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第3 讲 专题强化：碰撞模型拓展
题型一 滑块—弹簧模型
1．模型图示(如图所示)
2．模型特点
(1)动量守恒：两个物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为0，则系
统动量守恒。
(2)机械能守恒：系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。
(3)弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相同，弹性势能最大，系统动能通常最小(相
当于完全非弹性碰撞，两物体减少的动能转化为弹簧的弹性势能)。
(4)弹簧恢复原长时，弹性势能为0，系统动能最大(相当于刚完成弹性碰撞)。
【典例1】 （2026·河南新乡·模拟预测）如图甲所示，物块A 与物块B 之间通过一根轻质
弹簧栓接，静置在光滑的水平地面上，物块B 与竖直墙面接触，初始时弹簧处于压缩状态并
被锁定，t =0时解除锁定。规定向右为正方向，物块A 在一段时间内运动的v −t图像如图乙
所示，已知物块A 的质量为m，则（ ）
A．物块B 的质量为2m
B．t2时刻弹簧处于原长
C．t1∼t3时间内，弹簧弹性势能的最大值为1
6 m v0
2
D．t1∼t3
时间内，物块A 运动的位移大小为v0(t3−t1)
4
【典例2】 （2026·福建南平·二模）（多选）如图（a），质量分别为mA、mB的两个小球
A、B 拴接在一根轻弹簧的两端，并静止在光滑的水平地面上。给小球A 一个水平向右的初
速度v0
压缩弹簧，此后小球A、B 的速度与冲量大小的关系图像如图（b）所示，图中v0
、I 0
已知，则（ ）
A．mA>mB
B．1
mA
+ 1
mB
= v0
I 0
C．从开始运动到A、B 共速时B 球的动能变化量为v0 I 0
D．A、B 共速时弹簧的弹性势能最大，其最大值为1
2 v0 I 0
题型二 滑块—斜面(曲面)模型
1．模型图示(如图所示)
2．模型特点
(1)上升到最大高度：滑块与斜(曲)面具有共同水平速度v 共，此时滑块的竖直速度vy＝
0。系统水平方向动量守恒，有mv0＝(M＋m)v 共；系统机械能守恒，有mv＝(M＋m)v＋
mgh，其中h 为滑块上升的最大高度，不一定等于轨道的高度(相当于完全非弹性碰撞，系统
减少的动能转化为滑块的重力势能)。
(2)返回最低点：滑块与斜(曲)面分离点。系统水平方向动量守恒，有mv0＝mv1＋Mv2；
系统机械能守恒，有mv＝mv＋Mv(相当于弹性碰撞)。
【典例3】 （2026·安徽亳州·模拟预测）（多选）质量为mA =3m的物块A 以一定速度v0在
光滑的水平面运动，在其右侧有一质量为mB=m的物块B 其曲面为光滑1
4
圆弧，半径为R，
最低点与水平面相切。A 恰好滑到B 的圆弧最高点，重力加速度为g。v0未知。则下列说法
正确的是（ ）
A．A 和B 动量守恒
B．A 的初速度v0=2❑√2 gR
C．B 的最大速度为3 ❑√2 gR
D．若A 的初速度增大为2v0，A 从B 最高点飞出再落回过程，B 的位移为12❑√3 R
【典例4】 （2025·辽宁沈阳·三模）（多选）如图甲所示，曲面为四分之一圆弧、质量为
M 的滑块静止在光滑水平地面上，一光滑小球以某一速度水平冲上滑块的圆弧面，且没有
从滑块上端冲出去，若测得在水平方向上小球与滑块的速度大小分别为v1、v2，作出图像如
图乙所示，重力加速度为g=10 m/s
2，不考虑任何阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．小球的质量为2M
B．小球运动到最高点时的速度为2
3 m/s
C．小球能够上升的最大高度为1
30 m
D．小球在与圆弧滑块分离后相对地面向右做平抛运动
题型三 滑块—木板模型
1．模型图示(如图所示)
2．模型特点
(1)系统的动量守恒，但机械能不守恒，摩擦力与两者相对位移的乘积等于系统减少的
