6.635
10.828
【答案】(1)频率分布表见解析，有99.9%的把握
(2)（i）证明见解析；（ii）当
0
0
p
p


时，选择传统型优惠方案；当
0
1
p
p

时，选择“饥饿型”优惠方案，
理由见解析
【详解】（1）设


200,400
d 
组的频率为t ，则


400,600
d 
组的频率为1 0.20
0.15
0.65
t
t




，
估计学生与最近食堂间的平均距离


100 0.20
300
500 0.65
700 0.15
450
200
370
d
t
t
t










，解得
0.40
t 
，故可补全频率分布表如下：
学生与最近食堂间的距离

m
d


0,200


200,400


400,600


600,800


800,
合计
在食堂就餐
0.15
0.20
0.10
0.05
0.00
0.50
点外卖
0.05
0.20
0.15
0.10
0.00
0.50
合计
0.20
0.40
0.25
0.15
0.00
1.00
据此结合样本容量为2000 可列出2
2
列联表如下：
学生距最近食堂较近
学生距最近食较堂远
合计
在食堂就餐
700
300
1000
点外卖
500
500
1000
合计
1200
800
2000
零假设
0
H ：学生中午的用餐情况与学生距最近食堂的远近无关.
注意到


2
2
0.001
2000
700 500
300 500
500
10.828
1000 1000 1200 800
6
x












.
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据小概率值
0.001

的独立性检验，推断
0
H 不成立，即有99.9%的把㥳认为学生中午的用餐情况与学生距
最近食堂的远近有关.
（2）（i）证法一：由题意得



P A D
P A D

，



P A D
P A D

，结合








1
P A D
P A D
P A D
P A D



，



0.5
P A D
P A D


.
结合条件概率公式知












1
P
P AD
P A
P AD
P D
P D
A
D
P
D




，即



P AD
P A P D

.










P AD
P AD
P D A
P D A
P A
P A



















1
0
1
1
P AD
P A
P D
P AD
P A
P AD
P A P D
P A
P A
P A
P A

























，
即



P D A
P D A

成立.
证法二：由题意得



P A D
P A D

，



P A D
P A D

，所以










P AD
P AD
P AD
P AD
P D
P D



，同
理



P AD
P AD

，
于是






D
P AD P
P
AD
AD P A

.
故









P AD
P AD
P D A
P D A
P A
P A
















P AD
P AD
P AD
P AD
P AD
P AD
P A P A



















0
P AD P AD
P AD P AD
P A P A



，即



P D A
P D A

成立.
（ⅱ）设李明在校庆期间去食堂甲就餐的次数为，若选择传统型优惠方案获得的优惠为X 元，若选择“饥
饿型”优惠方案获得的优惠为Y 元，则


7,
B
p

，X
a

，对0
7
k


，有








0
1 ,
0,
0,
1,
,2
7.
P
P
k
P Y
kb
k
P
k
k


















，故





7
E X
E a
aE
pa





，









7
7
7
2
2
0
1
k
k
k
E Y
kbP Y
kb
b
kP
k
b
kP
k
P




























6
1
7
1
1
b E
P
pb
p
















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令



E X
E Y

结合a
b

得
6
1
1
a
p
b


，记为
0p .
若
0
1
p
p

，则







6
7
1
1
0
E Y
E X
p b
p
a










，


E Y
E X

，此时李明应选择“饥饿型”优惠方
案；若
0
0
p
p


，则







6
7
1
1
0
E Y
E X
p b
p
a










，



E Y
E X

，此时李明应选择传统型优
惠方案.
若
0
p
p

，则

6
1
1
a
p
b


，



E X
E Y

.注意到







2
2
7
1
D X
D a
a D
pa
p






，










7
2
2
2
2
2
k
D
E
b
Y
Y
E Y
kb
P Y
k
E X





















7
7
2
2
2
2
2
2
2
2
0
49
1
49
k
k
b
k P
k
p a
b
k P
k
P
p a































2
2
2
2
2
2
2
2
1
49
1
49
b
E
P
p a
b
E
D
P
p a






























6
6
2
2
2
2
2
2
49
7
1
7
1
49
7
6
1
1
7
b
p
p
p
p
p
p a
p b
p
p
pa


















.
因此









6
2
2
2
7
6
1
1
7
1
D Y
D X
p b
p
p
pa
p a



















2
2
7
6
6
1
7
6
0
p
pb
ab
p
a
p b
a
p b
a
a














，
即



D Y
D X

.此时李明选择获得的优惠更分散的方案，即获得的优惠方差更大的方案，即“饥饿型”优惠
方案.
综上所述，当
0
0
p
p


时，李明应选择传统型优惠方案；
当
0
1
p
p

时，李明应选择“饥饿型”优惠方案.
3．（2023·浙江·模拟预测）2022 年卡塔尔世界杯决赛圈共有32 队参加，其中欧洲球队有13 支，分别是德
国、丹麦、法国、西班牙、英格兰、克罗地亚、比利时、荷兰、塞尔维亚、瑞士、葡萄牙、波兰、威尔士．世
界杯决赛圈赛程分为小组赛和淘汰赛，当进入淘汰赛阶段时，比赛必须要分出胜负．淘汰赛规则如下：在
比赛常规时间90 分钟内分出胜负，比赛结束，若比分相同，则进入30 分钟的加时赛．在加时赛分出胜负，
比赛结束，若加时赛比分依然相同，就要通过点球大战来分出最后的胜负．点球大战分为2 个阶段．第一
阶段：前5 轮双方各派5 名球员，依次踢点球，以5 轮的总进球数作为标准（非必要无需踢满5 轮），前5
轮合计踢进点球数更多的球队获得比赛的胜利．第二阶段：如果前5 轮还是平局，进入“突然死亡”阶段，双
方依次轮流踢点球，如果在该阶段一轮里，双方都进球或者双方都不进球，则继续下一轮，直到某一轮里，
一方罚进点球，另一方没罚进，比赛结束，罚进点球的一方获得最终的胜利．
下表是2022 年卡塔尔世界杯淘汰赛阶段的比赛结果：
淘汰赛
比赛结果
淘汰赛
比赛结果
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1/8 决赛
荷兰3:1美国
1/4 决赛
克罗地亚4 1 1 2
（）:（）巴西
阿根廷2:1澳大利亚
荷兰3 2 2 4
（）:（）阿根廷
法国3:1波兰
摩洛哥1 0
: 葡萄牙
英格兰3 0
: 塞内加尔
英格兰1:2 法国
日本1 1 1 3
（）:（）克罗地亚
半决赛
阿根廷3 0
: 克罗地亚
巴西4:1韩国
法国2 0
: 摩洛哥
摩洛哥3 0 0 0
（）:（）西班牙
季军赛
克罗地亚2:1摩洛哥
葡萄牙6 1
: 瑞士
决赛
阿根廷4 3 3 2
（）:（）法国
注：“阿根廷4 3 3 2
（）:（）法国”表示阿根廷与法国在常规比赛及加时赛的比分为3 3
: ，在点球大战中阿根廷4 2
:
战胜法国．
(1)请根据上表估计在世界杯淘汰赛阶段通过点球大战分出胜负的概率．
(2)根据题意填写下面的2
2
列联表，并通过计算判断是否能在犯错的概率不超过0.01 的前提下认为“32 支
决赛圈球队闯入8 强”与是否为欧洲球队有关．
欧洲球队
其他球队
合计
闯入8 强
未闯入8 强
合计
(3)若甲、乙两队在淘汰赛相遇，经过120 分钟比赛未分出胜负，双方进入点球大战．已知甲队球员每轮踢
进点球的概率为p，乙队球员每轮踢进点球的概率为2
3 ，求在点球大战中，两队前2 轮比分为2: 2 的条件下，
甲队在第一阶段获得比赛胜利的概率（用p 表示）．
参考公式：
2
2
(
)
,
.
(
)(
)(
)(
)
n ad
bc
n
a
b
c
d
a
b c
d a
c b
d












