文档文本内容
专题13 功和功率
核心考点
考点梳理1 恒力做功的分析与计算.....................................................................................................................1
母题考点一 恒力做功的分析与计算....................................................................................................................2
考点梳理2 变力做功.............................................................................................................................................5
母题考点二 变力做功............................................................................................................................................6
考点梳理3 功率的分析与计算...........................................................................................................................10
母题考点三 功率的分析与计算..........................................................................................................................10
考点梳理4 机车启动问题...................................................................................................................................14
母题考点四 机车启动问题..................................................................................................................................15
考点梳理1 恒力做功的分析与计算
1．功
(1)定义：一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生了一段位移，就说这个力对物体
做了功。
(2)必要因素：力和物体在力的方向上发生的位移。
(3)物理意义：功是能量转化的量度。
(4)公式W＝Fl cos α
①α 是力与位移方向之间的夹角，l 为物体的位移。
②该公式只适用于恒力做功。
(5)功的正负
①当0≤α<π
2 时，W>0，这表示力对物体做正功。
②当π
2 <α≤π 时，W<0，这表示力对物体做负功，或者说物体克服这个力做功。
③当α＝π
2 时，W＝0，这表示力对物体不做功。
(6)功是标量：只有大小，没有方向，但有正负，正负不表示方向，表示力的作用效果是动
力还是阻力。
2．判断力是否做功及做正、负功的方法
判断根据
适用情况
根据力和位移的方向的夹角判断
常用于恒力做功的判断
根据力和瞬时速度方向的夹角判断
常用于质点做曲线运动
根据功能关系或能量守恒定律判断
常用于变力做功的判断
3．合力做功的计算方法
方法一：先求合力F 合，再用W 合＝F 合lcos α 求合力做的功。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W 合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的
