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§9.4 列联表与独立性检验
(分值：80 分)
一、单项选择题(每小题5 分，共20 分)
1.观察下列各图，其中两个分类变量x，y 之间关系最强的是( )
2.下列关于独立性检验的说法正确的是( )
A.独立性检验是对两个变量是否具有线性相关关系的一种检验
B.独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系
C.利用χ2独立性检验推断吸烟与患肺病的关联中，若有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，则我们可
以说在100 个吸烟的人中，有99 人患肺病
D.对于独立性检验，随机变量χ2的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大
3.(2024·枣庄模拟)某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良.采用有放回简单随机抽样的方法对治疗
情况进行检查，得到两种疗法治疗数据的列联表：
疗法
疗效
合计
未治愈
治愈
甲
15
52
67
乙
6
63
69
合计
21
115
136
经计算得到χ2≈4.881，根据小概率值α=0.005 的独立性检验(已知χ2独立性检验中x0.005=7.879)，则可以认为(
)
A.两种疗法的效果存在差异
B.两种疗法的效果存在差异，这种判断犯错误的概率不超过0.005
C.两种疗法的效果没有差异
D.两种疗法的效果没有差异，这种判断犯错误的概率不超过0.005
4.古语云：“朝霞不出门，晚霞行千里”，其大意是如果早晨起来看到天边有朝霞的话，今天的天气可能
不佳，会下雨，要引起重视，若是傍晚看到天边的晚霞，第二天很有可能是一个好天气，天气晴朗.某学习
小组针对“朝霞不出门”这一句的可信度进行了观测统计，得到如下2×2 列联表.
有朝霞
无朝霞
合计
当天有雨
8
8
16
当天无雨
2
12
14
合计
10
20
30
参考公式：χ2=
n(ad -bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c)(b+d )，n=a+b+c+d.
临界值参照表：
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
则下列说法正确的是( )
A.如果有朝霞，当天下雨的概率超过95%
B.能在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为有朝霞与当天下雨有关
C.能在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为有朝霞与当天下雨有关
D.连续三天中必有一天出现朝霞
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
5.(2024·湛江模拟)某养老院有110 名老人，经过一年的跟踪调查，过去的一年中他们是否患过某流行疾病
和性别的相关数据如表所示：
性别
是否患过某流行疾病
合计
患过该疾病
未患过该疾病
男
20
b
a+b
女
c
50
c+d
合计
a+c
80
110
下列说法正确的有( )
参考公式：χ2=
n(ad -bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c)(b+d )，其中n=a+b+c+d.
附表：
α
0.1
0.05
0.01
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
10.828
A. a
a+b> c
c +d
B.χ2>6.635
C.根据小概率值α=0.01 的独立性检验，认为是否患过该流行疾病与性别有关联
D.根据小概率值α=0.01 的独立性检验，没有充分的证据推断是否患过该流行疾病与性别有关联
6.(2024·长春模拟)暑假结束后，为了解假期中学生锻炼身体情况，学生处对所有在校学生做问卷调查，并
随机抽取了180 人的调查问卷，其中男生比女生少20 人，并将调查结果绘制得到等高堆积条形图.在被调
查者中，下列说法正确的是( )
参考公式及数据：χ2=
n(ad -bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.
α
0.1
0.05
0.01
0.005 0.001
xα
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A.男生中不经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多
B.男生中经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人多8 人
C.经常锻炼者中男生的频率是不经常锻炼者中男生的频率的2 倍
D.根据小概率值α=0.01 的独立性检验，可以认为假期是否经常锻炼与性别有关
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
7.在独立性检验中，统计量χ2有两个临界值：3.841 和6.635.当χ2≥3.841 时，至少有95%的把握说明两个事
件有关，当χ2≥6.635 时，至少有99%的把握说明两个事件有关，当χ2<3.841 时，认为两个事件无关.在一
项打鼾与心脏病的调查中，共调查了200 人，经计算χ2=20.87.根据这一数据分析，我们可认为打鼾与患心
脏病之间是 的(填“有关”或“无关”).
8.在某病毒疫苗的研发过程中，需要利用基因编辑小鼠进行动物实验.现随机抽取100 只基因编辑小鼠对该
病毒疫苗进行实验，得到如下2×2 列联表(部分数据缺失)：
被某病毒感染
未被某病毒感染
合计
注射疫苗
10
50
未注射疫苗
30
50
合计
30
100
计算可知，根据小概率值α= 的独立性检验，认为 “给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该
病毒感染的效果”.