2
P 


0.1
0.05
0.01
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【答案】(1) 5
16
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(2)分布列见解析，不能
(3)
3
2
1
5
1
27
9
9
p
p
p


【详解】（1）由题意知卡塔尔世界杯淘汰赛共有16 场比赛，其中有5 场比赛通过点球大战决出胜负，
所以估计在世界杯淘汰赛阶段通过点球大战分出胜负的概率
5
16
P 
；
（2）下面为2
2
列联表：
欧洲球队
其他球队
合计
进入8 强
5
3
8
未进入8 强
8
16
24
合计
13
19
32
零假设
0 :32
H
支决赛圈球队闯入8 强与是否为欧洲球队无关．
2
2
2
(
)
32 (5 16
3 8)
2.116
6.635
(
)(
)(
)(
)
8 24 13 19
n ad
bc
a
b c
d a
c b
d
















．
根据小概率值
0.01

的独立性检验，没有充分证据推断
0
H 不成立，
即不能在犯错的概率不超过0.01 的前提下认为“决赛圈球队闯入8 强”与是否为欧洲球队有关．
（3）根据实际比赛进程，假定点球大战中由甲队先踢．两队前2 轮比分为2: 2 的条件下，甲在第一阶段获
得比赛胜利，则后3 轮有5 种可能的比分，1:0,2:0,2:1,3:1,3: 2．
当后3 轮比分为1: 0 时，甲乙两队均需踢满5 轮，
3
2
1
2
1
3
1
(1
)
C
(1
)
3
9
p
p
P
p
p










．
当后3 轮比分为2 : 0时，有如下3 种情况：
2 : 0
3
4
5
2 : 0
3
4
5
2 : 0
3
4
5
甲
√
√
甲
√
×
√
甲
×
√
√
乙
×
×
乙
×
×
乙
×
×
则
2
2
2
3
2
1
2
2
2
1
1
3
2
C
(1
)
3
3
9
p
p
P
p
p
p

















．
当后3 轮比分为2:1时，有如下6 种情况：
2:1
3
4
5
2:1
3
4
5
2:1
3
4
5
甲
√
√
×
甲
√
√
×
甲
√
×
√
乙
√
×
×
乙
×
√
×
乙
√
×
×
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2:1
3
4
5
2:1
3
4
5
2:1
3
4
5
甲
√
×
√
甲
×
√
√
甲
×
√
√
乙
×
√
×
乙
√
×
×
乙
×
√
×
则
2
2
1
2
3
2
2 1
4
3
(1
)C
(1
)
3 3
9
P
p
p
p
p










．
当后3 轮比分为3:1时，有如下2 种情况：
3:1
3
4
5
3:1
3
4
5
甲
√
√
√
甲
√
√
√
乙
√
×
乙
×
√
则
3
3
1
4
2
2
1
4
C 3
3
9
p
P
p



当后3 轮比分为3: 2 时，有如下1 种情况：
3: 2
3
4
5
甲
√
√
√
乙
√
√
×
则
2
3
3
5
2
1
4
3
3
27
p
P
p 








．
综上，在点球大战中两队前2 轮比分为2: 2 的条件下，甲在第一阶段获得比赛胜利的概率
2
2
3
3
3
2
3
2
1
2
3
4
5
(1
)
3
2
4
4
4
1
5
1
(1
)
9
9
9
9
27
27
9
9
p
p
p
p
p
p
P
P
P
P
P
P
p
p
p
p
p
















.
练一练
1．（2022·全国·高二专题练习）某种疾病可分为Ⅰ、Ⅱ两种类型．为了解该疾病类型与性别的关系，在某
地随机抽取了患该疾病的病人进行调查，其中男性人数为z，女性人数为2z，男性患Ⅰ型病的人数占男性病
人的5
6 ，女性患Ⅰ型病的人数占女性病人的1
3 ．
(1)完成下面的2×2 列联表．若在犯错误的概率不超过0.05 的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，则
男性患者至少有多少人？
Ⅰ型病
Ⅱ型病
合计
男
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女
合计
(2)某药品研发公司欲安排甲、乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物，两个团队各至多安排2 个接种周
期进行试验，每人每次接种花费


0
m m 
元．甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为p，根据以
往试验统计，甲团队平均花费为
2
2
6
mp
m


；乙团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为q，每个周
期必须完成3 次接种，若一个周期内至少出现2 次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个接种
周期．假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立．若
2
p
q

，从两个团队试验的平均花费考虑，
该公司应选择哪个团队进行药品研发？
【答案】(1)列联表见解析，男性患者至少有6 人
(2)答案见解析
【详解】（1）2×2 列联表如下：
Ⅰ型病
Ⅱ型病
合计
男
5
6
z
6
z
z
女
2
3
z
4
3
z
2z
合计
3
2
z
3
2
z
3z
要使在犯错误的概率不超过0.05 的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，
则
2
2
5
4
2
3
2
6
3
6
3
3.841
3
3
3
2
2
2
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
















，解得：
5.7615
z 
．
因为6
z Z ，3
z Z ，所以z 的最小整数值为6．所以男性患者至少有6 人．
（2）设甲研发团队试验总花费为X 元，
2
2
6
EX
mp
m


