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第 7 章 动量守恒定律
第 1 节 动量定理及其应用
五年高考
1.★★(2021湖南,2,4分)物体的运动状态可用位置x和动量p描述,称为相,对应p-x
图像中的一个点。物体运动状态的变化可用p-x图像中的一条曲线来描述,称为
相轨迹。假如一质点沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动,则对应的相
轨迹可能是( )
A B C D
答案 D
2.★★(2022北京,12,3分)“雪如意”是我国首座国际标准跳台滑雪场地。跳台滑雪
运动中,裁判员主要根据运动员在空中的飞行距离和动作姿态评分。运动员在进
行跳台滑雪时大致经过四个阶段:①助滑阶段,运动员两腿尽量深蹲,顺着助滑道
的倾斜面下滑;②起跳阶段,当进入起跳区时,运动员两腿猛蹬滑道快速伸直,同时
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上体向前伸展;③飞行阶段,在空中运动员保持身体与雪板基本平行、两臂伸直贴
放于身体两侧的姿态;④着陆阶段,运动员落地时两腿屈膝,两臂左右平伸。下列
说法正确的是 ( )
A.助滑阶段,运动员深蹲是为了减小与滑道之间的摩擦力
B.起跳阶段,运动员猛蹬滑道主要是为了增加向上的速度
C.飞行阶段,运动员所采取的姿态是为了增加水平方向速度
D.着陆阶段,运动员两腿屈膝是为了减少与地面的作用时间
答案 B
3.★★(2022山东,2,3分)我国多次成功使用“冷发射”技术发射长征十一号系列运
载火箭。如图所示,发射仓内的高压气体先将火箭竖直向上推出,
火箭速度接近零时再点火飞向太空。从火箭开始运动到点火的过程中 ( )
A.火箭的加速度为零时,动能最大
B.高压气体释放的能量全部转化为火箭的动能
C.高压气体对火箭推力的冲量等于火箭动量的增加量
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D.高压气体的推力和空气阻力对火箭做功之和等于火箭动能的增加量
答案 A
4.★★★(2023河北,6,4分)某科研团队通过传感器收集并分析运动数据,为跳高运动
员的技术动作改进提供参考。图为跳高运动员在起跳过程中,其单位质量受到地
面的竖直方向支持力随时间变化关系曲线。图像中10.10 s至10.35 s内,曲线下
方的面积与阴影部分的面积相等。已知该运动员的质量为60 kg,重力加速度g取
10 m/s2。下列说法正确的是( )
A.起跳过程中运动员的最大加速度约为42 m/s2
B.起跳后运动员重心上升的平均速度大小约为3 m/s
C.起跳后运动员重心上升的最大高度约为0.45 m
D.起跳过程中运动员所受合力的冲量大小约为330 N·s
答案 C
三年模拟
1.★★[2025届皖(县中)发展共同体联考]郑钦文在2024年巴黎奥运会网球女单比赛
中夺冠,创造了历史。某次她发球时将网球斜向下击出,不计空气阻力,则 ( )
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A.落地前,网球处于超重状态
B.落地前,在相同时间内,网球的动量变化量相同
C.落地前,在相同时间内,网球的动能变化量相同
D.若仅增大击球的初速度,网球在空中飞行的时间不变
答案 B
2.★★(2025届名校新高考研究联盟联考)游乐园内喷泉喷出的水柱使得质量为M的
卡通玩具悬停在空中(假设这样冲水能保持短暂平衡)。设喷泉水柱从横截面积为
S的喷口以速度v 持续竖直向上喷出;玩具底部为平面(面积大于S);水柱冲击到玩
0
具底部后,竖直方向的速度变为零,朝四周均匀散开。已知水的密度为ρ,忽略水在
与玩具底部作用时水的重力影响,当地重力加速度为g,不计空气阻力。下列说法
错误的是 ( )
A.水柱对玩具底部的作用力大小等于玩具重力
B.水柱对玩具底部的作用力与玩具重力是一对平衡力
C.喷泉单位时间内喷出的水质量为ρv S
0
v2 M2g
D.玩具在空中悬停时,其底部相对于喷口的高度为 0-
g
ρ2v2S2
0
答案 D
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3.★★(2025届杭州一模)某水流造景设施的截面如图所示,水平喷水口P的横截面
积为S、喷出水的流速恒定为v,从P喷出的水柱恰好能垂直撞到倾角为30°的斜
面上的B处,速度瞬间变为零,之后沿斜面流下。已知水的密度为ρ,重力加速度为
g,不计空气阻力,则 ( )
A.水流单位时间撞到B处的体积为2Sv
√3v
B.水流在B处的速度为
3
C.水流对B处的冲击力为ρSv2
√3ρSv2
D.空中水的质量为
g
答案 D
4.★★★(2025届G12名校协作体开学考)高水平的足球运动员可以做到指哪打哪。
如图所示是某次训练中分别将质量均为m的完全相同的两个足球射入两扇分别
位于高h 、h 处的窗户,出脚处到窗户的水平距离为x,两次均恰好将球垂直射入
1 2
窗户。假设两次出球速度大小均为v ,两次出球速度与水平方向夹角分别为θ 、
0 1
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θ ,球从射出到水平射入窗户时在空中飞行时间分别为t 、t 。足球可视为质点,两
2 1 2
球的运动轨迹在同一竖直面内,且不计空气阻力,重力加速度为g。则下列说法正
确的是 ( )
