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期中检测01
姓名：___________考号：___________分数：___________
（考试时间：100 分钟 满分：120 分）
一、
选择题（本大题共12 小题，每小题3 分，共36 分。在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列计算正确的是（ ）
A．
；
B．
；
C．
；
D．
．
【答案】B
【解析】
分析：分别根据次根式的加减运算法则以及合并同类项的法则、幂的乘方与积的乘方法则及同底数
幂的除法法则对各选项进行逐一判断即可．
解析：A.
与
不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B.
，故本选项正确；
C.
，故本选项错误；
D.
，故本选项错误.
故选：B.
点睛：此题考查了二次根式的加减运算以及合并同类项、积的乘方运算和同底数幂的除法法则运算
等知识，正确掌握运算法则是解题的关键.
2．化简
的结果为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】D
【分析】
先根据平方根被开方数的非负性求出
的取值范围，再根据绝对值的性质化简.
【解析】
解：由题意得
，
；
故
.
故选：D.
【点睛】
本题考查了平方根被开方数的非负性以及绝对值的性质，理解掌握相关性质是解答关键.
3．若(x+y)2=9，(x-y)2=5，则xy 的值为（ ）
A．-1
B．1
C．-4
D．4
【答案】B
【解析】
试题分析：根据完全平方公式，两数和（或差）的平方，等于两数的平方和，加减两数积的2 倍，
分别化简可知（x+y）
2=x2+2xy+y2=9①，（x
y
﹣）
2= x2-2xy+y2=5②，①-②可得4xy=4，解得xy=1.
故选B
点睛：此题主要考查了完全平方公式的应用，解题关键是抓住公式的特点：两数和（或差）的平方，
等于两数的平方和，加减两数积的2 倍，然后比较各式的特点，直接进行计算，再两式相减即可求
解..
4．下列判断错误的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．四条边都相等的四边形是菱形
D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
【答案】D
【分析】
分别利用平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定定理，对选项逐一分析即可做出判断．
【解析】
解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，符合平行四边形的判定，故本选项正确，不符
合题意；
B、∵四边形的内角和为360°，四边形的四个内角都相等，
∴四边形的每个内角都等于90°，则这个四边形有三个角是90°，
∴这个四边形是矩形，故四个内角都相等的四边形是矩形，本选项正确，不符合题意；
C、四条边都相等的四边形是菱形，符合菱形的判定，，故本选项正确，不符合题意；
D、两条对角线垂直且平分的四边形是菱形，不一定是正方形，故本选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定定理，解题的关键是正确理解并掌握判定定理．
5．如图，在正方形
中，
，点
在
边上，
，把
绕点
顺时针旋
转
，得到
，连接
，则线段
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据正方形的性质可知
,然后由旋转的性质可知
，进而可求出
的长度，再利用勾股定理即可求出线段
的长．
【解析】
∵四边形ABCD 是正方形，
∴
．
∵把
绕点
顺时针旋转
，得到
，
∴
，
，
．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质，旋转的性质和勾股定理，掌握正方形的性质，旋转的性质和勾股定理
是解题的关键．
6．二次根式
有意义，则应满足的条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
∵二次根式
有意义，
∴
，解得：
.
故选B.
