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高考数学 基础知识篇
（核心基础知识背记手册）
目录
基础知识背记01 集合.......................................................................................................................2
基础知识背记02 常用逻辑用语.......................................................................................................2
基础知识背记03 复数.......................................................................................................................3
基础知识背记04 平面向量...............................................................................................................3
基础知识背记05 基本不等式...........................................................................................................4
基础知识背记06 三角函数与诱导公式、三角恒等变换...............................................................5
基础知识背记07 三角函数的图象及性质.......................................................................................6
基础知识背记08 解三角形...............................................................................................................8
基础知识背记09 函数的基本性质...................................................................................................9
基础知识背记10 指数对数幂函数.................................................................................................11
基础知识背记11 函数的零点与方程的根.....................................................................................14
基础知识背记12 导数.....................................................................................................................14
基础知识背记13 数列.....................................................................................................................15
基础知识背记14 立体几何.............................................................................................................16
基础知识背记15 直线与圆.............................................................................................................22
基础知识背记16 圆锥曲线.............................................................................................................26
基础知识背记17 排列组合与二项式定理.....................................................................................30
基础知识背记18 概率统计.............................................................................................................31
基础知识背记01 集合
1. 集合有n 个元素，子集有2n 个，真子集有2n−1个，非空真子集个数为
个.
2. A∩B={x|x∈A
x
且∈B}
，
A∪B={x|x∈A
x
或∈B}
1
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3. CU A={x|x∈U
x
且∉A}
基础知识背记02 常用逻辑用语
1. 充分条件与必要条件
对于若p 则q 类型中，p 为条件，q 为结论
若p⇒q 充分性成立，若q⇒p 必要性成立
若p⇒q ，q⇒p ，则p 是q 的充分必要条件（简称：充要条件）
若p⇒q ，q⇒p ，则p 是q 的充分非必要条件（充分不必要条件）
若p⇒q ，q⇒p ，则p 是q 的必要非充分条件（必要不充分条件）
若p⇒q ，q⇒p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件
2. 全称量词命题与存在量词命题
全称量词：∀（任意，所有，全部），含有全称量词∀的命题，叫做全称量词命题
存在量词：∃：（存在一个，存在两个，存在一些），含有存在量词∃的命题，叫做存在量词命题
3. 全称量词命题和存在量词命题的否定
全称量词命题的否定
全称量词命题：∀x∈M ，p(x)
，否定为：∃x∈M ，¬p(x)
存在量词命题的否定
存在量词命题：∃x∈M ，p(x)
，否定为：∀x∈M ，¬p(x)
基础知识背记03 复数
1. 虚数单位：i ，规定i2=−1
2. 虚数单位的周期T =4
3. 复数的代数形式：Z=
，
叫实部，
叫虚部
4. 复数的分类
2
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z=a+bi{
实数：b=0
0：{
a=0
