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§7.9 立体几何中的截面、交线问题
重点解读 “截面、交线”问题是高考立体几何问题中最具创新意识的题型，它渗透了一些动态的线、
面等元素，给静态的立体几何题赋予了活力.求截面、交线问题，一是与解三角形、多边形面积、周长、扇
形弧长、面积等相结合求解，二是利用空间向量的坐标运算求解.
题型一 作截面
例1 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M 是A1B1的中点，N 在棱CC1上，且CN=2NC1.作出过点
D，M，N 的平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面，写出作法.
解 方法一 如图所示，五边形DQMFN 即为所求截面.
作法如下：连接DN 并延长交D1C1的延长线于点E，
连接ME 交B1C1于点F，延长EM 交D1A1的延长线于点H，
连接DH 交AA1于点Q，连接QM，FN，
则五边形DQMFN 即为所求截面.
方法二 连接DN，过点M 作DN 的平行线交AA1于Q 点，连接DQ，过N 作DQ 的平行线交B1C1于F 点，
连接MF，
则五边形DQMFN 即为所求截面.
思维升华 作截面的几种方法
(1)直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线
的过程.
(2)延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点.
(3)平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的
平行线找到几何体与截面的交线.
跟踪训练1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G 分别为BC，CD，DD1的中点，作出过点E，F，G
的平面截正方体的截面.
解 如图，过点G 作EF 的平行线交BB1于点J，过点J 作FG 的平行线交A1B1于点I，
过点I 作EF 的平行线交A1D1于点H，易知点J，I，H 都在截面EFG 内，
且都是其所在棱的中点，从而所得截面是正六边形EFGHIJ.
题型二 截面图形的形状判断
例2 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E 是线段BB1上靠近B1的三等分点，点F 是线段D1C1上靠近
D1的三等分点，则平面AEF 截正方体ABCD-A1B1C1D1形成的截面图形为( )
A.三角形
B.四边形
C.五边形
D.六边形
答案 C
解析 如图，设AB=6，分别延长AE，A1B1交于点G，
此时B1G=3，
连接FG 交B1C1于点H，连接EH，
设平面AEF 与平面DCC1D1的交线为l，则F∈l，
因为平面ABB1A1∥平面DCC1D1，平面AEF∩平面ABB1A1=AE，平面AEF∩平面DCC1D1=l，
所以l∥AE，设l∩D1D=I，则FI∥AE，
此时△FD1I∽△ABE，故ID1=4
3 ，连接AI，
所以五边形AIFHE 为所求截面图形.
思维升华 判断几何体被一个平面所截的截面形状，关键在于弄清这个平面与几何体的面相交成线的形状
和位置.
跟踪训练2 如图，正三棱柱ABC-A'B'C'的所有棱长都相等，P 为线段BB'的中点，Q 为侧面BB'C'C 内
的一点(包括边界，异于点P)，过点A，P，Q 作正三棱柱的截面，则截面的形状不可能是( )
A.五边形
B.四边形
C.等腰三角形
D.直角三角形
答案 A
解析 对于B，当PQ 的延长线与线段B'C'(除端点外)相交于点F 时，延长PQ 交CC'的延长线于点D，
连接AD 交A'C'于点E，连接EF，如图1，
图1
此时过点A，P，Q 作正三棱柱的截面为四边形APFE(当Q 在线段B'C'(除端点外)上时，截面也为四边形)，
故截面的形状可能是B；
对于A，当PQ 的延长线与线段CC'或BC(除B 点外)相交(或点Q 在线段CC'或BC(除B 点外)上)时，截面为
三角形，
结合B 选项可知，截面为三角形或四边形，不可能为五边形，故截面的形状不可能是A；
对于C，取CC'的中点为Q，连接PQ，AQ，如图2，又P 为线段BB'的中点，
图2
所以AP=AQ，所以△APQ 为等腰三角形，故截面的形状可能是C；
对于D，取BC 的中点为Q，连接AQ，PQ，如图3，
图3
因为三棱柱ABC-A'B'C'为正三棱柱，所以AQ⊥BC，
又BB'⊥平面ABC，AQ⊂平面ABC，所以BB'⊥AQ，
又BC∩BB'=B，BC，BB'⊂平面BB'C'C，所以AQ⊥平面BB'C'C，
又PQ⊂平面BB'C'C，
所以AQ⊥PQ，所以△APQ 为直角三角形，故截面的形状可能是D.
