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变力做功 求变力做功的常用方法 1.“微元法”求变力做功 将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力 做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做功的代数和，此法适用于求解大小不变、方向改变的变 力做功。如图所示，质量为m 的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功W 克f＝ Ff·Δx1+Ff·Δx2+Ff·Δx3+…＝Ff(Δx1+Δx2+Δx3+…)＝Ff·2πR。 例1 (多选)(2024·山东泰安市检测)如图所示，摆球质量为m，悬线长度为L，把悬线拉到水平位置后 静止释放摆球。设在摆球从A 点运动到B 点的过程中空气阻力的大小Ff不变，重力加速度为g，则下 列说法正确的是( ) A.重力做功为mgL B.悬线的拉力做功为0 C.空气阻力做功为－mgL D.空气阻力做功为－1 2FfπL 2.“平均力”求变力做功 当力的方向不变而大小随位移线性变化时，可先求出力在这段位移中的平均值F ＝F1+ F2 2 ，再由W＝F lcos α 计算，如弹簧弹力做功。 例2 野山鼠擅长打洞，假设野山鼠打洞时受到的阻力Ff与洞的深度L 成正比，即Ff＝kL(k 为比例常 数)，则野山鼠打到洞深d 的过程中，需要克服阻力做的功为( ) A.kd2 B.k d 2 2 C.2kd2 D.k 2d 2 2 3.“图像法”求变力做功 在F－x 图像中，图线与x 轴所围“面积”的代数和就表示力F 在这段位移内所做的功，且位于x 轴上方的 “面积”为正功，位于x 轴下方的“面积”为负功，但此方法只适用于便于求图线与x 轴所围面积的情况 (如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)。如图所示，一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为 x1，F－x 图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝F0+ F1 2 x1。 例3 一物体所受的力F 随位移x 变化的图像如图所示，在这一过程中，力F 对物体做的功为( ) A.3 J B.6 J C.7 J D.8 J 4.“转化法”求变力做功 通过转换研究对象，可将变力做功转化为恒力做功，用W＝Flcos α 求解，如轻绳通过光滑轻质定滑轮拉物 体运动过程中拉力做功问题。如图所示，恒力F 把放在光滑水平面上的物体从A 拉到B，因轻绳对物体做 的功等于拉力F 对轻绳做的功，故轻绳对物体做功W＝F( h sin α － h sin β )。 例4 如图所示，一辆拖车通过光滑轻质定滑轮将一重为G 的物体匀速提升，当拖车从A 点水平移动 到B 点时，位移为s，绳子由竖直变为与竖直方向成θ 角，不计空气阻力，求此过程中拖车对绳子所做 的功。 其他求变力做功的方法 (1)当发动机功率一定，求发动机做功用W＝Pt。 (2)利用动能定理求变力做功WF+W 其他力＝ΔEk。 1.(2025·山东烟台市龙口市段考)水平桌面上，长6 m 的轻绳一端固定于O 点，如图所示(俯视图)，另一 端系一质量m＝2.0 kg 的小球。现对小球施加一个沿桌面大小不变的力F＝10 N，F 拉着小球从M 点运 动到N 点，F 的方向始终与小球的运动方向成37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数μ＝0.2，不计空 气阻力，g 取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则下列说法正确的是( ) A.拉力F 对小球做的功为16π J B.拉力F 对小球做的功为8π J C.小球克服摩擦力做的功为16π J D.