A.球在空中过程动能变化量之比 sin2θ ∶ sin2θ
1 2
B.球在空中过程重力冲量之比 cos θ ∶cos θ
1 2
C.射入位于高h 处的窗户的足球,运动员对球做的功为mg(h -h )
2 2 1
D.水平距离与足球飞行时间满足x=2gt t
1 2
答案 A
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第 2 节 动量守恒定律
五年高考
1.★★(2024广西,8,6分)(多选)如图,在光滑平台上有两个相同的弹性小球M和N。
M水平向右运动,速度大小为v。M与静置于平台边缘的N发生正碰,碰撞过程中
总机械能守恒。若不计空气阻力,则碰撞后,N在 ( )
A.竖直墙面上的垂直投影的运动是匀速运动
B.竖直墙面上的垂直投影的运动是匀加速运动
C.水平地面上的垂直投影的运动速度大小等于v
D.水平地面上的垂直投影的运动速度大小大于v
答案 BC
2.★★★(2022北京,10,3分)
质量为m 和m 的两个物体在光滑水平面上正碰,其位置坐标x随时间t变化的图
1 2
像如图所示。下列说法正确的是 ( )
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A.碰撞前m 的速率大于m 的速率
2 1
B.碰撞后m 的速率大于m 的速率
2 1
C.碰撞后m 的动量大于m 的动量
2 1
D.碰撞后m 的动能小于m 的动能
2 1
答案 C
3.★★★(2021浙江1月,12,3分)在爆炸实验基地有一发射塔,发射塔正下方的水平地
面上安装有声音记录仪。爆炸物自发射塔竖直向上发射,上升到空中最高点时炸
裂成质量之比为2∶1、初速度均沿水平方向的两个碎块。遥控器引爆瞬间开始计
时,在5 s末和6 s末先后记录到从空气中传来的碎块撞击地面的响声。已知声音
在空气中的传播速度为340 m/s,忽略空气阻力,g取10 m/s2。下列说法正确的是
( )
A.两碎块的位移大小之比为1∶2
B.爆炸物的爆炸点离地面高度为80 m
C.爆炸后质量大的碎块的初速度为68 m/s
D.爆炸后两碎块落地点之间的水平距离为340 m
答案 B
三年模拟
1.★★(2025届江苏扬州高邮月考)以下关于四幅图的说法,正确的是 ( )
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A.图甲中火箭爆炸的瞬间机械能守恒
B.图乙中A、B用压缩的弹簧连接放于光滑的水平面上,释放后A的动量守恒
C.图丙中子弹击穿木球的过程中,子弹和木球组成的系统动量守恒
D.图丁中小车位于光滑的水平面上,人将小球水平向左抛出后,车、人和球组成的
系统动量守恒
答案 C
2.★★(2024届宁波二模)斜面倾角为θ、长度为l、质量为m 的光滑斜面体(不固定)
2
静置于光滑水平面上,一质量为m 的滑块沿光滑斜面顶端静止滑下。重力加速度
1
为g。滑块可看成质点,则滑块滑到斜面底端所用的时间为( )
√4l(m +m sin2θ) √2l(m +m sin2θ) √ 2l
A. 2 1 B. 2 1 C.
(m +m )gsinθ (m +m )gsinθ gsinθ
1 2 1 2
√4l(m +m sin2θ)
D. 2 1
(m +m ) 2gsinθ
1 2
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答案 B
3.★★★(2025届新阵地教育联盟联考)(多选)在光滑绝缘水平面上,三个完全相同的带
电小球通过不可伸长的绝缘轻质细线,连接成边长为d的正三角形,如图甲所示。
小球质量都为m,带电荷量均为+q,可视为点电荷。初始时,小球均静止,细线拉直,
现将球A和球B间的细线剪断,当三个小球运动到同一条直线上时,速度大小分别
为v 、v 、v ,如图乙所示。当三个小球再次运动到成正三角形时,速度大小分别
1 1 2
Qq
为v 、v 、v ,如图丙所示,不计空气阻力,已知两点电荷的电势能E =k (r为两点
3 3 4 p
r
电荷之间的距离,k为静电力常量)。下列说法正确的是 ( )
kq2
A.图甲到图乙过程中,系统电势能减少
2d
√km
B.图甲到图乙过程中,球A所受合力冲量大小为q
6d
C.图甲到图丙过程中,球C所受合力冲量大小大于小球B所受合力冲量大小
D.速度大小v >v ,v >v
2 1 4 3
答案 AB
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4.★★★(2025届名校新高考研究联盟联考)如图所示,质量m =0.1 kg的小物块P从静
1
止开始沿斜面AB和水平面BC运动到C点,与C点处一质量m =0.3 kg的小物块
2
Q发生碰撞,碰撞后,小物块Q从C点飞出,运动到水平地面上的D点。斜面AB与
水平面之间的夹角为θ,且 tan θ=0.5,斜面AB与水平面BC平滑连接,且小物块与
斜面AB、水平面BC间动摩擦因数μ均为0.2,水平面BC的长为x =0.3 m,C点
BC
距离水平地面的高度H=0.6 m。(不计空气阻力,重力加速度g为10 m/s2)。
(1)若小物块Q从C点运动到D点的水平距离x =0.6 m,求小物块Q从C点抛出
OD
的初速度v 的大小。
C
(2)若小物块P从h=1.7 m处下滑,且最终x =0.6 m,计算并回答:小物块P、Q发生
OD
的是否为弹性碰撞?
(3)若小物块P、Q发生的是弹性碰撞,当释放高度h满足什么条件时,小物块Q能
从C点飞出,而小物块P不会从C点飞出?