功。
方法三：利用动能定理W 合＝Ek2－Ek1，求合力做的功。
4．两个常用推论
(1)恒力做功等于力与物体在力的方向上位移的乘积，与运动路径无关。
(2)如图所示，物体由A 滑到D 克服摩擦力做的功W＝μmg·BD。
母题考点一 恒力做功的分析与计算
【母题1】（2024·海南·高考真题）神舟十七号载人飞船返回舱于2024 年4 月30 日在东风
着陆场成功着陆，在飞船返回至离地面十几公里时打开主伞飞船快速减速，返回舱速度大
大减小，在减速过程中（ ）
A．返回舱处于超重状态
B．返回舱处于失重状态
C．主伞的拉力不做功
D．重力对返回舱做负功
【答案】A
【详解】AB．返回舱在减速过程中，加速度竖直向上，处于超重状态，故A 正确，B 错
误；
C．主伞的拉力与返回舱运动方向相反，对返回舱做负功，故C 错误；
D．返回舱的重力与返回舱运动方向相同，重力对返回舱做正功，故D 错误。
故选A。
【练1】（2025·安徽安庆·模拟预测）一辆玩具汽车在水平地面做直线运动，其速度
与时间
的关系如图所示。已知玩具汽车的质量为2kg，受到的阻力始终为车重的0.1 倍，重力加速
度g 取
。则（ ）
A．汽车在
时间内加速度方向不变
B．汽车在2s 末的位移大小为4m
C．汽车在
时间内因刹车额外产生的制动力的大小为6N
D．汽车在
时间内克服阻力做的功为6J
【练2】（2025·河南·三模）雨滴从高空中由静止开始加速下落，随着速度增加，雨滴受到的
阻力逐渐增大，当阻力与其重力大小相等时，雨滴匀速下落。下列说法正确的是（ ）
A．雨滴加速下落过程中，其机械能不断增大
B．雨滴匀速下落过程中，其机械能不变
C．雨滴从开始下落至落地的过程中，其机械能不断减小
D．雨滴加速下落的过程中，相同时间内，雨滴克服阻力做的功相等
【练3】（2025·河北·模拟预测）如图所示，在倾角为
的斜面顶端A 点以初速度
和
垂
直斜面向上抛出质量相同的小球P 和Q，P 和Q 分别落在斜面上的M 点和N 点，不计空气阻
力，下列说法正确的是（ ）
A．P、Q 的加速度大小之比为
B．P、Q 运动时间之比为
举一反三
C．P、Q 落点
D．P、Q 受重力做功之比为
考点梳理2 变力做功
“六法”求解变力做的功
方法
情境图
注释
微元法
质量为m 的木块在水平面内做
圆周运动
运动一周克服摩擦力做功
Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝
Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR
等效
转换法
恒力F 把物块从A 拉到B
绳子对物块做功
W＝F·
图像法
一水平拉力拉着一物体在水平
面上运动的位移为x0
在F－x 图像中，图线与x 轴所围
“面积”的代数和就表示力F 在这段
位移内所做的功，且位于x 轴上方的
“面积”为正功，位于x 轴下方的
“面积”为负功。
平均
值法
外力推动物块缓慢压缩轻质弹
簧，使其向左移动Δx
力与位移为线性关系，力做功W＝Δx
＝Δx，可得出弹簧弹性势能表达式
为Ep＝k(Δx)2
动能
定理法
用外力F 把小球从A 处缓慢拉
到B 处
F 做功为WF，则有WF－mgl(1－cos
θ)＝0，得WF＝mgl(1－cos θ)
利用
W＝P·t
计算
机车以恒定功率启动，牵引力
为变力
牵引力的功W＝P·t
母题考点二 变力做功
【母题2】（2023·广东·高考真题）人们用滑道从高处向低处运送货物．如图所示，可看作
质点的货物从
圆弧滑道顶端
点静止释放，沿滑道运动到圆弧末端
点时速度大小为
。已知货物质量为
，滑道高度
为
，且过
点的切线水平，重力加速度取
。关于货物从
点运动到
点的过程，下列说法正确的有（ ）
A．重力做的功为
B．克服阻力做的功为
C．经过
点时向心加速度大小为
D．经过
点时对轨道的压力大小为
【答案】BCD
【详解】A．重力做的功为
A 错误；
B．下滑过程据动能定理可得
代入数据解得，克服阻力做的功为
B 正确；
C．经过
点时向心加速度大小为
C 正确；
D．经过