小球克服摩擦力做的功为4π J 2.如图所示，n 个完全相同、棱长足够小且互不粘连的小方块依次排列，总长度为l，总质量为M，它 们一起以速度v 在光滑水平面上滑动，某时刻开始滑上粗糙水平面。小方块与粗糙水平面之间的动摩 擦因数为μ，重力加速度为g，若小方块恰能完全进入粗糙水平面，则摩擦力对所有小方块所做功的大 小为( ) A.1 4 μMgl B.1 3μMgl C.1 2μMgl D.μMgl 3.(多选)(2024·山东泰安市检测)如图甲所示，质量为4 kg 的物体在水平推力作用下由静止开始运动，推 力大小F 随位移大小x 变化的情况如图乙所示，物体与地面间的动摩擦因数μ=0.5，g 取10 m/s2，则( ) A.物体先做加速运动，推力减小到零后才开始做减速运动 B.物体在运动过程中的加速度先变小后不变 C.运动过程中推力做的功为200 J D.物体在运动过程中的最大速度为8 m/s 答案精析 例1 ABD [根据W＝Flcos α，摆球下摆过程中，重力做功为mgL，A 正确；悬线的拉力始终与速度方向 垂直，故做功为0，B 正确；空气阻力的大小不变，方向始终与速度方向相反，使用微元法得空气阻力做 功为－Ff·1 2πL＝－1 2FfπL，C 错误，D 正确。] 例2 B [由于打洞时受到的阻力Ff与洞的深度L 成正比，则野山鼠打到洞深d 的过程中，需要克服阻力 做的功为W＝Ff·d＝kd 2 d＝k d 2 2 ，故选B。] 例3 B [力F 对物体做的功等于F－x 图线与横轴所围面积的代数和，0~4 s 这段时间内力F 对物体做的 功为W1＝1 2×(3+4)×2 J＝7 J，4~5 s 这段时间内力F 对物体做的功为W2＝－1 2×(5－4)×2 J＝－1 J，全过 程中，力F 对物体做的功为W＝W1+W2＝7 J－1 J＝6 J，故选B。] 例4 1-cosθ sinθ Gs 解析 拖车对绳子做的功等于绳子对物体做的功，以物体为研究对象，由于整个过程中物体匀速运动，所 以绳子的拉力大小FT＝G。物体上升的距离等于滑轮右侧后来的绳长OB 减去开始时的绳长OA，即l＝ s sinθ － s tanθ ，所以绳子对物体做的功W＝FTl＝1-cosθ sinθ Gs，则拖车对绳子做的功等于1-cosθ sinθ Gs。 跟踪训练 1.A [将圆弧分成很多小段l1、l2…ln，拉力F 在每小段上做的功为W1、W2…Wn，因拉力F 大小不变，方向 始终与小球的运动方向成37°角， 所以W1＝Fl1cos 37°， W2＝Fl2cos 37°，… Wn＝Flncos 37° 故WF＝W1+W2+…+Wn ＝Fcos 37°(l1+l2+…+ln) ＝Fcos 37°·π R 3 ＝10×0.8×π 3 ×6 J ＝16π J，故A 正确，B 错误；同理可得小球克服摩擦力做的功W 克f＝μmg·π R 3 ＝8π J，故C、D 错误。] 2.C [小方块依次进入粗糙区域，摩擦力随位移线性增大，设小方块全部进入粗糙区域时的摩擦力为Ff， 则Ff=μMg，整个过程中的平均摩擦力Ff=0+ Ff 2 =1 2μMg，摩擦力对所有小方块做的功W=-Ff·l=-1 2μMgl， 所以做功的大小为1 2μMgl。故选C。] 3.CD [滑动摩擦力大小为Ff=μmg=20 N，一开始推力大于滑动摩擦力，随着推力的减小，物体先做加速度 逐渐减小的加速运动；当推力减小到20 N 时，加速度为零，物体的速度达到最大；之后推力小于滑动摩擦 力，物体做加速度逐渐增大的减速运动，当推力减小为零后，物体做匀减速运动，故A、B 错误；根据F-x 图像中图线与横轴所围的面积表示推力做的功，可得运动过程中推力做的功为W=1 2×100×4 J=200 J，故C 正确；当推力减小到20 N 时，加速度为零，物体的速度达到最大，根据F-x 图像可知此时物体的位移为 x=3.2 m，根据动能定理可得WF-Ffx=1 2mvm 2-0，其中WF=1 2×(100+20)×3.2 J=192 J，解得物体在运动过程中 的最大速度为vm=8 m/s，故D 正确。]