61
答案 (1)√3 m/s (2)见解析 (3)0.7 m<h≤ m
30
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1
解析 (1)由题意可知小物块Q从C点抛出,做平抛运动,则在竖直方向上有H=
2
gt2,在水平方向上有x =v t,解得v =√3 m/s。
OD C C
(2)小物块P从静止开始运动到C点的过程中,由动能定理有m g(h-H)-
1
( μm gcosθ· ℎ−H +μm gx ) = 1 m v2-0,解得v =2√3 m/s,设碰撞后小物块P和
1 sinθ 1 BC 2 1 0 0
Q的速度大小分别为v 和v ,若小物块P、Q发生弹簧碰撞,则由动量守恒可得
1 2
1 1 1
m v +0=m v +m v ,由机械能守恒可得 m v2+0= m v2+ m v2,解得v =√3 m/s,因
1 0 1 1 2 2 2 1 0 2 1 1 2 2 2 2
v =v ,故假设成立,P、Q发生的是弹性碰撞。
2 C
(3)第一种情况:小物块P到达C点时,速度恰好为0,由动能定理有
( ℎ −H )
m g(h -H)- μm gcosθ· 1 +μm gx =0,可得h =0.7 m;
1 1 1 sinθ 1 BC 1
第二种情况:碰撞后,小物块P反弹回斜面AB上,第二次下滑回到C点时速度为
0。
小物块P第一次从A运动到C的过程中,由动能定理得
( ℎ −H ) 1
m g(h -H)- μm gcosθ· 2 +μm gx = m v '2-0,碰撞时,根据动量守恒和能量
1 2 1 sinθ 1 BC 2 1 1
1 1 1
守恒分别有m
1
v
1
'+0=m
1
v
1
″+m
2
v'
2
,
2
m
1
v
1
'2+0=
2
m
1
v
1
″2+
2
m
2
v'❑
2
2,为保证小物块P第
二次从斜面AB滑下后不从C点飞出,小物块P碰后回到斜面AB到达的最高点应
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与第一种情况中释放点相同,P从碰后至运动到最高点由动能定理有-m g(h -H)-
1 1
( ℎ −H ) 1
μm gcosθ· 1 +μm gx =0- m v ″2(点拨:第一种情况的逆过程),联立解得
1 sinθ 1 BC 2 1 1
61 61
v ″=-2 m/s,v '=4 m/s,h = m,故h的取值为0.7 m<h≤ m。
1 1 2 30 30
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微专题 11 动量守恒中的几种常见模型
1.★★★(2024江苏,9,4分)如图所示,在水平面上有一个U形滑板A,A的上表面有一
个静止的物体B,左侧用轻弹簧连接在滑板A的左端,右侧用一根细绳连接在滑板
A的右端,开始时弹簧处于拉伸状态,各表面均光滑,剪断细绳后,则 ( )
A.弹簧恢复原长时A的动能最大
B.弹簧压缩最短时A的动量最大
C.系统动量变大
D.系统机械能变大
答案 A
2.★★★(2024届绍兴一中月考)如图所示,质量为2m的U形光滑导轨平放在水平面
上,一水平轻弹簧左端与U形导轨的中点相连,右端与质量为m的细杆ab的中点
相连,细杆ab横放在U形导轨上。初始时轻弹簧处于原长状态,分别给U形导
1 4
轨、细杆ab水平向右的大小分别为 v 、 v 的初速度。运动过程中细杆ab始
0 0
3 3
终在导轨上,且与U形导轨的两个平行轨道垂直,轻弹簧始终在弹性限度内,则在
运动过程中( )
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A.U形导轨和细杆ab组成的系统动量不守恒
B.U形导轨和细杆ab组成的系统机械能守恒
C.轻弹簧再次恢复到原长时,细杆ab的速度不为0
2
D.轻弹簧长度最长时,整个系统的动能为 mv2
3 0
答案 D
3.★★★(2025浙江1月,8,3分)如图所示,光滑水平地面上放置完全相同的两长板A
和B,滑块C(可视为质点)置于B的右端,三者质量均为1 kg。A以4 m/s的速度向
右运动,B和C一起以2 m/s的速度向左运动,A和B发生碰撞后粘在一起不再分
开。已知A和B的长度均为0.75 m,C与A、B间动摩擦因数均为0.5,则(重力加
速度g=10 m/s2) ( )
A.碰撞瞬间C相对地面静止
B.碰撞后到三者相对静止,经历的时间为0.2 s
C.碰撞后到三者相对静止,摩擦产生的热量为12 J
D.碰撞后到三者相对静止,C相对长板滑动的距离为0.6 m
答案 D
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4.★★★(2024湖北,10,4分)(多选)如图所示,在光滑水平面上静止放置一质量为M、
长为L的木块,质量为m的子弹水平射入木块。设子弹在木块内运动过程中受到
的阻力不变,其大小f与射入初速度大小v 成正比,即f=kv (k为已知常数)。改变子
0 0
弹的初速度大小v ,若木块获得的速度最大,则 ( )
0
2kL(m+M)
A.子弹的初速度大小为
mM
2mM
B.子弹在木块中运动的时间为
k(m+M)
k2L2 (m+M)
C.木块和子弹损失的总动能为
mM
mL
D.木块在加速过程中运动的距离为
m+M
答案 AD
5.★★★(2024黑吉辽,14,12分)如图,高度h=0.8 m的水平桌面上放置两个相同物块
A、B,质量m =m =0.1 kg。A、B间夹一压缩量Δx=0.1 m的轻弹簧,弹簧与A、B
A B
不拴接。同时由静止释放A、B,弹簧恢复原长时A恰好从桌面左端沿水平方向
飞出,射程x =0.4 m;B脱离弹簧后沿桌面滑行一段距离x =0.25 m后停止。A、B
A B
均视为质点,取重力加速度g=10 m/s2。求:
(1)脱离弹簧时A、B的速度大小v 和v ;
A B
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(2)物块与桌面间的动摩擦因数μ;
(3)整个过程中,弹簧释放的弹性势能ΔE 。
