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2024 年高考一轮复习100 考点100 讲
第9 章 机械振动和机械波
第9.2 讲 利用单摆测量重力加速度实验
【知识点精讲】
1．单摆
(1)用细线悬挂一小球，上端固定，如果悬挂小球的细线的形变和质量可以忽略，线长又比球
的直径大得多，这样的装置叫单摆。单摆是实际摆的理想化模型。
(2)回复力为球重力沿切线方向的分力，单摆做简谐运动的条件是最大摆角小于5°。
(3)周期公式T＝2π
，是荷兰物理学家
惠更斯
发现的；单摆的等时性是指周期与振幅无关。
2．受迫振动与共振
(1)受迫振动：振动系统在周期性驱动力作用下的振动。
(2)受迫振动的特点：受迫振动稳定时，系统的振动频率等于驱动力的频率，跟振动系统的固
有频率无关。
(3)共振：做受迫振动的物体，它的固有频率与驱动力的频率越接近，其振幅就越大，当二者
相等时，振幅达到最大，这就是共振现象。21*cnjy*com
(4)共振曲线
由图可知，当f 驱＝f 固时振幅最大。
3. 自由振动、受迫振动和共振的关系比较
振动
项目
自由振动
受迫振动
共振
受力情况
仅受回复力
受驱动力作用
受驱动力作用
振动周期
或频率
由系统本身性质决
定，即固有周期T0或
固有频率f0
由驱动力的周期或频
率决定，即T＝T 驱或
f＝f 驱
T 驱＝T0
或f 驱＝f0
振动能量
振动物体的机械能不
变
由产生驱动力的物体
提供
振动物体获得的能量
最大
1
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常见例子
弹簧振子或单摆
(θ≤5°)
机械工作时底座发生
的振动
共振筛、声音的共鸣
等
【方法归纳】
一 单摆周期公式T＝2π
1．对周期公式的理解
(1)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立。
(2)公式中l 是摆长，即悬点到摆球球心的距离l＝l 线＋r 球。
(3)公式中g 是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。
(4)周期T 只与l 和g 有关，与摆球质量m 与振幅无关。所以单摆的周期也叫固有周期。
2．周期公式应用
(1)只要测出单摆摆长l 和周期T，就可以根据g＝求当地重力加速度g。
(2)可以制作计时仪器。
3．类单摆
如图所示，小球在光滑的圆弧上做类单摆运动(θ≤5°)，其周期公式T＝2π。
二 受迫振动与共振的理解
1．阻尼振动和受迫振动
(1)阻尼振动是振动系统在阻力的作用下，振幅逐渐减小的振动。
说明：阻尼振动中振幅虽然逐渐减小，但振动的频率不会变化，此频率称为固有频率，由振
动系统决定。
(2)受迫振动是指系统在驱动力作用下的振动。做受迫振动的物体的振动频率等于驱动力的频
率，与物体的固有频率无关。
2．对共振的理解
(1)共振曲线：如图所示，横坐标为驱动力频率f，纵坐标为振幅A。它直观地反映了驱动力频
率对某固有频率为f0的振动系统受迫振动振幅的影响，由图可知，f 与f0越接近，振幅A 越大，
当f＝f0时，振幅A 最大。
2
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(2)受迫振动中系统能量的转化：做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界时刻进行能
量交换。
【最新高考题精练】
1．（2022 新高考海南卷）在同一地方，甲乙两个单摆做振幅不同的简谐运动，其振动图像如图，由此可
知甲乙两个单摆的摆长之比为
A. 2׃3 B. 3׃2 C. 4׃9 D. 9׃׃4׃4
【参考答案】C
【名师解析】由甲乙振动图像可知两单摆的周期之比T 甲׃T 乙=0.8׃1.2
=
2׃3
..。根据单摆周期公式T=2π
，可知L 甲׃L 乙= T 甲2׃T 乙2=4׃9 ，选项C 正确。
2. （2021 年1 月浙江选考）为了提高松树上松果的采摘率和工作效率，工程技术人员利用松
果的惯性发明了用打击杆、振动器使松果落下的两种装置，如图甲、乙所示。则
A.针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同
B.随着振动器频率的增加，树干振动的幅度一定增大
C.打击杆对不同粗细树干打击结束后，树干的振动频率相同
D.稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同
3
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【参考答案】AD
【名师解析】由于不同树木的果实的振动固有频率不同，所以针对不同树木，落果效果最好的振动频率可
能不同，选项A 正确；根据共振的相关知识，可知随着振动器频率的增加，树干振动的幅度可能减小，不
一定增大，选项B 错误；打击杆对不同粗细树干打击结束后，树干的振动频率不一定相同，选项C 错误；
根据受迫振动的物体稳定后其振动频率等于驱动力的频率，所以稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与
振动器的振动频率相同，选项D 正确。
3. (2017·上海单科·10)做简谐运动的单摆，其摆长不变，若摆球的质量增加为原来的倍，摆球经过平
衡位置的速度减为原来的，则单摆振动的( )
A.周期不变，振幅不变
B.周期不变，振幅变小
C.周期改变，振幅不变
D.周期改变，振幅变大
【参考答案】 B
【名师解析】 由单摆的周期公式T＝2π 可知，当摆长l 不变时，周期不变，故C、D 错误；由能量守恒
定律可知mv2＝mgh，其摆动的高度与质量无关，因摆球经过平衡位置的速度减小，则最大高度减小，故振
幅减小，选项B 正确，A 错误.