题型三 截面图形的周长或面积
例3 (2024·呼和浩特模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M 为棱DC 的中点，N 为侧面BC1
的中心，过点M 的平面α 垂直于DN，则平面α 截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面面积为( )
A.4(√5+√2)
B.2√3
C.5√3
D.4√6
答案 D
解析 如图所示，取BC，CC1的中点E，F，分别连接NE，NF，DE，DF，AD1，D1M，AM，
在正方形ABCD 中，因为M，E 分别为DC，BC 的中点，可得△ADM∽△DCE，
所以∠DAM=∠CDE，∠AMD=∠CED，
因为∠ADM=90°，
所以∠AMD+∠CDE=∠AMD+∠DAM=90°，
所以∠DPM=90°，即AM⊥DE，
又因为E，N 分别为BC，BC1的中点，
所以NE∥CC1，
因为CC1⊥平面ABCD，AM⊂平面ABCD，
所以CC1⊥AM，所以AM⊥NE，
又因为DE∩NE=E 且DE，NE⊂平面DNE，
所以AM⊥平面DNE，
因为DN⊂平面DNE，所以AM⊥DN，
同理可证D1M⊥DN，
又因为AM∩D1M=M 且AM，D1M⊂平面AD1M，
所以DN⊥平面AD1M，
即平面α 截正方体ABCD-A1B1C1D1的截面为△AD1M，
由正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，
在Rt△ADD1中，可得AD1=√A D
2+ D D1
2=√4
2+ 4
2=4√2，
在Rt△ADM 中，可得AM=√A D
2+ D M
2=√4
2+2
2=2√5，
在Rt△DD1M 中，可得D1M=√D D1
2+ D M
2=√4
2+2
2=2√5，
所以截面的面积为S=1
2×4√2×√(2√5)
2-(2√2)
2=4√6.
思维升华 几何体的截面的相关计算，关键在于根据公理作出所求的截面，再运用解三角形的相关知识得
以解决.
跟踪训练3 如图所示，棱长为3 的正四面体形状的木块，点P 是△ABC 的重心，过点P 将木块锯开，
并使得截面平行于AD 和BC，则截面的面积为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案 B
解析 由题意可知，点P 是△ABC 的重心，过点P 作EF∥BC，
分别交AB，AC 于点E，F，作FG∥AD 交CD 于点G，
设平面EFG 与BD 交于点H，连接HG，EH，由于BC⊄平面EFG，EF⊂平面EFG，故BC∥平面EFG，
因为FG∥AD，AD⊄平面EFG，FG⊂平面EFG，所以AD∥平面EFG，
即四边形EFGH 即为所求截面，
由于BC∥平面EFG，平面EFG∩平面BCD=HG，BC⊂平面BCD，
故BC∥HG∥EF，同理FG∥EH，
故四边形EFGH 为平行四边形，
设M 为BC 的中点，连接AM，DM，
则AM⊥BC，DM⊥BC，AM，DM⊂平面ADM，AM∩DM=M，故BC⊥平面ADM，AD⊂平面ADM，故
BC⊥AD，
而EF∥BC，FG∥AD，故EF⊥FG，即平行四边形EFGH 为矩形，即所求截面是矩形，
因为点P 是△ABC 的重心，则AP=2
3AM，
故EF=2
3BC=2，AF=2
3AC，
所以FG=1
3AD=1，故矩形EFGH 的面积为EF×FG=2，即截面的面积为2.