b=0
虚数：b≠0
纯虚数：{
b≠0
a=0
5. 复数相等：Z1=a+bi ,Z2=c+di ,若Z1=Z2, 则a=c ,b=d
6. 共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；
，
推广：z⋅z=(a+bi )(a−bi )=a2−(bi )2=a2+b2
结论：z⋅z=a2+b2
7. 复数的几何意义：复数
复平面内的点
8. 复数的模：Z=a+bi (a,b∈R)， 则
；
基础知识背记04 平面向量
1. 向量的运算
（1）两点间的向量坐标公式：
A(x1, y1)，B(x2, y2)，⃗AB = 终点坐标−始点坐标=(x2−x1, y2−y1)
（2）向量的加减法⃗
a=(x1, y1)，⃗b=(x2, y2)∴⃗a+⃗b=(x1+x2，y1+ y2)，⃗a−⃗b=(x1−x2，y1−y2)
（3）向量的数乘运算⃗
a=(x, y)，则：λ⃗a=λ(x, y)=(λx, λy)
（4）向量的模⃗
a=(x, y)，则⃗a 的模|⃗a|=√x2+ y2
（5）相反向量
已知⃗a=(x, y)，则−⃗a=(−x,−y)；已知
（6）单位向量⃗
a=(x , y)
同向单位向量为(
x
√x2+ y2 , y
√x2+ y2)
反向单位向量为(
−x
√x2+ y2 ,−y
√x2+ y2)
（7）向量的数量积⃗
a⋅⃗b=|⃗a|⋅|⃗b|⋅cosθ,其中θ 为⃗a与⃗b的夹角，记作⟨⃗a,⃗b⟩,
θ
且∈[0,π]
3
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a=(x1, y1),⃗b=(x2, y2)，∴⃗a⋅⃗b=x1 x2+ y1 y2
（8）向量的夹角
cosθ=⃗a⋅⃗b
|⃗a|⋅|⃗b|
=
x1 x2+ y1 y2
√x1
2+ y1
2⋅√x2
2+ y2
2
（9）向量的投影⃗
a在⃗b上的投影为|⃗a|⋅cosθ=|⃗a|⋅⃗a⋅⃗b
|⃗a|⋅|⃗b|
=⃗a⋅⃗b
|⃗b|⃗
b在⃗a上的投影为|⃗b|⋅cosθ=|⃗b|⋅⃗a⋅⃗b
|⃗a|⋅|⃗b|
=⃗a⋅⃗b
|⃗a|
（10）向量的平行关系⃗
a//⃗b⇔⃗a=λ⃗b⇔x1 y2=x2 y1
（11）向量的垂直关系⃗
a⊥⃗b⇔⃗a⋅⃗b=0⇔x1 x2+ y1 y2=0
（12）向量模的运算⃗
a
2=|⃗a|
2
基础知识背记05 基本不等式
1. a∈R+ ，b∈R+ ，
a+b
2 ≥√ab ⇒a+b≥2√ab （积定和最小）
2. a∈R+ ，b∈R+ ，
ab≤(a+b)2
4
（和定积最大）
3. a∈R+ ，b∈R+ ，a2+b2≥2ab
4. 推广公式：
2
1
a + 1
b
≤√ab≤a+b
2 ≤√
a2+b2
2
基础知识背记06 三角函数与诱导公式、三角恒等变换
1. 特殊角的三角函数值
4
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2. 同角三角函数的基本关系
平方关系：sin2α+cos2α=1
商数关系：
tanα=sinα
cosα
3. 正弦的和差公式
sin(α+β)=sinα cos β+cosα sin β
，sin(α−β)=sinα cos β−cosα sin β
4. 余弦的和差公式
cos(α+β)=cosα cos β−sinα sin β
，cos(α−β)=cosα cos β+sinα sin β
5. 正切的和差公式
tan(α+β)=tanα+tan β
1−tanα tan β
，
tan(α−β)=tanα−tan β
1+tanα tan β
6. 正弦的倍角公式
sin2α=2sinα cosα ⇒sinα cosα=1
2 sin2α
7. 余弦的倍角公式
cos2α=cos2α−sin2α=(cosα+sinα)(cosα−sinα)
升幂公式：cos2α=1−2sin2α ，cos2α=2cos2α−1
降幂公式：sin2α=1−cos2α
2
，cos2α=1+cos2α
2
8. 正切的倍角公式
tan2α= 2tanα
1−tan2α
9. 推导公式
(sinα+cosα )2+(sinα−cosα )2=2
10. 辅助角公式
y=asin x+bcosx ，(a>0)⇒y=√a2+b2sin(x+ϕ)，其中
tan ϕ=b
a ，
ϕ∈(−π
2 , π
2 )
5
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基础知识背记07 三角函数的图象及性质
1. 三角函数的图象与性质
6
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2.
三
角
函
数
型
函
数
的
图
象
和
性
质
（1
）
正
弦
型
函
数
、
余
弦
型
函
数
性
质
y=A sin(ωx+ϕ)+h，y=A cos(ωx+ϕ)+h
A 振幅，决定函数的值域，值域为[−A , A]
图
象
定
义
域
值
域
最
值
当
时，
；当
时，
．
当
时，
；当
时，
．
既无最大值也无最小值
周
期
性
奇
偶
性
奇函数
偶函数
奇函数
单
调
性
在
上是增函数；
在
上是减函数．
在
上是增函
数；
在
上是减函
数．
在
上是增函数．
对
称
性
对称中心
对称轴
对称中心
对称轴
对称中心
无对称轴
函数
性质
7
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ω 决定函数的周期，
T=2π
|ω|
ωx+ϕ 叫做相位，其中ϕ 叫做初相
（2）正切型函数性质
y=A tan(ωx+ϕ)+h的周期公式为：
T= π
|ω|
3. 三角函数的伸缩平移变换
（1）伸缩变换（A ，ω 是伸缩量）
y=A sin(ωx+ϕ)+h
A 振幅，决定函数的值域，值域为[−A , A]；
若A ↗，纵坐标伸长；若A ↘，纵坐标缩短；∴A 与纵坐标的伸缩变换成正比
ω
决定函数的周期，T=2π
|ω|
若ω ↗，T ↘，横坐标缩短；若ω ↘，T ↗，横坐标伸长；∴ω 与横坐标的伸缩变换成反比
（2）平移变换（ϕ ，h 是平移量）
平移法则：左+ 右−，上+ 下−
基础知识背记08 解三角形
1. 正弦定理
（1）基本公式：
a
sin A =
b
sin B =
c
sinC =2R （其中R 为Δ ABC 外接圆的半径）
（2）变形
①a=2Rsin A , b=2RsinB, c=2RsinC
②sin A= a
2R , sin B= b
2R , sinC= c
2R ,
③a:b:c=sin A :sin B:sinC
④
a
sin A =
b
sin B =
c
sinC =2R=
a+b+c
sin A+sin B+sinC =
a+b
sin A+sin B =
a+c
sin A+sinC =
b+c
sin B+sinC
（3）应用：边角互化
8