；
设乙研发团队试验总花费为Y 元，则Y 的可能取值为3m，6m，
所以




2
2
3
3
2
3
3
C
1
2
3
P Y
m
q
q
q
q
q






，


3
2
6
1
2
3
P Y
m
q
q



，
所以




3
2
3
2
3
2
3
2
3
6
1
2
3
6
9
6
EY
m
q
q
m
q
q
mq
mq
m









；
因为
2
p
q

，所以


3
2
2
3
2
2
6
9
6
2
6
6
9
2
EY
EX
mq
mq
m
mp
m
mq
mq
mp











3
2
2
6
6
1
mq
mq
mq
q




．
①当
1
0
6
q


时，6
1
0
q 
，因为
0
m 
，所以


2 6
1
0
mq
q 

，
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所以EX
EY

，乙团队试验的平均花费较少，所以选择乙团队进行研发；
②当1
1
6
q

时，6
1
0
q 
，因为
0
m 
，所以


2 6
1
0
mq
q 

，
所以EX
EY

，甲团队试验的平均花费较少，所以选择甲团队进行研发；
③当
1
6
q 
时，


2 6
1
0
mq
q 

，
所以EX
EY

，甲团队试验的平均花费和乙团队试验的平均花费相同，从两个团队试验的平均花费考虑，
该公司选择甲团队或乙团队进行研发均可．
2．（2020·全国·校联考模拟预测）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人
员将疫苗注射到200 只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按

0,20 ，

20,40 ，

40,60 ，


60,80 ，

80,100 分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160 只，其中
该项指标值不小于60 的有110 只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.
（1）填写下面的2
2
列联表，并根据列联表及
0.05

的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产
生抗体与指标值不小于60 有关.
单位：只
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
没有抗体
合计
（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40 只小白鼠进行第二次注
射疫苗，结果又有20 只小白鼠产生抗体.
（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2 次疫苗后产生抗体的概率p ；
（ii）以（i）中确定的概率p 作为人体注射2 次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记n 个人注射
2 次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X .试验后统计数据显示，当
90
X 
时，

P X 取最大值，求参加人
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体接种试验的人数n 及


E X .
参考公式：
2

2
(
)
(
)(
)(
)(
)
n ad
bc
a
b c
d
a
c b
d






(其中n
a
b
c
d



为样本容量)
参考数据：
2
0
(
)
P
k

0.50
0.40
0.25
0.15
0.100
0.050
0.025
0k
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
【答案】（1）列联表答案见解析，认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60 有关；（2）（i）0.9 ；
（ii）当接种人数为n=99 时，


89.1
E X 
；当n=100 时，


90
E X 
.
【详解】（1）由频率分布直方图，知200 只小白鼠按指标值分布为：
在

0,20 内有0.0025
20
200
10



（只）；
在

20,40 内有0.00625
20
200
25



（只）；
在

40,60 内有0.00875
20
200
35



（只）；
在

60,80 内有0.025
20
200
100



（只）；
在

80,100 内有0.0075 20 200
30



（只）.
由题意，有抗体且指标值小于60 的有50 只；而指标值小于60 的小白鼠共有10
25
35
70



（只），所以
指标值小于60 且没有抗体的小白鼠有20 只，同理，指标值不小于60 且没有抗体的小白鼠有20 只，故列
联表如下：
单位：只
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
50
110
160
没有抗体
20
20
40
合计
70
130
200
零假设为
0
H ：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60 无关联.
根据列联表中数据，得


2
2
0.05
200
50 20
20 110
4.945
3.841
160 40 70 130
x












.
根据
0.05

的独立性检验，推断
0
H 不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60 有关，
此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）（i）令事件A “小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件B “小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事
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件C “小白鼠注射2 次疫苗后产生抗体”.
记事件A，B，C 发生的概率分别为

P A ，

P B ，

P C ，
则

160
0.8
200
P A 

，

20
0.5
40
P B 

，


0.2 0.
1
1
5
0.9
P C
P A P B





.
所以一只小白鼠注射2 次疫苗后产生抗体的概率
0.9
p 
.
（ii）由题意，知随机变量


,0.9
X
B n

，

C
0.9
0.1
k
k
n k
n
P X
k





（
0,1,2,
,
k
n


）.
因为


90
P X 
最大，
所以
90
90
90
91
91
91
90
90
90
89
89
89
C
0.9
0.1
C
0.9
0.1
C
0.9
0.1
C
0.9
0.1
n
n
n
n
n
n
n
n

















，
解得
901
99
9
n


，因为n 是整数，所以
99
n 
或
100
n 
，所以接受接种试验的人数为99 或100.
①当接种人数为99 时，


99
0.9
89.1
E X
np




；
②当接种人数为100 时，


100
0.9
90
E X
np




.
3．（2019 下·四川遂宁·高二期末）近年来，国资委.党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工
作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精
准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：
土地使用面积x （单位：亩）
1
2
3
4
5
管理时间y （单位：月）
8
10
13
25
24
并调查了某村300 名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示:
愿意参与管理
不愿意参与管理
男性村民
150
50
女性村民
50
（1）求出相关系数r 的大小，并判断管理时间y 与土地使用面积x 是否线性相关？
（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？
（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3 人，记取到
不愿意参与管理的男性村民的人数为x ,求x 的分布列及数学期望．
参考公式：
1
2
2
1
1
(
)(
)
,
(
)
(
)
n
i
i
i
n
n
i
i
i
i
x
x
y
y
r
x
x
y
y











2
2
(
)
,
(
)(
)(
)(
)
n ad
bc
k
a
b c
d a
c b
d






其中n
a
b
c
d



．临界值表：
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2
0
(
)
P K
k

0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
0k
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
参考数据：
635
25.2

【答案】（1）线性相关；（2）有；（3）详见解析.
【详解】解：依题意：
1
2
3
4
5
8 10
13
25
24
3,
16
5
5
x
y












故








5
1
2
8
1
6
1 9
2 8
47
i
i
i
x
x
y
y















5
5
2
2
1
1
4
1 1
4
10,
64
36
9
81
64
254
i
i
i
i
x
x
y
y















则







5
1
5
5
2
2
1
1
47
47
0.933
10
254
2 635
i
i
i
i
i i
i
x
x
y
y
r
x
x
y
y
















，
故管理时间y 与土地使用面积x 线性相关．
（2）依题意，完善表格如下：
愿意参与管理
不愿意参与管理
总计
男性村民
150
50
200
女性村民
50
50
100
总计
200
100
300
计算得
2
k 的观测值为
2
2
300 (150 50
50 50)
300 5000 5000
18.75
10.828
200 100 200 100
200 100 200 100
k
















故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性．
（3）依题意，x 的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到不愿意参与管理的男性村
民的概率为1
6 ，
故
3
5
125
(
0)
( )
,
6
216
P X 


1
2
3
5
1
25
(
1)
( )
,
6
6
72
P X
C





2
3
3
3
3
2
5
1
5
(
2)
(
1
1
(
3)
6
2
)
,
72
1
6
6
6
P
P X
X
C
C













故x 的分布列为
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X
0
1
2
3
P
125
216
25
72
5
72
1
216
则数学期望为
125
25
5
1
1
(
)
0
1
2
3
216
72
72
216
2
E X 






（或由
1
(3, )
6
X
B

，得
1
1
(
)
3
6
2
E X 

一、单选题
1．（2022·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）在卡方独立性检验中，
2
,
,
2
,
(
)
i j
i j
i j
A
B
B


