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数学浙江省舟山市2018 中考数学试题
一、选择题（本题有10 小题，每题3 分，共30 分.请选出各题中唯一的正确选项，
不选、多选、错选，均不得分）
1. 下列几何体中，俯视图为三角形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】【分析】依次观察四个选项，A 中圆锥从正上看，是其在地面投影；B 中，长方体从上
面看，看到的是上表面；C 中，三棱柱从正上看，看到的是上表面；D 中四棱锥从正上看，是其
在地面投影；据此得出俯视图并进行判断.
【解答】A、圆锥俯视图是带圆心的圆，故本选项错误；
B、长方体的俯视图均为矩形，故本选项错误；
C、三棱柱的俯视图是三角形，故本选项正确.
D、四棱锥的俯视图是四边形，故本选项错误；
故选C.
【点评】本题应用了几何体三视图的知识，从上面向下看，想象出平面投影是解答重点；
2. 2018 年5 月25 日，中国探月工程的“鹊桥号”中继星成功运行于地月拉格朗日
点，它距
离地球约
.数1500000 用科学记数法表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的
值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当
原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
【解答】解：将1500000 用科学记数法表示为：
.
故选B．
【点评】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|
a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
3. 2018 年1～4 月我国新能源乘用车的月销售情况如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A. 1 月份销售为2.2 万辆
B. 从2 月到3 月的月销售增长最快
C. 4 月份销售比3 月份增加了1 万辆
D. 1～4 月新能源乘用车销售逐月增加
【答案】D
【解析】【分析】观察折线统计图，一一判断即可.
【解答】观察图象可知：
A. 1 月份销售为2.2 万辆,正确.
B. 从2 月到3 月的月销售增长最快,正确.
C.
，4 月份销售比3 月份增加了1 万辆，正确.
D. 1～4 月新能源乘用车销售先减少后增大.故错误.
故选D.
【点评】考查折线统计图，解题的关键是看懂图象.
4. 不等式
的解在数轴上表示正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】【分析】根据解不等式，可得不等式的解集，根据不等式的解集在数轴上的表示方法，
可得答案．
【解答】
在数轴上表示为：
故选A.
【点评】考查在数轴上表示不等式的解集，解一元一次不等式，解题的关键是解不等式.
5. 将一张正方形纸片按如图步骤①,②沿虚线对折两次,然后沿③中平行于底边的虚线剪去
一个角,展开铺平后的图形是（ ）
A. （A
）
B. （B
）
C. （C
）
D. （D）
【答案】A
【解析】【分析】根据两次折叠都是沿着正方形的对角线折叠, 展开后所得图形的顶点一定在
正方形的对角线上, 根据③的剪法，中间应该是一个正方形.
【解答】根据题意，两次折叠都是沿着正方形的对角线折叠的，根据③的剪法，展开后所得图
形的顶点一定在正方形的对角线上,而且中间应该是一个正方形.
故选A．
【点评】关键是要理解折叠的过程，得到关键信息，如本题得到展开后的图形的顶点在正方形
的对角线上是解题的关键．
6. 用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（ ）
A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆心上 D. 点在圆上或圆内
【答案】D
【解答】用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，
那么点应该在圆内或者圆上.
故选D.
【点评】考查反证法以及点和圆的位置关系，解题的关键是掌握点和圆的位置关系.
7. 欧几里得的《原本》记载，形如
的方程的图解法是：画
，使
，
，
，再在斜边
上截取
.则该方程的一个正根是（ ）
A.
的长 B.
的长 C.
的长 D.
的长
【答案】B
【解析】【分析】可以利用求根公式求出方程的根，根据勾股定理求出AB 的长，进而求得AD
的长,即可发现结论.
【解答】用求根公式求得：
∵
∴
∴
AD 的长就是方程的正根.
故选B.
【点评】考查解一元二次方程已经勾股定理等，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关
键.
8. 用尺规在一个平行四边形内作菱形
，下列作法中错误的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】【分析】根据菱形的判定方法一一进行判断即可.
【解答】A.
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
B.
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
C.无法判断是菱形.
D.
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
故选C.
【点评】考查菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解题的关键.
9. 如图，点在反比例函数
的图象上，过点的直线与轴，轴分别交于点，，且
，
的面积为1，则的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】【分析】过点C 作
轴，设点
，则
得到点C 的坐标，根据
的面积为1，得到
的关系式，即可求出的值.
【解答】过点C 作
轴，
设点
，则
得到点C 的坐标为：
的面积为1，
即
故选D.
【点评】考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法是解题的关键.
