曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
第十三章 数系的扩充与复数的引入
1.(2022黑龙江3月测试,2)复数z=i(1-i)(i为虚数单位)的共轭复数z=( )
A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i
答案 B ∵z=i(1-i)=1+i,∴z=1-i.
a-i
2.(2022陕西质检,3)若复数z= (a为实数,i为虚数单位)在复平面内对应的点在第三象
1+i
限,则实数a的值可以是( )
A.2 B.1 C.0 D.-1
a-i (a-i)(1-i) 1 1
答案 C z= = = (a-1)- (a+1)i,
1+i 2 2 2
∵z在复平面内对应的点在第三象限,
1
{ (a-1)<0,
∴ 2 即-1<a<1.
1
- (a+1)<0,
2
∴实数a的值可以是0.故选C.
3.(2022陕西榆林二模,1)复数z=i(1+2i3)的实部为( )
A.-2 B.0 C.1 D.2
答案 D i(1+2i3)=i(1-2i)=2+i.故其实部为2.
4.(2022成都二诊,2)已知复数z满足(1-i)·z=|1+√3i|(i是虚数单位),则复数z的共轭复数z
的虚部为( )
A.1 B.i C.-i D.-1
2
答案 D 因为(1-i)·z=|1+√3i|=2,所以z= =1+i,则z=1-i,故z的虚部为-1.故选D.
1-i
5.(2022云南、宁夏联考,2)设复数z满足(1+i)z=4-2i,则z=( )
A.1-3i B.1+3i
C.-1+3i D.-1-3i
4-2i (4-2i)(1-i)
答案 A 因为(1+i)z=4-2i,所以z= = =1-3i,故选A.
1+i (1+i)(1-i)
a-bi
6.(2022河南天一联考(五),2)已知a,b∈R,且复数z= +i∈R,则( )
1+i
A.a+b=0 B.a+b=2
C.a-b=0 D.a-b=2
答案 B z=a-bi
+i=
(a-bi)(1-i)
+i=
a-b
+
(
1-
a+b)i,因为z∈R,所以1-a+b
1+i 2 2 2 2
=0,所以a+b=2.
z z-1
7.(2022成都模拟,2)若z=1+2i,则 =( )
4i
A.i B.-i C.1 D.-1
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z z-1 (1+2i)(1-2i)-1 4 1
答案 B = = = =-i.故选B.
4i 4i 4i i
8.(2022银川模拟,2)设复数z满足iz=2-i,则z=( )
A.-1-2i B.1-2i
C.1+2i D.-1+2i
2-i
答案 A 因为复数z满足zi=2-i,所以z= =-1-2i.
i
9.(2022西安二模,2)已知m,n∈R,i是虚数单位,若(m+i)(1-i)=ni,则|n-2mi|=( )
A.2√2B.4C.2√3 D.3
{m+1=0,
答案 A 由(m+i)(1-i)=ni得m+1+(1-m)i=ni,所以 ⇒
1-m=n
{m=-1,
所以|n-2mi|=|2+2i|=√4+4=2√2.故选A.
n=2,
1+ai
10.(2022安徽含山中学三模,2)已知复数z= 为纯虚数(其中i为虚数单位),则实数
1+i
a=( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
1+ai (1+ai)(1-i) a+1 a-1 a+1 a-1
答案 B z= = = + i,由题意得 =0,且 ≠0,解
1+i (1+i)(1-i) 2 2 2 2
得a=-1,故选B.
|2+i|2i
11.(2022山西二模,2)已知z= ,则z在复平面内对应的点的坐标为( )
2+i
A.(1,2) B.(2,1)
C.(-1,2) D.(2,-1)
|2+i|2i 5i 5i(2-i)
答案 A z= = = =i(2-i)=1+2i,
2+i 2+i (2+i)(2-i)
∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(1,2).故选A.
12.(2022四川高县中学校模拟,2)在复平面内,O为原点,四边形OABC是复平面内的平行
四边形,且A,B,C三点对应的复数分别为z ,z ,z ,若z =1,z =-2+i,则z =( )
1 2 3 1 3 2
A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i
答案 C 由复数加法的几何意义可得,z =z +z =1-2+i=-1+i.故选C.