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①3a+4 b=5c⇒3sin A+4sin B=5sinC
②2a2+3b2=5c2⇒2sin2 A+3sin2B=5sin2C
③2asin A=bcosC+ccosB⇒2sin A⋅sin A=sin BcosC+cosBsinC
⇒2sin2 A=sin(B+C)=sin A⇒sin A=1
2 或sin A=0（舍）⇒A= π
6
A
或=5 π
6
2. 三角形中三个内角的关系
∵A+B+C=π
∴sin(B+C)=sin A ，cos(B+C )=−cos A ，tan(B+C )=−tan A
3. 余弦定理
（1）边的余弦定理
a2=b2+c2−2bc cos A ，b2=a2+c2−2ac cosB ，c2=a2+b2−2ab cosC
（2）角的余弦定理
cos A=b2+c2−a2
2bc
，
cosB=a2+c2−b2
2ac
，
cosC=a2+b2−c2
2ab
（3）应用1.求值，求角
①在Δ ABC 中，已知b2+c2−bc=a2，求A
∵b2+c2−bc=a2⇒b2+c2−a2=bc ，
∴cos A=b2+c2−a2
2bc
= bc
2bc =1
2 ⇒B= π
3
②在Δ ABC 中，已知
a2+ 1
4 ac=b2−c2
，求cosB
∵a2+ 1
4 ac=b2−c2⇒a2+c2−b2=−1
4 ac
，
∴cosB=a2+c2−b2
2ac
=
−1
4 ac
2ac =−1
8
（4）应用2.判断三角形的形状
设a 为最大边，则A 为最大角
A>90°
钝角三角形
cos A<0
b2+c2<a2
A=90°
直角三角形
cos A=0
b2+c2=a2
A<90°
锐角三角形
cos A>0
b2+c2>a2
4. 三角形的面积公式
SΔ ABC =1
2 ah
SΔABC =1
2 ab sinC=1
2 ac sin B=1
2 bc sin A
9
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基础知识背记09 函数的基本性质
1. 定义域
①分式函数定义域：
y= g( x)
f ( x) (f ( x)≠0)
②偶次根式函数的定义域：y=√f (x) (f (x)≥0)
③0 次幂型函数的定义域：y=f ( x)0 (f ( x)≠0)
④对数函数的定义域：y=loga f ( x) (f ( x)>0)
⑤
正切函数的定义域：
y=tan(f ( x)) (f ( x)≠π
2 +kπ ) (k ∈Z)
2. 单调性
（1）单调性的运算
①增函数（↗）+ 增函数（↗）=增函数↗
②减函数（↘）+ 减函数（↘）=减函数↘
③f ( x)为↗，则−f ( x)为↘，
1
f ( x) 为↘
④增函数（↗）−减函数（↘）=增函数↗
⑤减函数（↘）−增函数（↗）=减函数↘
⑥增函数（↗）+ 减函数（↘）=未知（导数）
（2）复合函数的单调性
函数f (x)=h(g(x)),
u
设=g(x),叫做内函数，则f (x)=h(u)叫做外函数，
{
内函数↑，外函数↑，⇒复合函数↑
内函数↓，外函数↓，⇒复合函数↑
内函数↑，外函数↓，⇒复合函数↓
内函数↓，外函数↑，⇒复合函数↓
⇒结论：同增异减
3. 奇偶性
①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提）
②奇偶性的定义：
奇函数：f (−x)=−f ( x)，图象关于原点对称
偶函数：f (−x)=f (x)，图象关于y 轴对称
10
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③奇偶性的四则运算
奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇±偶=非奇非偶函数
奇⋅奇=偶，奇
奇=偶，偶⋅偶=偶，偶
偶=偶，奇⋅偶=奇，奇
偶=奇
4. 周期性（差为常数有周期）
①若f (x+a)=f (x)，则f (x)的周期为：T=|a|
②若f (x+a)=f (x+b)，则f (x)的周期为：T=|a−b|
③若f (x+a)=−f (x)，则f (x)的周期为：T=|2a|（周期扩倍问题）
④若
f (x+a)=± 1
f (x) ，则f (x)的周期为：T=|2a|（周期扩倍问题）
5. 对称性（和为常数有对称轴）
轴对称
①若f (x+a)=f (−x)，则f (x)的对称轴为
x=a
2
②若f (x+a)=f (−x+b)，则f (x)的对称轴为
x=a+b
2
点对称
①若f (x+a)=−f (−x)，则f (x)的对称中心为(
a
2 , 0)
②
若f (x+a)+f (−x+b)=c ，则f (x)的对称中心为(
a+b
2
, c
2)
6. 周期性对称性综合问题
①若f (a+x)=f (a−x)，f (b+x)=f (b−x)，其中a≠b ，则f (x)的周期为：T=2|a−b|
②若f (a+x)=−f (a−x)，f (b+x)=−f (b−x)，其中a≠b ，则f (x)的周期为：
T=2|a−b|
③若f (a+x)=f (a−x)，f (b+x)=−f (b−x)，其中a≠b ，则f (x)的周期为：
T=4|a−b|
7. 奇偶性对称性综合问题
①已知f (x)为偶函数，f (x+a)为奇函数，则f (x)的周期为：T=4|a|
②已知f (x)为奇函数，f (x+a)为偶函数，则f (x)的周期为：T=4|a|
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基础知识背记10 指数对数幂函数
1.指数函数的图象与性质
y=ax
a>1
0<a<1
图
像
定义域 R
值域 (0，+∞)
性质
（1）过定点（0，1）
（2 ）当x>0 时，
y>1; x<0 时,0<y<1
(2)
当
x>0
时
，
0<y<1;x<0 时, y>1
(3)在（-
，+
）
上是增函数
（3）在（-
，+
）
上是减函数
2.指数和对数的互化公式
ax=N ⇔x=loga N (a>0
a
且≠1)
3.对数的性质与运算法则
（1）两个基本对数：
①
loga1=0，②logaa=1
（2）对数恒等式：
①a
loga N=N ，②logaaN=N
（3）幂的对数：
①：logabm=mlogab
12
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②
：
loga nb=1
n logab
③：
loga nb
m=m
n logab
（4）积的对数：loga(MN )=loga M+loga N
（5）商的对数：
loga
M
N =loga M−loga N
4.换底公式：
logab=logcb
logc a =lgb
lga =lnb
lna ；
推广1：对数的倒数式
logab=
1
logba ⇒logab⋅logba=1
推广2：
logablogbclogca=1⇒logablogbclogcd=logad
