2025年河北张家口中考数学试题及答案

2025 年河北张家口中考数学试题及答案
一、选择题（本大题共12 小题，每小题3 分，共36 分．）
1．从
上升了
后的温度，在温度计上显示正确的是（    ）
A．
  
B．
  
C．
  
D．
  
2．榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中
，
，则
（    ）
A．
B．
C．
D．
3．计算：
（    ）
A．2
B．4
C．6
D．8
4．“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，
他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度
分别为
和
，笔的实际长度为
，则该化石的实际长度为（    ）
A．
B．
C．
D．
5．一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左主视图视图为（   
 ）
A．
B．
C．
D．
6．若一元二次方程
的两根之和与两根之积分别为
，，则点
在平面直
角坐标系中位于（    ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
7．抛掷一个质地均匀的正方体木块（6 个面上分别标有，，中的一个数字），若向上一面
出现数字1 的概率为
，出现数字2 的概率为
，则该木块不可能是（    ）
A．
B．
C．
D．
8．若
，则
（    ）
A．
B．
C．3
D．6
9．如图，在五边形
中，
，延长
，
，分别交直线
于点
，．若添加
下列一个条件后，仍无法判定
，则这个条件是（    ）
A．
B．
C．
D．
10．在反比例函数
中，若
，则（   ）
A．
B．
C．
D．
11．如图，将矩形
沿对角线
折叠，点
落在
处，
交
于点
．将
沿
折叠，点
落在
内的
处，下列结论一定正确的是（    ）
A．
B．
C．
D．
12．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形
与正方形
的顶点均为整点．若只将正方形
平移，使其内部（不含边界）有且只有
，，
三个整点，则平移后点
的对应点坐标为（   ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共4 小题，每小题3 分，共12 分）
13．计算：
      ．
14．平行四边形的一组邻边长分别为，，一条对角线长为
．若
为整数，则
的值可以为  
．（写出一个即可）
15．甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为
，．如图，将甲纸条的
与乙纸条的
叠合在
一起，形成长为81 的纸条，则
      ．
16．2025 年3 月是第10 个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降
低近视率”，图是一幅眼肌运动训练图，其中数字
对应的点均匀分布在一个圆上，数字
0 对应圆心．图中以数字
对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不
相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为      ．（参考数据：
，
）
三、解答题（本大题共8 小题，共72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
17．（1）解不等式
，并在如图所给的数轴上表示其解集；
（2）解不等式
，并在如图所给的数轴上表示其解集；
（3）直接写出不等式组
的解集．
18．（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的
方法写出正确的解答过程．
计算：
．
解：
第一步
第二步
．第三步
（2）计算：
19．如图．四边形
的对角线
，
相交于点
，
，
，点
在
上，
．
(1)求证：
；
(2)若
，求证：
．
20．某工厂生产
，，，四种产品．为提升产品的竞争力，该工厂计划对部分种类的产品
优化生产流程，降低成本；对其他种类的产品增加研发投入，提升品质．经研究，该工厂做出
了甲、乙两种调整方案，这两种方案将对四种产品的成本产生不同的影响．下面是该工厂这
四种产品的部分信息：a．调整前，各产品年产量的不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图
（图2）．b．各产品单件成本的核算情况统计表及说明．说明：对于统计表中的数据，方案甲的
平均数与调整前的相同，方案乙的中位数与调整前的相同．根据以上信息，解答下列问题：
产品数据 
    类别
调整前单价成本（元/件）
调整后单价成本（元/件）
方案
甲
方案
乙
(1)求调整前
产品的年产量；
(2)直接写出
，
的值；
(3)若调整后这四种产品的年产量均与调整前的相同，请通过计算说明甲、乙两种方案哪种
总成本较低．
21．如图1，图2，正方形
的边长为5．扇形
所在圆的圆心
在对角线
上，且不
与点
重合，半径
，点
，分别在边
，
上，
，扇形
的弧
交线段
于点
，记为
．
(1)如图1，当
时，求
的度数；
(2)如图2，当四边形
为菱形时，求
的长；
(3)当
时，求
的长．
22．一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在
（本
题涉及的温度均在此范围内），原长为
的铜棒、铁棒受热后，伸长量
与温度的增加量
之间的关系均为
，其中
为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系
数
（单位：
）；原长为
的铁棒从
加热到
伸长了
．
(1)原长为
的铜棒受热后升高
