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规范练4(分值:43 分)
学生用书
P231
1.(13 分)已知向量m=(cos x,-sin x),n=(cos x,sin x-2√3cos x),x∈R.设f(x)=m·n.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)在△ABC 中,若f(∠BAC)=1,AB=2,BC=√6,∠BAC 的平分线交BC 于点D,求AD 的长.
解(1)由题意得f(x)=cos2x-sin x(sin x-2√3cos x)=cos2x-sin2x+2√3sin xcos x=√3sin 2x+cos 2x=2(√3
2
sin
2x+1
2
cos 2x)=2sin(2x+π
6
).
令2kπ-π
2
<2x+π
6
<2kπ+π
2
,k∈Z,
则kπ-π
3
<x<kπ+π
6
,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间为(kπ-π
3
,kπ+π
6
),k∈Z.
(2)由题意得2sin(2∠BAC+π
6
)=1.
因为0<∠BAC<π,
所以π
6
<2∠BAC+π
6 < 13 π
6
,
即2∠BAC+π
6 = 5 π
6
,所以∠BAC=π
3 .
在△ABC 中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC,
即6=4+AC2-2AC,解得AC=√3+1.
因为∠BAC 的平分线交BC 于点D,所以S△BAD+S△CAD=S△ABC,所以1
2
AB·AD·sinπ
6 + 1
2
AC·AD·sinπ
6 = 1
2
AC·AB·sinπ
3
,
所以1
2
AD+√3+1
4
AD=√3×(√3+1)
2
,
解得AD=2.
2.(15 分)(2024·河北张家口三模)已知函数f(x)=ln x+5x-4.
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)证明:f(x)>- 3
5 x
-2.
(1)解由题意知f(x)的定义域为(0,+∞),因为f'(x)=1
x
+5,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为
f'(1)=6.
又f(1)=ln 1+5-4=1,所以切线方程为y-1=6(x-1),即6x-y-5=0.
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(2)证明由f(x)>- 3
5 x
-2,得xln x+5x2-2x>-3
5
,令g(x)=xln x+5x2-2x,x>0,则g'(x)=ln x+10x-1.
因为g'(e-2)=ln e-2+10×e-2-1=10
e
2 -3<0,且g'(1
4
)=ln1
4
+10× 1
4
-1=3
2
-ln 4=1
2
(ln e3-ln 16)>0,
所以存在x0∈(e-2,1
4
),使得g'(x0)=ln x0+10x0-1=0,即ln x0=1-10x0.
易知g'(x)在区间(0,+∞)上单调递增,所以,当x∈(0,x0)时,g'(x)<0,g(x)在区间(0,x0)上单调递减;
当x∈(x0,+∞)时,g'(x)>0,g(x)在区间(x0,+∞)上单调递增.
所以当x=x0时,g(x)取得最小值.
g(x0)=x0ln x0+5x0
2-2x0=x0(1-10x0)+5x0
2-2x0=-5x0
2-x0.
由二次函数性质可知,g(x0)=-5x0
2-x0在区间e-2,1
4
上单调递减,
所以g(x0)>g 1
4
=- 9
16>-3
5,
即g(x)=xln x+5x2-2x>-3
5
,
所以f(x)>- 3
5 x
-2.
3.(15 分)(2024·河北石家庄模拟)如图,在五棱锥S-ABCDE 中,平面SAE⊥平面AED,AE⊥ED,SE⊥AD.
(1)证明:SE⊥平面AED;
(2)若四边形ABCD 为矩形,且SE=AB=1,AD=3,⃗BN=2⃗NC .当直线DN 与平面SAD 所成的角最小时,
求三棱锥D-SAE 的体积.
(1)证明因为平面SAE⊥平面AED,DE⊥EA,DE⊂平面AED,
平面SAE∩平面AED=AE,
所以DE⊥平面SAE.
又SE⊂平面SAE,所以DE⊥SE.
又因为SE⊥AD,ED∩AD=D,且AD,DE⊂平面AED,
所以SE⊥平面AED.
(2)解以E 为坐标原点,分别以EA,ED,ES 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,
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设∠EAD=θ,θ∈0,π
2
,则A(3cos θ,0,0),D(0,3sin θ,0),S(0,0,1).
因为四边形ABCD 为矩形,所以直线CD 与y 轴夹角为θ,且CD=AB=1,
所以⃗DC=(sin θ,cos θ,0),⃗CN = 1
3⃗DA=(cos θ,-sin θ,0),⃗DN =⃗DC +⃗CN=(sin θ+cos θ,cos θ-sin θ,0),⃗SA
=(3cos θ,0,-1),⃗SD=(0,3sin θ,-1).
设平面SAD 的法向量为n=(x,y,z),
由{
n·⃗SA =0,
n·⃗SD =0, 得{
3 x cosθ - z =0,
3 y sinθ - z =0,
令z=3sin θcos θ,得n=(sin θ,cos θ,3sin θcos θ),
则|cos<⃗DN,n>|=|sin
2θ+sinθcosθ+co s
2θ -sinθcosθ|
√2×√1+9 sin
2θ co s
2θ
,
即|cos<⃗DN,n>|=
1
√2×√1+ 9
4 sin
22θ
≥
1
√2×√
13
4
= √26
13 .
当θ=π
4
时,等号成立,此时,直线DN 与平面SAD 所成的角取得最小值,
此时VD-SAE=VS-ADE=1
3
S△ADE·SE=1
3 × 9
4 ×1=3
4 .