4．(多选)如图所示，两单摆的摆长相同，平衡时两摆球刚好接触，现将摆球A 在两摆线所在
平面内向左拉开一小角度后释放，碰撞后，两摆球分开各自做简谐运动，以mA、mB分别表示
摆球A、B 的质量，则( )
A．如果mA＞mB，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧
B．如果mA＜mB，下一次碰撞将发生在平衡位置左侧
C．无论两球质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置右侧
D．无论两球质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置左侧
【参考答案】CD
【名师解析】 单摆做简谐运动的周期T＝2π 与摆球的质量无关，因此两单摆周期相同。碰
后经过T 都将回到最低点再次发生碰撞，下一次碰撞一定发生在平衡位置，不可能在平衡位
置左侧或右侧，故C、D 正确。解答本题的关键在于正确理解单摆的等时性。
【最新模拟题精练】
1． （2023 石家庄三模）如图甲所示，O 点为单摆的固定悬点，在其正下方的P 点有一个钉子，现将小球
拉开一定的角度后开始运动，小球在摆动过程中的偏角不超过
。从某时刻开始计时，绳中的拉力大小F
4
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随时间t 变化的关系如图乙所示，重力加速度g 取
，忽略一切阻力。下列说法正确的是（ ）
A.
时小球位于B 点
B.
时小球位于C 点
C. OA 之间的距离为1.5m
D. OP 之间的距离为1.2m
【参考答案】D
【名师解析】
由图像可知，
内应该对应着摆球在CB 之间的摆动；
内应该对应着摆球在BA 之
间的摆动，因
时摆线拉力最小，可知小球位于C 点，
时小球位于A 点，选项AB 错误；
摆球在AB 之间摆动的周期为T1=0.8πs
根据单摆周期公式
可得L1=1.6m
即OA 之间的距离为1.6m，选项C 错误；
摆球在BC 之间摆动的周期为T2=0.4πs
根据
可得L2=0.4m
即PB 之间的距离为0.4m，OP 之间的距离为1.2m，选项D 正确。
2. . (2023 浙江杭州九校期中联考) 如图所示，以O 点为平衡位置，单摆在A、B 两点间做简谐运动，已知
摆球从A 点第一次运动到B 点历时0.5s，则下列说法中正确的是（ ）
5
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A. 摆球从A 点经O 点运动到B 点即完成一次全振动
B. 单摆的摆长约为1m
C. 从A 点向O 点运动的过程中，摆球受到的拉力不断增大，回复力也不断增大
D. 将单摆从地面移至山顶，摆动周期将增大
【参考答案】：D
【名师解析】．摆球从A 点经O 点运动到B 点，然后从B 点再经过O 点返回A 点，摆球完成一次全振动，
故A 错误；单摆周期为
解得
，B 错误；
从A 点向O 点运动的过程中，摆球受到的拉力不断增大，回复力不断减小，故C 错误；
将单摆从地面移至山顶，由于重力加速度减小，由单摆周期公式可知，摆动周期将增大，故D 正确。
。
3. （2023 吉林通化梅河口五中二模）利用如图所示的装置进行单摆实验。将小球拉离平衡位置释放，摆
角小于
。借助传感器可知最大拉力为
，最小拉力为
，这两个数据出现的时间间隔为t。当地重力加
速度为g。下列说法正确的是（ ）
A. 单摆的振动周期为
6
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B. 单摆摆长为
C. 用所给数据可以表示出最大摆角的余弦值
D. 传感器的示数增大时，小球的势能在变大
【参考答案】C
【名师解析】
由题意可得，单摆的振动周期为
，A 错误；
由周期公式
可得，单摆的摆长为
，B 错误；
C．摆球重力沿切线方向
分力提供回复力，摆球在最低点时，由牛顿第二定律