附：χ2=
n(ad -bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c)(b+d )，其中n=a+b+c+d.
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
四、解答题(共28 分)
9.(13 分)由中央电视台综合频道(CCTV-1)和某传媒公司联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课.
每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，受到了青年观众的喜爱.为了
了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了A，B 两个地区的100 名观众，得到如下2×2 列联表.
非常喜欢
喜欢
合计
A
30
15
B
合计
已知在被调查的100 名观众中随机抽取1 名，该观众来自B 地区且喜爱程度为“非常喜欢”的概率为0.35.
(1)现从100 名观众中根据喜爱程度用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取20 名进行问卷调查，则应抽
取喜爱程度为“非常喜欢”的A，B 地区的人数各是多少？(6 分)
(2)完成上述表格，依据小概率值α=0.05 的独立性检验，能否认为观众的喜爱程度与所在地区有关？(7 分)
附：χ2=
n(ad -bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c)(b+d )，n=a+b+c+d.
α
0.05
0.01
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
10.(15 分)某学校开展消防安全教育活动，邀请消防队进校园给师生进行培训，培训结束后抽取了部分学生
进行消防安全知识测试(满分100 分)，所得分数统计如表①所示，并按照学生性别进行分类，所得数据如
表②所示.
表①
得分
[50，60)
[60，70)
[70，80)
[80，90)
[90，100]
人数
50
100
200
400
250
表②
男生
女生
得分不低于80 分
4a
b
得分低于80 分
a
b
(1)估计这次测试学生得分的平均值；(每组数据以所在区间的中点值为代表)(7 分)
(2)依据小概率值α=0.001 的独立性检验，能否判断男生和女生对消防安全知识的掌握情况有差异？(8 分)
参考公式：χ2=
n(ad -bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c)(b+d )，n=a+b+c+d.
参考数据：
α
0.01
0.005
0.001
xα
6.635
7.879
10.828
每小题5 分，共10 分
11.某课外兴趣小组为研究数学成绩优秀是否与性别有关，通过随机抽样调查，得到成对样本观测数据的分
类统计结果，并计算得出χ2≈6.816，经查阅χ2独立性检验的小概率值和相应的临界值，知x0.01=6.635，则下
列判断正确的是( )
A.若某人数学成绩优秀，那么他为男生的概率是0.010
B.每100 个数学成绩优秀的人中就会有1 名是女生
C.数学成绩优秀与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01
D.在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为数学成绩优秀与性别无关
12.(2024·宜春模拟)为了调查学生对网络课程是否喜爱，研究人员随机调查了相同人数的男、女学生，发现
男生中有80%喜欢网络课程，女生中有40%不喜欢网络课程，且依据小概率值α=0.05 的独立性检验认为喜
欢网络课程与性别有关，但依据小概率值α=0.01 的独立性检验认为喜欢网络课程与性别无关.已知被调查
的男、女学生的总人数为20k(k∈N*)，则k= .
附：χ2=
n(ad -bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c)(b+d )，n=a+b+c+d.
临界值表：
α
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
3.841
6.635
7.879
10.828
答案精析
1.D [观察等高堆积条形图发现
x1
x1+ y1
与
x2
x2+ y2
相差很大，就判断两个分类变量之间关系最强.]
2.D [对于A，独立性检验是通过卡方计算来判断两个变量存在关联的可能性的一种方法，并非检验二者
是否是线性相关，故错误；
对于B，独立性检验并不能100%确定两个变量相关，故错误；
对于C，99%是指“吸烟”和“患肺病”存在关联的可能性，并非吸烟人中患肺病的发病率，故错误；
对于D，根据卡方计算的定义可知该选项正确.]
3.C [零假设为H0：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异.由χ2≈4.881<7.879＝x0.005，根据小概率值α
＝0.005 的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为两种疗法效果没有差
异.]
4.B [由题中2×2 列联表知，如果有朝霞，则当天下雨的概率约为80%，故A 选项错误；
由题得χ2＝30×(8×12-8×2)
2
16×14×10×20
＝30
7 ≈4.286>3.841，但小于7.879，故B 选项正确，C 选项错误；
有朝霞的天数占总天数的1
3，但并不意味着连续三天中必有一天出现朝霞，故D 选项错误.]