7．如图，将长为8cm，宽4cm 的矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与C 重合，则折痕EF 的长为
（ ）
A．8cm
B．4
cm
C．5cm
D．2
cm
【答案】D
【分析】
如图，首先证明四边形AECF 为菱形，运用勾股定理分别求出CE，AC 的长度，运用菱形的面积公
式，即可解决问题．
【解析】
解：如图，连接AF，AC，
∵将长为8cm，宽4cm 的矩形纸片ABCD 折叠，
∴EF⊥AC，OA＝OC，AE＝CE，AF＝CF，
∵四边形ABCD 为矩形，
∴FC∥AE，∠OAE＝∠OCF；
在△AOE 与△COF 中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF，
∴四边形AECF 为平行四边形，
∵AE＝CE，
∴四边形AECF 是菱形，
∵CE2＝BE2+BC2，
∴CE2＝（8﹣CE）
2+16，
∴CE＝5cm，
∵AB＝8cm，BC＝4cm，
∴AC＝
＝
＝4
，
∵S 菱形AECF＝5×4＝
×4
×EF，
∴EF＝2
cm，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了翻折变换的性质，平行四边形的判定，勾股定理等几何知识点及其应用问题；牢固
掌握翻折变换的性质等几何知识点是解题的基础和关键．
8．如图，有一个池塘，其底面是边长为10 尺的正方形，一个芦苇AB 生长在它的中央，高出水面
部分BC 为1 尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B 恰好碰到岸边
的B′．则这根芦苇的长度是（ ）
A．10 尺
B．11 尺
C．12 尺
D．13 尺
【答案】D
【分析】
我们可以将其转化为数学几何图形，可知边长为10 尺的正方形，则B'C＝5 尺，设出AB＝AB'＝x
尺，表示出水深AC，根据勾股定理列出方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长.
【解析】
解：设芦苇长AB＝AB′＝x 尺，则水深AC＝（x
1
﹣）尺，
因为边长为10 尺的正方形，所以B'C＝5 尺
在Rt
AB'C
△
中，52+（x
1
﹣）
2＝x2，
解之得x＝13，
即芦苇长13 尺．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，熟练运用数形结合的解题思想是解题关键.
9．如图，在
中，
，则
为（ ）度．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据三角形外角性质可知∠AED= C+ EDC
∠
∠
，∠ADC= B+ BAD
∠
∠
，根据∠B= C
∠，
∠ADE= AED
∠
，∠EDC=20°即可求出∠BAD 的度数．
【解析】
AED
∵∠
、∠ADC 分别是△DEC 和△ABD 的外角，
AED= C+ EDC
∴∠
∠
∠
，∠ADC= B+ BAD
∠
∠
，
ADE= AED
∵∠
∠
，∠B= C
∠，∠EDC=20°，∠ADC= ADE+ EDC
∠
∠
，
B+ BAD= B+ EDC+ EDC
∴∠
∠
∠
∠
∠
，
BAD=2 EDC=40°
∴∠
∠
，
故选：D．
【点睛】
本题考查三角形外角性质，三角形的一个外角，等于和它不相邻的两个内角的和；熟练掌握外角性
质是解题关键．
10．如图，将矩形纸片ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙，无重叠的四边形EFGH，
设AB＝a，BC＝b，若AH＝1，则（ ）
A．a2＝4b
4
﹣
B．a2＝4b+4
C．a＝2b
1
﹣
D．a＝2b+1
【答案】A
【分析】
利用三个角是直角的四边形是矩形易证四边形EFGH 为矩形，根据矩形的性质得到EH=FG，
∠A= B= D= C=90°
∠
∠
∠
，根据余角的性质得到∠AEH= CGF
∠
，根据全等三角形的性质得到
CF=AH=1，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解析】
解：∵∠HEJ= AEH
∠
，∠BEF= FEJ
∠
，
HEF= HEJ+ FEJ=
∴∠
∠
∠
×180°=90°，
同理可得：∠EHG= HGF= EFG=90°
∠
∠
，
∴四边形EFGH 为矩形，
EH=FG
∴
，
∵四边形ABCD 是矩形，
A= B= D= C=90°
∴∠
∠
∠
∠
，
AEH+ AHE= AHE+ DHG= DHG+ DGH= DGH+ CGF=90°
∴∠
∠
∠
∠
∠
∠
∠
∠
，
AEH= CGF
∴∠
∠
，
AEH
CGF
∴△
△
≌
（AAS），
CF=AH=1
∴
，
AEH
BFE
∴△
△
∽
，
∴
＝
，
由折叠的性质的，AE=EJ=BE=
AB=
a，
∴
=
，
a
∴2=4b-4，
故选A．
【点睛】
本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的
判定和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
11．如图，在△ABC 中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D 是BC 的中点，直线l 经过点D，
AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF 的最大值为（ ）
A．
B．2
C．2
D．3
【答案】A
【分析】
把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．
【解析】
解：如图，过点C 作CK l
⊥于点K，过点A 作AH BC
⊥
于点H，
在Rt
AHB
△
中，
ABC
∵∠
＝60°，AB＝2，
BH
∴
＝1，AH＝
，
在Rt
AHC
△
中，∠ACB＝45°，
AC
∴
＝
，
∵点D 为BC 中点，
BD
∴
＝CD，
在△BFD 与△CKD 中，
，
BFD
CKD
∴△
△
≌
（AAS），
BF
∴
＝CK，
延长AE，过点C 作CN AE
⊥
于点N，
可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，
在Rt
ACN
△
中，AN＜AC，
当直线l AC
⊥
时，最大值为
，
综上所述，AE+BF 的最大值为
．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关
键．
12．如图，正方形ABCD 中，E、F 是对角线AC 上两点，连接BE、BF、DE、DF，则添加下列条
件①∠ABE＝∠CBF；②AE＝CF；③AB＝AF；④BE＝BF．可以判定四边形BEDF 是菱形的条件
有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】
根据正方形的四条边都相等，对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角的性质，再加上各
选项的条件，对各选项分析判断后即可得出正确选项的个数
【解析】
解：如图，连接BD，交AC 于点O，
在正方形ABCD 中，AB=BC，∠BAC=∠ACB，AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，
①在△ABE 与△BCF 中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE=BF，
∵AC⊥BD，
∴OE=OF，
所以四边形BEDF 是菱形，故①选项正确；
②在正方形ABCD 中，AC=BD，
∴OA=OB=OC=OD，
∵AE=CF，
∴OE=OF，又EF⊥BD，BO=OD，
∴四边形BEDF 是菱形，故②选项正确；
③AB=AF，不能推出四边形BEDF 其它边的关系，故不能判定是菱形，本选项错误；
④BE=BF，同①的后半部分证明，故④选项正确．
所以①②④共3 个可以判定四边形BEDF 是菱形．
故选：C．
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分）
13．若a＋
﹣b＝0 且ab≠0，则
的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
求出a、b 同号，分为两种情况：当a＞0 时，当b＞0 时，
，求出方程的解即可；
当a＜0 时，b＜0 时 ，
,求出方程的解即可.
【解析】
因为ab≥0，ab≠0，
所以ab＞0.
所以a、b 同号.
当a＞0，b＞0 时，
＝0，
即
＝0，
解这个方程得，
，
因为
，
所以
，
所以
＝
；
当a＜0，b＜0 时，
＝0，
即
＝0，
解这个方程得，
，
因为
，
所以
，
所以
＝
.
综上，
＝
.
【点睛】
本题考查分式的值及二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解题关键.
14．如图，在Rt
ABC
△
中，∠ACB=90°，AD 平分∠BAC 与BC 相交于点D，若BD=2，CD=1，则
AC 的长是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
作DE AB
⊥
于E，根据角平分线的性质得到DE=DC，根据勾股定理求出BE，再根据勾股定理计算
即可．
【解析】
解：作DE AB
⊥
于E，
AD
∵
是∠BAC 的平分线，∠ACB=90°，DE AB
⊥
，
DE=DC=1
∴
，
在Rt
ACD
△
和Rt
AED
△
中，
Rt
ACD Rt
AED
∴
△
△
≌
（HL），
AC=AE
∴
，
由勾股定理得
，
设AC=AE=x，
由勾股定理得x2+32=（x+
）
2，
解得x=
．
AC=
∴
．
故答案为：
．
【点睛】
本题考查的是勾股定理以及角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题
的关键．
15．式子
有意义的条件是__________．
【答案】
且
【分析】
式子
有意义，则x-2≥0，x-3≠0，解出x 的范围即可.
【解析】
式子
有意义，则x-2≥0，x-3≠0，解得：
，
，故答案为
且
.
【点睛】
此题考查二次根式及分式有意义，熟练掌握二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，
及解不等式是解决本题的关键.
16．在Rt△ABC 中，∠C=90°，若a:b=3:4，c=20，则a=_____，b=_______.