机械能。
(2)若滑块未从滑板上滑下，当两者速度相同时，滑板速度最大，相对位移最大。
3．求解方法
(1)求速度：根据动量守恒定律求解，研究对象为一个系统。
(2)求时间：根据动量定理求解，研究对象为一个物体。
(3)求系统产生的内能或相对位移：根据能量守恒定律Q＝FfΔx 或Q＝E 初－E 末，研究对
象为一个系统。
【典例5】 （2026·安徽合肥·二模）（多选）如图甲所示，光滑的水平地面上静置一长木
板，木板的左端有一个可视为质点的滑块。现给滑块一水平向右的初速度v0，此后滑块和木
板的动能随各自位移变化的图像如图乙所示，最终滑块恰停在木板的右端。下列说法正确的
是（ ）
A．滑块与木板的质量之比为2 3∶
B．木板的长度为14 m
C．滑块与木板间的滑动摩擦力大小为3 N
D．滑块的速度减为1
2 v0时，木板的速度为1
3 v0
【典例6】 （2026·山东淄博·二模）（多选）如图甲，O 为光滑绝缘水平面上的一点，以
O 为原点、水平向右为正方向建立x 轴。在0≤x ≤d的区域内存在匀强电场和匀强磁场，电
场方向竖直向下，磁场方向垂直纸面向里。质量为m、长为d 的绝缘板静止在光滑水平面上，
其左端位于O 点。一质量为m、带电量为−q的小物块以大小为2v0的初速度从左端滑上绝
缘板，物块相对地面运动的速度v 随x 变化的关系如图乙所示。已知物块与板间的动摩擦因
数为μ，重力加速度大小为g，物块可视为质点且运动过程中电荷量保持不变，则（ ）
A．物块从O 点运动到x =d位置的过程中，物块做匀减速直线运动
B．物块从O 点运动到x =d位置的过程中，物块和板组成的系统产生的热量为3m v0
2
4
C．匀强电场的电场强度大小为mg
q
D．匀强磁场的磁感应强度大小为mv0
2 μqd
题型四 子弹打木块模型
1．模型图示(如图所示)
2．模型特点
(1)子弹水平打进木块的过程中，系统的动量守恒。
(2)系统的机械能有损失。
3．两种情境
(1)子弹嵌入木块中，两者速度相等，机械能损失最多(完全非弹性碰撞)
动量守恒：mv0＝(m＋M)v，
能量守恒：Q＝Ff·s＝mv－(M＋m)v2。
(2)子弹穿透木块
动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2，
能量守恒：Q＝Ff·d＝mv－mv＋Mv。
【典例7】 （2026·河北保定·一模）（多选）如图所示，质量为2kg 的小车A 置于光滑水
平地面上，其右侧是一半径为1m 的光滑圆弧轨道，圆弧轨道对应圆心角为60°，小车水平
部分粗糙。质量为0.99kg 的滑块B 静止于小车的左端，现被水平飞来的质量为0.01kg、速度
为700m/s 的子弹C 击中，子弹立即停留在滑块B 中，之后B 在小车上滑动，与粗糙部分动
摩擦因数为0.5，且从圆弧轨道的最高点离开小车，B 上升的最高点距小车顶端的高度为
0.15m。滑块B 可视为质点，不计空气阻力，g 取10 m/s
2，则下列说法正确的是（ ）
A．子弹C 刚停留在滑块B 中时，滑块B 的速度大小为7m/s
B．滑块B 离开小车瞬间的速度大小为7
3 m /s
C．小车粗糙水平面的长度为1.9m
D．滑块B 离开小车后再下落到与小车顶端等高时，距离顶端
❑√3
5 m
【典例8】 （2026·福建厦门·模拟预测）如图所示，光滑水平面上放置木板A，木板A的上
表面光滑，其左端放置一可视为质点的物块C，木板A左侧一定距离处放置带有光滑轻质定
滑轮的物块B。一根轻质弹性绳绕过定滑轮，两端分别与木板A和物块C相连，且滑轮两侧的
弹性绳均保持水平，初始时系统处于静止状态，弹性绳处于原长。一质量为m的子弹以初速
度v0水平向右射入C并留在其中（作用时间极短）。已知木板A的质量为2m，物块B的质量
为2m，物块C的质量为m，在研究过程中A、B未发生碰撞，且C未从A上滑落，弹性绳的形
变始终在弹性限度内。求：
(1)子弹射入C的过程中产生的热量；
(2)当A的速度大小为vA时，B的速度大小；
(3)弹性绳伸长到最长时的弹性势能；
(4)弹性绳刚好恢复原长时B的速度。
1.