p
答案 (1)1 m/s 1 m/s (2)0.2 (3)0.12 J
6.★★★(2024安徽,14,14分)如图所示,一实验小车静止在光滑水平面上,其上表面有
粗糙水平轨道与光滑四分之一圆弧轨道,圆弧轨道与水平轨道相切于圆弧轨道最
低点。一物块静止于小车最左端,一小球用不可伸长的轻质细线悬挂于O点正下
方,并轻靠在物块左侧。现将细线拉直到水平位置,由静止释放小球,小球运动到
最低点时与物块发生弹性碰撞。碰撞后,物块沿小车上的轨道运动。已知细线长
L=1.25 m,小球质量m=0.20 kg,物块、小车质量均为M=0.30 kg,小车上的水平轨
道长s=1.0 m,圆弧轨道半径R=0.15 m。小球、物块均可视为质点,不计空气阻力,
重力加速度g取10 m/s2。
(1)求小球运动到最低点与物块碰撞前,所受拉力的大小;
(2)求小球与物块碰撞后的瞬间,物块速度的大小;
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(3)为使物块能进入圆弧轨道,且在上升阶段不脱离小车,求物块与水平轨道间的动
摩擦因数μ的取值范围。
答案 (1)6 N (2)4 m/s (3)0.25≤μ<0.4
7.★★★(2024甘肃,14,15分)如图,质量为2 kg的小球A(视为质点)在细绳O'P和OP
作用下处于平衡状态,细绳O'P=OP=1.6 m,与竖直方向的夹角均为60°。质量为6
kg的木板B静止在光滑水平面上,质量为2 kg的物块C静止在B的左端。剪断
细绳O'P,小球A开始运动。(重力加速度g取10 m/s2)
(1)求A运动到最低点时细绳OP所受的拉力。
(2)A在最低点时,细绳OP断裂。A飞出后恰好与C左侧碰撞(时间极短),碰后A竖
直下落,C水平向右运动。求碰后C的速度大小。
(3)A、C碰后,C相对B滑行4 m后与B共速。求C和B之间的动摩擦因数。
答案 (1)40 N 方向由O指向P (2)4 m/s (3)0.15
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微专题 12 力学三大观点的综合应用
1.★★★(2025届新阵地教育联盟联考)如图所示,光滑水平桌面上放有长为2L=2 m
的木板C,在木板C上的中点右侧光滑,左侧粗糙且动摩擦因数μ=0.3。木板C中
点处放有物块B(恰好处于粗糙处),右端挡板连接一劲度系数为k=10 N/m的轻质
弹簧,左侧紧挨着一固定在地面上的四分之一圆弧轨道D,D上表面光滑且半径
R=5 m。轨道D右端与C板等高。将物块A从轨道D不同高度处静止释放后无
能量损失冲上木板C。A、B、C(连同挡板)的质量均为m=1 kg。A、B的大小以
及挡板厚度皆可忽略不计,轻质弹簧原长小于1 m,重力加速度g=10 m/s2,最大静
1
摩擦力等于滑动摩擦力,弹簧弹性势能公式为E = k(Δx)2。
p
2
(1)现将A从D的最高点释放,求A在D的最低点时受到轨道D的支持力大小;
(2)A滑上木板后,B和C将相对静止一起运动,求此时B和C之间的静摩擦力大小;
(3)从轨道D上某一高度h 释放A,使A与B能发生弹性碰撞,求高度h 应满足的
1 1
条件;
(4)从轨道D上某一高度h 释放A,A与B发生弹性碰撞。当弹簧形变量最大时,A
2
与C之间恰好滑动,求A释放的最大高度h 。
2
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答案 (1)30 N (2)1.5 N (3)5 m≥h ≥0.45 m
1
(4)0.72 m
2.★★★(2024浙江6月,18,11分)一弹射游戏装置竖直截面如图所示,固定的光滑水
平直轨道AB、半径为R的光滑螺旋圆形轨道BCD、光滑水平直轨道DE平滑连
接。长为L、质量为M的平板紧靠长为d的固定凹槽EFGH侧壁EF放置,平板
上表面与DEH齐平。将一质量为m的小滑块从A端弹射,经过轨道BCD后滑上
平板并带动平板一起运动,平板到达HG即被锁定。已知R=0.5 m,d=4.4 m,L=1.8
m,M=m=0.1 kg,平板与滑块间的动摩擦因数μ =0.6、与凹槽水平底面FG间的动
1
摩擦因数为μ 。滑块视为质点,不计空气阻力,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重
2
力加速度g取10 m/s2。
(1)滑块恰好能通过圆形轨道最高点C时,求滑块离开弹簧时速度v 的大小;
0
(2)若μ =0,滑块恰好过C点后,求平板加速至与滑块共速时系统损耗的机械能;
2
(3)若μ =0.1,滑块能到达H点,求其离开弹簧时的最大速度v 。
2 m
答案 (1)5 m/s (2)0.625 J (3)6 m/s
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3.★★★(2025浙江1月,16,11分)一游戏装置的竖直截面如图所示。倾斜直轨道
AB、半径为R的竖直螺旋轨道、水平轨道BC和C'E、倾角为37°的倾斜直轨道
EF平滑连接成一个抛体装置。该装置除EF段轨道粗糙外,其余各段均光滑,F点
与水平高台GHI等高。游戏开始,一质量为m的滑块1从轨道AB上的高度h处
静止滑下,与静止在C点、质量也为m的滑块2发生完全非弹性碰撞后组合成滑
块3,滑上滑轨。若滑块3落在GH段,反弹后水平分速度保持不变,竖直分速度减
5
半;若滑块落在H点右侧,立即停止运动。已知R=0.2 m,m=0.1 kg,EF段长度L=
16
m,F、G间距L =0.4 m,G、H间距L =0.22 m,H、I间距L =0.1 m,滑块与EF段
FG GH HI
轨道间的动摩擦因数μ=0.25。滑块1、2、3均可视为质点,不计空气阻力, sin
37°=0.6, cos 37°=0.8,重力加速度g=10 m/s2。
(1)若h=0.8 m,求碰撞后瞬间滑块3的速度大小v ;
C
(2)若滑块3恰好能通过圆轨道CDC',求高度h;
(3)若滑块3最终落入I点的洞中,则游戏成功。讨论游戏成功的高度h。
答案 见解析