点时，据牛顿第二定律可得
解得货物受到的支持力大小为
据牛顿第三定律可知，货物对轨道的压力大小为
，D 正确。
故选BCD。
【练1】（2025·河南开封·模拟预测）如图，质量均为
的小物块
放在倾角为
、足够长的固定斜面上，
靠在固定的挡板
上，
与
用轻绳连接，
分别与劲
度系数为
的轻质弹簧两端相连。对
施加一个沿斜面向上的外力使
静止且弹簧
恰好无弹力，某时刻改变外力的大小，使
一起以大小为
的加速度从静止开始做
匀加速直线运动，当
刚要离开挡板时突然剪断轻绳，并锁定
。
、
、
与斜面间的
动摩擦因数均为0.5，取
，
，
。不计空气阻
力，弹簧及轻绳均与斜面平行，弹簧始终处在弹性限度内。当力随位移均匀变化时，可用平
均力求做功。下列说法正确的是（ ）
举一反三
A．
刚要离开挡板时，轻绳的拉力大小为
B．从
开始运动到
刚要离开挡板过程中，外力做功为
C．
运动到最高点时，弹簧的形变量为
D．
在第一次下滑过程中，其最大速度大小为
【练2】（2025·山东·二模）如图所示，半径为
的四分之一光滑圆弧竖直固定，最低点
放
置一质量为
的物块，可视为质点。物块在方向始终沿圆弧切线的推力
作用下由
运动到
，力
大小恒为
。对于该运动过程，下列说法正确的是（ ）
A．力
做功大小为
B．力
做功大小为
C．力
的功率先增大后减小
D．克服重力做功的功率先增大后减小
【练3】（2025·河北廊坊·一模）石磨是把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种工具。如图
所示，石磨由下盘（不动盘）和上盘（转动盘）两部分组成。某人在手柄
上施加方向总
与
垂直、大小为
的水平力作用使石磨上盘匀速转动，已知
点到转轴
的距离为
，则石磨上盘匀速转动一周的过程中摩擦力所做的功约为（ ）
A．0
B．
C．
D．
考点梳理3 功率的分析与计算
1．平均功率的计算方法
(1)利用P＝W
t 。
(2)利用P＝F·vcosα，其中v为物体运动的平均速度。
2．瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝Fv cos α，其中v 为某时刻的瞬时速度。
(2)利用公式P＝F·vF，其中vF为物体的速度v 在力F 方向上的分速度。
(3)利用公式P＝Fv·v，其中Fv为物体受到的外力F 在速度v 方向上的分力。
母题考点三 功率的分析与计算
【母题3】（2025·山东·高考真题）一辆电动小车上的光伏电池，将太阳能转换成的电能全
部给电动机供电，刚好维持小车以速度v 匀速运动，此时电动机的效率为
。已知小车
的质量为m，运动过程中受到的阻力
（k 为常量），该光伏电池的光电转换效率为
，则光伏电池单位时间内获得的太阳能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】根据题意小车匀速运动，则有
小车的机械功率
由于电动机的效率为
，则有
光伏电池的光电转换效率为
，即
可得
故选A。
【练1】（2025·江苏南京·模拟预测）如图所示，光滑半圆形球面体固定在水平面上，半径为
R，顶部有一小物块，现给小物块一个水平初速度v0，不计空气阻力，下列说法正确的是（
）
A．若
，则小物块做平抛运动直至落地
B．若
，则小物块紧贴着圆面下滑直至落地
C．无论按照什么轨迹，小物块落地时，重力的瞬时功率均相等
D．无论按照什么轨迹，小物块始终处于超重状态
【练2】（2025·陕西西安·模拟预测）近年来为环保助力，我国电动汽车发展迅猛，如小米
SU7 电动汽车。其铭牌信息显示：电动机额定功率
，汽车整备质量m=2170kg。
假设汽车在水平公路上行驶时所受阻力f 与车重的比值μ=0.2（g=10m/s2），汽车启动后先以
恒定加速度a=2m/s2加速，达到额定功率后再以恒定功率行驶，最终达到最高车速。下列说法
正确的是（ ）
A．汽车在匀加速阶段牵引力大小为4.34×103N
B．汽车达到额定功率时的速度大小约为23m/s
C．汽车以恒定功率行驶过程中，当速度为50m/s 时，加速度大小约为6m/s2