，其中
,i j
A 为列联表中第
i 行j 列的实际频数，,i j
B 为假定独立情况下由每行､每列的总频率乘以总频数得到的理论频数，取
2
p
q


时，
如表所示，则有：
1,1
1,2
2,1
2,2
0.3
10
1.2,
1.8,
2.8,
4.2
B
B
B
B






，因此：
2
2
2
2
2
(1 1.2)
(2 1.8)
(3
2.8)
(4
4.2)
5
1.2
1.8
2.8
4.2
63









与课本公式
2
2
(
)
(
)(
)(
)(
)
n ad
bc
a
b a
c b
d c
d







等价，故以下2 3
列
联表的
2
最小值为（
）
1
2
0.3
P 
3
4
0.7
P 
0.4
P 
0.6
P 


10
n 


*
5
N
x x 
y
30
30
25
45
(
200)
n 
A．38
11 B．130
33
C．376
77
D．520
121
【答案】C
【详解】由已知，可将上述2 3
列联表补充完整，


*
5
N
x x
y
30
1
2
30
25
45
1
2
5
30
200
x 
25
200
y 
75
200
(
200)
n 
5
30
100
x
y



，所以
*
5
70(
N )
x
y
x



，
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1,1
5
30
5
30
200
200
2
1
2
B
x
x






；
1,2
25
25
200
200
2
1
2
B
y
y






；
1,3
75
75
200
200
2
1
2
B




；
2,1
5
30
5
30
200
200
2
1
2
B
x
x






；
2,2
25
25
200
200
2
1
2
B
y
y






；
2,3
75
75
200
200
2
1
2
B




；
2
2
2
2
2
2
2
5
30
25
75
5
30
25
75
2
2
2
2
2
2
5
30
25
75
5
30
25
75
2
2
2
2
2
2
(5
)
(
)
(30
)
(30
)
(25
)
(45
)
x
y
x
y
x
x
x
y
y
y





















2
2
2
2
5
30
25
5
30
25
2
2
2
2
5
30
2
2
5
5
30
25
2
(
)
(
)
(
)
(
)
3
3
2
2
2
2
x
y
x
y
x
y
x
y














2
2
5
30
25
5
30
2
)
3
5
(
(
)
x
y
x
y







，①
由
*
5
70(
N )
x
y
x



，设
*
5
30
(
N )
x
m m



，
*
25
(
N )
y
n n



，所以
*
125( ,
N )
m
n
m n



，
带入①式得：
3600
2500
3600
2500
122
3
m
n
m
n
m
n







3600
2500
3600
2500
(
)(
)
6100
(
)
3
3
125
125
n
m
m
n
m
n
m
n








令n
t
m ，设函数
2500
( )
3600
f t
t
t


，该函数为对勾函数，函数在区间
5
(0, )
6 单调递减，在区间5
( ,
)
6 单调
递增，而因为
*
,
N
m n
，所以当
70,
55
m
n


时最接近最小值，故
70,
55
m
n


时，
8,
30
x
y


时①式取
得最小值，为
2
2
7
5
5
100
376
3
0
7
5
7



.
故选：C.
2．（2023 下·山西运城·高二康杰中学校考阶段练习）以下四个命题，其中正确的个数有（
）
①经验回归直线
ˆ
ˆ
ˆ
y
bx
a


必过样本中心点(
)
,x y ；
②在经验回归方程ˆ
12
0.3
y
x


中，当变量x 每增加一个单位时，变量ˆy 平均增加0.3 个单位；
③由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可
能物理优秀；
④在一个2
2
列联表中，由计算得
2
13.709

，则有99.9%的把握确认这两个变量间有关系（其中
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

2
10.828
0.001
P 

）．
A．1 个
B．4 个
C．3 个
D．2 个
【答案】D
【详解】A 选项，线性回归方程必过(
)
,x y ，故①正确；
B 选项，当变量x 每增加一个单位时，变量ˆy 平均减少0.3 个单位，故②错误；
C 选项，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，是指这种判断出错的概率为
00
1
，并不指某人数学成
绩优秀，则他有99%的可能物理优秀，故③错误；
D 选项，由独立性检验知识可知当
2
13.709

，

2
10.828
0.001
P 

时，可认为99.9%的把握确认这两个
变量间有关系，故④正确.
故选：D
3．（2023·江西南昌·江西师大附中校考三模）下列说法：
（1）分类变量A 与B 的随机变量
2
K 越大，说明A 与B 相关的把握性越大；
（2）以模型
ekx
y
c

去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设
ln
z
y

，将其变换后得到线性方程
0.7
5
z
x

，
则,c k 的值分别是
5e 和0.7；
（3）若随机变量


1,4
X
N

，且
(
3)
0.16
P X 

，则
( 1
1)
0.34
P
X



．
以上正确的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【详解】根据独立性检验原理，分类变量A 与B 的随机变量
2
K 越大，说明A 与B 相关的把握性越大，故（1）
正确；
由
ekx
y
c

，两边取对数得ln
ln( e )
kx
y
c

，即ln
ln
y
c
kx


，
设
ln
z
y

，可得
ln
z
c
kx


，又
0.7
5
z
x

，
∴ln
5,
0.7
c
k


，即
5e ,
0.7
c
k


，故（2）正确；
若随机变量


1,4
X
N

，则正态曲线关于
1
x 对称，
则
( 1
1)
(1
3)
(
1)
(
3)
0.5
0.16
0.34
P
X
P
X
P X
P X












，故（3）正确，
所以正确的个数是3．
故选：D．
4．（2022·高二课时练习）针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”做了一次调查，
其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的5
6 ，女生喜欢抖音的人数占女生人数的2
3 ，
若有95％的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查中男生的人数可能为（
）．
临界值表：
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
0.050
0.010
x
3.841
6.635
附：







2
2
n ad
bc
a
b
c
d
a
c
b
d







．
A．30
B．54
C．62
D．75
【答案】B
【详解】设男生的人数为


6n n

N
，则女生的人数也为6n ．
根据题意列出2
2
列联表：
男生
女生
合计
喜欢抖音
5n
4n
9n
不喜欢抖音
n
2n
3n
合计
6n
6n
12n
则


2
2
12
5
2
4
4
6
6
9
3
9
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n










．
由于有95％的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，
则
2
3.841
6.635



，
即
4
3.841
6.635
9
n


，得8.64225
14.92875
n


，
因为n

N ，则n 的可能取值有9，10，11，12，13，14，
因此，调查中男生人数的可能值为54，60，66，72，78，84．
故选：B．
5．（2019 上·辽宁沈阳·高二统考期末）有下列说法：
①一支田径队有男女运动员98 人，其中男运动员有56 人．按男、女比例用分层抽样的方法，从全体运动
员中抽出一个容量为28 的样本，那么应抽取女运动员人数是12 人；
②在某项测量中，测量结果X 服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若X 在（0，1）内取值的概率为0.4，
则X 在（0，2）内取值的概率为0.8．
③废品率x%和每吨生铁成本y（元）之间的回归直线方程为y

