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2025 年高考押题预测卷
高三数学（北京专用02）·参考答案
一、单项选择题：本题共10 小题，每小题4 分，共40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
要求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
B
A
D
A
C
D
C
D
C
二、填空题：本题共5 小题，每小题5 分，共25 分。
11．219 12．
13．
. 14．
或
15．②③
三、解答题：本题共6 小题，共85 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16．【详解】（1）证明：因为底面
为正方形，所以
.
又因为
，
，
平面
，所以
平面PBD；..................................2 分
因为
平面
，所以
.
因为
，
与
相交，
平面
.
所以
平面
........................................................................................................................................5 分
（2）解：以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设
，则
，
，
，
，则
，
，
.
设平面
的法向量为
，
则
，即
，令
，则
，
所以平面
的一个法向量为
.......................................................................................................8 分
设平面
的法向量为
，
则
，即
，令
，则
，
所以平面
的一个法向量为
....................................................................................................10 分
，
易知二面角
的平面角为锐角，故二面角
的余弦值为
.......................................13 分
17．【详解】（1）若选①：∵
∴
即
.............................................................................3 分
故
，
又
∴
．......................................................................................................................................5 分
若选②：∵
∴
即
，
∴
或
（舍去），...............................................................................................................3 分
又
∴
．......................................................................................................................................5 分
（2）∵
平分
且
∴
．
又∵
，
∴
．..................................................................................................................................................8 分
又∵
≥
∴
≥
即
≥
当且仅当
时等号成立，............................................................10 分
∴
≥
，
故
面积的最小值为
．...................................................................................................................13 分
18．【详解】（1）记从甲箱摸出1 个球是红球为事件
，从乙箱摸出1 个球是红球为事件
，
则
，...................................................................................................................2 分
从甲、乙两个箱子中各摸出1 球，摸到红球的个数
的取值有
，
易知事件
、
相互独立，则
，
，
，................................................5 分
所以
的分布列为：
0
1
2
..............................................................................................................................................................................7 分
（2）记从甲箱开始摸球所得奖金为
，其所有可能取值为
，
，
，
分布列为：
0
100
300
所以
（元）；......................................................................................10 分
记从乙箱开始摸球所得奖金为
，其所有可能取值为
，
，
，
分布列为：
0
200
300
所以
（元）........................................................................................13 分
因为
，所以先从甲箱开始摸球................................................................................................14 分
19．【详解】（1）依题意可得：
，............................................................................................2 分
解得
，
，
所以椭圆
的标准方程
.................................................................................................................4 分
（2）
易得
，
，设
，
，
则
，.........................................................................................................................................6 分
所以
得
，
，.............................................................8 分
同理可得
，
则
.......................................................................................11 分
（3）由（2）易得
由
，得
.........................................................................................................13 分
因为
所以
，解得
或
(舍去)，
当且仅当
时，等号成立，
故
的最小值为
..................................................................................................................................15 分
20.【详解】（1）因为
，所以
.
若
，则
在
上恒成立，所以函数
在
上单调递增；..........................2 分
若
，由
；由
.
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增..............................................................4 分
综上：当
时，函数
在
上单调递增；
当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增.................................................5 分
（2）当
时，
.
当
时，上式恒成立，即
；...............................................................................................................6 分
当
时，
.
设
，
，
则
.
设
，
，则
在
上恒成立，即
在
上单调递增，. 8 分
又
，所以
在
上恒成立.
所以由
，由
.
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
所以
.
所以
.
综上可知：
的取值范围为：
......................................................................................................10 分
（3）
时，要证
，即
.
设
，则
，
.
设
，
，则
在
上恒成立.
所以
在
上单调递增.
又
，
，则方程
只有一解，
设为
，且
，
.........................................................................................................12 分
当
时
，当
时，
.
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
所以
.
因为
，所以
，
，
，所以
.
即
.
所以
在
上恒成立.
从而原命题成立................................................................................................................................................15 分
21．【详解】（1）由题意，当
时，
，
，
或
，
或
，
，
，........................................................................................................................................3 分
①若
，则
或
；
②若
，则
或
；
综上所述，满足条件的
可能为
；.................................................................................................5 分
（2）先证当正整数
时，
是以2 为首项，2 为公差的等差数列，且
，
①由（1）得，
或
，又
，
，
当
时，
是以2 为首项，2 为公差的等差数列，且
；......................................................7 分
②假设当
（
且
）时，
是以2 为首项，2 为公差的等差数列，且
，
若
，则
，
由题意，则必有
，使得
，
，
是以2 为首项，2 为公差的等差数列，
，与
矛盾，...............................................................................................9 分
，
当
时，
是以2 为首项，2 为公差的等差数列，且
；
由①②得，当正整数
时，
是以2 为首项，2 为公差的等差数列，且
，
数列
为等差数列；................................................................................................................................11 分
（3）设
（
且
），则必有
，使得
，此时
，
要使
最小，则需
，且
，且
，
此时取
，则满足
，
当正整数
取最小值时，
，
，…，
，
，
，
的最小值为3035．....................................................................15 分