5.对数函数的图象与性质
图
象
1
a
0
1
a
性
质
（1）定义域：（0,+）
（2）值域：R
（3）当x=1 时，y=0 即过定点（1，0）
（4）当0
1
x
时，
(
,0)
y
；
当
1
x
时，
(0,
)
y
（4）当
1
x
时，
(
,0)
y
；
当0
1
x
时，
(0,
)
y
（5）在（0,+）上为
增函数
（5）在（0,+）上
为减函数
6.幂函数
恒过定点(1,1)
（1）幂函数的单调性
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f (x)=xα{
α ＞0时，f (x)在第一象限单调递增
α ＜0时，f (x)在第一象限单调递减
（2）幂函数的奇偶性
f (x)=xα{
α 为整数{
α 为偶数，f (x)为偶函数
α 为奇数，f (x)为奇函数
α 为分数，设α= q
p{
p为偶数时，f (x)为非奇非偶函数
p为奇数时{
q为奇数，f (x)为奇函数
q为偶数，f (x)为偶函数
基础知识背记11 函数的零点与方程的根
1. 函数的零点
对于函数y=f (x)，我们把f (x)=0 的实数x 叫做函数y=f (x)的零点
2. 函数的零点与方程的根和图象与x 轴交点的关系
函数y=f (x)的零点就是方程f (x)=0 的实数解，也就是函数y=f (x)的图象与x 轴交点的横坐标
方程f (x)=0 的实数解
⇔函数y=f (x)的零点
⇔函数y=f (x)的图象与x 轴有交点
3. 零点存在性定理
如果函数y=f (x)在区间[a, b]的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a)f (b)<0 ，那么函数y=f (x)在
区间(a, b)至少有一个零点，即存在c∈(a, b)，使得f (c)=0 ，这个c 也是方程f (x)=0 的解
基础知识背记12 导数
1. 八大常用函数的求导公式
（1）C'=0 （C 为常数）
（2）(xn)
'=nx n−1
，例：( x5)
'=5 x4
，
( x
2
5 )
'=2
5 x
−3
5
，(x−6)=−6 x−7
，
(√x)
'=( x
1
2 )
'=1
2 x
−1
2
（3）(ex)
'=ex
（4）(ax)
'=axlna
（5）
(ln x)
'=1
x
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（6）
(loga x)
'=
1
xlna
（7）(sin x)
'=cos x
（8）(cos x)
'=−sin x
2. 导数的四则运算
（1）和的导数：[f (x)+g(x)]
′=f
'(x)+g
'(x)
（2）差的导数：[f (x)−g(x)]
′=f
'(x)−g
'(x)
（3）积的导数：[f (x)g(x)]
′=f
'(x)g(x)+f (x)g
'(x)（前导后不导+ 前不导后导）
（4）商的导数：[
f (x)
g(x)]
′
= f
'(x)g(x)−f (x)g
'(x)
g2(x)
，
g( x)≠0
3. 复合函数的求导公式
函数
y=f (g( x))中，设u=g( x)（内函数），则y=f (u)（外函数）∴y
'= y
u′⋅u
x′
4. 导数的几何意义
（1）导数的几何意义
导数f '( x)的几何意义是曲线f ( x)在点P(x0, y0)处切线的斜率
（2）直线的点斜式方程
直线的点斜式方程：已知直线过点
P(x0, y0)，斜率为k ，则直线的点斜式方程为：y−y0=k (x−x0)
5. 导函数与原函数的关系
f '( x)>0,k>0,f ( x)单调递增
f '( x)<0,k<0,f ( x)单调递减
6. 极值
（1）极值的定义
f ( x)在x=x0 处先↗后↘，f ( x)在x=x0 处取得极大值
f ( x)在x=x0 处先↘后↗，f ( x)在x=x0 处取得极小值
（2）极值与导数的关系
f ( x)是极值点⇒f '( x)=0
f '( x)=0⇒f ( x)是极值点，即：f '( x)=0 是f ( x)为极值点的必要非充分条件
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基础知识背记13 数列
1. 等差数列通项公式：an=a1+(n−1)d (n∈N +)或an=am+(n−m) d (n∈N +)
2. 等差中项：若A ，B ，C 三个数成等差数列，则2B=A+C ，其中B 叫做A ，C 的等差中项
3. 若{an}，{bn}为等差数列，则{an±bn}，{ma n±kb n}仍为等差数列
4. 等差数列前n 项和公式：sn=
n(a1+an)
2
或sn=na1+ n(n−1)d
2
5. 等差数列的前n 项和中，Sn=na n+1
2 ，（n 为奇数）
6. 等比数列通项公式：an=a1⋅qn−1
a
或n=am⋅qn−m.(n∈N
¿)
7. 等比中项：若A ，B ，C 三个数成等比数列，则B2=AC ⇒B=±√AC ,其中B 叫做A ，C 的等比
中项
8. 若{an}
，{bn}
为等比数列，则{an⋅bn}
，{
an
bn}仍为等比数列
9. 等比数列前
n
项和公式：sn={
na 1,(q=1)
a1(1−qn)
1−q
= a1−anq
1−q
(q≠1)
10. 已知{an}与{Sn}的关系
an={
s1,n=1
sn−sn−1(n≥2)
11. 分组求和
若{an}为等差数列，{bn}为等比数列，则{an±bn}可用分组求和
12. 裂项相消求和
an=
1
n(n+1)=1
n−1
n+1
an=
1
(n+1)(n+2)= 1
n+1−1
n+2
an=
1
(2n−1)(2n+1)=1
2(
1
2n−1−
1
2n+1)
an=
4
(2n−1)(2n+3)= 1
4(
4
2n−1−
4
2n+3)=
1
2n−1−
1
2n+3
an=
4n
(4n−1)(4n+1−1)
=1
3 (
1
4n−1
−
1
4n+1−1
)
an=
1
√n+1+√n=√n+1−√n
16
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基础知识背记14 立体几何
1. 平面初等几何基础
（1）三角形的面积公式：
S=1
2 ah
（2）正方形的面积公式：S=a2
（3）长方形的面积公式：S=ab
（4）平行四边形的面积公式：S=ah
（5）菱形的面积公式：
S=1
2 ab
（a ，b 为菱形的对角线）
（6）梯形的面积公式：
S=(a+b)h
2
（a 为上底，b 为下底，h 为高）
（7）圆的周长和面积公式：C=2πr ，S=πr2
2. 立体几何基础公式
（1）所有椎体体积公式：
V =1
3 sh
（2）所有柱体体积公式：V =sh
（3）球体体积公式：
V = 4
3 πR3
（4）球体表面积公式：S=4 πR2
（5）圆柱：V =sh ,s表=s底+s侧=2πr2+2π rh
（6）圆锥：