D．在此运动过程中发动机功率先随时间变化均匀增大，后保持不变
【练3】（2025·云南昭通·模拟预测）如图所示，一光滑圆形轨道竖直放置，其上套有两个小
圆环甲和乙，轨道的最高点、最低点分别标记为A、D，最左端标记为C，最右端标记为B。
小圆环甲在轻微扰动下由A 处从静止开始向右运动，同时将小圆环乙由C 处从静止释放，则
（ ）
举一反三
A．小圆环甲先到达B 点
B．小圆环乙先到达D 点
C．对于小圆环甲，从A 到B 的过程中重力的功率先增大后减小
D．对于小圆环乙，从C 到D 的过程中重力的功率一直增大
考点梳理4 机车启动问题
1．两种启动方式
两种方式
以恒定功率启动
以恒定加速度启动
P-t 图像和v-t 图像
OA 段
过程分析
v↑⇒F＝P额
v ↓⇒
a＝F −F阻
m
↓
a＝
F −F阻
m
不变⇒F 不变
P＝
Fv↑直到P 额＝Fv1
运动性质
加速度减小的变加速
运动
匀加速直线运动，维持时间t0＝v1
a
AB 段
过程分析
F＝F 阻⇒a＝0⇒vm＝
P额
F阻
v↑⇒F＝P额
v ↓⇒a＝F −F阻
m
↓
运动性质
以vm做匀速直线运动
加速度减小的变加速运动
BC 段
无
F＝F 阻⇒a＝0⇒vm＝
P额
F阻
，以vm做
匀速直线运动
2．三个重要关系式
(1)最大运行速度：无论哪种启动过程，机车的最大速度都为vm＝
P额
F阻
。
(2)匀加速运动阶段的最大速度：机车以恒定加速度启动时，匀加速过程结束后达到额定功
率，速度不是最大，即v＝P额
F <vm＝
P额
F阻
。
(3)功能关系：机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt，由动能定理得Pt－F 阻x＝
ΔEk，此式经常用于求解机车以恒定功率启动或运行过程的位移、速度或时间。
母题考点四 机车启动问题
【母题4】（2023·湖北·高考真题）两节动车的额定功率分别为
和
，在某平直铁轨上
能达到的最大速度分别为
和
。现将它们编成动车组，设每节动车运行时受到的阻力在
编组前后不变，则该动车组在此铁轨上能达到的最大速度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意可知两节动车分别有
当将它们编组后有
联立可得
故选D。
【练1】（2025·广东广州·模拟预测）一辆机车在水平路面上从静止开始做直线运动，其加速
度随时间变化的图像如图甲所示，机车牵引力F 和车速倒数
的关系图像如图乙所示，机车
前进过程中所受阻力大小恒定，
时刻机车达到额定功率，之后保持该功率不变，下列说
法正确的是（ ）
A．所受恒定阻力大小为
B．机车运动的额定功率为
C．机车匀加速运动的时间为30s
D．机车的质量为
【练2】（2025·广东佛山·模拟预测）如图所示为校园清洁车的行驶画面。若质量为m 的清洁
车在平直的校道上从静止开始沿直线加速行驶，经过时间t 前进的距离为s，且速度达到最大
值vm。设这一过程中电动机的牵引力功率恒为P，清洁车所受阻力恒为f，那么这段时间内（
）
A．小车做匀加速运动
B．小车受到的牵引力逐渐增大
C．小车受到的合外力所做的功为Pt
D．小车受到的牵引力做的功为
【练3】（2025·甘肃白银·三模）一辆新型锂电池电动车在水平的直轨道上由静止开始以
10kW 的恒定功率加速前进，电动车瞬时速度的倒数和瞬时加速度a 的关系图像如图所示，已
知电动车在直轨道上运动时受到的阻力大小不变，电动车从起点到达到最大速度所用的时间
举一反三
为30s。下列说法正确的是（ ）
A．电动车的质量为10kg
B．电动车所受的阻力大小为500N
C．电动车的速度大小为5m/s 时的加速度大小为60m/s2
D．电动车从起点到达到最大速度时通过的距离为50m
模拟演练
1．（2025·北京大兴·三模）两个相同小铁块A 和B，分别从固定的、高度相同的光滑斜面和
圆弧斜面的顶点滑到底部，如图所示。如果它们的初速度都为零，且下滑到底部的路程相同，
则下列说法正确的是（ ）
A．它们到达底部时速度相同
B．它们到达底部过程中重力做功相同
C．它们到达底部过程中重力的冲量相同
D．整个过程中合外力的冲量相同