10. 某届世界杯的小组比赛规则：四个球队进行单循环比赛（每两队赛一场），胜一场得3 分，
平一场得1 分，负一场得0 分.某小组比赛结束后，甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、
四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，则与乙打平的球队是（ ）
A. 甲 B. 甲与丁 C. 丙 D. 丙与丁
【答案】B
【解析】【分析】4 个队一共要比
场比赛,每个队都要进行3 场比赛,各队的总得分
恰好是四个连续奇数，甲、乙、丙、丁四队的得分情况只能是
进行分析即可.
【解答】4 个队一共要比
场比赛,每个队都要进行3 场比赛,各队的总得分恰好是四
个连续奇数，甲、乙、丙、丁四队的得分情况只能是
所以,甲队胜2 场，平1 场，负0 场.
乙队胜1 场，平2 场，负0 场.
丙队胜1 场，平0 场，负2 场.
丁队胜0 场，平1 场，负2 场.
与乙打平的球队是甲与丁,
故选B.
【点评】首先确定比赛总场数,然后根据“各队的总得分恰好是四个连续的奇数”进行分析是完
成本题的关键.
二、填空题（本题有6 小题，每题4 分，共24 分）
11. 分解因式:
________.
【答案】
【解析】【分析】用提取公因式法即可得到结果.
【解答】原式=
.
故答案为：
【点评】考查提取公因式法因式分解，解题的关键是找到公因式.
12. 如图，直线
，直线
交，，于点，，；直线
交，，于点，，.已知
，则
__________．
【答案】2
【解析】【分析】根据
，可以知道，
即可求得.
【解答】
,
根据
，
故答案为：2.
【点评】考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键.
13. 小明和小红玩抛硬币游戏，连续抛两次.小明说：“如果两次都是正面，那么你赢；如果两次
是一正一反，则我赢.”小红赢的概率是__________，据此判断该游戏__________（填“公平”或
“不公平”）．
【答案】 (1). (2). 不公平
【解析】【分析】首先利用列举法列举出可能出现的情况，可能是两正，两反，一正一反、一反
一正四种情况，用可能情况数除以情况总数即可得出都是正面朝上或者都是反面朝上和一
正一反的可能性，可能性相同则公平，否则就不公平．
【解答】抛两枚硬币可能会是两正，两反，一正一反、一反一正四种情况；
小红赢的可能性,即都是正面朝上，赢的概率是：
小明赢的可能性,即一正一反的可能性是：
所以游戏对小红不公平.
故答案为： (1). (2). 不公平
【点评】考查概率的计算，明确概率的意义是解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的
比.
14. 如图，量角器的0 度刻度线为
，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器
相切于点，直尺另一边交量角器于点，，量得
，点在量角器上的读数为
，
则该直尺的宽度为____________
．
【答案】
【解析】【分析】连接OC,OD,OC 与AD 交于点E，根据圆周角定理有
根
据垂径定理有：
解直角
即可.
【解答】连接OC,OD,OC 与AD 交于点E，
直尺的宽度：
故答案为：
【点评】考查垂径定理，熟记垂径定理是解题的关键.
15. 甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测20 个，甲检测300 个比乙检测200 个所
用的时间少
，若设甲每小时检测个，则根据题意，可列出方程：__________．
【答案】
【解析】【分析】若设甲每小时检测个，检测时间为
，乙每小时检测
个，检测时间为
，根据甲检测300 个比乙检测200 个所用的时间少
，列出方程即可.
【解答】若设甲每小时检测个，检测时间为
，乙每小时检测
个，检测时间为
，根
据题意有：
.
故答案为：
【点评】考查分式方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系.
16. 如图，在矩形
中，
，
，点在
上，
，点在边
上一动点，以
为
斜边作
.若点在矩形
的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则
的值是
__________．
【答案】0 或
或4
【解析】【分析】在点F 的运动过程中分别以EF 为直径作圆，观察圆和矩形矩形
边的交
点个数即可得到结论.
【解答】当点F 与点A 重合时，以
为斜边
恰好有两个，符合题意.
当点F 从点A 向点B 运动时，
当
时，共有4 个点P 使
是以
为斜边
.
当
时，有1 个点P 使
是以
为斜边
.
当
时，有2 个点P 使
是以
为斜边
.
当
时，有3 个点P 使
是以
为斜边
.
当
时，有4 个点P 使
是以
为斜边
.
当点F 与点B 重合时，以
为斜边
恰好有两个，符合题意.
故答案为：0 或
或4
【点评】考查圆周角定理，熟记直径所对的圆周角是直角是解题的关键.注意分类讨论思想在
数学中的应用.
三、解答题
17. （1）计算：
；
（2）化简并求值：
，其中
，
.