从最高点到最低点的过程中，由机械能守恒定律得
在最高点时，摆线的拉力为
联立解得，最大摆角的余弦值为
，C 正确；
传感器的示数增大时，由牛顿第二定律及向心力公式得小球的速度在变大，则小球的势能在变小，D 错误。
4. 如图甲所示，细线下端悬挂一个除去了柱塞的注射器，注射器内装上墨汁。将摆线拉开一较小幅度，
当注射器摆动时，沿着垂直于摆动的方向以速度v 匀速拖动木板，得到喷在木板上的墨汁图样如图乙所示，
若测得木板长度为L，墨汁图样与木板边缘交点P、Q 恰好是振动最大位置处，已知重力加速度为g，则该
单摆的等效摆长为（ ）
7
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A.
B.
C.
D.
【参考答案】 B
【名师解析】由图乙可知，该单摆恰好摆动2.5 个周期，故满足
，单摆周期公式为 T=2
联立解得该单摆的等效摆长为 L=
，B 正确。
5. 一物体在某行星表面受到的重力是它在地球表面受到的重力的九分之一，在地球表面走时准确的摆钟，
搬到此行星表面后，秒针走一圈所经历的时间是（ ）
A.180s
B.540s
C.20s
D.6.7s
【正确答案】A
【名师解析】物体在某行星表面受到的重力是它在地球表面受到的重力的九分之一，所以该星球表面的重
力加速度为地球表面重力加速度的九分之一，即g’=g/9；根据单摆的周期公式，T=2
，单摆在该星
球的周期是单摆在地球表面周期的3 倍，所以在地球表面走时准确的摆钟，搬到此行星表面后，秒针走一
圈所经历的时间是3×60s=180s，A 正确。
6.（2023 湖南怀化高二期末）如图所示，在一个水平放置的槽中，小球m 自A 点以沿AD 方向的初速度v
开始运动，已知圆弧AB＝0.9m，AB 圆弧的半径R＝10m，AD＝10m，A、B、C、D 在同一水平面内不计摩
擦，重力加速度g 取
，欲使小球恰能通过C 点，则其初速度的大小可能是（ ）
8
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A.
B.
C.
D.
【参考答案】AC
【名师解析】
小球m 自A 点以向AD 方向的初速度v 开始运动，把小球的运动进行分解，一个是水平方向的匀速运动，
一个是在竖直面上的单摆，根据单摆周期公式有
小球m 自A 点运动到C 点，在竖直面上运动的时间为
由于分运动的等时性，所以初速度为
当n=0 时，则
当n=1 时，则
，故选AC。
7. （2023 浙江宁波部分名校联考）3. 下列情境中属于共振现象的是（ ）
9
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A．小红利用脱水机甩干洗完衣服上的水滴时，发现随着脱水机结束工作转速缓慢减小时，机器的摆动反
而变得剧烈了起来
B．小王和小张兄弟俩在荡秋千时，小王发现小张荡的比他高，马上通过调整姿势将秋干荡得比小张更高
C．101 大厦在台风来临之际，其内部的重锤开始随着高楼一起摆动，且摆动方向与高楼振动方向始终相反
D．如图是扬声器的结构示意图，当人在说话时，带动膜片振动，最后通过扬声器的振动将声音以较高音
量发出
【参考答案】A
【名师解析】小红利用脱水机甩干洗完衣服上的水滴时，发现随着脱水机结束工作转速缓慢减小时，机器
的摆动反而变得剧烈了起来，这是因为脱水机转速逐渐减小到等于脱水机的固有频率时，发生共振，振幅
增大，A 正确；小王和小张兄弟俩在荡秋千时，小王发现小张荡的比他高，马上通过调整姿势将秋干荡得
比小张更高，是小王通过弯腿，伸腿，做功的结果，不是共振，B 错误；101 大厦在台风来临之际，其内
部的重锤开始随着高楼一起摆动，属于受迫振动，C 错误；人在说话时，带动膜片振动，最后通过扬声器
的振动将声音以较高音量发出，是通过放大电路，不是共振，D 错误。
8. （2023 浙江萧山名校联考）共振筛由偏心轮、筛子、弹簧等组成，偏心轮转动过程给筛子一个驱动力，
如图甲所示。该共振筛的共振曲线如图乙所示。已知增大电压，可使偏心轮转速提高，增加筛子质量，可