，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）．
(2)求铁的线膨胀系数
；若原长为
的铁棒受热后伸长
，求该铁棒温度的增加
量．
(3)将原长相等的铜棒和铁棒从
开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比
铜棒的高
，求该铁棒温度的增加量．
23．综合与实践
［情境］要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图），需找到合适的切割线．
［模型］已知矩形
（数据如图
所示）．作一条直线
，使
与
所夹的锐角为
，
且将矩形
分成周长相等的两部分．
［操作］嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题．
［探究］根据以上描述，解决下列问题．
［拓展］操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题．
如图3，嘉嘉的思路如下：
①连接
，
交于点
；
②过点
作
，分别交
，
于点
，
……
如图4，淇淇的方法如下：
①在边
上截取
，连接
；
②作线段
的垂直平分线，交
于点
；
③在边
上截取
，作直线
．
(1)图
中，矩形
的周长为______；
(2)在图的基础上，用尺规作图作出直线
（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）；
(3)根据淇淇的作图过程，请说明图
中的直线
符合要求．
(4)如图，若直线
将矩形
分成周长相等的两部分，分别交边
，
于点
，，
过点
作
于点
，连接
．
当
时，求
的值；
当
最大时，直接写出
的长．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线
经过点
，
，顶点为
．抛
物线
经过点
．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为
，
．
(1)求
，的值及点
的坐标．
(2)点
在
上，到
轴的距离为
．判断
能否经过点
，若能，求
的值；若不能，请说明
理由．
(3)直线
交
于点
，点
在线段
上，且点
的横坐标是点
横坐
标的一半．
①若点
与点
重合，点
恰好落在
上，求
的值；
②若点
为直线
与
的唯一公共点，请直接写出
的值．
1．B
【分析】本题考查了有理数的加法的应用，根据题意计算得出
，找到显示为
的即
可求解．
【详解】解：
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得
，结合题意，
即可求解．
【详解】解：∵
， 
∴
，
∵
，
∴
，
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式直接计算，即可求解．
【详解】解：
故选：B．
4．C
【分析】本题考查了相似图形的性质，设该化石的实际长度为
，根据题意得出
，即
可求解．
【详解】设该化石的实际长度为
，依题意，
，
解得：
故选：C．
5．A
【分析】根据画三视图的方法，发挥空间想象能力，结合主视图和俯视图，从左侧看下方是一
个长方形，上面中间是一个小正方形，据此即可求解．
【详解】解：从左侧看下方是一个长方形，上面中间是一个小正方形，
故选：A．
6．C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用
根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限．
【详解】解：原方程 
 展开并整理为标准形式：
其中 
，
，
．
∴
，
．
∴点
即
 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限．
故选：C．
7．A
【分析】本题考查了根据概率求数量，根据题意得出数字有个，数字
有2 个，则数字只
有个，结合选项，即可求解．
【详解】解：正方体共6 个面，向上一面出现数字1 的概率为
，出现数字2 的概率为
，
∴数字有个，数字
有2 个，则数字只有个
选项A 中数字有2 个，符合题意
故选：A．
8．B
【分析】本题考查了分式的化简求值，将分式化简后代入求值，即可求解．
【详解】解：
当
时，原式
故选：B．
9．D
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当
时，可
证明
，由平行线的性质得到
，
，则可证明
，据此可判断A、B；由平行线的性质可得
，则
，
同理可判断C；D 中条件结合已给条件不能证明
．
【详解】解：A、∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，故A 不符合题意；
B、∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，故B 不符合题意；
C、∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，故C 不符合题意；
D、根据
结合已知条件不能证明
，故D 符合题意；
故选：D．
10．B
【分析】本题考查了反比例数的性质，根据反比例函数性质，将不等式转化为关于
的范围求
解．
【详解】解：∵
，
，当
时，
随
的增大而减小，
当
时，
，
当
时，
∴当
时，
，
故选：B．
11．D
【分析】本题考查了矩形的折叠问题，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质，熟练掌握
折叠的性质是解题的关键；结果矩形的性质的可得
，
，则
，进
而根据折叠的性质得出
，
，即可求解．
【详解】解：∵四边形
是矩形，
∴
，
∴
∵折叠
∴
∴
∵
，即
∴
，故A 不正确
∵
∴
，故B 不正确
∵折叠，
∴
 