（2026·山西晋中·三模）（多选）如图所示，机械加工厂中将做好的质量为m 的球形工件在
高为H 的左侧平台边缘处静止释放，工件沿光滑轨道滑入质量为3m 的半圆形圆槽。圆槽可
自由移动，圆槽最低点与地面高度差不计。圆槽与右侧平台接触时，小球刚好到达圆槽右侧
最高点且相对圆槽速度为零被右侧平台上的人接住，右侧平台高度与圆槽圆心O 点等高，
不计一切摩擦和人的高度，小球可看作质点，重力加速度为g，则（ ）
A．小球到达右侧平台被接住时速度大小为
❑√gH
4
B．小球到达右侧平台被接住时速度大小为
❑√2 gH
4
C．右侧平台的高度为3
5 H
D．右侧平台的高度为3
4 H
2.
（2026·江西宜春·一模）如图，一质量为M =1kg的滑块静置在水平面上，滑块的曲面是半
径为R =0.4 m的四分之一圆弧，圆弧最低点切线沿水平方向。一质量为m=2kg小球以水平
向右的初速度v0=6 m /s从圆弧最低点冲上滑块开始计时，假设经过t =0.1s小球从圆弧最
高点冲出滑块，不计一切摩擦，重力加速度为g 取10 m /s
2。则小球从最低点冲上滑块到刚
落回滑块的过程中，滑块的位移是（ ）
A．1.63 m
B．1.73 m
C．1.83 m
D．1.93 m
3.
（2026·新疆乌鲁木齐·二模）（多选）如图所示，质量为2m 的1
4
光滑圆弧轨道静止在光滑
水平面上，轨道半径为R，质量为m 的小球以❑√6 gR的速度从左端滑上轨道，冲出轨道后能
再次落回轨道。已知重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A．小球冲出轨道后做竖直上抛运动
B．小球能上升的最大高度为2R
C．小球冲上轨道过程中，轨道的动量变化量大小为2m ❑√6 gR
3
D．轨道最终做匀速直线运动的速度为2❑√6 gR
3
4.
（2026·湖南·模拟预测）如图所示，一质量为M的正方体装置固定在光滑水平面，其竖直面
内有一半径为R的光滑环形管道，R远大于管道的横截面直径，管道内有一质量为m小球，
直径略小于管道横截面直径。M =2m，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．小球在最高点A受轻微扰动无初速度下滑，小球到达管道最低点B时装置对地面的
压力大小6mg
B．小球在最高点A受轻微扰动无初速度下滑，运动到与水平方向夹角为37°的C点时，
小球对装置压力大小为3.6mg
C．若装置解除固定，小球仍从最高点A无初速度下滑，装置偏离原位置的最大距离2
3 R
D．若装置解除固定，小球从最低点B以水平向右的速度v0= ❑√7 gR开始运动，小球到达
最高点时刚好与装置无弹力
5.
（2026·广东湛江·二模）如图（俯视图），水平面上固定着两块平行且内壁光滑的钢板A、
B，质量为m 的光滑圆管abcd 静止在水平面上，恰好夹在两钢板间，直径ac 平行钢板、直
径bd 垂直钢板，圆管可以左右自由滑动，圆管中有一质量为m 的光滑小球（球直径略小于
管径），小球静止在圆管的最右端a 处。某时刻小球获得一垂直指向钢板A 的初速度v0，下
列说法正确的是（ ）
A．小球从a 端运动到b 端的过程，圆管对小球的冲量为0
B．小球从a 端运动到c 端的过程，圆管对小球的冲量为0
C．小球到达b 端时，小球和圆管的速度大小均为v0
2
D．小球到d 端时，小球和圆管的速度大小均为
❑√2
2 v0
6.
（2026·北京海淀·二模）光滑水平面上，用轻质橡皮条将两物块甲和乙相连，橡皮条处于松
弛状态。物块甲受到一水平向左的瞬时冲量I 1，同时物块乙受到一水平向右的瞬时冲量I 2（
I 1和I 2沿两物块连线方向）。从橡皮条刚达到原长时开始计时，此后t0时间内，两物块运动
的速度v随时间t变化关系如图所示。橡皮条始终处于弹性限度内。下列说法正确的是（
）
A．物块甲的质量大于物块乙的质量
B．瞬时冲量I 1的大小等于瞬时冲量I 2的大小
C．0~t0内，橡皮条对物块甲做负功、对物块乙做正功
D．0~t0内，物块甲的动能变化量等于物块乙的动能变化量
7.