【答案】 12 16
【解析】设a=3x，b=4x，根据勾股定理可得c=5x．又c=20，即5x=20，所以x=4，因此a=3x=12，
b=4x=16．
17．如图，6×6 正方形网格（每个小正方形的边长为1）中，网格线的交点称为格点，△ABC 的顶
点都在格点上，D 是BC 的中点．则AC=__________；AD=__________．
【答案】2
，
【分析】
根据勾股定理计算即可．
【解析】
由题意得,BD=CD=
，
由勾股定理得,AC=
=2
，
AD=
=
.
故答案为2
;
.
【点睛】
本题考查了勾股定理，解题的关键是熟练的掌握勾股定理的运算法则.
18．如图，E 为▱ABCD 内任一点，且▱ABCD 的面积为6，则图中阴影部分的面积为_____．
【答案】3
【分析】
根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于平行四边形面积的一半．所以S 阴影＝
S 四边形
ABCD．
【解析】
解：设两个阴影部分三角形的底为AB，CD，高分别为h1，h2，则h1+h2为平行四边形的高，
∴S△EAB+S△ECD＝
AB•h1+
CD•h2＝
AB（h1+h2）
＝
S 四边形ABCD＝
×6＝3．
故答案为：3．
三、解答题（本大题共6 小题，共66 分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．(1)
； (2)
．
【答案】(1)
；(2 )
【解析】
【分析】
（1）先把二次根式化简，然后再合并类二次根式
（2）先运用完全平方公式和平方差公式计算，再进行二次根式的加减法即可.
【解析】
解：（1）原式=4
-
+
=4
（2）原式=3-2
+2-4+5
=6-2
故答案为(1)
；(2 )
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，
然后合并同类二次根式．也考查了完全平方公式和平方差公式.
20．已知
满足
．
（1）
有意义，
的取值范围是 ；则在这个条件下将
去掉绝对值符号可
得
（2）根据（1）的分析，求
的值．
【答案】（1）
；
；（2）2020
【分析】
（1）根据二次根式有意义的条件，即可求出a 的取值范围；根据a 的取值范围，结合绝对值的意义，
即可进行化简.
（2）根据（1）的分析进行化简，求出
，然后求出答案即可.
【解析】
解：（1）∵
有意义，
∴
，
∴
；
∴
，
∴
；
故答案为：
；
；
（2）由（1）可知，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
.
【点睛】
本题考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，绝对值的意义，化简绝对值，解题的关键是
熟练掌握二次根式的性质和绝对值的意义进行解题.
21．如图，在△ABC 中，AB＞AC，点D 在边AC 上．
（1）作∠ADE，使∠ADE＝∠ACB，DE 交AB 于点E；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若BC＝5，点D 是AC 的中点，求DE 的长．
【答案】（1）作图见解析；（2）
【分析】
（1）根据作一个角等于已知角的步骤解答即可；
（2）由作法可得DE BC
∥
，又因为D 是AC 的中点，可证DE 为△ABC 的中位线，从而运用三角形
中位线的性质求解．
【解析】
解：（1）如图，∠ADE 为所作；
（2）∵∠ADE= ACB
∠
，
DE BC
∴
∥
，
∵点D 是AC 的中点，
DE
∴
为△ABC 的中位线，
DE=
∴
BC=
．
22．已知：如图，
（1）求证:
；
（2）求证：
；
（3）若
，求
的度数.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【分析】
（1）根据
可得
；
（2）根据
可得
，根据
，有
，则
（3）根据
可得
，根据
，有
，
【解析】
证明：（1）
∵
∴
（2）
∵
∴
∵
∴
∴
（3）∵
∴
∵
∴
【点睛】
本题考查的是平行线的性质和证明，熟悉相关性质是解题的关键．
23．已知：在矩形ABCD 中，AB＝10，BC＝12，四边形EFGH 的三个顶点E、F、H 分别在矩形
ABCD 边AB、BC、DA 上，AE＝2．
（1）如图①，当四边形EFGH 为正方形时，求△GFC 的面积；
（2）如图②，当四边形EFGH 为菱形，且BF＝a 时，求△GFC 的面积（用a 表示）；
（3）在（2）的条件下，△GFC 的面积能否等于2？请说明理由．
【答案】（1）10；（2）12－a；（3）不能，理由见解析.