课时精练
[分值：42 分]
一、单项选择题(每小题5 分，共20 分)
1.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，如果点E 是AA1的中点，那么过点D1，B，E 截正方体所得的截
面图形为( )
A.三角形
B.矩形
C.正方形
D.菱形
答案 D
解析 分别取BB1，CC1的中点G，F，连接A1G，BF，D1F，GF，如图，四边形D1EBF 即为过点D1，B，
E 截正方体所得的截面图形，
由题意可知A1E∥GB 且A1E=GB，
所以四边形A1EBG 为平行四边形，
所以A1G∥EB，又因为GF∥B1C1且GF=B1C1，A1D1∥B1C1且A1D1=B1C1，
所以A1D1∥GF 且A1D1=GF，
所以四边形A1GFD1为平行四边形，
所以D1F∥A1G，
所以D1F∥EB，同理ED1∥BF，
所以四边形D1EBF 为平行四边形，
又因为EB=BF，所以平行四边形D1EBF 为菱形.
2.在三棱锥P-ABC 中，AB+2PC=9，E 为线段AP 上更靠近P 的三等分点，过E 作平行于AB，PC 的平面，
则该平面截三棱锥P-ABC 所得截面的周长为( )
A.5
B.6
C.8
D.9
答案 B
解析 如图所示，在三棱锥P-ABC 中，过E 分别作EF∥AB，EH∥PC，
再分别过点H，F 作HG∥AB，FG∥PC，可得E，F，G，H 四点共面，
因为AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，所以AB∥平面EFGH，同理可证，PC∥平面EFGH，所以截面即
为平行四边形EFGH，
又由E 为线段AP 上更靠近P 的三等分点，且AB+2PC=9，所以EF=1
3AB，EH=2
3PC，
所以平行四边形EFGH 的周长为2(EF+EH)=2
3(AB+2PC)=6.
3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为1，点M 在线段BC(不包括端点)上，点N 在线段CC1上，且CN=1
3
，若平面AMN 截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为四边形，则线段BM 长的取值范围为( )
A.[
2
3 ，1)
B.[
1
3 ，2
3]
C.(0，1
3]
D.(0，2
3]
答案 D
解析 要想平面AMN 截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为四边形，则要平面AMN 与正方形BCC1B1，
ADD1A1分别交于MN，AR，
显然与正方形ABB1A1无交线，只需保证与正方形A1B1C1D1无交线即可，
因为平面BCC1B1∥平面ADD1A1，平面AMNR 与两个平面分别交于MN，AR，
由面面平行的性质可得MN∥AR，
因为点N 在线段CC1上，且CN=1
3，
由几何关系知，随着BM 的增大，AR 增大，
故当R 与D1重合时，BM 最大，
因为正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为1，所以正方体棱长为1，
连接AD1，D1N，如图所示，
由于MN∥AD1，故△ADD1∽△MCN，
故CM=CN=1
3，故BM 最长为2
3，
故BM 长的取值范围是(0，2
3].
4.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，与直线A1C 垂直的平面α 截该正方体所得的截面多边形为M，则
M 的面积的最大值为( )
A.3√3
8
B.3√3
4
C.√3
2
D.√3
答案 B
解析 连接A1B，因为BC⊥平面ABB1A1，AB1⊂平面ABB1A1，所以BC⊥AB1，且AB1⊥A1B，A1B∩BC=B，
BC，A1B⊂平面A1BC，
图① 图②
所以AB1⊥平面A1BC，A1C⊂平面A1BC，
所以AB1⊥A1C，同理B1D1⊥A1C，且AB1∩B1D1=B1，AB1，B1D1⊂平面AB1D1，
所以A1C⊥平面AB1D1，
所以平面α 为平面AB1D1或与其平行的平面，M 只能为三角形或六边形.
当M 为三角形时，其面积的最大值为√3
4 ×(√2)
2=√3
2 ，当M 为六边形时，此时的情况如图①所示，
设KD=x，则AK=1-x，KL=√2(1-x)，KE=√2x，依次可以表示出六边形的边长，如图②所示，六边形可看作
由两个等腰梯形构成，
其中LP∥KO∥EN，KO=√2，两个等腰梯形的高分别为√6
2 (1-x)，√6
2 x，
则S 六边形LKENOP=1
2 (√2x+√2)·√6
2 (1-x)+1
2 [√2(1-x)+√2]·√6
2 x
=√3
2 (-2x2+2x+1)=-√3(x - 1
2)
2
+ 3√3
4
，
当且仅当x=1
2时，六边形面积最大，即截面是正六边形时截面面积最大，最大值为3√3
4
.
