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(三)中低档大题规范练
规范练1(分值:43 分)
学生用书
P225
1.(13 分)(2024·安徽淮北二模)记△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知c-b=2csin2 A
2 .
(1)试判断△ABC 的形状;
(2)若c=1,求△ABC 周长的最大值.
解(1)由c-b=2csin2 A
2
,可得sin2 A
2 = c -b
2c
,
所以1-cos A
2
= c -b
2c
,即1
2 - cos A
2
= 1
2 - b
2c
,
所以cos A=b
c .
又由余弦定理得b
2+c
2-a
2
2bc
= b
c
,可得a2+b2=c2,所以C=π
2
,所以△ABC 是直角三角形.
(2)由(1)知,△ABC 是直角三角形,且c=1,可得a=sin A,b=cos A,所以△ABC 周长为1+sin A+cos A=1+
√2sin A+π
4
,
因为A∈0,π
2
,可得A+π
4 ∈
π
4 , 3 π
4
,
故当A=π
4
时,即△ABC 为等腰直角三角形,△ABC 的周长取到最大值,最大值为√2+1.
2.(15 分)(2024·山东潍坊一模)已知椭圆E: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)中,A,C 分别是椭圆E 的左、上顶点,|AC|
=√5,且椭圆E 的焦距为2√3.
(1)求E 的方程和离心率;
(2)过点(1,0),斜率存在且不为零的直线交椭圆于R,S 两点,设直线RS,CR,CS 的斜率分别为k,k1,k2,若
k1+k2=-3,求实数k 的值.
解(1)由题意可得A(-a,0),C(0,b),可得|AC|=√a
2+b
2=√5,2c=2√3,
所以c=√3,所以a2-b2=c2=3,a2+b2=5,
解得a2=4,b2=1,所以离心率e=c
a = √3
2
,
故椭圆E 的方程为x
2
4
+y2=1,离心率e=√3
2 .
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(2)由(1)可得C(0,1),由题意设直线RS 的方程为x=my+1(m≠0),则k= 1
m
,设R(x1,y1),S(x2,y2)(x1x2≠0),联立
{
x
2
4 + y
2=1,
x =my +1,
整理得(4+m2)y2+2my-3=0,
显然Δ>0,且y1+y2=- 2m
4+m
2,y1y2=-
3
4+m
2,
直线CR,CS 的斜率k1= y1-1
x1
,k2= y2-1
x2
,
则k1+k2= y1-1
x1
+ y2-1
x2
=(m y2+1)( y1-1)+(m y1+1)( y2-1)
(m y1+1)(m y2+1)
=2m y1 y2+(1-m)( y1+ y2)-2
m
2 y1 y2+m( y1+ y2)+1
=
2m·-3
4+m
2 +(1-m)·-2m
4 +m
2 -2
m
2·-3
4+m
2 +m·-2m
4 +m
2 +1
=
2
m-1 .
因为k1+k2=-3,即-3=
2
m-1
,解得m=1
3
,
所以直线RS 的斜率k= 1
m
=3,即实数k 的值为3.
3.(15 分)(2024·山东青岛三模)如图所示,多面体ABCDEF,底面ABCD 是正方形,点O 为底面的中心,M
为EF 的中点,侧面ADEF 与BCEF 是全等的等腰梯形,EF=4,多面体ABCDEF 其余棱长均为2.
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(1)证明:MO⊥平面ABCD;
(2)若点P 在棱CE 上,直线BP 与平面ABM 所成角的正弦值为2√42
21
,求EP 的长.
(1)证明取AB,CD 的中点K,Q,连接FK,KQ,QE,则O 为KQ 的中点.
因为侧面ADEF 是等腰梯形,所以EF∥AD.
又KQ∥AD,所以KQ∥EF.
因为多面体ABCDEF 的棱长除棱EF 外均相等,
所以△ABF 和△DCE 都是边长为2 的等边三角形,得FK=EQ,所以四边形FKQE 为等腰梯形.
因为M 为EF 的中点,O 为KQ 的中点,
所以MO⊥KQ.
因为△ABF 是等边三角形,所以AB⊥FK.
又AB⊥KQ,KQ,FK⊂平面FKQE,KQ∩FK=K,所以AB⊥平面FKQE,
因为AB⊂平面ABCD,
所以平面FKQE⊥平面ABCD,
平面FKQE∩平面ABCD=KQ,MO⊂平面FKQE,MO⊥KQ,
故MO⊥平面ABCD.
(2)解在梯形FKQE 中,EF=4,KQ=2,FK=EQ=√3,在等腰梯形中,由勾股定理得MO=√2,取BC 的中点
N,由(1)知,OK,ON,OM 两两垂直.
以O 为原点,分别以OK,ON,OM 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则
O(0,0,0),M(0,0,√2),K(1,0,0),C(-1,1,0),A(1,-1,0),B(1,1,0),E(-2,0,√2).
设平面ABM 的法向量为n=(x,y,z),⃗AB=(0,2,0),⃗AM=(-1,1,√2),
则{
n·⃗AB =2 y =0,
n·⃗AM =- x + y +√2 z =0,
令z=1,则x=√2,y=0,得n=(√2,0,1).
设⃗CP=λ⃗CE(0≤λ≤1),⃗BP =⃗BC +⃗CP =⃗BC+λ⃗CE=(-2-λ,-λ,√2 λ),
设直线BP 与平面ABM 所成角为θ,
所以sin θ=|cos<n,⃗BP>|=|⃗BP·n|
|⃗BP||n|
=|2√2|
√3√4 λ
2+ 4 λ+ 4
= 2√42
21
.
解得λ=1
2
(负值舍去),
所以P 为棱CE 的中点,
所以EP 的长为1.