【分析】
（1）过点G 作GM BC
⊥
于M，可以证明△MFG
BEF
≌△
，就可以求出GM 的长，进而就可以求出
FC，求出面积．
（2）证明△AHE
MFG
≌△
．得到GM 的长，根据三角形的面积公式就可以求出面积．
（3）△GFC 的面积不能等于2，根据面积就可以求出a 的值，在△BEF 中根据勾股定理就可以得
到EF，进而在直角△AHE 中求出AH．
【解析】
解：（1）如图1，过点G 作GM BC
⊥
于M．在正方形EFGH 中，
HEF
∠
＝90°，EH＝EF，
AEH
∴∠
＋∠BEF＝90°．
AEH
∵∠
＋∠AHE＝90°，
AHE
∴∠
＝∠BEF．
又∵∠A＝∠B＝90°，
AHE
BEF
∴△
△
≌
．
同理可证△MFG
BEF
≌△
．
GM
∴
＝BF＝AE＝2．
FC
∴
＝BC－BF＝10．
∴
．
（2）如图2，过点G 作GM BC
⊥
交BC 的延长线于M，连接HF．
AD BC
∵
∥
，
AHF
∴∠
＝∠MFH．
EH FG
∵
∥
，
EHF
∴∠
＝∠GFH．
AHE
∴∠
＝∠MFG．
又∵∠A＝∠GMF＝90°，EH＝GF，
AHE
MFG
∴△
△
≌
．
GM
∴
＝AE＝2．
∴
．
（3）△GFC 的面积不能等于2．
解法一：∵若S
GFC
△
＝2，则12－a＝2，∴a＝10．
此时，在△BEF 中，
．
在△AHE 中，
，
AH
∴
＞AD，即点H 已经不在边AD 上，故不可能有S
GFC
△
＝2．
解法二：△GFC 的面积不能等于2．
∵点H 在AD 上，
∴菱形边EH 的最大值为
，
BF
∴
的最大值为
．
又∵函数S
GFC
△
＝12－a 的值随着a 的增大而减小，
S
∴
GFC
△
的最小值为
．
又∵
，
GFC
∴△
的面积不能等于2．
【点睛】
解决本题的关键是证明三角形全等．
24．如图，在等边
中，
是
的一个外角．
实践与操作：根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）第一步：作
的平分线
；
第二步：作线段
的垂直平分线，与
交于点
，与
边交于点
．
（2）在（1）的基础上，若
，求
的长．
【答案】（1）见解析；（2）
.
【分析】
（1）根据角平分线的作法以及垂直平分线的作法解答即可
（2）根据BF 是AC 的垂直平分线，证得OC=4，OC BF
⊥
，∠CBF=30°，进而由勾股定理求得OB=
，再根据CM 平分∠ACD，证得CB=CF，最后可求得BF=OM+OB=
.
【解析】
（1）如图，
（2）∵△ABC 为等边三角形，且BC=8，
AC=BC=8
∴
，∠ABC= ACB=60°
∠
，
ACD=120°
∴∠
，
BF
∵
是AC 的垂直平分线，
OC=
∴
AC=4，OC BF
⊥
，
CBF=
∴∠
ABC=30°
∠
，
∴在
中，
，
CM
∵
平分∠ACD，
ACM=
∴∠
ACD=60°
∠
，
CFB=30°
∴∠
CFB= CBF
∴∠
∠
，
CB=CF
∴
，
AC
∴
是BF 的垂直平分线，
OM=OB=
∴
，
BF=OM+OB=
∴
【点睛】
本题考查等边三角形的性质、角平分线与垂直平分线的作图及其性质，同时还考查了垂直平分线的
逆定理以及勾股定理，熟练掌握角平分线与垂直平分线的性质是解题的关键.