∵
，故C 不正确，D 选项正确
故选：D．
12．A
【分析】本题考查了坐标与图象，一次函数的平移，待定系数法求得直线
的解析式为
，根据选项判断平移方式，结合题意，即可求解．
【详解】解：设直线
的解析式为
，代入
∴
∴
∴直线
的解析式为
∵
，
A. 当
为
时，平移方式为向右平移
个单位，向上平移
个单位，
∴直线
平移后的解析式为
，此时经过原点，对应的
经过整
点
，符合题意，
B. 当
为
时，平移方式为向右平移
个单位，向上平移
个单位，
∴直线
平移后的解析式为
，此时原点在
下方，对应的
在整点
上方，不符合题意，
C. 当
为
时，平移方式为向右平移
个单位，，
∴直线
平移后的解析式为
，此时点
在正方形内部，不符合题意，
D. 当
为
时，平移方式为向右平移
个单位，向上平移
个单位，
∴直线
平移后的解析式为
，此时点
和
在正方形内部，不符
合题意，
故选：A．
13．
【分析】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解题的关键．
直接根据合并同类项法则计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：
．
14．
（答案不唯一）
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形三边关系，不等式组的整数解，根据题意得出
，进而写出一个整数解即可求解．
【详解】解：依题意，
∴
，
∵
为整数，
∴
可以是
，，
，，
故答案为：
（答案不唯一）．
15．99
【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，一元一次方程的应用，由题意可知：重
叠部分为： 
，设叠部分的长度为k，则
，
，根据重叠后的总长度为81 为
等量关系列出关于k 的一元一次方程，求解即可得出答案．
【详解】解：由题意可知：重叠部分为： 
，
设重叠部分的长度为k，则
，
，
重叠后的总长度为：
，即
，
代入
，
得：
，
解得：
，
∴
，
，
∴
，
故答案为：99．
16．
【分析】如图所示，设数字0 记为圆心O，数字6 记为A，数字7 记为B，过点O 作
于点
D，首先得到线段
的长与其他的都不相等，然后求出
，解直角三角形求出
，然后利用三线合一求解即可．
【详解】如图所示，设数字0 记为圆心O，数字6 记为A，数字7 记为B，过点O 作
于点
D
由图可得，线段
的长与其他的都不相等，
∵其中数字
对应的点均匀分布在一个圆上，
∴
∴相邻两个数字与圆心
组成的圆心角为
∴
∴
∵
∴
∴
，即
∴
∵
，
∴
．
∴这条线段的长为
．
故答案为：
．
【点睛】此题考查了圆心角，解直角三角形，等边对等角，三线合一性质等知识，解题的关键是
掌握以上知识点．
17．（1）
，见解析；（2）
，见解析；（3）
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，求不等式组的解集，
熟知解不等式和解不等式组的方法是解题的关键．
（1）把不等式两边同时除以2 求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可；
（2）按照移项，合并同类项，系数化为1 的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的
解集即可；
（3）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找
不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）
不等式两边同时除以2 得
，
数轴表示如下所示：
（2）
移项得：
，
合并同类项得：
，
系数化为1 得：
，
数轴表示如下所示：
（3）
解不等式①得：
，
解不等式②得：
，
∴原不等式组的解集为
．
18．（1）原计算第一步开始出错；
；（2）
【分析】本题考查了有理数混合运算，实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键；
（1）第一步计算分配律时符号出错；
（2）按照实数的混合运算法则进行，先计算括号里面的，再从左到右依次计算乘除．
【详解】解：（1）原计算第一步开始出错；
；
（2）
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质；
（1）先证明
，结合
，
，即可得到结论；
（2）先证明
，结合
即可得到结论.
【详解】（1）证明：∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
；
（2）证明：∵
，
∴
，
∵
，
∴
，即
.
20．(1)
万件
(2)
，
(3)甲种方案总成本较低
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，求平均数与中位数，从统计图表中获
取信息是解题的关键；
（1）先求得总产量，然后求得
的年产量，最后求得
产品的年产量；
（2）根据方案甲的平均数与调整前的相同，方案乙的中位数与调整前的相同，即可求解；
（3）分别计算甲、乙两种方案的成本，比较大小，即可求解．
【详解】（1）
万件，
产品的年产量为：
万件，
∴调整前
产品的年产量为：
万件
（2）∵方案甲的平均数与调整前的相同，
∴
解得：
，
∵方案乙的中位数与调整前的相同，调整前，中位数为
调整后为
，
∴
（3）解：方案甲的总成本为：
（万元）
方案乙的总成本为：
（万元）
∴甲种方案总成本较低
21．(1)
(2)
(3)
或
【分析】
（1）根据题意证明出四边形
是正方形，得到
，然后利用圆周角定理
求解即可；
（2）首先证明出
是等边三角形，如图所示，连接
交
于点G，求出
，
，然后得到
是等腰直角三角形，进而求
解即可；
（3）分两种情况，根据弧长公式求解即可．
【详解】（1）∵正方形
的边长为5．
∴
∵当
时
∴
∵
∴
∴四边形
是菱形
∵
∴四边形
是正方形
∴
∴
；
（2）∵四边形
为菱形
∴
∵扇形
所在圆的圆心
在对角线
上，
∴
∴
是等边三角形
如图所示，连接
交
于点G
∴
∴
∴
∴
∵
∴
是等腰直角三角形
∴
∴
；
（3）如图所示，当
是劣弧时，
∵
，半径
∴
；
如图所示，当
是优弧时，
∵
，半径
∴
∴
．
综上所述，