（2026·河南·模拟预测）（多选）如图所示，物块A、B用轻弹簧连接并放置于水平传送带上，
传送带以恒定速率v顺时针转动。t =0时，A的速度大小为2v，方向水平向右，B的速度为
0，弹簧处于原长。t =t1时，A 第一次与传送带共速，弹簧弹性势能为Ep。已知A、B可视为
质点，质量均为m，与传送带的动摩擦因数均为μ；A与传送带相对滑动时会留下痕迹，重
力加速度大小取g，A、B始终在传送带上，弹簧始终在弹性限度内，则（ ）
A．0∼t1过程，A、B 的位移相等
B．在t =t1时，A、B 的速度不相同
C．在t =t1时，弹簧的压缩量为1
μmg (m v
2−Ep)
D．0∼t1过程，A在传送带上留下的划痕长度大于1
2 v t1
8.
（2026·江苏徐州·模拟预测）如图所示，在研究钢板防御穿甲能力的实验中，一块钢板被锁
定在光滑的水平面上，子弹以水平方向的初速度射入钢板，恰好能穿过．现解除锁定，让子
弹以相同的初速度射向钢板，假设子弹穿入钢板过程中受到的阻力恒定，子弹射入钢板过程
中（ ）
A．子弹对钢板的水平冲量比锁定时的小
B．子弹对钢板的水平冲量和锁定时的一样大
C．钢板对子弹做的功比锁定时的多
D．钢板对子弹做的功和锁定时的一样多
9.
（2026·内蒙古赤峰·一模）（多选）滑板运动现在已经成为风靡全球的青少年时尚运动，代
表着自由、创意与挑战极限的精神。如图甲，一名滑手以水平速度v0从左侧滑上静止的滑板，
一段时间后速度变为v1，滑手的v −t图像如图乙所示。已知滑板质量为m，重力加速度为
g，忽略滑板与地面间的摩擦，利用以上信息可求出的物理量是（ ）
A．滑手的质量
B．滑手鞋底与滑板的相对位移
C．滑手鞋底与滑板的动摩擦因数
D．滑手鞋底与滑板因摩擦而产生的热量
10. （2026·陕西延安·二模）足够大的光滑水平面上，一根不可伸长的细绳一端连接着质量为
m1=1.0kg的物块A，另一端连接质量为m2=1.0kg的长木板B，绳子开始是松弛的。质量
为m3=1.0kg的物块C 放在长木板B 的右端，C 与长木板B 间的滑动摩擦力的大小等于最大
静摩擦力大小。现在给物块C 水平向左的瞬时初速度v0=2.0 m/s，物块C 立即在长木板B 上
运动。已知绳子绷紧前，B、C 已经达到共同速度；绳子绷紧后，A、B 总是具有相同的速度；
物块C 始终未从长木板B 上滑落。下列说法正确的是（ ）
A．绳子绷紧前，B、C 的共同速度大小为2.0m/s
B．绳子刚绷紧后的瞬间，A、B 的速度大小均为0.5m/s
C．绳子断开后的瞬间，A、B 的速度大小均为1.0m/s
D．最终A、B、C 三者将以大小为5m/s 的共同速度一直运动下去
11. （2026·安徽铜陵·一模）如图，木板m1足够长，静止在光滑水平地面上，物块m3静止在木
板右侧，m3左端固定一劲度系数为k 的轻弹簧，弹簧处于自然状态。滑块m2以水平向右的
速度v0滑上木板m1，m2与m1速度相等时m1刚好与弹簧接触，此后再经过时间t0弹簧压缩量
最大，并且m2与m1恰好能始终保持相对静止。已知m1、m2和m3的质量均为m，弹簧始终
处在弹性限度内，弹性势能Ep与形变量x 的关系为Ep= 1
2 k x
2，最大静摩擦力等于滑动摩擦
力，重力加速度为g，下列说法不正确的是（ ）
A．木板刚接触弹簧时速度v1= 1
2 v0
B．弹簧的最大压缩量xm = v0
❑√
2m
3k
C．弹簧压缩量最大时，m3的位移大小为x3= v0t0
3 −2v0
3
❑√
m
6 k
D．m2与m1间的动摩擦因数μ= v0
2g
❑√
k
6m
12. （2026·湖北孝感·二模）如图所示，质量为m1=1kg的木板放在水平地面上处于静止状态，
木板左、右两端固定竖直挡板M、N。质量为m2=1kg的木块开始时位于木板正中间的标记
