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跟踪训练
习题．（2026•德州模拟）已知向量
满足
，则
（
）
A．2
B．
C．4
D．
习题（2023•北京）已知向量
，
满足
，
，则
A．
B．
C．0
D．1
习题（2020•新课标Ⅲ）已知向量
，
满足
，
，
，则
，
A．
B．
C．
D．
习题（2022•乙卷）已知向量
，
满足
，
，
，则
A．
B．
C．1
D．2
跟踪训练
习题2025•湖南模拟）邢台一中数学探索馆中“圆与非圆—搬运”的教具中出现的勒洛三
角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶
点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形
中，已知
，
为弧
上的一点，且
，则
的最小值为
A．0
B．
C．
D．2
跟踪训练
习题（2024•新高考Ⅰ）已知向量
，
，若
，则
A．
B．
C．1
D．2
训练1（2025•浙江模拟）已知向量
，
，若
，则
A．
B．
C．
D．1
3．（2026•兴庆区校级一模）已知向量
，
，
，若
与
平行，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
4．（2026•凭祥市校级模拟）已知向量
，若
，则
的最小值为 ．
跟踪训练
1．（2026•江苏模拟）已知
是函数
的图象上的任意一点，过
分别向直
线
和
轴作垂线，垂足分别为
，
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．
（多选）2．（2026•香坊区校级三模）已知向量
，
，则（ ）
A．存在
，使得
B．
的最小值为2
C．若
，则
D．
与
的夹角为锐角
跟踪训练
【例 3】边长为 1 的正方形内有一内切圆,
是内切圆的一条弦,点
为正方形四条
边上的动点, 当弦
的长度最大时,
的取值范围是_____.
训练7（2025•重庆模拟）在△
中，
，
，
，
，
为线段
上的点且
，则
A．3
B．
C．2
D．
跟踪训练
【训练1】已知点O 为
内一点，且
，则
、
、
的面积之比等于（ ）
A．9 4 1
∶∶
B．1 4 9
∶∶
C．3 2 1
∶∶
D．1 2 3
∶∶
【训练2】在
中，
，
，
是
的外心，则
的值为
A．8
B．6
C．4
D．3
【训练3】在
中，
，
为
边上一点（不含端点），
，则
A．1
B．
C．
D．2
【训练4】（多选）已知直角三角形
满足
，
，
，则下列结论正
确的是
A．若点
为
的重心，则
B．若点
为
的外心，则
C．若点
为
的垂心，则
D．若点
为
的内心，则
【训练5】（多选）如图．
为
内任意一点，角
，
，
的对边分别为
，
，
，
总有优美等式
成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称
为奔驰定理．则以下命题是真命题的有
A．若
是
的重心，则有
B．若
成立，则
是
的内心
C．若
，则
D．若
是
的外心，
，
，则
跟踪训练
【训练6】已知
是三角形
所在平面内一定点，动点
满足
，
，则
点的轨迹一定通过三角形
的
心．
【训练7】已知
是三角形
所在平面内一定点，动点
满足
，
，则动点
的轨迹一定通过
的
心．
【训练8】已知
是三角形
所在平面内一定点，动点
满足
，
，
，则动点
的轨迹一定通过
的 心．
【训练9】已知
是锐角
所在平面内的一定点，动点
满足：
，
，则动点
的轨迹一定通过
的 心．
【训练10】（多选）在
中，
，
，
为
内的一点，
设
，则下列说法正确的是
A．若
为
的重心，则
B．若
为
的内心，则
C．若
为
的外心，则
D．若
为
的垂心，则
跟踪训练
例 2 在
中,已知
是边
上的定点,满足
,且对于
上的任
意一点
，恒有
，则( ).
A.
B.
C.
D.
例 3 设向量
满足
的夹角是
. 若
与
的
夹角为钝角，则 的取值范围是_____.
例 1 已知
是平面内的三个单位向量，且
，则
的最小
值为_____.