V =1
3 sh ,s表=s底+s侧=πr2+π rl
3. 平面图形的判定定理
（1）高中常用的平行四边形的判定定理
①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
②两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）菱形的判定定理
①四边相等的四边形是菱形
②对角线互相垂直平分的四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
③一组邻边相等的平行四边形是菱形
（3）正方形的判定定理
①有一个角是直角的菱形是正方形
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②一组邻边相等的矩形是正方形
③对角线互相垂直的矩形是正方形
（4）矩形的判定定理
对角线相等且互相平分的四边形是矩形
4. 平面图形的对角线
平行四边形的对角线互相平分
菱形的对角线互相垂直平分
矩形的对角线相等且互相平分
正方形的对角线互相垂直平分且相等
5. 常见立体几何的定义、性质及其关系
（1）棱柱：棱柱的上下底面是全等的平行图形，侧面是平行四边形（即侧棱平行且相等）
（2）斜棱柱：侧棱与底面不垂直的棱柱
（3）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱
（4）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱
（5）平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体，即：平行六面体的六个面都是平行四边形
6. 四个公理与一个定理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
7. 空间中点线面的位置关系
点与直线的位置关系
点在直线上
点不在直线上
A ∈a
B∉a
点与面的位置关系
点在平面上
点不在平面上
A ∈α
B∉α
线与线的位置关系
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平行，a//b
相交，a∩b=o
l ，m 异面
线与面的位置关系
a⊂α
a∩α=A
a//α
面与面的位置关系
平行，α // β
相交，α∩β=a
α 与β 重合
8. 长方体（正方体、正四棱柱）的体对角线的公式
（1）已知长宽高求体对角线：l2=a2+b2+c2
（2）已知三条面对角线求体对角线：
l2=l1
2+l2
2+l3
2
2
9. 球体问题
（1）球体体积公式：V = 4
3 πR3，球体表面积公式：S=4 πR2
（2）正方体、长方体、正四棱锥的外接球问题（类型Ⅰ）
球心⇔体心，直径⇔体对角线
已知长宽高a ，b ，c 求体对角线l ，公式为：l2=a2+b2+c2
D=l
，R= l
2 ⇒s=4 πR2=4 π( l
2 )2=4 π⋅l2
4 =l2π
（3）直棱柱的外接球问题（类型Ⅱ）
R2=( h
2 )2+r2，其中h 为直棱柱的高，r 为底面外接圆半径（可用正弦定理求解）
（4）墙角问题⇒可转化为类型Ⅰ
（5）侧棱¿ 底面问题⇒可转化为类型Ⅱ
10. 空间中的平行关系
（1）线线平行
①三角形、四边形中位线，②平行四边形的性质（对边平行且相等）
③内错角、同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
（2）线面平行的判定定理：
平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行
图形语言
符号语言
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l//b
l⊂α
b⊂α}
⇒l//α
（3）线面平行的性质定理
若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行
图形语言
符号语言
l//α
l⊂β
α∩β=b}
⇒l//b
（4）面面平行的判定定理
判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行
图形语言
符号语言
a//α
b// β
a∩b=A
a⊂α ,b⊂α}
⇒α // β
判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平
行
图形语言
符号语言
a//n
b//m
a∩b=A
m∩n=B
a,b⊂α
m,n⊂β }
⇒α // β
（5）面面平行的性质定理
性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面
性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行
11. 空间中的垂直关系
（1）线线垂直
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①等腰三角形（等边三角形）的三线合一证线线垂直
②勾股定理的逆定理证线线垂直
③菱形、正方形的对角线互相垂直
（2）线面垂直的判定定理
判定定理：一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直
图形语言
符号语言
l⊥a
l⊥b
a∩b=A
a,b⊂α}
⇒l⊥α
（3）线面垂直的性质定理
性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线
图形语言
符号语言
l⊥α
a⊂α}⇒l⊥α
性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行
图形语言
符号语言
a⊥α
b⊥α}⇒a//b
（4）面面垂直的判定定理
判定定理：一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直
（或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直）
图形语言
符号语言
21
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a⊥α
a⊂β}⇒α⊥β
（5）面面垂直的性质定理
性质定理：两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一
个平面
图形语言
符号语言
α ⊥β
α∩β=CD
AB ⊥CD
AB ⊂α }
⇒AB ⊥β
12. 异面直线所成角
=
（其中
（
）为异面直线
所成角，
分别表示异面直线
的方向向量）
13. 线面角
直线
与平面所成角，
(
为平面
的法向量).
14. 二面角
的平面角
（
，
为平面
，
的法向量）.
15. 点
到平面
的距离
（
为平面
的法向量，
是经过面
的一条斜线，
）.