点A 处，木块可视为质点。当木板被锁定时，木块以v0=3 m /s的初速度向右运动并与挡板
N、M 各碰撞一次，最后恰好回到标记点A 处。假设每次碰撞时间极短且不损失能量，木块
与木板间的动摩擦因数为μ=0.6，重力加速度大小g 取10 m /s
2。
(1)求木板的长度l；
(2)解除木板锁定，若地面光滑，要使木块还能与挡板N、M 各碰撞一次后恰好回到标记点A
处，求木块的初速度大小v1；
(3)解除木板锁定，若木块光滑，木板与地面间的动摩擦因数为μ1=0.5，当木块以
v2=5 m /s的初速度向右运动，求最终木块与挡板N 的距离Δ x。
13. （2026·广东广州·三模）如图，AB 是倾角为30°的斜轨道，BC 是以恒定速率v0顺时针转动
的水平传送带，紧靠C 端有半径为R、质量为M 置于光滑水平面上的可动半圆弧轨道，水
平面和传送带BC 处于同一高度，各连接处平滑过渡。现有质量为m 的物块，从轨道AB 上
与B 相距L 的P 点由静止下滑，经传送带末端C 点滑入圆弧轨道。物块与传送带间的动摩
擦因数为μ，其余接触面均光滑。已知R=0.36m，L=1.6m，v0=5m/s，m=0.2kg，M=1.8kg，
μ=0.25，重力加速度取g=10m/s2。不计空气阻力，物块视为质点，传送带足够长。求：
(1)物块滑到B 点处的速度大小；
(2)物块从B 到C 点过程因摩擦产生的热量；
(3)物块到达圆弧轨道最高点时对轨道的压力。
14. （2026·江西宜春·二模）一光滑水平面上静止着由两个半径为R=0.5m 的 1
4
光滑圆弧组合而
成的轨道P，轨道末端与水平面相切，轨道质量为M1=4kg，P 的左侧有一质量为M2=4kg、倾
角为θ =37°的光滑斜面，斜面处于静止且末端与水平面平滑接触，斜面总长度L=5.85m。
连接轻弹簧质量为mA=2kg 的A 物块锁定在斜面上C 处，C 距离斜面顶端D 的距离为
s=0.53m，轻弹簧处于原长且末端刚好处于斜面底端，弹簧劲度系数k=90N/m，一质量为
mB=2kg 的滑块B 从P 的右侧以初速度v0=4m/s 滑上P，能通过P 的最高点，之后从P 的另一
侧沿轨道滑到水平面，一段时间后冲上斜面，当弹簧被压缩到最短时物块B 被锁定在斜面上，
同时物块A 解除锁定，当弹簧恢复原长时，A 与弹簧断开连接，最终A 从斜面顶端飞出。忽
略空气阻力的影响，不考虑物块的大小，圆弧槽和斜面均不固定，g=10 m /s
2，弹簧弹性
势能表达式EP= 1
2 k x
2，x 为形变量。求：
(1)B 重新滑到P 底端时，B 与P 的速度大小；
(2)弹簧被压缩至最短时的压缩量x；
(3)物块 A 落地时，距离斜面左端的水平距离。
15. （2026·山东泰安·模拟预测）如图所示，在光滑的水平面上有A、B、C三轨道，轨道A为上
表面光滑的“L”形平台，A的上方有一与其等长的轻质弹簧，弹簧左端固定在A左侧挡板上，
右端自然伸长；轨道B为上表面粗糙、质量M B=1.8kg、长L=4.0m的长木板，轨道A、B
上表面平滑相接；轨道C为半径R =1.2m、质量M C=3.6kg的竖直光滑半圆轨道，半圆轨道
最低点在圆心O点正下方，且与轨道B上表面平齐。锁定轨道A、C，用质量m=1.8kg的小
物块D（可视为质点）将弹簧压缩至P点，此时弹簧的弹性势能为72.9J，然后由静止释放
小物块D，D 与长木板B 上表面间的动摩擦因数μ=0．45，B与C 发生碰撞时，D 恰好运动
到B 的最右端。已知重力加速度g=10 m/s
2。
(1)求小物块D 沿轨道C 上升的高度H；
(2)在（1）中，若轨道B与C 刚要相碰时，解除对轨道C 的锁定，同时调整轨道C 的半径R，
使B、C 发生碰撞（碰撞性质不确定，且B、C 不会粘连）后，小物块冲上轨道C 并恰好能沿
轨道到达与圆心O等高处，求轨道C 的半径R的最大值。