2x+256，这表明废品率每增加1%，生铁成
本大约增加258 元；
④为了检验某种血清预防感冒的作用，把500 名未使用血清和使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提
出假设H0：“这种血清不能起到预防作用”，利用2×2 列联表计算得K2 的观测值k≈3.918，经查对临界值表
知P（K2≥3841）≈0.05，由此，得出以下判断：在犯错误的概率不超过0.05 的前提下认为“这种血清能起到
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预防的作用”，
正确的有（
）
A．①②④
B．①②③
C．①③
D．③④
【答案】A
【详解】①∵田径队有男女运动员98 人,其中男运动员有56 人,
∴这支田径队有女运动员98-56=42 人,
用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为28 的样本,
∴每个个体被抽到的概率是28
2
98
7

,
∵田径队有女运动员42 人,
∴女运动员要抽取
2
42
12
7


.
故①正确；
②根据正态分布的规律,测量结果X 服从正态分布N（1,σ2）（σ＞0）,若X 在（0,1）内取值的概率为0.4,
则X 在（0,2）内取值的概率为2
0.4
0.8


.
故②正确；
③废品率
00
x
和每吨生铁成本y （元）之间的回归直线方程为
2
256
y
x



这表明废品率每增加
00
1
,生铁成本每吨大约增加2 元,
故③不正确；
④根据独立性检验的方法与结论可知,④正确．
故选：A．
6．（2023 上·全国·高三专题练习）下列四个命题中，正确命题的个数为（
）
①甲乙两组数据分别为：甲：28，31，39，42，45，55，57，58，66；；乙：，29，34，35，48，42，46，
55，53，55，67．则甲乙的中位数分别为45 和44.
②相关系数
0.89
r 
，表明两个变量的相关性较弱.
③若由一个2
2
列联表中的数据计算得
2
的观测值
7.103
k 
，那么根据小概率
0.01

的独立性检验，认
为两个变量有关.
④用最小二乘法求出一组数据

,
i
i
x y
，

1,
,
i
n

的回归直线方程ˆy ˆ
ˆ
bx
a

后要进行残差分析，相应于数
据

,
i
i
x y
，

1,
,
i
n

的残差是指ˆi
i
e
y


ˆ
i
bx
a


.

0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
x
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
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【详解】对于①，甲组数据的中位数为45，乙组数据的中位数为46
48
47
2


，①错误；
对于②，相关系数
0.75
r 
时，两个变量有很强的相关性，②错误；
对于③，
2
的观测值约为7.103
6.635

，
那么根据小概率
0.01

的独立性检验，认为两个变量有关，③正确；
对于④，残差分析中，相应数据

,
i
i
x y 

1,
,
i
n

的残差ˆi
i
e
y


ˆ
i
bx
a


，④正确；
综上，正确命题的序号是③④，共2 个.
故选：B.
7．（2023 下·河南洛阳·高二校考阶段练习）下列说法错误的是（
）
A．对两个变量x，y 进行线性相关检验，得线性相关系数1
0.8995
r 
，对两个变量u，v 进行线性相关检
验，得线性相关系数2
0.9568
r 
，则变量x 与y 正相关，变量u 与v 负相关，变量u 与v 的线性相关性
较强
B．若随机变量Y 服从两点分布，且

1
2
E Y 
，则


2
1
D
Y 
C．以模型
e k x
y
c

去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设
ln
z
y

，将其变换后得到线性方程
0.5
1
z
x

，则c，k 的值分别是e ，0.5
D．回归直线
ˆ
ˆ
ˆ
y
bx
a


恒过样本点的中心( , )
x y ，且至少过一个样本点；
【答案】D
【详解】A：1
0
r 
，2
0
r 
，
1
2
|
| |
|
r
r

，因此A 正确．
B：由题可知：
1
2
p 
，
1
( )
(1
)
4
D Y
p
p



，
(2 )
4 ( )
1
D
Y
D Y

．因此B 正确．
C：对
e k x
y
c

两边同时取对数，得到ln
ln e
ln
kx
y
c
c
kx



，
设
ln
z
y

，则
ln
0.5
1
z
c
kx
x




，即
0.5
k 
，
e
c ，因此C 正确．
D：回归直线方程恒过样本中心点，但不一定过样本点．因此D 错误．
故选：D
8．（2022 下·江西宜春·高二校考期末）下列说法正确的是（
）
A．设







9
2
9
0
1
2
9
1
2
2
2
x
a
a
x
a
x
a
x








，则
1
2
3
9
1
a
a
a
a




B．已知随机变量服从正态分布


2
2,
N

，

4
0.84
P 

，则

2
4
0.16
P




C．随机变量


3,
X
B
p

，若


7
2
8
P X 

，且
3
2
Y
X


，则

6
D Y 
D．以模型
ekx
y
c

拟合一组数据时，为了求出回归方程，设
ln
z
y

，将其变换后得到线性方程
0.3
4
z
x


，
则c ，k 的值分别是
4e 和0.3
【答案】D
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【详解】A 选项：









9
9
2
9
0
1
2
9
1
2
1
2
2
2
x
x
a
a
x
a
x
a
x















，


0
0
9
0
9
C
2
1
1
a
x



，
令
2
1
x 
，即
3
x 
，得
0
1
2
9
92
512
a
a
a
a






，所以
1
2
3
9
0
512
511
a
a
a
a
a






，错误；
B 选项：由已知可得该正态分布曲线的对称轴为
2

，且

4
1 0.84
0.16
P 


，故


2
4
0.5
0.16
0.34
P






，错误；
C 选项：由


3,
X
B
p

得




3
3
3
7
2
1
3
1
C
8
P X
P X
p





，解得
1
2
p 
，所以


1
1
3
3
1
2
2
4
D X










，
又
3
2
Y
X


，则





2
3
2
4
3
4
D Y
D X




，错误；
D 选项：由
ekx
y
c

，得


ln
ln
e
ln
kx
z
y
c
kx
c




，则
0.3
ln
4
k
c





，解得
4e
0.3
c
k



，正确；
故选：D.
二、多选题
9．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）小明在家独自用下表分析高三前5 次月考中数学的
班级排名y 与考试次数x 的相关性时，忘记了第二次和第四次月考排名，但小明记得平均排名
6
y 
，于是
分别用m＝6 和m＝8 得到了两条回归直线方程：
1
1
y
b x
a


，
2
2
y
b x
a


，对应的相关系数分别为1r 、2r ，
排名y 对应的方差分别为
2
1s 、
2
2s ，则下列结论正确的是（
）
x
1
2
3
4
5
y
10
m
6
n
2
（附：