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1
解析 (1)根据机械能守恒定律有mgh= mv2
2 0
根据动量守恒定律有mv =2mv
0 C
解得v =2 m/s
C
v2
(2)根据牛顿第二定律有2mg=2m D
R
1 1 1
根据机械能守恒定律有2mg·2R+ ·2mv2= ·2mv'❑ 2,mgh= mv'❑ 2
2 D 2 C 2 0
由动量守恒定律有mv' =2mv'
0 C
联立解得h=2 m
1 1
(3)C→F过程,根据功能关系有 ·2mv″❑ 2= ·2mv2+2mgL sin 37°+μ·2mgL cos
2 C 2 F
37°
①直接落入洞中
2v sin37°
t= F
g
d=v t cos 37°
F
解得h=2.5 m
②经一次反弹后落入洞中
2v sin37° v sin37° 3v sin37°
t'= F + F = F
g g g
解得h=2 m
4.★★★★(2023浙江6月,18,11分)为了探究物体间碰撞特性,设计了如图所示的实
验装置。水平直轨道AB、CD和水平传送带平滑无缝连接,两半径均为R=0.4 m
第 22 页 共 43 页北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
的四分之一圆周组成的竖直细圆弧管道DEF与轨道CD和足够长的水平直轨道
FG平滑相切连接。质量为3m的滑块b与质量为2m的滑块c用劲度系数k=100
N/m的轻质弹簧连接,静置于轨道FG上。现有质量m=0.12 kg的滑块a以初速度
v =2√21 m/s从D处进入,经DEF管道后,与FG上的滑块b碰撞(时间极短)。已
0
知传送带长L=0.8 m,以v=2 m/s 的速率顺时针转动,滑块a与传送带间的动摩擦
1
因数μ=0.5,其他摩擦和阻力均不计,各滑块均可视为质点,弹簧的弹性势能E =
p 2
kx2(x为形变量)。g=10 m/s2。
(1)求滑块a到达圆弧管道DEF最低点F时速度大小v 和所受支持力大小F ;
F N
(2)若滑块a碰后返回到B点时速度v =1 m/s,求滑块a、b碰撞过程中损失的机械
B
能ΔE;
(3)若滑块a碰到滑块b立即被粘住,求碰撞后弹簧最大长度与最小长度之差Δx。
答案 (1)10 m/s 31.2 N (2)0 (3)0.2 m
第 23 页 共 43 页北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
实验 8 验证动量守恒定律
1.[2022浙江1月,17(2),3分]“探究碰撞中的不变量”的实验装置如图2所示,阻力很
小的滑轨上有两辆小车A、B,给小车A一定速度去碰撞静止的小车B,小车A、B
碰撞前后的速度大小可由速度传感器测得。
图2
①实验应进行的操作有 (单选)。
A.测量滑轨的长度
B.测量小车的长度和高度
C.碰撞前将滑轨调成水平
②表是某次实验时测得的数据:
A的 B的
碰撞前A 碰撞后A
质量 质量 的速度大 的速度大 碰撞后B的速度大小/(m·s-1)
小/ (m·s-1) 小/(m·s-1)
/kg /kg
0.2000.300 1.010 0.200 0.800
由表中数据可知,碰撞后小车A、B所构成系统的总动量大小是
kg·m/s(结果保留3位有效数字)。
答案 ①C ②0.200
第 24 页 共 43 页北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
2.(2024北京,16,10分)如图1所示,让两个小球在斜槽末端碰撞来验证动量守恒定
律。
(1)关于本实验,下列做法正确的是 (填选项前的字母)。
A.实验前,调节装置,使斜槽末端水平
B.选用两个半径不同的小球进行实验
C.用质量大的小球碰撞质量小的小球
(2)图1中O点是小球抛出点在地面上的垂直投影。首先,将质量为m 的小球从
1
斜槽上的S位置由静止释放,小球落到复写纸上,重复多次。然后,把质量为m 的
2
被碰小球置于斜槽末端,再将质量为m 的小球从S位置由静止释放,两球相碰,重
1
复多次。分别确定平均落点,记为M、N和P(P为m 单独滑落时的平均落点)。
1
a.图2为实验的落点记录,简要说明如何确定平均落点;
b.分别测出O点到平均落点的距离,记为OP、OM和ON。在误差允许范围内,若
关系式 成立,即可验证碰撞前后动量守恒。
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(3)受上述实验的启发,某同学设计了另一种验证动量守恒定律的实验方案。如图
3所示,用两根不可伸长的等长轻绳将两个半径相同、质量不等的匀质小球悬挂
于等高的O点和O'点,两点间距等于小球的直径。将质量较小的小球1向左拉起
至A点由静止释放,在最低点B与静止于C点的小球2发生正碰。碰后小球1向
左反弹至最高点A',小球2向右摆动至最高点D。测得小球1、2的质量分别为m
和M,弦长AB=l 、A'B=l 、CD=l 。
1 2 3
推导说明,m、M、l 、l 、l 满足什么关系即可验证碰撞前后动量守恒。
1 2 3
答案 (1)AC (2)a.见解析 b.m OP=m OM+m ON (3)ml =-ml +Ml 推导过程
1 1 2 1 2 3
见解析
解析 (1)实验前,应调节装置,使斜槽末端水平,保证小球抛出后的运动为平抛运
动,A正确。为保证两个小球发生对心正碰,选用的两个小球的半径必须相同,B错
误。为保证碰后小球不反向弹回,要用质量大的小球碰撞质量小的小球,C正确。
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(2)a.用圆规画一个尽可能小的圆,舍去偏离较远的落点,使尽量多的落点在圆内,圆
心位置就是平均落点位置。
b.设质量为m 的小球单独滑落做平抛运动的初速度为v ,碰撞后瞬间,质量为m
1 0 1
的小球的速度为v ,质量为m 的被碰小球的速度为v ,要验证动量守恒定律,即验
1 2 2
证m v =m v +m v ,本实验中两小球都做平抛运动,竖直位移相同,则运动时间相同,
1 0 1 1 2 2
