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压轴计算题抢分练(二)
1.(2024·黑龙江三模)如图所示，一半径为r＝0.45 m 的光滑圆弧的底端B 与水
平传送带相接，传送带的运行速度为v0＝5 m/s，长为L＝1.75 m，DEF 为固定于竖
直平面内的一段内壁光滑的中空细管，EF 段被弯成以O 为圆心、半径R＝0.2 m 的
一小段圆弧，管的D 端弯成与水平传送带C 端平滑相接，O 点位于地面，OF 连线
竖直。一质量为m＝0.2 kg 的滑块(可视为质点)从圆弧顶端A 点无初速滑下，滑到
传送带上后被送入细管DEF。已知滑块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.2，重力加
速度g 取10 m/s2，不计空气阻力，滑块横截面略小于细管中空部分的横截面。求：
(1)滑块到达光滑圆弧底端B 时对轨道的压力大小；
(2)滑块与传送带间因摩擦产生的热量；
(3)滑块滑到F 点后水平飞出，滑块的落地点到O 点的距离。
【答案】 (1)6 N (2)0.3 J (3) m
【解析】 (1)
滑
到达
设
块
B 点的速度大小为vB
由机械能守恒定律有mgr＝mv
解得vB＝3 m/s
滑
在
块
B 点，由向心力公式有N－mg＝
解得N＝6 N
根据牛
第三定律可知，滑
到达光滑
弧底端
顿
块
圆
B
道的
力大小
时对轨
压
为6
N。
(2)滑
在
送
上做匀加速运
，由牛
第二定律有
块
传
带
动
顿
a＝μg＝2 m/s2
由速度位移公式得v－v＝2aL
解得vC＝4 m/s<v0＝5 m/s
滑
在
送
上运行的
块
传
带
时间为t＝＝0.5 s
送
运行的距离
传
带
为x＝v0t＝2.5 m
故滑
与
送
因摩擦
生的
量
块
传
带间
产
热
为
Q＝μmg(x－L)＝0.3 J。
(3)滑
从
块
C 至F，由机械能守恒有mv＝mgR＋mv
滑
离开
块
F 点后做平抛运
，
直方向有
动
竖
R＝gt′2
立解得滑
的落地点到
联
块
O 点的距离x＝vFt′＝ m。
2.(2024·湖北武汉模拟)如图甲所示，小球A 以初速度v0＝2 竖直向上冲入半径
为R 的粗糙圆弧管道，然后从管道另一端沿水平方向以速度＝冲出，在光滑水平
面上与左端连有轻质弹簧的静止小球B 发生相互作用，距离B 右侧s 处有一个固
定的弹性挡板，B 与挡板的碰撞没有能量损失。已知A、B 的质量分别为3m、2m，
整个过程弹簧的弹力随时间变化的图像如图乙所示(从A 球接触弹簧开始计时，t0
已知)。弹簧的弹性势能为Ep＝kx2，x 为形变量，重力加速度为g。求：
(1)小球在管道内运动的过程中阻力做的功；
(2)弹簧两次弹力最大值之比F2∶F1；
(3)小球B 的初始位置到挡板的距离s。
【答案】 (1)－mgR (2)7∶5 (3)t0
【解析】 (1)
小球在管道内运
的
程阻力做功
设
动
过
为Wf，根据
能定理可得－
动
3mgR＋Wf＝·3m2－·3mv
解得Wf＝－mgR。
(2)当A、B 第一次共速
，簧
量最大，簧
力最大，
量
时弹
压缩
弹
弹
设压缩
为x1，A、
B 共同速度为v 共1，从A
接触
簧到
刚
弹
A、B 共速，根据
量守恒定律和机械能守
动
恒定律可得3m＝(3m＋2m)v 共1
kx＝·3m2－·(3m＋2m)v
此
簧
力
时弹
弹
为F1，有F1＝kx1
由
乙可知，
簧
好恢复原
，
图
弹
刚
长时
B 与
板相撞，
此
挡
设
时A、B 速度分别为
v1、v2，从A
接触
簧到
簧恢复原
，根据
量守恒定律和机械能守恒定律可
刚
弹
弹
长
动
得3m＝3mv1＋2mv2
·3m2＝·3mv＋·2mv
解得v1＝，v2＝
此时B 原速率反
，当
弹
A、B 第二次共速
，簧
量再一次达到最大，
时弹
压缩
设压
量
缩
为x2，A、B 共同速度为v 共2，从B
反
到
簧第二次
最大，根据
量守
刚
弹
弹
压缩
动
恒定律和机械能守恒定律可得3mv1－2mv2＝(3m＋2m)v 共2
kx＝·3mv＋·2mv－(3m＋2m)v
此
簧
力
时弹
弹
为F2，有F2＝kx2
立解得
联
F2∶F1＝7∶5。
(3)设A、B 一起向右运
的
程中，任意
刻
动
过
时
A、B 速度分别为vA、vB，根据动
量守恒可得3m·＝3mvA＋2mvB
在任意一极短时间Δt 内，有3m·Δt＝3mvAΔt＋2mvBΔt
所以3m·Δt＝3mΔxA＋2mΔxB
等式两
求和得
边
3m·t0＝3msA＋2msB
由
乙可知，
图
t0时B 与
板
生碰撞，此
簧恰好恢复原
，故从
挡
发
时弹
长
t＝0 到t＝
t0
，
时
A、B 位移相同，即sA＝sB＝s
立解得
联
s＝t0。