5.ABC [根据列联表中的数据可求得a＝20，b＝30，c＝10，d＝50，代入计算可得a
a+b ＝2
5> c
c +d ＝1
6，
A 正确；
经计算可得χ2
＝110×(20×50-30×10)
2
30×80×50×60
≈7.486>6.635，B 正确；
结合附表数值以及独立性检验的实际意义，根据小概率值α＝0.01 的独立性检验，认为是否患过该流行疾
病与性别有关联，C 正确，D 错误.]
6.BD [设男生人数为x，则女生人数为x+20，
由题意得x+x+20＝180，
解得x＝80，即在被调查者中，男生、女生人数分别为80，100，可得到如下2×2 列联表，
性别
锻炼情况
合计
经常锻炼
不经常锻炼
男
48
32
80
女
40
60
100
合计
88
92
180
由表可知，A 显然错误；
男生中经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多48－40＝8，B 正确；
在经常锻炼者中是男生的频率为48
88≈0.545 5，在不经常锻炼者中是男生的频率为32
92≈0.347 8，0.545 5
0.347 8
≈1.6，C 错误；
零假设H0：是否经常锻炼与性别无关，则χ2
＝180×(48×60-32×40)
2
80×100×88×92
≈7.115>6.635＝x0.01，根据小概率值α＝0.01 的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为假期是否经常锻炼
与性别有关，D 正确.]
7.有关
解析 因为χ2＝20.87>6.635，
所以至少有99%的把握认为打鼾与患心脏病有关.
可认为打鼾与患心脏病之间是有关的.
8.0.05
解析 完善2×2 列联表如下：
被某病
毒感染
未被某病
毒感染
合计
注射疫苗
10
40
50
未注射疫苗
20
30
50
合计
30
70
100
零假设为H0：给基因编辑小鼠注射该种疫苗不能起到预防该病毒感染的效果.
因为χ2＝100×(10×30- 40×20)
2
50×50×30×70
≈4.762，3.841<4.762<6.635，
所以根据小概率值α＝0.05 的独立性检验，推断H0不成立，即认为“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到
预防该病毒感染的效果”.
9.解 (1)由题意得来自B 地区且喜爱程度为“非常喜欢”的观众有0.35×100＝35(人)，
所以应从A 地区抽取
30× 20
100＝6(人)，
从B 地区抽取35× 20
100＝7(人).
(2)完成2×2 列联表如下：
非常喜欢
喜欢
合计
A
30
15
45
B
35
20
55
合计
65
35
100
零假设为H0：观众的喜爱程度与所在地区无关.
χ2＝100×(30×20-35×15)
2
65×35×45×55
≈0.1<3.841＝x0.05，
根据小概率值α＝0.05 的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即观众的喜爱
程度与所在地区无关.
10.解 (1)依题意，抽取的学生人数为50+100+200+400+250＝1 000，则估计这次测试学生得分的平均值为
55×
50
1 000+65× 100
1 000+75× 200
1 000+85× 400
1 000+95× 250
1 000＝82.
(2)依题意得{
4 a+b＝650,
a+b＝350,
解得{
a＝100,
b＝250,可得2×2 列联表：
男生
女生
合计
得分不低于80 分
400
250
650
得分低于80 分
100
250
350
合计
500
500
1 000
零假设为H0：男生和女生对消防安全知识的掌握情况无差异.则χ2
＝1 000×(400×250-250×100)
2
500×500×650×350
≈98.901>10.828＝x0.001，
故依据小概率值α＝0.001 的独立性检验，我们推断H0不成立，即能判断男生和女生对消防安全知识的掌
握情况有差异，此推断犯错误的概率不超过0.001.
11.C [因为χ2≈6.816>6.635＝x0.01，所以数学成绩优秀与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01，即在
犯错误的概率不超过1%的前提下认为“数学成绩优秀与性别有关”，故C 正确，D 错误；
若某人数学成绩优秀，由已知数据不能判断他为男生的概率，故A 错误；
每100 个数学成绩优秀的人中可能没有女生，也有可能有多名女生，由已知数据不能确定结论，故B 错
误.]
12.5 或6
解析 设男、女学生的总人数为2m，则2m＝20k(k∈N*)，并把列联表的数据补充完整：
喜欢
不喜欢
合计
男生
0.8m
0.2m
m
女生
0.6m
0.4m
m
合计
1.4m
0.6m
2m
所以χ2＝2m(0.8m×0.4 m-0.2m×0.6m)
2
m×m×1.4 m×0.6m
＝2m
21 ，
由题意得3.841≤2m
21 <6.635⇒
80.661≤2m<139.335，
又2m＝20k(k∈N*)，
所以4.033≤k<6.967，
所以k＝5 或k＝6.