水平方向做匀速直线运动,可得m v t=m v t+m v t,可知若测量的物理量满足关系
1 0 1 1 2 2
式m OP=m OM+m ON,即可验证碰撞前后动量守恒。
1 1 2
(3)设将小球1拉起至A点时轻绳与竖直方向的夹角为θ ,碰后小球1反弹到A'点
1
时轻绳与竖直方向的夹角为θ ,小球2向右摆动到最高点D时轻绳与竖直方向的
2
夹角为θ ,碰撞过程若满足动量守恒,则满足m√2gl(1−cosθ )=-m√2gl(1−cosθ )
3 1 2
+M√2gl(1−cosθ ),由几何关系结合三角函数知识可得l(1-cos θ )=l cos
3 1 1
(π−θ ) θ θ θ
1 =l sin 1,同理可得l(1-cos θ )=l sin 2,l(1-cos θ )=l sin 3,结合三角
1 2 2 3 3
2 2 2 2
θ
函数关系1-cos θ=2 sin2 ,可得ml =-ml +Ml 。
1 2 3
2
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3.(2023辽宁,11,8分)某同学为了验证对心碰撞过程中的动量守恒定律,设计了如下
实验:用纸板搭建如图所示的滑道,使硬币可以平滑地从斜面滑到水平面上,其中
OA为水平段。选择相同材质的一元硬币和一角硬币进行实验。
测量硬币的质量,得到一元和一角硬币的质量分别为m 和m (m >m )。将硬币甲
1 2 1 2
放置在斜面上某一位置,标记此位置为B。由静止释放甲,当甲停在水平面上某处
时,测量甲从O点到停止处的滑行距离OP。将硬币乙放置在O处,左侧与O点重
合,将甲放置于B点由静止释放。当两枚硬币发生碰撞后,分别测量甲、乙从O点
到停止处的滑行距离OM和ON。保持释放位置不变,重复实验若干次,得到OP、
OM、ON的平均值分别为s 、s 、s 。
0 1 2
(1)在本实验中,甲选用的是 (填“一元”或“一角”)硬币;
(2)碰撞前,甲到O点时速度的大小可表示为 (设硬币与纸板间的动摩擦
因数为μ,重力加速度为g);
√s −√s
0 1
(3)若甲、乙碰撞过程中动量守恒,则 = (用m 和m 表示),然后通
1 2
√s
2
过测得的具体数据验证硬币对心碰撞过程中动量是否守恒;
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(4)由于存在某种系统或偶然误差,计算得到碰撞前后甲动量变化量大小与乙动量
变化量大小的比值不是1,写出一条产生这种误差可能的原因:
。
m
答案 (1)一元 (2)√2μgs (3) 2
0 m
1
(4)见解析
解析 (1)用质量较大的一元硬币去碰撞质量较小的一角硬币,确保碰撞后甲的运
动方向不变。
1
(2)设甲到O点时速度的大小为v ,由动能定理有-μm gs =0- m v2,解得v =√2μgs
1 1 0 2 1 1 1 0
。
(3)由动能定理可得一元和一角硬币碰撞后的速度分别为v '=√2μgs ,v '=√2μgs
1 1 2 2
由动量守恒定律有m v =m v '+m v '
1 1 1 1 2 2
即m =m +m
1√2μgs 1√2μgs 2√2μgs
0 1 2
√s −√s m
0 1 2
解得 = 。
√s m
2 1
(4)①非理想的“对心”碰撞造成系统误差;②位移或质量的测量造成偶然误
差;③两硬币实际与纸板间的动摩擦因数不同造成系统误差。其他符合题意的原
因均可得分。
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图1
4.(2024届温州二模)实验小组用如图1所示装置来验证两个小球在斜槽末端碰撞
时的动量守恒。A、B为两个直径相同的小球,质量分别为m 、m ,且m >m 。实
1 2 1 2
验时,接球板水平放置,让入射球A多次从斜轨上E点静止释放,平均落点为P ;再
1
把被碰小球B静止放在水平轨道末端,再将入射小球A,从斜轨上某一位置静止释
放,与小球B相撞,并多次重复上述操作,分别记录两个小球碰撞后的平均落点
M 、N 。
1 1
(1)关于该实验的要求,说法正确的是 。
A.斜槽末端必须是水平的
B.斜槽轨道必须是光滑的
C.必须测出斜槽末端距接球板的高度
D.放上小球B后,A球必须仍从E点释放
第 30 页 共 43 页北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
(2)图1中O点为斜槽末端在接球板上的投影点,实验中,测出OM 、OP 、ON 的
1 1 1
长度分别为x 、x 、x ,若两球碰撞时动量守恒,则满足的表达式为 (用题
1 2 3
中给定的物理量表示)。
(3)如图2所示,仅改变接球板的放置方式,把接球板竖直放在斜槽末端的右侧,O点
为碰前B球球心在接球板上的投影点。使小球A仍从斜槽上E点由静止释放,重
复上述操作,在接球板上得到三个落点M 、P 、N ,测出OM 、OP 、ON 长度分
2 2 2 2 2 2
别为y 、y 、y ,若两球碰撞时动量守恒,则满足的表达式为 (用题中给定
1 2 3
的物理量表示)。
(4)如图3所示。再一次仅改变接球板的放置方式,让接球板的一端紧靠在斜槽末
端,使小球A仍从斜槽上E点由静止释放,重复第一次实验操作,在接球板上得到
三个落点M 、P 、N ,其中O点为斜槽末端与接球板的接触点,测出OM 、OP 、
3 3 3 3 3
ON 长度分别为l 、l 、l ,若两球碰撞时动量守恒,则满足的表达式为 (用
3 1 2 3
题中给定的物理量表示)。
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m m m
答案 (1)AD (2)m x =m x +m x (3) 1 = 1 + 2 (4)m √l =m √l +m √l
1 2 1 1 2 3 √y √y √y 1 2 1 1 2 3
2 3 1
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培优提分点 1 竖直轨道装置中的多模型组合问题