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基础知识背记15 直线与圆
1.两点间的距离公式
A(x1, y1)，B(x2, y2)，|AB|=√(x2−x1)
2+( y2−y1)
2
2.中点坐标公式
A(x1, y1)
，
B(x2, y2)
，
M (x0, y0)
为
AB
的中点，则：{
x0= x1+x2
2
y0= y1+ y2
2
3.三角形重心坐标公式
A(x1, y1),B(x2, y2),C (x3, y3), M (x0, y0)
Δ
为ABC 重心
⇒{
x0=x1+x2+x3
3
y0= y1+ y2+ y3
3
4.直线的斜率与倾斜角的定义及其关系
（1）斜率：表示直线的变化快慢的程度；k>0 ，直线递增，k<0 ，直线递减，
（2）倾斜角：直线向上的部分与x 轴正方向的夹角，范围为[0,π )
（3）直线的斜率与倾斜角的关系：k=tanθ
θ
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
tanθ
0
√3
3
1
√3
不存在
−√3
−1
−√3
3
5.两点间的斜率公式
A(x1, y1)，B(x2, y2)，k AB = y2−y1
x2−x1
6.直线的斜截式方程
y=kx +b，其中k 为斜率，b 为y 轴上的截距
7.直线的点斜式方程
已知点P(x0, y0)，直线的斜率k ，则直线方程为：y−y0=k (x−x0)
8.直线的一般式方程
Ax +By +C=0 ( A2+B2≠0)
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9.两条直线的位置关系
（1）平行的条件
①斜截式方程：l1: y=k1x+b1
，l2: y=k2 x+b2
，l1//l2⇔{
k1=k2
b1≠b2
②一般式方程：l1: A1 x+B1 y+C1=0，l2: A2 x+B2 y+C2=0 ，l1//l2⇔{
A1B2=A2B1
A1C2≠A2C1
（2）重合的条件
①斜截式方程：l1: y=k1x+b1
，l2: y=k2 x+b2
，l1,l2重合⇔{
k1=k2
b1=b2
②一般式方程：
l1: A1 x+B1 y+C1=0，l2: A2 x+B2 y+C2=0 ，l1,l2重合⇔{
A1B2=A2B1
A1C2=A2C1
（3）垂直的条件
①斜截式方程：l1: y=k1x+b1，l2: y=k2 x+b2，l1⊥l2⇔k1k2=−1
②一般式方程：
l1: A1 x+B1 y+C1=0，l2: A2 x+B2 y+C2=0 ，l1⊥l2⇔A1 A2+B1B2=0
10.点到直线的距离公式
点P(x0, y0)
，直线l: Ax +By +C=0
，点到直线的距离为：d=|Ax 0+By 0+C|
√A2+B2
11.两条平行线间的距离公式
l1: Ax +By +C1=0 ，l2: Ax +By +C2=0 ，d=|C1−C2|
√A2+B2
12.圆的标准方程
(x−a)2+( y−b)2=r2，其中圆心坐标为(a, b)，半径为r
13.圆的一般方程
x2+ y2+Dx +Ey +F=0 （D2+E2−4 F>0 ）
配方可得：(x+ D
2)
2
+( y+ E
2)
2
= D2+E2−4 F
4
，
圆心坐标为
(−D
2 ,−E
2 )，半径为r=√D2+E2−4 F
2
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14.表示圆的充要条件：
D2+E2−4 F>0
15.点与圆的位置关系
已知点P(x0, y0)，圆的方程为：(x−a)2+( y−b)2=r2
若(x0−a)
2+( y0−b)
2<r2，点P 在圆内
若(x0−a)
2+( y0−b)=r2，点P 在圆上
若(x0−a)
2+( y0−b)
2>r2，点P 在圆外
16.直线与圆的位置关系
直线l: y=kx +b ，圆C ：(x−a)2+( y−b)2=r2
代数关系{
Δ>0, 相交
Δ=0, 相切
Δ<0, 相离，其中Δ 为联立方程根的个数，
几何关系{
d<r，相交
d=r，相切
d>r，相离，其中d 为圆心到直线的距离
17.圆上一点的切线方程
x2+ y2=r2
p
在(x0, y0)处的切线方程为：xx 0+yy 0=r2
(x−a)2+( y−b)2=r2
p
在(x0, y0)处的切线方程为：(x−x0)(x−a)+( y−y0)( y−b)=r2
18.圆与圆的位置关系
设圆C1的半径为r1，设圆C2的半径为r2，两圆的圆心距为d
若d>r1+r2，两圆外离，若d=r1+r2，两圆外切，若d=|r1−r2|，两圆内切
若|r1−r2|<d<r1+r2，两圆相交，若0≤d<|r1−r2|，两圆内含，若d=0 ，同心圆
两圆外离，公切线的条数为4 条；两圆外切，公切线的条数为3 条；
两圆相交，公切线的条数为2 条；两圆内切，公切线的条数为1 条；
两圆内含，公切线的条数为0 条；
19.弦长公式
设A(x1, y1)，B( x2, y2)，
则|AB|=√1+k2⋅|x1−x2|=√1+k2⋅√(x1+x2)2−4 x1x2
或：
|AB|=√
1+ 1
k2⋅|y1−y2|=√
1+ 1
k2⋅√( y1+ y2)2−4 y1 y2
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20.圆上一点到圆外一点的距离的最值
dmax=点到圆心的距离+半径
dmin=点到圆心的距离−半径
21.圆上一点到圆上一点的距离的最值
dmax=圆心到圆心的距离+2半径
dmin=圆心到圆心的距离−2半径
22.圆上一点到直线距离的最值
dmax=圆心到直线的距离+半径
dmin=圆心到直线的距离−半径
23.过圆内一点的最长弦和最短弦
最长弦：直径；最短弦：垂直于直径
基础知识背记16 圆锥曲线
1. 椭圆的定义
平面上一动点M (x , y)到两定点F1(−c, 0), F2(c, 0)的距离的和为定值2a
(且大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆
这两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点,两焦点的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距
2. 数学表达式
|MF 1|+|MF 2|=2a>|F1F2|=2c
3. 椭圆的标准方程
焦点在x 轴上的标准方程？
椭圆标准方程为：
x2
a2 + y2
b2 =1 (a>b>0)
焦点在y 轴上的标准方程？
椭圆标准方程为：