1
2
2
1
n
i
i
i
n
i
i
x y
nxy
b
x
n x







，a
y
bx


）
A．1
2
r
r

B．
2
2
1
2
s
s

C．
1
2

b
b
D．
1
2
a
a

【答案】BD
【详解】当
6
m 时，
1
10
6
6
2
1 2
3
4
5
3,
6
5
5
n
x
y











，解得
1
6
n =
，
则
5
1
1 10
2 6
i
i
i
x y




3 6
4 6
5 2
74





，
5
2
2
2
2
2
2
1
1
2
3
4
5
55
i
i
x








，
18
xy 
，
5
1
(
)(
)
i
i
i
x
x
y
y




(1 3)(10
6)
(2
3)(6
6)
(3
3)(6
6)
(4
3)(6
6)
(5
3)(2
6 )
16
















，
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2
2
1
(
) (
)
n
i
i
i
x
x
y
y




2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(1 3) (10
6)
(2
3) (6
6)
(3
3) (6
6)
(4
3) (6
6)
(5
3) (2
6)
128
















，
所以
1
1
2
2
2
1
74
5 18
8
55
5 3
5
n
i
i
i
n
i
i
x y
nx y
b
x
nx












，
得
1
1
54
5
a
y
b x



，
1
1
2
2
1
(
)(
)
16
2
128
(
) (
)
n
i
i
i
n
i
i
i
x
x
y
y
r
x
x
y
y












，
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
(10
6)
(6
6)
(6
6)
(6
6)
(2
6)
32
(
)
5
5
n
i
i
s
y
y
n















；
同理，当
8
m 
时，
2
2
2
5 34
2,
12,
17
b
a
r



，
2
2
8
s 
，
所以
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
,
,
,
r
r s
s
b
b a
a




，
故选：BD．
10．（2022·全国·模拟预测）计算机显示的数字图像是由一个个小像素点组合而成的．处理图像时，常会通
过批量调整各像素点的亮度，间接调整图像的对比度、饱和度等物理量，让图像更加美观．特别地，当图
像像素点规模为1 行
1
n 列时，设第i 列像素点的亮度为
ix ，则该图像对比度计算公式为
2
{
}
1
1
1
(
)
i
n
x
i
i
i
C
x
x
n





．已知某像素点规模为1 行
1
n 列的图像第i 列像素点的亮度
[0,9](
1,2,
,
1)
ix
i
n




，现
对该图像进行调整，有2 种调整方案：①
(
0,
0,
1,2,
,
1)
i
i
y
ax
b a
b
i
n







；②
lg(
1)(
0,
1,2,
,
1)
i
i
z
c
x
c
i
n






，
则（
）
A．使用方案①调整，当
9
b 
时，
(
1,2,
,
1)
i
i
y
x i
n




B．使用方案②调整，当
9
c 
时，
(
1,2,
,
1)
i
i
z
x i
n




C．使用方案①调整，当
{
}
{
}
i
i
x
y
C
C

时，
1
a 
D．使用方案②调整，当
9(
1) (
1,2,
,
1)
i
i
x
i
n
n





，
ln10
c≤
时，
{
}
{
}
i
i
x
z
C
C

【答案】AC
【详解】使用方案①调整：当
9
b 
时
9
i
i
y
ax

且
0
a 
，又
[0,9]
ix 
则
i
i
y
x

，A 正确；
2
{
}
1
1
1
(
)
i
n
x
i
i
i
C
x
x
n





，
2
2
{
}
1
1
(
)
i
n
y
i
i
i
a
C
x
x
n





，
当
{
}
{
}
i
i
x
y
C
C

，即
2
1
a
n
n

且
*
N
n
，又
0
a 
，可得
1
a ，C 正确；
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使用方案②调整：当
9
c 
时
9lg(
1)
i
i
z
x


，显然若
9
ix 时
9
iz ，B 错误；
ln(
1)
ln10
i
i
x
z
c



，而0
ln10
c


，则
(0,1]
ln10
c
t 

，故
ln(
1)
i
i
z
t
x


，
又
9(
1) (
1,2,
,
1)
i
i
x
i
n
n





，则
9
9
ln(
)
i
i
n
z
t
n



，
1
9
ln(
)
i
i
n
z
t
n



，
所以
1
9
9
9
9
[ln(
)
ln(
)]
ln(1
)
9
i
i
i
n
i
n
z
z
t
t
n
n
i
n










，而
9
10
1
[
,
]
9
9 10
9
n
n
i
n
n
n





，
1
n 时
9
1 10
1
[
,
]
9
10 19
i
n



，则
2
2
2
2
2
1
19
(
)
[
ln
,
ln 10]
10
i
i
z
z
t
t



，则
2
2
2
2
{ }
19
(
ln
,
ln 10)
10
iz
C
t
t

，
此时
2
{
}
9
( )
81
ix
C
n


，显然存在
{
}
{
}
i
i
x
z
C
C

，D 错误.
故选：AC
三、填空题
11．（2019 下·河南·高二校联考阶段练习）有两个分类变量x 和y ，其中一组观测值为如下的2×2 列联表：
1y
2y
总计
1
x
a
15
a

15
2
x
20
a

30
a

50
总计
20
45
65
其中a ，15
a

均为大于5 的整数，则

a
时，在犯错误的概率不超过0.01的前提下为“ x 和y 之
间有关系”.附：







2
2
n ad
bc
K
a
b
c
d
a
c
b
d








2
P K
k

0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
【答案】9
【详解】解：由题意知：
2
6.635
K 
,
则






2
2
65
30
20
15
13 13
60
6.635
20 45 15 50
5400
a
a
a
a
a














，
解得：
8.65
a 
或
0.58
a 
，
因为：
5
a 
且15
5
a


，a
Z

，
综上得：8.65
10
a


，a
Z

，
所以：=9
a
.
故答案为：9.
四、解答题
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12．（2023·吉林·统考三模）2022 年11 月20 日，卡塔尔足球世界杯正式开幕，世界杯上的中国元素随处可
见．从体育场建设到电力保障，从赛场内的裁判到赛场外的吉祥物都是中国制造，为卡塔尔世界杯提供了
强有力的支持．国内也再次掀起足球热潮．某地足球协会组建球队参加业余比赛，该足球队教练组为了考
查球员甲对球队的贡献，作出如下数据统计（甲参加过的比赛均分出了输赢）：
球队输球
球队赢球
总计
甲参加
2
30
32
甲未参加
8
10
18
总计
10
40
50
(1)根据小概率值
0.005

的独立性检验，能否认为该球队赢球与甲球员参赛有关联；
(2)从该球队中任选一人，A 表示事件“选中的球员参赛”，B 表示事件“球队输球”．




|
|
P B A
P B A 与




|
|
P B A
P B A 的比
值是选中的球员参赛对球队贡献程度的一项度量指标，记该指标为R．
①证明：








|
|
|
|
P A B
P A B
R
P A B
P A B


；
②利用球员甲数据统计，给出


|
P A B ，

|
P A B 的估计值，并求出R 的估计值．
附：







2
2
n ad
bc
a
b
c
d
a
c
b
d







．
参考数据：
a
0.05
0.01
0.005
0.001
ax
3.841
6.635
7.879
10.828
【答案】(1)认为该球队胜利与甲球员参赛有关
(2)①证明见解析；②