1.★★★(2020浙江7月,20,12分)小明将如图所示的装置放在水平地面上,该装置由
弧形轨道、竖直圆轨道、水平直轨道AB和倾角θ=37°的斜轨道BC平滑连接而
成。质量m=0.1 kg的小滑块从弧形轨道离地高H=1.0 m处静止释放。已知
R=0.2 m,L =L =1.0 m,滑块与轨道AB和BC间的动摩擦因数均为μ=0.25,弧形轨
AB BC
道和圆轨道均可视为光滑,忽略空气阻力。
(1)求滑块运动到与圆心O等高的D点时对轨道的压力;
(2)通过计算判断滑块能否冲出斜轨道的末端C点;
(3)若滑下的滑块与静止在水平直轨道上距A点x处的质量为2m的小滑块相碰,
碰后一起运动,动摩擦因数仍为0.25,求它们在轨道BC上到达的高度h与x之间
的关系。(碰撞时间不计,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g=10 m/s2)
答案 (1)8 N 方向水平向左 (2)(3)见解析
解题导引 (1)(2)
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(3)
1
解析 (1)设小滑块运动到D点的速度为v ,由机械能守恒定律得mgH=mgR+ m
D 2
v 2
D
mv 2
在D点,由牛顿第二定律得F = D ,解得F =8 N
N N
R
由牛顿第三定律得F '=F =8 N,方向水平向左。
N N
(2)设小滑块能在斜轨道上到达的最高点为C'点,对小滑块运动全过程由功能关系
得
mgH=μmgL +μmgL cos θ+mgL sin θ
AB BC' BC'
15
解得L = m<1.0 m,故不能冲出斜轨道末端C点。
BC'
16
1
(3)设滑块运动到距A点x处的速度为v,由动能定理得mgH-μmgx= mv2
2
设碰撞后两滑块的速度为v',由动量守恒定律得mv=3mv'
设碰撞后滑块滑到斜轨道的高度为h,对两滑块由动能定理得-3μmg(L -x)-3μmg·
AB
ℎ 1
-3mgh=0- ×(3m)v'2
tanθ 2
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1 5 5
{ ℎ = x− m( m<x≤1m)
6 48 8
得
5
ℎ =0(0≤x≤ m)
8
2.★★★(2024届温州三模)如图所示,某固定装置由长度L=3 m的水平传送带,圆心
角θ=60°、半径R=1 m的两细圆弧管道BC、CD组成,管道间平滑连接。在管道
末端D的右侧光滑水平面上有一紧靠着末端D的轻质小车,其上表面与管道末端
D所在的水平面平齐,右端放置质量m =3 kg的物块b。质量m =1 kg的物块a从
2 1
传送带左端A点由静止释放,经过BC、CD滑出圆弧管道。已知传送带以速度
v=8 m/s顺时针转动,物块a与传送带及小车之间的动摩擦因数均为μ =0.6,物块b
1
与小车之间的动摩擦因数μ =0.1,其他轨道均光滑,物块均视为质点,不计空气阻
2
力,重力加速度为g=10 m/s2。
(1)求物块a与传送带之间因摩擦产生的热量Q;
(2)求物块a到达D点时对管道的作用力F ;
N
(3)要使物块a恰好不与物块b发生碰撞,求小车长度的最小值d。
答案 (1)30 J (2)6 N 方向竖直向上 (3)2 m
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3.★★★(2023浙江1月,18,11分)一游戏装置竖直截面如图所示,该装置由固定在水
平地面上倾角θ=37°的直轨道AB、螺旋圆形轨道BCDE、倾角θ=37°的直轨道
EF、水平直轨道FG组成,除FG段外各段轨道均光滑,且各处平滑连接。螺旋圆
形轨道与轨道AB、EF相切于B(E)处。凹槽GHIJ底面HI水平光滑,上面放有一
无动力摆渡车,并紧靠在竖直侧壁GH处,摆渡车上表面与直轨道FG、平台JK位
于同一水平面。已知螺旋圆形轨道半径R=0.5 m,B点高度为1.2R,FG长度
L =2.5 m,HI长度L =9 m,摆渡车长度L=3 m、质量m=1 kg。将一质量也为m的
FG 0
滑块从倾斜轨道AB上高度h=2.3 m处静止释放,滑块在FG段运动时的阻力为其
重力的0.2倍。(摆渡车碰到竖直侧壁IJ立即静止,滑块视为质点,不计空气阻
力,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g=10 m/s2)
(1)求滑块过C点的速度大小v 和轨道对滑块的作用力大小F ;
C C
(2)摆渡车碰到IJ前,滑块恰好不脱离摆渡车,求滑块与摆渡车之间的动摩擦因数
μ;
(3)在(2)的条件下,求滑块从G到J所用的时间t。
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答案 (1)4 m/s 22 N (2)0.3 (3)2.5 s
4.★★★(2025届温州一模)如图所示,处于同一竖直平面内的轨道,由倾角θ=37°的足
够长的直轨道AB、圆心为O 的半圆形轨道BCD、圆心为O 的圆形细圆管轨道
1 2
DE、倾角α=45°的直轨道EF、水平直轨道FG组成,各段轨道均光滑且各处平滑
连接,B和D为轨道间的相切点,点E、圆心O 处于同一竖直线上,C、F、G处于
2
同一水平面上。在轨道末端G右侧的光滑水平面上,紧靠着质量M=0.6 kg、长度
d=2 m的无动力摆渡车,车的上表面与直轨道FG齐平。质量为m=0.3 kg的滑块
(可视为质点)从直轨道AB上某处由静止释放。已知轨道BCD和细圆管轨道DE
的半径均为R=0.5 m,重力加速度g=10 m/s2。(sin 37°=0.6, cos 37°=0.8)
(1)若释放的位置到点B的距离l=1.5 m,求滑块到最低点C时轨道对其支持力F
N
的大小。
(2)若滑块始终不脱离轨道ABCDE,求释放点与C点高度差h的取值范围。
第 37 页 共 43 页北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
(3)若滑块从E点飞出后落在轨道EF上,滑块与轨道碰撞后瞬间沿轨道方向的速