y2
a2 + x2
b2=1 (a>b>0)
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4. 椭圆中a ，b ，c 的基本关系
(a2=b2+c2)
5. 椭圆的几何性质
焦点的位置
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
图形
标准方程
x2
a2 + y2
b2 =1 (a>b>0)
y2
a2 + x2
b2=1 (a>b>0)
范围
−a≤x≤a
−b≤y≤b
−b≤x≤b
−a≤y≤a
顶点坐标
A1(−a,0)，A2(a,0)
B1(0,−b)，B2(0,b)
A1(0,−b)，A2(0,b)
B1(−b,0)，B2(b,0)
长轴
|A1 A2|=2a长轴长，|A1O|=|A2O|=a长半轴长
短轴
|B1B2|=2b 短轴长，|B1O|=|B2O|=b短半轴长
焦点
F1(−c ,0)，F2(c ,0)
F1(0,−c)，F2(0,c)
焦距
|F1F2|=2c 焦距，|F1O|=|F2O|=c 半焦距
对称性
对称轴为坐标轴，对称中心为(0,0)
离心率
e= c
a (0<e<1)
e2= c2
a2=a2−b2
a2
=1−b2
a2=1−(
b
a)
2
⇒e=√
1−(
b
a)
2
离心率对椭圆的影响
e 越大，椭圆越扁
e 越小，椭圆越圆
e=0 ，圆
6. 双曲线的定义
平面上一动点M (x , y)到两定点F1(−c, 0), F2(c, 0)的距离的差的绝对值
为定值2a(且小于|F1F2|=2c)的点的轨迹叫做双曲线
这两个定点F1,F2叫做双曲线的焦点,两焦点的距离|F1F2|叫做双曲线的焦距
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7. 数学表达式：
||MF 1|−|MF 2||=2a<|F1F2|=2c
8. 双曲线的标准方程
焦点在x 轴上的标准方程？ 焦点在y 轴上的标准方程？
标
准
方
程
为
：
x2
a2−y2
b2 =1 (a>0,b>0)
标准方程为：
y2
a2 −x2
b2=1 (a>0,b>0)
9. 双曲线中a ，b ，c 的基本关系
(c2=a2+b2)
10. 双曲线的几何性质
焦点的位置
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
图形
标准方程
x2
a2−y2
b2 =1 (a>0,b>0)
y2
a2 −x2
b2=1 (a>0,b>0)
范围
x≤−a
x
或≥a
y∈R
y≤−a
y
或≥a
x∈R
顶点坐标
A1(−a,0)，A2(a,0)
B1(0,−b)，B2(0,b)
A1(0,−a)，A2(0,a)
B1(−b,0)，B2(b,0)
实轴
|A1 A2|=2a实轴长，|A1O|=|A2O|=a实半轴长
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虚轴
|B1B2|=2b虚轴长，|B1O|=|B2O|=b虚半轴长
焦点
F1(−c ,0)，F2(c ,0)
F1(0,−c)，F2(0,c)
焦距
|F1F2|=2c 焦距，|F1O|=|F2O|=c 半焦距
对称性
对称轴为坐标轴，对称中心为(0,0)
渐近线方程
y=±b
a x
y=±a
b x
离心率
e= c
a (e>1)
e2= c2
a2=a2+b2
a2
=1+ b2
a2=1+(
b
a)
2
⇒e=√
1+(
b
a)
2
离心率对双曲线的影
响
e 越大，双曲线开口越阔
e 越小，双曲线开口越窄
11. 抛物线的定义
平面上一动点P(x , y)到定点
F( p
2 ,0)
的距离与到定直线l ：
x=−p
2 的点的轨迹叫做抛物线
12. 图形
13. 数学表达式
|PF|=|PP 1|
14. 标准方程的推导
设p(x , y)，由定义可知：
|PF|=|PP 1|
∴√( x−p
2 )2+ y2=|x+ p
2|
，等式两边同时平方得：
∴(x−p
2 )2+ y2=(x+ p
2 )2⇒x2−px + p2
4 + y2=x2+px + p2
4 ⇒y2=2 px
15. 抛物线的标准方程及其几何性质
焦点
位置
轴正半轴
轴负半轴
轴正半轴
轴负半轴
图形
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标准
方程
焦点
坐标
准线
方程
16. 通径
通径长：2 p ，半通径长：p
17. 焦半径（抛物线上的点到焦点的距离）
焦半径{
横轴：|PF|=|x0|+ p
2
纵轴：|PF|=|y0|+ p
2
基础知识背记17 排列组合与二项式定理
1.分类计数原理（加法原理）
.
2.分步计数原理（乘法原理）
.
3.排列数公式
=n(n−1)⋯(n−m+1)=
n！
(n−m)！.(
，
∈N*，且
)．注:规定0!=1.
4.组合数公式
Cn
m
=
=
n(n−1)⋯(n−m+1)
1×2×⋯×m
=
n！
m！⋅(n−m)！(
∈N*，
，且
).
5.排列数与组合数的关系
.
6．单条件排列
以下各条的大前提是从
个元素中取
个元素的排列.
（1）“在位”与“不在位”
①某（特）元必在某位有An−1
m−1
种；
②某（特）元不在某位有An
m−An−1
m−1
（补集思想）=An−1
1
An−1
m−1
（着眼位置）=An−1
m + Am−1
1
An−1
m−1
（着眼
元素）种.
（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）
①定位紧贴：k(k≤m≤n)个元在固定位的排列有Ak
k An−k
m−k
种.
②浮动紧贴：
个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有An−k+1
n−k+1 Ak
k
种.注：此类问题常用捆绑法；
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③插空：两组元素分别有k、h 个（k≤h+1），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近
的所有排列数有Ah
h Ah+1
k
种.
（3）两组元素各相同的插空
个大球
个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？
当n>m+1 时，无解；当n≤m+1时，有
Am+1
n
An
n =Cm+1
n
种排法.
（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为Cm+n
n
.