1
|
5
P A B 
, 

3
|
4
P A B 
；
1
12
R 
【详解】（1）零假设为
0
H ：该球队胜利与甲球员参赛无关．


2
2
50
2 10
30 8
3025
10.503
10 40 32 18
288











，
因为
2
7.879

，
所以依据
0.005

的独立性检验，我们推断
0
H 不成立，所以认为该球队胜利与甲球员参赛有关，此推断犯
错误的概率不大于0.005．
（2）①证明：
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



























|
|
|
|
P AB
P AB
P B A
P A
P AB
P B A
P A
P AB
R
P B A
P AB
P AB
P B A
P AB
P AB
P A
P A






































|
|
|
|
P AB
P AB
P AB
P AB
P A B
P B
P B
P B
P B
P A B
P AB
P AB
P A B
P AB
P AB
P A B
P B
P B
P B
P B






②

1
|
5
P A B 
，

3
|
4
P A B 
，
















1
1
|
1
|
|
|
1
5
4
4
3
1
|
12
|
|
|
5
4
P A B
P A B
P A B
P A B
R
P A B
P A B
P A B
P A B










．
13．（2023·福建厦门·统考二模）移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域．截至2022
年底，我国移动物联网连接数达18.45 亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家．右图是
2018-2022 年移动物联网连接数W 与年份代码t 的散点图，其中年份2018-2022 对应的t 分别为1~5．
(1)根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度；
(2)(i)假设变量x 与变量Y 的n 对观测数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，两个变量满足一元线性回归模
型
2
( )
0,
( )
Y
bx
e
E e
D e








（随机误差
i
i
i
e
y
bx


）．请推导：当随机误差平方和Q＝
2
1
n
i
i
e

取得最小值时，参
数b 的最小二乘估计．
(ii)令变量
,
x
t
t y
w
w



，则变量x 与变量Y 满足一元线性回归模型
2
( )
0,
( )
Y
bx
e
E e
D e








利用(i)中结论求
y 关于x 的经验回归方程，并预测2024 年移动物联网连接数．
附：样本相关系数






1
2
2
1
1
(
)
n
i
i
n
n
i
i
i
i
i
t
t
r
t
t
w
w
w
w











，


2
5
1
76.9
i
i
w
w




，



5
1
27.2
i
i
i
t
t
w
w





，
5
1
60.8
i
i
w



，
769
27.7

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【答案】(1)
0.98
r 
,这两个变量正线性相关，且相关程度很强.
(2)（i）
1
2
1
ˆ
n
i
i
i
n
i
i
x y
b
x




；（ii）经验回归方程
2.72
y
x

;预测2024 年移动物联网连接数23.04 亿户.
【详解】（1）由散点图可以看出样本点都集中在一条直线附近，由此推断两个变量线性相关.
因为
1 (1
2
3
4
5)
3
5
t 





,
所以
5
2
2
2
2
2
2
1
(
)
(1 3)
(2
3)
(3
3)
(4
3)
(5
3)
10
i
i
t
t














,
所以







5
1
5
5
2
2
1
1
27.2
27.2
27.2
0.98
27.7
10 76.9
769
i
i
i
i
i
i
i
t
t
w
w
r
t
t
w
w
















,
所以这两个变量正线性相关，且相关程度很强.
（2）(i)




2
2
2
2
2
1
1
1
2
n
n
n
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
Q
e
y
bx
y
bx y
b x












2
2
2
1
1
1
2
n
n
n
i
i
i
i
i
i
i
b
x
b
x y
y









，
要使Q 取得最小值，当且仅当
1
2
1
ˆ
n
i
i
i
n
i
i
x y
b
x




.
(ii) 由(i)知





5
5
1
1
5
5
2
2
1
1
ˆ
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
x y
t
t
w
w
b
x
t
t













27.2
2.72
10


，
所以y 关于x 的经验回归方程
2.72
y
x

，又
5
1
60.8
12.16
5
5
i
iw
w





，
所以当
7
t 
时，则
7
3
4,
2.72 4 12.16
23.04
x
w
y
w








，
所以预测2024 年移动物联网连接数23.04 亿户.
14．（2022 上·福建三明·高三校联考期中）中国在第75 届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措
施，力争于2030 年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060 年之前实现碳中和（简称“双碳目标”），
此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极
大促进我国产业链的清洁化和绿色化.新能源汽车､电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具
有重要的作用.为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量y
（单位：万台）关于x（年份）的线性回归方程为
4.7
9459.2
y
x


，且销量y 的方差为
2
254
5
ys 
，年份x 的
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方差为
2
2
xs 
.
(1)求y 与x 的相关系数r ，并据此判断电动汽车销量y 与年份x 的相关性强弱；
(2)该机构还调查了该地区90 位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
性别
购买非电动汽车
购买电动汽车
总计
男性
39
6
45
女性
30
15
45
总计
69
21
90
依据小概率值
0.05

的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关；
(3)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7 人，再从这7 人中随机抽取3 人，记这3 人中，
男性的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.
①参考数据：5 127
635
25



；
②参考公式：（i）线性回归方程：
ˆ
y
bx
a


，其中





1
2
1
ˆ
ˆ
,
n
i
i
i
n
i
i
x
x
y
y
b
a
y
bx
x
x










；
（ii）相关系数：







1
2
2
1
1
n
i
i
i
n
n
i
i
i
i
x
x
y
y
r
x
x
y
y











，若
0.9
r 
，则可判断y 与x 线性相关较强.
（iii）





2
2
(
)
n ad
bc
a
b
c
d
a
c
b
d







，其中n
a
b
c
d



.附表：

0.10
0.05
0.010
0.001
x
2.706
3.841
6.635
10.828
【答案】(1) 0.94 ，y 与x 线性相关较强
(2)认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05
(3)分布列答案见解析，数学期望：6
7
【详解】（1）（1）相关系数为







1
2
2
1
1
n
i
i
i
n
n
i
i
i
i
x
x
y
y
r
x
x
y
y












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








2
1
1
2
2
1
1
n
n
i
i
i
i
i
n
n
i
i
i
i
x
x
x
x
y
y
x
x
y
y















2
2
2
2
ˆ
ˆ
x
x
y
y
ns
s
b
b
ns
s



10
47
47
47
4.7
0.94
0.9
254
50
10
254
2 635








故y 与x 线性相关较强.
（2）零假设为
0
H ：购买电动汽车与车主性别相互独立，
即购买电动汽车与车主性别无关.