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点Q 是棱DD1上的动点，则过A，Q，B1三点的截面图形可能是( )
A.等边三角形
B.矩形
C.等腰梯形
D.正方形
答案 ABC
解析 当点Q 与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图(1)；
当点Q 与点D 重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图(2)；
当点Q 不与点D，D1重合时，若Q，R 满足D1Q=D1R，则截面图形为等腰梯形AQRB1，如图(3)，不可能为
正方形.
6.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G 分别为BC，CC1，BB1的中点，则( )
A.直线A1G 与平面AEF 平行
B.V 三棱锥E - A1FG= 1
12
C.过A1C 的平面截此正方体所得的截面可能不是四边形
D.过A1C 的平面截此正方体所得的截面面积的取值范围是[
√6
2 ，√2]
答案 ABD
解析 对于A，取B1C1的中点H，分别连接GH，A1H，如图1，
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，可得A1H∥AE，
因为A1H⊄平面AEF，且AE⊂平面AEF，所以A1H∥平面AEF，
又由E，F，G，H 分别为正方形BCC1B1的边BC，CC1，BB1，B1C1的中点，可得GH∥EF，
因为GH⊄平面AEF，且EF⊂平面AEF，所以GH∥平面AEF，
又因为A1H∩GH=H，且A1H，GH⊂平面A1GH，所以平面A1GH∥平面AEF，
因为A1G⊂平面A1GH，所以A1G∥平面AEF，所以A 正确；
对于B，由E，F，G 分别为正方形BCC1B1的边BC，CC1，BB1的中点，可得S△EFG=1
4 S正方形BC C1B1=1
4 ，在
正方体ABCD-A1B1C1D1中，可得A1B1⊥平面BCC1B1，
即A1到平面BCC1B1的距离为A1B1=1，
又由V 三棱锥E - A1 FG=V 三棱锥A1- EFG=1
3S△EFG·A1B1=1
3×1
4 ×1= 1
12，所以B 正确；
对于C，连接A1D，B1C，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，可得A1B1∥CD，且B1C∥A1D，所以四边形A1B1CD
为平行四边形，
其中A1C⊂平面A1B1CD，所以过A1C 的平面截此正方体所得的截面可能是四边形，
所以C 错误；
对于D，如图2 所示，当截面为矩形ACC1A1时，此时点C1到A1C 的距离最远，
所以截面的面积最大，最大值为1×√2=√2；
分别取C1D1，AB 的中点I，J，当截面为菱形A1JCI 时，根据正方体的对称性，可得点I 到A1C 的距离最近，
截面的面积最小，
因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，可得A1C=√3，IJ=√2，
所以菱形的面积为S=1
2×√3×√2=√6
2 ，
所以过A1C 的平面截此正方体所得的截面面积的取值范围是[
√6
2 ，√2]，所以D 正确.
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
7.如图，四棱锥S-ABCD 的所有棱长都等于2，E 为线段SA 的中点，过C，D，E 三点的平面与SB 交于点
F，则四边形DEFC 的周长为 .
答案 3+2√3
解析 由题意知，四边形ABCD 为菱形，
∴CD∥AB，
∵CD⊄平面SAB，AB⊂平面SAB，
∴CD∥平面SAB，
∵CD⊂平面CDE，平面CDE∩平面SAB=EF，∴EF∥CD，则EF∥AB，
∵E 为SA 的中点，则F 为SB 的中点，
∴EF=1
2AB=1，
∵△SAD 是边长为2 的等边三角形，则DE⊥SA，
且DE=2sin 60°=√3，同理可得CF=√3，
因此四边形DEFC 的周长为3+2√3.
8.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点K 为棱A1B1的中点，过A，C，K 三点作正方体的截面，
则截面的面积为 .
答案 9
8
解析 如图1，取B1C1的中点M，连接KM，MC，
易证四边形KMCA 为等腰梯形，上底KM=√2
2 ，下底AC=√2，腰长AK=MC=√5
2 ，过点K 作KH⊥AC，如
图2，则其高为KH=3√2
4
，所以其面积为1
2×(
√2
2 +√2)×3√2
4 =9
8.