7．分配问题
（1）(平均分组有归属问题)将相异的
、
个物件等分给
个人，各得
件，其分配方法数共有
N=Cmn
n ⋅Cmn−n
n
⋅Cmn−2n
n
⋅⋯⋅C2n
n ⋅Cn
n=(mn )!
(n!)m
.
（2）(平均分组无归属问题)将相异的
·
个物体等分为无记号或无顺序的
堆，其分配方法数共有
N=
Cmn
n ⋅Cmn−n
n
⋅Cmn−2n
n
...⋅C2n
n ⋅Cn
n
m!
= (mn )!
m!(n!)m
.
8.二项式定理 (a+b)n=Cn
0an+Cn
1an−1b+Cn
2an−2b2+⋯+Cn
r an−r br+⋯+Cn
nbn
;
二项展开式的通项公式
T r+1=Cn
r an−r br (r=0，1，2⋯，n).
基础知识背记18 概率统计
1. 等可能性事件的概率
.
2. 互斥事件A，B 分别发生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
3.
个互斥事件分别发生的概率的和P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
4. 独立事件A，B 同时发生的概率P(A·B)= P(A)·P(B).
5.
个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An)．
6.
次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率
7.离散型随机变量的分布列的两个性质
（1）
;
（2）
.
8. 数学期望
9. 数学期望的性质
（1）
.
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（2）若
～
,则
.
(3) 若
服从几何分布,且
，则
.
10. 方差
11. 标准差
=√Dξ .
12.方差的性质
(1)
；
(2）若
～
，则
.
(3) 若
服从几何分布,且
，则
.
13.方差与期望的关系
.
14.正态分布密度函数
，式中的实数μ，σ （σ >0）是参数，分别表示个体的平均数
与标准差.
15.对于
，取值小于x 的概率
.
P(x1<x0<x2)=P(x<x2)−P(x<x1)
.
16. 条件概率
条件概率的定义
条件概率的性质
已知B 发生的条件下，A 发生的概率，称为B 发生时A 发生的条件概率，记为P(A|
B)．
当P(B)>0 时，我们有P(A|B)＝.(其中，A∩B 也可以记成AB)
类似地，当P(A)>0 时，A 发生时B 发生的条件概率为P(B|A)＝
(1)0≤P(B|A)≤1，
(2)如果B 和C 是两
个互斥事件，则
P(B∪C|A)＝P(B|A)
＋P(C|A)
P(B|A)与P(A|B)易混淆为等同
前者是在A 发生的条件下B 发生的概率，后者是在B 发生的条件下A 发生的概率．
17. 条件概率的三种求法
定义法
先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A)
基本事件法
借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n(A)，再求事件AB 所包含的基本
事件数n(AB)，得P(B|A)＝
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缩样法
缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求
解，它能化繁为简
18. 全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，
则对任意的事件B⊆Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝
，此公式为全概率公式.
（1）计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝，其中n(A)为事件A 包
含的样本点数，n(AB)为事件AB 包含的样本点数.
（2）全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A 的概率的求解问题，转化为了在不同情
况下发生的简单事件的概率的求和问题.
19. 贝叶斯公式
一般地,设
是一组两两互斥的事件,有
且
,则对
任意的事件
有
20. 数字样本特征
（1）众数：在一组数据中出现次数最多的数
（2）中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果为奇数个，中位数为中间数；若
为偶数个，中位数为中间两个数的平均数
（3）平均数：¯x= x1+x2+⋯⋯+xn
n
，反映样本的平均水平
（4）方差：
s2=( x1−¯x)2+( x2−¯x)2+⋯⋯( xn−¯x)2
n
反映样本的波动程度，稳定程度和离散程度；
s2 越大，样本波动越大，越不稳定；s2 越小，样本波动越小，越稳定；
（5）标准差：σ=√s2
，标准差等于方差的算术平方根，数学意义和方差一样
（6）极差：等于样本的最大值−最小值
21. 求随机变量X 的分布列的步骤：
(1)理解X 的意义，写出X 可能取得全部值；
(2)求X 取每个值的概率；
(3)写出X 的分布列；
(4)根据分布列的性质对结果进行检验.
还可判断随机变量满足常见分布列：两点分布，二项分布，超几何分布，正态分布.
（1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；
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（2）已知随机变量
的期望、方差，求
的期望与方差，利用期望和方差的性质（
，
）进行计算；
（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布
列的期望和方差公式进行计算，若
～
,则
，
.
23. 求解概率最大问题的关键是能够通过
构造出不等关系，结合组合数公式求解结
果
24. 线性回归分析解题方法：
（1）计算
的值；（2）计算回归系数
；（3）写出回归直线方程
.
线性回归直线方程为：^y=^b x+^a
，
^b=
∑
i=1
n
(xi−¯x)( yi−¯y)
∑
i=1
n
(xi−¯x)
2
=
∑
i=1
n
xi yi−n¯x ¯y
∑
i=1
n
x
i2−n¯x2
，
^a=¯y−^b¯x
其中(¯x , ¯y)为样本中心，回归直线必过该点
（4）线性相关系数（衡量两个变量之间线性相关关系的强弱）
r=
∑
i=1
n
(xi−¯x)( yi−¯y)
√∑
i=1
n
(xi−¯x)
2√∑
i=1
n
( yi−¯y)
2
=
∑
i=1
n
xi yi−n¯x ¯y
√(∑
i=1
n
x
i2−n¯x2)(∑
i=1
n
y
i2−n ¯y2)
r>0 ，正相关；r<0 ，负相关
|r|≤1,且|r|越接近于1，线性相关性越强；
|r|越接近于0，线性相关性越弱，几乎不存在线性相关性
25.独立性检验解题方法：
（1）依题意完成列联表；（2）用公式求解；（3）对比观测值即可得到所求结论的可能性
独立性检验计算公式：
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