2．（2025·浙江·模拟预测）2025 年4 月19 日，全球首个人形机器人半程马拉松比赛在北京
进行，下列关于人形机器人的描述正确的是（ ）
A．在研究机器人跑步的每公里配速时，不可视为质点
B．机器人在跑步过程中，总是处于超重状态
C．机器人在跑步过程中，地面对机器人的静摩擦力不做功
D．机器人跑完全程的平均速度为0
3．（2025·湖南·模拟预测）2025 年，无人机技术将进一步成熟，智能化、自动化水平不断提
高，同时，电动垂直起降飞行器等新型航空器技术将取得突破性进展，推动城市空中交通的
发展。如图甲是无人机快递运输和配送的测试现场，已知质量为5kg 的邮件在被无人机从地
面吊起后，在竖直方向上运动的v-t 图像如图乙所示（取竖直向上为正方向），重力加速度g
取10m/s2，不计邮件所受空气阻力。则（ ）
A．在46s 时邮件上升到最大高度
B．邮件在30s~36s 的过程中处于超重状态
C．在0~10s 内拉力对邮件所做的功为200J
D．在30s~36s 内拉力对邮件做正功，其功率逐渐减小
4．（2025·湖南郴州·模拟预测）如图所示，质量为
的物体从离地面高度为
的位置A 由静止释放沿固定的光滑曲面下滑，经过一段时间后，物体下落到高度为
的另一位置B，以地面为参考平面。
，求：
(1)物体在A 点时的重力势能；
(2)物体从A 点到B 点的过程中重力做的功；
(3)物体到达地面瞬间的速度大小。
5．（2025·湖南郴州·模拟预测）如图所示，质量为m 的物体静止在倾角为θ 的斜面上，现将
斜面沿水平方向向右匀速移动了距离x，物体相对斜面静止。则（ ）
A．重力对物体做正功
B．支持力对物体不做功
C．摩擦力对物体不做功
D．合力对物体做功为零
6．（2025·四川内江·模拟预测）一物体放在水平地面上，如图1 所示，已知物体所受水平拉
力F 随时间t 的变化情况如图2 所示，物体相应的速度v 随时间t 的变化关系如图3 所示。以
下说法错误的是（ ）
A．物体的质量为0.75kg
B．0~8s 时间内拉力的冲量为18N s
⋅
C．0~8s 时间内物体动量变化量的大小4kg m/s
⋅
D．0~10s 时间内，物体克服摩擦力所做的功为30J
7．（2025·陕西延安·模拟预测）如图所示，质量为2m 的物块P 和质量为m 的物块Q 用轻质
弹簧拴接后放置在光滑的水平地面上，弹簧的劲度系数为k，物块P 左侧有一固定挡板。现用
外力向左推Q 压缩弹簧，使弹簧压缩量达到
后，将物块Q 由静止释放，已知弹簧弹性势能
表达式
，其中k 为弹簧的劲度系数，x 为弹簧的形变量，在此过程弹簧始终未超过
弹性限度。下列说法正确的是（ ）
A．从物块Q 释放到物块P 离开挡板的过程中，挡板对物块P 的冲量为0
B．从物块Q 释放到物块P 离开挡板的过程中，挡板对物块P 做功为
C．物块P 离开挡板后，运动的最大速度为
D．物块P 离开挡板后，物块Q 的最小速度为
8．（2025·安徽六安·模拟预测）如图甲所示，长木板A 的左端放置滑块B（可视为质点），
V 形槽C 用不可伸长的细绳与A 相连，光滑球D 放在槽内（槽右边部分竖直，与左边倾斜部
分的夹角为
）。对B 施加一水平向右的恒力F 使其由静止开始运动，一段时间后B 从A 右
端滑出，A 继续在水平地面上运动一段距离后停止运动，以水平向右为正方向，此过程中A
的速度随时间变化的图像如图乙所示。已知
、
，A、C 与地
面间的动摩擦因数相同，D 与C 之间始终未发生相对滑动，取
。下列说法正确
的是（ ）
A．长木板A 与地面之间的动摩擦因数为0.2，滑块B 与长木板A 之间的动摩擦因数为0.6
B．细绳能承受的最大拉力应不小于3N
C．若球D 相对于槽C 刚好未发生滑动，则有
D．若长木板A 长
，则在第1s 内恒力F 做的功为15J
9．（2025·山东·模拟预测）如图所示（俯视图），在光滑水平面上固定半径为R 的圆盘，O
点为圆心。长为L 的轻质细线一端固定在圆盘边缘上，另一端与小球相连，初始时细线绷直
并与圆盘相切。给小球垂直于细线方向的初速度
，在圆盘上缠绕过程中小球的运动轨迹称