的长为
或
．
【点睛】此题考查了正方形的性质，圆周角定理，求弧长，勾股定理，菱形的性质，等腰直角三
角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
22．(1)
(2)
，
(3)
【分析】本题考查了科学记数法，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键；
（1）根据
，代入数据进行计算即可求解；
（2）根据定义求得铁的线膨胀系数
，进而设该铁棒温度的增加量为
，根据题意列出一元
一次方程，解方程，即可求解；
（3）设该铁棒温度的增加量为
，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：
，
答：该铜棒的伸长量
．
（2）解：
，
解得：
，
设该铁棒温度的增加量为
，根据题意得，
，
解得：
，
答：铁的线膨胀系数
，该铁棒温度的增加
．
（3）解：设该铁棒温度的增加量为
，根据题意得，
，
解得：
 ，
答：该铁棒温度的增加量为
．
23．(1)
；
(2)见解析；
(3)
；
(4)
；
．
【分析】
根据矩形的周长公式计算即可；
以点
为圆心
为半径画弧，交
于点
，延长
交
于点
，连接
，由作图
可知
是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可证
，根据矩形的
性质可证
，根据全等三角形的性质可证
，
，从而可证直
线
把矩形分成了周长相等的两部分，所以线段
即为所求；
根据矩形的性质可证四边形
是平行四边形，根据平行四边形的性质可证
，根据平行四边形的性质和矩形的性质可以证明书
，
，所以可以证明
，所以直线
把矩形
分成
了周长相等的两部分，从而可证直线
符合要求；
过点
作
，连接
交
于点
，过点
作
于点
，过点
作
，根据矩形的性质可得：
，
，
，根据勾股定理可
以求出
，利用
可证
，根据全等三角形的性质可得：
，
，从而可得：
，
，根据等腰直角三角形的性质可
得：
，
，根据正切的定义可以求出
的正切；
连接
交
于点
，
把矩形
分成了周长相等的两部分，点
为
和
的
中点，利用勾股定理可以求出
，
，过点
作
，则
，
根据相似三角形的性质可以求出
，
，
，在
中，利用勾股定理可得：
，在
中，利用勾股定理即可求出
的长度．
【详解】（1）解：
四边形
是矩形，
，
，
，
，
，
矩形
的周长为
，
故答案为：
；
（2）解：如下图所示，
以点
为圆心
为半径画弧，交
于点
，延长
交
于点
，线段
即为所求，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
矩形
的对角线交于点
，
，
四边形
是矩形，
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
，
直线
把矩形
分成周长相等的两部分；
（3）证明：
四边形
是矩形，
，
，
，
，
，
四边形
是平行四边形，
，
，
直线是
的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
把矩形
分成了周长相等的两部分，
直线
符合要求；
（4）
解：如下图所示，过点
作
，连接
交
于点
，过点
作
于点
，过点
作
，
四边形
是矩形，且直线
将矩形
分成周长相等的两部分，
则点
是矩形
的对角线
与
的交点，
点
是
的中点，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
四边形
是矩形，
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
，
，
，
于点
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
；
解：如下图所示，连接
交
于点
，
把矩形
分成了周长相等的两部分，
点
为
和
的中点，
，
点
在以
为直径的
上，
当
与
相切时，
最大，
，
，
，
，
，
过点
作
，
，
四边形
是矩形，
，
则
，
，
，
，
，
，
，
是
的切线，
，
．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、中心对称图形的性质、圆的基本性质、切线的性质、圆周
角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质，本题的综合性较强，难度较大，需要综合运用
矩形、圆、切线等图形的性质，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用直角三角形
的性质求解．
24．(1)
，
(2)不能，理由见解析
(3)①
；②
【分析】本题考查了二次函数的综合，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与二次函数交
点问题，熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意得出
，代入抛物线解析式得出
或
，而
经过点
和
，即可得出结论；
（3）①先求得
，和
代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解；
②根据题意得出直线
的解析式为
，根据
经过点
，
得出
，联立直线解析式，根据一元二次方程根与系
数的关系得出
，
，将
代入
，
得出
①，根据点
为直线
与
的唯一公共点，得
出
②，联立解得
的值，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线
经过点
，
，顶点为
∴
解得：
，
∴
，
∴
；
（2）∵点
在
（第一象限）上，到
轴的距离为
．则
∴当
时，
解得：
或
∴
或
∵抛物线
经过点
，对称轴为直线
∴
经过点
和
∴
不能经过点
,
（3）①∵
，
当
重合时，则
∵
是
的中点，
∴
,
∵点
恰好落在
上，
经过点
∴
解得：
；
②∵直线
交
于点
，
，
∴
，
∴直线
的解析式为
，
∵
经过点
，
∴
，
∴
，
∴
联立
消去
得，
∴
，则
∵点
的横坐标是点
横坐标的一半．
∴
即
，
将
代入
，
∴
①
∵点
为直线
与
的唯一公共点，
∴
②
联立①②得：
或
，
当
时，交点不在
公共点不在第一象限，不符合题意，
 
∴
．