增大筛子的固有周期，已知12V 电压下偏心轮的转速为30r/min，则下列说法中正确的是（ ）
A. 电压为12V 时，筛子实际振动的频率是0.8Hz
B. 电压从12V 开始减小，筛子有可能会共振
10
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C. 保持12V 电压不变，减小筛子的质量，筛子有可能会共振
D. 若只改变电压，筛子的固有周期不变，仍为1.25s
【参考答案】D
【名师解析】
电压为12V 时，筛子实际振动的频率是
，故A 错误；
由乙图知，当频率为0.8Hz 时，发生共振，即筛子的固有频率为f0=0.8Hz
根据题意，电压从12V 开始减小，偏心轮转速降低，频率减小，筛子不可能会共振，故B 错误；
保持12V 电压不变，偏心轮频率不变，减小筛子的质量，筛子固有周期减小，固有频率增大，筛子不可能
会共振，故C 错误；
根据题意，筛子的固有周期与电压无关，筛子的固有周期
，故D 正确。
9. （2023 浙江台州部分重点高中联考）如图甲所示，在一条张紧的绳子上挂着
四个摆。当a 摆振动
的时候，其余各摆在a 摆的驱动下也逐步振动起来，不计空气阻力，达到稳定时，b 摆的振动图像如图乙。
下列说法正确的是（ ）
A. 稳定时b 摆的振幅最大
B. 稳定时d 摆的周期最小
C. 由图乙可以得到b 摆的固有周期
D. 由图乙可以得到a 摆的固有周期
【参考答案】：D
【名师解析】：A．a 摆摆动起来后，通过水平绳子对b、c、d 三个摆施加周期性的驱动力，使b、c、d 三
个摆做受迫振动，由于a 摆提供的驱动力的周期和c 摆的固有周期相同，所以c 摆发生了共振，c 摆的振幅
是最大的，故A 错误；b、c、d 三摆做受迫振动的频率等于驱动力的频率，都等于a 摆的频率，则三摆的
11
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周期相同，都等于a 摆的周期，即
，故B 错误，D 正确；
由于b 摆做受迫振动，所以其固有频率未知，即固有周期未知，故C 错误；故选D。
10 （2023 江苏泰州期末）如图所示，《我爱发明》节目《松果纷纷落》中的松果采摘机利用机械臂
抱紧树干，通过采摘振动头振动而摇动树干，使得松果脱落．则下列说法正确的是( )
A. 随着振动器频率的增加，树干振动的幅度一定增大
B. 稳定后，不同粗细树干的振动频率与振动器的振动频率相同
C. 若拾果工人快速远离采摘机时，他听到采摘机振动声调变高
D. 针对不同树木，落果效果最好的振动频率一定相同
【参考答案】B
【名师解析】根据共振原理，当振动器频率等于树干的固有频率时，树干振动的幅度最大，所以随着
振动器频率的增加，树干振动的幅度不一定增大，选项A 错误；在振动器作用下，树干做受迫振动，稳定
后，不同粗细树干的振动频率与振动器的振动频率相同，选项B 正确；若拾果工人快速远离采摘机时，根
据多普勒效应，他听到采摘机振动声调变低，选项C 错误；针对不同树木，落果效果最好的振动频率应该
是发生共振，即针对不同树木，落果效果最好的振动频率不一定相同，选项D 错误。
11. （2023 山东德州高二期中）近些年，科学家们逐步对极地进行开发和探索，由于极地大面积被冰雪覆
盖，开发和探索的进度受到影响，人们为了加快进度发明了共振破冰船，如图所示。破冰船利用专用传感
器感应冰面的振动反馈，自动调节锤头振动频率。当冰层与锤头发生共振时，可以大幅提高破冰效率。结
合所学知识，下列说法正确的是（ ）
12
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A. 锤头振动频率越高，冰层的振动幅度越大，破冰效果越好
B. 破冰效果最好时，锤头的振动频率等于冰层的固有频率
C. 破冰船停止工作后，冰层余振的振幅越来越小，频率也越来越小
D. 对于不同冰层，破冰效果最好时，锤头的振动频率相同
【参考答案】B