2 1 3
z
13.(2022陕西模拟,2)在复平面内,复数z对应的点为(3,4),则 =( )
z-2-2i
11 2 11 2
A. + iB. - i
5 5 5 5
C.1-2i D.1+2i
答案 B 因为复数z对应的点为(3,4),所以z=3+4i,
z 3+4i (3+4i)(1-2i) 11 2
所以 = = = - i,故选B.
z-2-2i 1+2i (1+2i)(1-2i) 5 5
14.(2022内蒙古赤峰三模,2)若复数z满足z(1-2i)=5,则下列说法正确的是( )
A.z=1-2i
B.z+1是纯虚数
C.复数z在复平面内对应的点在第二象限
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√5
D.若复数z在复平面内对应的点在角α的终边上,则cos α=
5
5
答案 D 由题意得z= =1+2i,其在复平面内对应的点为(1,2),在第一象限,故A,C错
1-2i
误;
z+1=2+2i,不是纯虚数,故B错误;
√5
因为角α的终边过z在复平面内对应的点(1,2),所以cos α= ,故D正确.
5
故选D.
15.(多选)(2022湖北九师联盟10月质检,10)设z ,z 是复数,则( )
1 2
A.z -z =z -z
1 2 1 2
B.若z
1
z 2∈R,则z
1
=z
2
C.若|z -z |=0,则z =z
1 2 1 2
D.若 + =0,则z =z =0
z2 z2 1 2
1 2
答案 AC 对于B,取z 1 =i,z 2 =2i,满足z 1 z 2∈R,但结论不成立,故B错误.对于D,取z 1 =i,z 2 =1,
满足
z2
+
z2
=0,但结论不成立,故D错误.设z
1
=a+bi,z
2
=x+yi,a,b,x,y∈R,对于A,
z -z
=
1 2 1 2
=(a-x)-(b-y)i=a-bi-(x-yi)= - 成立,故A正确.对于C,|z -z |=|(a-x)+(b-
(a-x)+(b- y)i z z 1 2
1 2
y)i|=0,则(a-x)2+(b-y)2=0,所以a=x,b=y,从而z
1
=z
2
,所以z
1
=z
2
,故C正确.故选AC.
16.(多选)(2021广东湛江一模,9)若复数z=√3-i,则( )
A.|z|=2 B.|z|=4
C.z的共轭复数z=√3+iD.z2=4-2√3i
答案 AC 依题意得|z|= √(√3)2+(-1)2 =2,故A选项正确,B选项错误; z=√3 +i,C选项
正确;z2=
(√3-i)2=3-2√3i+i2=2-2√3
i,D选项错误,故选AC.
二、填空题
a-i
17.(2022天津南开中学统练(2),10)已知a∈R,i为虚数单位,若 为实数,则a的值为
2+i
.
答案 -2
a-i (a-i)(2-i) 2a-1 2+a
解析 = = - i,
2+i (2+i)(2-i) 5 5
2+a
由题意得- =0,解得a=-2.
5
18.(2022河北一模,10)i是虚数单位,则|1+i|的值为 .
1-i
答案 1
解析 ∵1+i (1+i)2 |1+i|=|i|=1.
= =i,∴
1-i (1-i)(1+i) 1-i
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小题巧解
|1+i| |1+i| √12+12
=1.
= =
1-i |1-i| √12+(-1)2
2
19.(2022天津塘沽一中一模,10)i是虚数单位,复数z=√3-i+ ,则z为 .
√3-i
3√3 i
答案 +
2 2
2 2(√3+i) √3 1 3√3 i
解析 ∵z=√3-i+ =√3-i+ =√3-i+ + i= - ,∴
√3-i (√3-i)(√3+i) 2 2 2 2
3√3 i
z= + .
2 2
m+2i
20.(2022天津南开中学月考二,10)i是虚数单位,若 是纯虚数,则实数m= .
2+i
答案 -1
m+2i (m+2i)(2-i) 2m+2 4-m
解析 = = + i.
2+i (2+i)(2-i) 5 5
2m+2
{ =0,
由题意得, 5 解得m=-1.
4-m
≠0,
5
a+bi
小题巧解 若 (a,b,c,d∈R,c+di≠0)为纯虚数,则ac+bd=0.故2m+2=0,解得m=-1.
c+di
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