【答案】（1）原式
；（2）原式
=-1
【解析】【分析】（1）根据实数的运算法则进行运算即可.
（2）根据分式混合运算的法则进行化简，再把字母的值代入运算即可.
【解答】（1）原式
（2）原式
.
当
，
时，原式
.
【点评】考查实数的混合运算以及分式的化简求值，掌握运算法则是解题的关键.
18. 用消元法解方程组
时，两位同学的解法如下：
（1）反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有误，请在错误处打“×”.
（2）请选择一种你喜欢的方法，完成解答.
【答案】（1）解法一中的计算有误；（2）原方程组的解是
.
【解析】【分析】根据加减消元法和代入消元法进行判断即可.
【解答】（1）解法一中的计算有误（标记略）.
（2）用消元法解方程组
时，两位同学的解法如下：
由①-②，得
，解得
，
把
代入①，得
，解得
，
所以原方程组的解是
.
【点评】考查加减消元法和代入消元法解二元一次方程组，熟练掌握两种方法是解题的关键.
19. 如图，等边
的顶点，在矩形
的边
，
上，且
.
求证：矩形
是正方形.
【答案】证明见解析.
【解析】【分析】证明
≌
，得到
，即可证明矩形
是正方形.
【解答】∵四边形
是矩形，
∴
，
∵
是等边三角形，
∴
，
，
又
，
∴
，
∴
，
∴
≌
，
∴
，
∴矩形
是正方形.
【点评】考查正方形的判定，熟练掌握判定方法是解题的关键.
20. 某厂为了检验甲、乙两车间生产的同一款新产品的合格情况（尺寸范围为
的产品为合格），随机各抽取了20 个样品进行检测，过程如下：
收集数据（单位：
）：
甲车间：168，175，180，185，172，189，185，182，185，174，192，180，185，178，173，185，169，
187，176，180.
乙车间：186，180，189，183，176，173，178，167，180，175，178，182，180，179，185，180，184，
182，180，183.
整理数据：
分析数据：
车间
平均数
众数
中位数
方差
甲车间
180
185
180
43.1
乙车间
180
180
180
22.6
应用数据：
（1）计算甲车间样品的合格率.
（2）估计乙车间生产的1000 个该款新产品中合格产品有多少个？
（3）结合上述数据信息，请判断哪个车间生产的新产品更好，并说明理由.
【答案】（1）甲车间样品的合格率为
；（2）乙车间的合格产品数为750 个；（3）见解析.
【解析】【分析】（1）用合格产品数除以抽样总是乘以
即可确定.
（2）用乙车间生产的1000 个该款新产品乘以乙车间样品的合格率即可求解.
（3）可以从合格率，方差等各方面综合分析.
【解答】（1）甲车间样品的合格率为
.
（2）∵乙车间样品的合格产品数为
（个），
∴乙车间样品的合格率为
.
∴乙车间的合格产品数为
（个）.
（3）①从样品合格率看，乙车间合格率比甲车间高，所以乙车间生产的新产品更好.
②从样品的方差看，甲、乙平均数相等，且均在合格范围内，而乙的方差小于甲的方差，说明
乙比甲稳定，所以乙车间生产的新产品更好.
【点评】考查用样本估计总体，数据的分析，方差等，注意方差越小，越稳定.
21. 小红帮弟弟荡秋千（如图1），秋千离地面的高度
与摆动时间
之间的关系如图2 所
示.
（1）根据函数的定义，请判断变量是否为关于的函数？
（2）结合图象回答：
①当
时，的值是多少？并说明它的实际意义.
②秋千摆动第一个来回需多少时间？
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②
.
【解析】【分析】
根据函数的定义进行判断即可.
①当
时，根据函数的图象即可回答问题.
②根据图象即可回答.
【解答】（1）∵对于每一个摆动时间，都有一个唯一的的值与其对应，
∴变量是关于的函数.
（2）①
，它的实际意义是秋千摆动
时，离地面的高度为
.
②
.
【点评】本题型旨在考查学生从图象中获取信息、用函数的思想认识、分析和解决问题的能力.
22. 如图1，滑动调节式遮阳伞的立柱
垂直于地面
，为立柱上的滑动调节点，伞体的截
面示意图为
，为
中点，
，
，
，
.当点位于初始位
置
时，点与重合（图2）.根据生活经验，当太阳光线与
垂直时，遮阳效果最佳.
（1）上午10:00 时，太阳光线与地面的夹角为
（图3），为使遮阳效果最佳，点需从
上调
多少距离？（结果精确到
）
（2）中午12:00 时，太阳光线与地面垂直（图4），为使遮阳效果最佳，点在（1）的基础上还需
上调多少距离？（结果精确到
）
（参考数据：
，
，
，
，
）
【答案】（1）点需从
上调
；（2）点在（1）的基础上还需上调
.