2
2
2
90
39 15
30 6
5.031
3.841
45 45 69 21
n ad
bc
a
b
c
d
a
c
b
d

















所以依据小概率值
0.05

的独立性检验，我们推断
0
H 不成立，
即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（3）抽样比
6
2
15
5


，男性车主选取2 人，女性车主选取5 人，则X 的可能取值为0,1,2 故


3
5
3
7
C
2
0
C
7
P X 


, 

1
2
2
5
3
7
C C
4
1
C
7
P X 


, 

2
1
2
5
3
7
C C
1
2
C
7
P X 


故X 的分布列为：
X
0
1
2
P
2
7
4
7
1
7


2
4
1
6
0
1
2
7
7
7
7
E X






15．（2022·高二课时练习）近年来，“共享汽车”在我国各城市迅猛发展，为人们的出行提供了便利，但也
给城市交通管理带来了一些困难．为了解“共享汽车”在M 省的发展情况，M 省某调查机构从该省随机拍取
了5 个城市，分别收集和分析了“共享汽车”的A，B，C 三项指标数据
ix ，
iy ，
iz 

1,2,3,4,5
i 
，数据如下
表所示；
城市编号i
1
2
3
4
5
A 指标
ix
4
6
2
8
5
B 指标
iy
4
4
3
5
4
C 指标
iz
3
6
2
5
4
(1)分别求y 与x 之间的相关系数
xy
r 及z 与x 之间的相关系数
xz
r ，并比较y 与x，z 与x 之间相关性的强弱；
(2)利用向量夹角来分析y 与x 之间及z 与x 之间的相关关系．
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附：相关系数







1
5
1
1
2
2











i
i
i
xy
i
i
i
i
n
n
x
x
y
y
r
x
x
y
y
．
参考数据：


1
2
5
2 5




i
ix
x
，


1
2
5
2




i
iy
y
，


1
2
5
10




i
iz
z
，



1
5
6





i
i
i
x
x
y
y
，



1
5
12





i
i
i
x
x
z
z
，
2
1.41

，
0.9
0.95

．
【答案】(1)
0.95

xy
r
，
0.846

xzr
，y 与x 之间的相关性比z 与x 之间的相关性强；
(2)y 与x 之间的相关性比z 与x 之间的相关性强.
【详解】（1）由已知，
4
6
2
8
5
5
5
x






，
4
4
3
5
4
4
5
y






，
3
6
2
5
4
4
5
z





，
所以







5
1
5
5
2
2
1
1
6
0.9
0.95
2 5
2
i
i
i
xy
i
i
i
i
x
x
y
y
r
x
x
y
y















，







5
1
5
5
2
2
1
1
12
3 2
0.846
5
2 5
10
i
i
i
xz
i
i
i
i
x
x
z
z
r
x
x
z
z















，
所以y 与x、z 与x 正相关，又
xy
xz
r
r

，则y 与x 之间的相关性比z 与x 之间的相关性强．
（2）由（1）知：
5
x 
，
4
y 
，
4
z 
，
将题表中x，y，z 的相关数据分别减去x ，y ，z ，
记


1
2
3
4
5
,
,
,
,
a
x
x x
x x
x x
x x
x







，


1
2
3
4
5
,
,
,
,
b
y
y y
y y
y y
y y
y







，


1
2
3
4
5
,
,
,
,
c
z
z z
z z
z z
z z
z







，
则


1,1, 3,3,0
a 


，


0,0, 1,1,0
b 


，


1,2, 2,1,0
c 


，
于是









2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1 0 1 0
3
1
3 1 0 0
6
cos
,
0.9
0.9
2 5
2
1
1
3
3
0
0
0
1
1
0
a b




















，













2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1 2
3
2
3 1
0 0
12
3 2
cos
,
0.846
5
2 5
10
1
1
3
3
0
1
2
2
1
0
a c






















，
所以y 与x、z 与x 正相关，又cos
,
cos
,
a b
a c



，则y 与x 之间的相关性比z 与x 之间的相关性强．
16．（2022·全国·模拟预测）在某生态系统中，有甲、乙两个种群，两种群之间为竞争关系．设t 时刻甲、
乙种群的数量分别为

f t ，
g t （起始时刻为
0
t 
）．由数学家Lotka 和Volterra 提出的模型是函数

f t ，
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
g t 满足方程



f
t
af t
bf t g t



，



g t
cg t
df t g t



，其中a，b，c，d 均为非负实数．
(1)下图为没有乙种群时，一段时间内甲种群数量与时间的关系折线图．为预测甲种群的数量变化趋势，研
究人员提出了两种可能的数学模型：①

f t
m t
n


；②

t
f t
m n


，其中m，n 均为大于1 的正数．根
据折线图判断，应选用哪种模型进行预测，并说明理由．
(2)设
0.08
a
c


，
2
0.008
d
b


．
①函数



0.08
e
2
t
F t
f t
g t






的单调性；
②根据①中的结论说明：在绝大多数情况下，经过充分长的时间后，或者甲种群灭绝，或者乙种群灭绝．
注：在题设条件下，各种群数量均有上限值．
【答案】(1)应选用模型②预测甲种群数量的变化趋势；理由见解析
(2)①

F t 为常函数；②答案见解析
【详解】（1）由折线图知，甲种群数量的增长速度随着时间的推移而加快．而增长速度大致对应种群数量
对时间的导数．
如选用模型①，
( )
2
m
f t
t


，
( )
f
t

是关于时间的减函数，不符合折线图；
如选用模型②，
( )
ln
t
f t
mn
n


，
( )
f t

是关于时间的增函数，符合折线图．
所以应选用模型②预测甲种群数量的变化趋势
（2）由题设知
( )
0.08 ( )
0.004 ( ) ( )
f
t
f t
f t g t



，
( )
0.08 ( )
0.008 ( ) ( )
g t
g t
f t g t



．
（i）
0.08
( )
e
[2 ( )
( )]
t
F t
f t
g t



，


0.08
( )
e
0.16 ( )
0.08 ( )
2
( )
( )
t
F t
f t
g t
f t
g t









．
消去条件中的

f t g t 得


( )
0.08 ( )
2
( )
0.08 ( )
g t
g t
f t
f t





，所以
( )
0
F t

．
所以

F t 为常函数．
（ii）由（i），
( )
(0)
2 (0)
(0)
F t
F
f
g



，
0.08
2 ( )
( )
[2 (0)
(0)]e
t
f t
g t
f
g



．
由于各种群数量均有上限值，不妨设甲乙种群数量的上限值分别为
1
M ，
2
M ．
①若

0
2
0
g
f

，

2
g t
f t

．
则当
2
2
25 ln
2
(0)
2 (0)
M
t
g
f



时，
0.08
1
( )
( )
(2 (0)
(0))e
1
2
t
f t
g t
f
g








，此时可以近似认为甲种群灭绝；
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②若

0
2
0
g
f

，

2
g t
f t

．
则当
1
2
25 ln
2
2 (0)
(0)
M
t
f
g


时，
0.08
( )
2 ( )
(2 (0)
(0))e
1
t
g t
f t
f
g



，此时可以近似认为乙种群灭绝；
③若

0
2
0
g
f

，

2
g t
f t

，甲乙种群数量之比保持恒定，可能不出现灭绝的情况．
综上所述，对所有
(0)
2 (0)
g
f

的情况，经过充分长的时间后，或者甲种群灭绝，或者乙种群灭绝
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