初中数学06：实数，数系的第二次扩张

边长为1的正方形，对角线有多长？设它为x，则x²=2。两千多年前，这道题让毕达哥拉斯学派翻了船：他们坚信万物皆数——整数和分数，可你永远找不到一个分数平方恰好等于2。7/5的平方是1.96，17/12的平方是2.0069，无限逼近却永不到达。这个"画得出来却写不成分数"的数，逼着数的世界第一次扩容。

于是有了根号：√2就是这个正数，使它的平方等于2。注意一字之差的两个概念：9的平方根是±3（一对），9的算术平方根只是3（一个，且非负）。三条铁律：负数没有平方根；√a≥0；√4=2而不是±2——选择题年年在这下套。
立方根大方得多：任何数都有唯一的立方根，符号跟原数一致——∛27=3，∛(−27)=−3，0的立方根是0。对比记忆：平方根正数成对、负数缺席；立方根人人有份。

无理数=无限不循环小数，三大家族：根号开不尽型（√2、√3）、π型（π及其算式）、构造型（0.101001000…）。警惕两个"假无理数"：√4=2是整数；3.1415926是有限小数——都是妥妥的有理数。家族树合体：有理数+无理数=实数，而每次扩容都是被现实逼的：数石头、算欠债、分猎物、量对角线。
最惊艳的一幕在数轴上：用圆规量出单位正方形的对角线，往数轴上一放——√2就住在1和2之间。换成直角边2和1，斜边√5同样上得了数轴。从此数轴上的点与实数一一对应，严丝合缝。

比大小靠夹逼：找最近的完全平方数，36<40<49，所以6<√40<7。运算守一条铁律：同类根式才能合并——2√3+3√3=5√3，但√2+√3绝不等于√5。混合运算老顺序：先乘方开方，再乘除，后加减。


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