【解析】【分析】（1）如图2，当点位于初始位置
时，
. 10:00 时，太阳光线与地面的
夹角为
，点上调至
处，
.
,
为等腰直角三角形，
，即可求出点需从
上调的距离.
（2）中午12:00 时，太阳光线与
，地面都垂直，点上调至
处，过点作
于点，
，
，根据
即可求解.
【解答】（1）如图2，当点位于初始位置
时，
.
如图3，10:00 时，太阳光线与地面的夹角为
，点上调至
处，
，
，∴
，
∴
.
∵
，∴
.
∵
，∴
，
∴
为等腰直角三角形，∴
，
∴
，
即点需从
上调
.
（2）如图4，中午12:00 时，太阳光线与
，地面都垂直，点上调至
处，
∴
.
∵
，∴
.
∵
，
∴
.
∵
，得
为等腰三角形，
∴
.
过点作
于点，
∴
，
∴
，
∴
，
即点在（1）的基础上还需上调
.
【点评】考查等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练运用三角函数是解题的关键.可以数形
结合.
23. 已知，点
为二次函数
图象的顶点，直线
分别交轴正半轴，
轴于点，.
（1）判断顶点
是否在直线
上，并说明理由.
（2）如图1，若二次函数图象也经过点，，且
，根据图象，写出的取
值范围.
（3）如图2，点坐标为
，点
在
内，若点
，
都在二次函数图象上，试比
较
与
的大小.
【答案】（1）点
在直线
上，理由见解析；（2）的取值范围为
或
.（3）①当
时，
；②当
时，
；③当
时，
.
【解析】【分析】（1）写出点
的坐标，代入直线
进行判断即可.
（2）直线
与轴交于点为，求出点坐标，把
在抛物线上，代入求得
，求出
二次函数表达式，进而求得点A 的坐标，数形结合即可求出
时，的
取值范围.
（3）直线
与直线
交于点，与轴交于点，而直线
表达式为
，联立方
程组
，得
.点
，
.分三种情况进行讨论.
【解答】
（1）∵点
坐标是
，
∴把
代入
，得
，
∴点
在直线
上.
（2）如图1，∵直线
与轴交于点为，∴点坐标为
.
又∵
在抛物线上，
∴
，解得
，
∴二次函数的表达式为
，
∴当
时，得
，
，∴
.
观察图象可得，当
时，
的取值范围为
或
.
（3）如图2，∵直线
与直线
交于点，与轴交于点，
而直线
表达式为
，
解方程组
，得
.∴点
，
.
∵点
在
内，
∴
.
当点，关于抛物线对称轴（直线
）对称时，
，∴
.
且二次函数图象的开口向下，顶点
在直线
上，
综上：①当
时，
；
②当
时，
；
③当
时，
.
【点评】考查一次函数图像上点的坐标特征，不等式，二次函数的性质等，注意数形结合思想
和分类讨论思想在数学中的应用.
24. 已知，
中，
，是
边上一点，作
，分别交边
，
于点，.
（1）若
（如图1），求证：
.
（2）若
，过点作
，交
（或
的延长线）于点.试猜想：线段
，
和
之间的数量关系，并就
情形（如图2）说明理由.
（3）若点与重合（如图3），
，且
.
①求
的度数；
②设
，
，
，试证明：
.
【答案】（1）证明见解析；（2）猜想：
，理由见解析；（3）①
；②证明见
解析.
【解析】【分析】（1）根据平行线的判定，得到
，
，证明
.即可证明
.
（2）过点作
的平行线交
的延长线于点，证明
≌
得到
.
证明四边形
是平行四边形，即可得到
.
（3）①设
，
，根据三角形的内角和列出
方程，求解即可.
②延长
至
，使
，连结
,证明
.根据相似三角形的性质得到
，即可证明.
【解答】（1）∵
，
，
，
∴
，
，
∴
，
，
，
∴
.
∴
.
（2）猜想：
，理由如下：
过点作
的平行线交
的延长线于点，
则
，
∵
，
∴
，
又
，
∴
≌
∴
.
∵
，
∴
，
∴四边形
是平行四边形，
∴
.
（3）①设
，
∵
，
，
∴
，
又
，即
，
∴
，即
.
②延长
至
，使
，连结
，
∵
，
.
∴
，
∵
，∴
，
∴
，
而
，
∴
.
∴
，
∴
.
∵
，
，
，
∴
，
∴
.