度分量保持不变,垂直轨道方向的速度分量减为零,再沿轨道滑至摆渡车上。已知
2
滑块和摆渡车之间的动摩擦因数μ= ,且滑块恰好不脱离摆渡车,求:
3
①滑块运动至点G的速度大小v ;
G
②滑块离开点E的速度大小v 。
E
答案 (1)15 N (2)0.1 m≤h≤0.5 m或1.1 m≤h≤1.8 m
(3)①2√10 m/s ②2√2 m/s
5.★★★★(2025届嘉兴月考)如图所示为一轨道模型图,由水平轨道AB、固定凹槽
BGHC(GH足够长)、半圆轨道DE(D是最高点,E是最低点,C在D的正下方,且C
和D间隙不计)组成,其中半圆轨道DE的半径R大小可调,所有轨道及凹槽均光
滑。长度L=0.5 m的水平传送带EF与DE平滑衔接。质量M=0.2 kg的平板紧靠
凹槽侧壁BG放置,平板上表面与ABC平面齐平。质量m=0.1 kg的小滑块(可视
为质点)被弹簧弹出后,滑上平板并带动平板一起运动,平板与侧壁CH相撞后将原
速弹回。已知ABC平面与水平地面高度差h=1 m,传送带顺时针传送速度v=1
m/s,滑块与平板以及滑块与传送带之间的动摩擦因数均为μ=0.4,重力加速度
g=10 m/s2。
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(1)调节半圆轨道DE的半径为R=0.4 m,被弹出的滑块恰好能滑过凹槽,且恰好不
脱离圆轨道DE,求:
①小滑块第一次沿半圆轨道DE滑过E点时受的支持力大小F ;
N
②平板的长度及弹簧释放的弹性势能E 。
p
(2)在保持(1)问中其他条件不变的情况下,仅改变R大小,滑块从F飞出落至地面,
水平位移为x,求x的最大值。
答案 (1)①6 N ②3 m 1.8 J (2)1 m
6.★★★★★(2025届浙南联盟月考)如图所示,一弹射装置由轨道OABC、直轨道CD
和DE、左右对称的“雨滴”形曲线轨道EFG(F为最高点)和L形滑板组成。已
知OA竖直,ABC是圆心在O 、半径R=0.2 m的圆弧(B为最高点)。L形滑板质量
1
M=0.06 kg,上表面(除突出部分)长为L=1 m,上表面的动摩擦因数μ=0.6,下表面光
滑,其余轨道均光滑。除L形滑板外,其余轨道均固定在水平地面上。弹簧下端固
定,处于原长时上端与A和O 都等高。B点距地面高度h =0.8 m。O C与竖直方
1 B 1
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2
向夹角为θ,CD与水平方向夹角也为θ,且 cos θ= 。一质量m=0.03 kg的小滑块
3
穿套在轨道OABC上,不与弹簧相连,压缩弹簧后滑块被弹出,滑到C点飞出后,立
刻沿CD下滑,CD与DE平滑相接。图中圆1和圆2分别为E、F两点的曲率圆,
半径分别为R =0.8 m、R =0.2 m,曲率圆的半径也称为曲线在该处的曲率半径。g
1 2
取10 m/s2。
(1)若已知弹簧劲度系数k=30 N/m,则当小滑块放在弹簧上处于静止状态时,求弹
簧的压缩量x;
(2)若某次弹射后,发现滑块到达C点时恰好对轨道无作用力,求滑块运动到A处时
的速度大小v ;
1
(3)若某次弹射后,发现滑块在轨道EFG内运动时,其向心加速度大小恒为a =2g,
n
求轨道EFG上任意一点的曲率半径ρ与该点到地面的高度h的函数关系式。(提
v2
示:P为轨道EFG内任意一点,任意曲线运动的向心加速度a = )
n
ρ
(4)已知EFG轨道的形状及大小与(3)问中相同,滑块到达L形滑板最右端时发生
的碰撞是弹性碰撞。现要使滑块能到达L形滑板上且不会从L形滑板上脱落,求
滑块在A点时速度大小的取值范围。
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答案 (1)0.01 m (2)2 m/s (3)ρ=0.8-h(0≤h≤0.6 m) (4)2 m/s≤v ≤2√6 m/s
A
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培优提分点 2 数学方法在动量问题中的应用
1.★★★(2023届台州二模)如图所示,在水平面上静置一质量M=450 g的滑块,滑块
上表面是一个半径R=0.2 m的四分之一圆弧,圆弧最低点A与水平地面相切。现
给质量m=50 g的小球一大小v =4 m/s的水平初速度,小球经B点离开滑块时,随
0
即撤去滑块。小球于C点第一次着地,小球每次与地面碰撞前后,水平分速度保持
不变,竖直分速度大小减半,方向反向。小球在滑块上运动时,A点始终与地面接
触,忽略小球通过各轨道连接处的能量损失,不计一切摩擦和空气阻力,g=10 m/s2,
求
(1)小球刚运动到滑块最低点A时,对滑块的压力;
(2)小球离开滑块后所能到达的最大高度;
(3)要使小球能水平进入接收器最低点P,P与C间的最小距离为多大。
12
答案 (1)4.5 N 方向竖直向下 (2)0.72 m (3) √10 m
125
2.★★★★(2025届天域联盟一模)如图所示,板车由一个半径R=0.2 m,对应圆心角
θ=53°的光滑圆弧轨道BC与粗糙程度可随时间调节的长L=5.0 m的水平板CD
第 42 页 共 43 页北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
平滑连接组成,板车的质量M=1.6 kg,一个质量为m=1 kg的小球P从A点水平抛
出,初速度v =2.4 m/s,恰好能经B点沿切线方向进入圆弧轨道。除水平板CD外
0
一切摩擦均不计,已知 sin 53°=0.8, cos 53°=0.6,g=10 m/s2。
(1)小球的抛出点距离B点的高度h;
(2)若板车固定在水平面上,求小球首次到达C点时板车对小球的支持力;
(3)若板车不固定,求小球首次到达C点时板车对小球的支持力大小;
(4)调节水平板的动摩擦因数,从小球被抛出开始计时,经过0.92 s,小球恰好位于水
平板CD中间的位置,求此时板车对地位移的大小。
答案 (1)0.512 m (2)98 N,方向竖直向上 (3)135 N (4)0.47 m
第 43 页 共 43 页