【名师解析】当冰层与锤头发生共振时，锤头的振动频率等于冰层的固有频率，可以大幅提高破冰效率，
选项B 正确。
12．（2023 湖南名校质检）一个单摆在地球表面做受迫振动，其共振曲线（振幅A 与驱动力频率f 的关
系）如图所示，重力加速度g＝10 m/s2，则（ ）
A．此单摆的固有周期约为0.5 s
B．此单摆的摆长约为1 m
C．若摆球质量增大，单摆的固有频率增大
D．若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动
【参考答案】．B
【名师解析】由题图共振曲线知此单摆的固有频率为0.5 Hz，固有周期为2 s，故A 错误；由
，
得此单摆的摆长约为1 m，故B 正确；单摆的固有周期与摆球质量无关，摆长增大固有频率减小，则共振
曲线的峰将向左移动，故C、D 错误。
13（2022 广东韶关高二期末）飞力士棒是一种物理康复器材，其整体结构是一根弹性杆两端带有负重（图
甲），某型号的飞力士棒固有频率为4.5Hz，某人用手振动该飞力士棒进行康复训练（图乙），则下列说
法正确的是（ ）
13
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A. 使用者用力越大，飞力士棒的振幅越大
B. 手振动的频率越大，飞力士棒的振幅越大
C. 手振动的频率越大，飞力士棒的振动频率越大
D. 当手每分钟振动270 次时，飞力士棒振动最弱
【参考答案】C
【名师解析】手振动的频率等于飞力士棒的固有频率时，发生共振现象，飞力士棒的振幅最大；选项AB
错误；用手振动该飞力士棒，飞力士棒做受迫振动，飞力士棒的振动频率等于手振动频率，所以手振动的
频率越大，飞力士棒的振动频率越大，选项C 正确；当手每分钟振动270 次时，振动频率
f=270/60=4.5Hz，恰好等于飞力士棒固有频率，发生共振现象，飞力士棒振动最强，选项D 错误。
14. （2023 江苏盐城期中）某学习小组用单摆测重力加速度。实验时改变摆长，测出几组摆长l 和对应周
期T 的数据，处理实验数据有以下方法：甲用其中一组数据，根据
算出结果；乙根据
算出几组结果再取其平均值；丙用作出的l—T2图像斜率算出结果。实验后发现摆球质量分布
不均匀，为了消除这一影响，可行的方法是（ ）
A. 丙
B. 乙
C. 甲
D. 乙和丙
【参考答案】A
【名师解析】
摆球质量分布不均匀，会导致摆长测量有误差，根据单摆周期公式
14
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解得
则斜率
由此可见，无论单摆摆长偏大还是偏小不影响图像的斜率k，因此不影响重力加速度的测量值。而甲乙两
种方法都不能消除摆长带来的影响。故可行的方法是丙。
。
15. （2022 福建龙岩三模）单摆在不同高度处做简谐运动的周期是不同的。摆长为L 的单摆，在海平面处
做简谐运动的周期为
；在海拔高度为
的高山山顶做简谐运动的周期为
；在运行轨道高度为
的空
间站做简谐运动的周期为
。地球可视为半径为R、质量为M 的均匀球体，万有引力常量为G。则下列说
法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【参考答案】BC
【名师解析】
设海平面处的重力加速度为
，根据重力等于万有引力
解得
15
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在海平面处做简谐运动的周期为
，B 正确，A 错误；
C．设海拔高度为
的高山山顶的重力加速度为
，根据重力等于万有引力
解得
在海平面处做简谐运动的周期为
，C 正确；
D．单摆在运行轨道高度为
的空间站中处于完全失重状态，单摆能够摆动为空间站旋转产生的等效重力
的效果，因此不能用单摆周期公式去计算在运行轨道高度为
的空间站做简谐运动的周期，D 错误；故选
BC。
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