为"阿基米德螺旋线"。假设细线与圆盘的切点与O 点的距离不变，下列说法正确的是
（ ）
A．运动过程中细线对小球做正功
B．运动过程中小球的线速度大小不变
C．小球绕切点旋转的角速度不变
D．运动过程中细线上的拉力越来越小
10．（24-25 高二下·云南红河·期中）如图所示，折成
的光滑细杆ABC 固定在竖直面内，
AB 段水平，用轻杆通过光滑铰链连接的P、Q 两个小球分别套在杆的AB 段和BC 段，开始时
小球Q 在B 点，不计小球的大小，由静止释放两小球，在小球P 向左运动的过程中，下列说
法正确的是（ ）
A．小球Q 重力的功率越来越大
B．轻杆对小球Q 先做正功后做负功
C．轻杆对小球P 作用力的功率越来越大
D．小球P 动能的增量等于小球Q 机械能的减少量
11．（2025·广东广州·模拟预测）急动度j 是汽车的加速度随时间的变化率，定义式为
。一辆汽车沿平直公路以
的速度做匀速运动，0 时刻开始加速，0~12.0s
内汽车运动过程的急动度随时间变化的图像如图所示。已知该汽车质量
，运动
过程中所受阻力
。则下列说法正确的是（ ）
A．在0~4.0s 内汽车做匀加速直线运动
B．在4.0~8.0s 内，汽车牵引力大于所受阻力
C．12.0s 时，汽车的加速度大小为零
D．6.0s 时，汽车牵引力的功率为
12．（2025·湖北恩施·模拟预测）为测试一款新能源汽车加速性能，试驾员驾驶该车在平直
路面上静止出发，在恒定牵引力F=6mg 下起动加速（m 为包括试驾员在内的车总质量），行
车过程中受到路面和空气等各种阻力f 大小与车速大小v 之间的函数关系如图所示（v0已知，
为舒适驾驶速度，对应的阻力为
），当加速行驶距离S 时，速度恰好达到最大值（不
考虑额定功率对运动的限制和影响），则车这段加速运动中（ ）
A．能达到的最大速度为
B．做匀加速直线运动，平均速度为
C．加速时间为
D．克服各种阻力做功为
13．（2025·湖南长沙·模拟预测）一个玩具小车在外力作用下沿光滑水平面做直线运动，其
动量
与时间的关系图像如图所示，已知
和四边形
的面积之比为
，则
下列说法正确的是（ ）
A．
和
的加速度大小之比是
B．
与
外力的冲量大小之比是
C．
时刻前瞬间与
时刻发动机的功率大小之比是
D．
与
外力的做功大小之比是
14．（2025·海南海口·模拟预测）如图所示，实线是实验小组某次研究平抛运动得到的实际
轨迹，虚线是相同初始条件下平抛运动的理论轨迹，分析后得知这种差异是空气阻力影响的
结果。实验中，小球的质量为m，水平初速度为
，初始时小球离地面高度为h，已知小球
落地时速度大小为v，方向与水平面成θ 角，小球在运动过程中受到的空气阻力大小与速率成
正比，比例系数为k，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．小球落地时重力的功率为mgv
B．小球下落的时间为
C．小球下落过程中水平位移大小为
D．小球下落过程中空气阻力做的功为
15．（2025·云南·模拟预测）如图所示，倾角为
的斜面体固定在水平地面上，一根轻绳跨
过两个光滑的轻质滑轮连接着固定点
和物体
，下方的动滑轮与物体
相连，斜面上方
的细线均与斜面平行。已知物体
的质量是物体
的2 倍．物体
与斜面间的动摩擦因数
为
，
，
。在细线恰好伸直时，将物体
、
由静止释放，在
物体
下降的过程中（物体
未碰到滑轮），不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．轻绳对
点的拉力小于物体
的重力
B．物体
所受合外力的冲量大小始终是物体
所受合外力的冲量大小的2 倍
C．物体
重力的功率始终是物体
重力功率的2 倍
D．物体
机械能的增加量始终小于物体
机械能的减少量
16．（2025·云南昭通·模拟预测）无人机可用于航拍、农业生产和物流配送等多领域。如图
甲、乙所示为某一款无人机沿竖直方向向上飞行时的输出功率与加速度的图像。已知无人机
的质量为
，飞行时所受的空气阻力
与速率
满足
，假设无人机
的升力恒定，重力加速度
取
，则升力为（ ）
A．
B．
C．15.0N
D．25.0N
