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高中物理强基计划系统讲义
第一章：运动学
1.1 质点运动的矢量描述与微积分基础
1.1.1 位置与位移
位矢：�Ԧሬ(�) = �(�)�መ+ �(�)�መ+ �(�)�从坐标原点指向质点位置的矢量，唯一确定了质点在任意时刻�的位
置。
位移：��Ԧሬ= �Ԧሬ(�2) −�Ԧሬ(�1)
描述质点位置变化的矢量，只与初末位置有关，与路径无关。
注意：|��Ԧሬ| ≠��(位移大小≠路程)，除非是单向直线运动。
1.1.2 速度——位矢的变化率
平均速度：�Ԧሬ���=
��Ԧሬ
��(矢量，方向与��Ԧሬ相同)
瞬时速度：定义：�Ԧሬ= lim��→0
��Ԧሬ
��=
��Ԧሬ
��
求导计算：�Ԧሬ(�) =
��
���መ+
��
���መ+
��
���= ���መ+ ���መ+ ���
大小(速率)：|�Ԧሬ| =
��
2 + ��
2 + ��
2 =
��
��
方向：质点运动轨迹的切线方向。
1.1.3 加速度——速度的变化率
平均加速度：�Ԧሬ���=
��Ԧሬ
��(矢量，方向与��Ԧሬ
相同)
瞬时加速度：
定义：�Ԧሬ= lim��→0
��Ԧሬ
��=
��Ԧሬ
��=
�2�Ԧሬ
��2
求导计算：�Ԧሬ(�) =
���
���መ+
���
���መ+
���
���= ���መ+ ���መ+ ���
物理意义：描述速度矢量（大小和方向）变化的快慢。
【核心思想提升】运动学的核心就是研究�Ԧሬ(�), �Ԧሬ(�), �Ԧሬ(�) 这三个矢量函数之间的关系，而微积分是连接
它们的数学桥梁。
1.1.4 微积分基本关系
求导关系：�Ԧሬ(�) =
��Ԧሬ
��, �Ԧሬ(�) =
��Ԧሬ
��=
�2�Ԧሬ
��2
积分关系：�Ԧሬ(�) = �Ԧሬ0 +
0
��Ԧሬ
(�)���Ԧሬ(�) = �Ԧሬ0 +
0
��Ԧሬ
(�)��
1.2 两类基本问题：从r(t) 求导到由a 积分
这是运动学计算的核心，所有问题都可归结为以下两类。
1.2.1 第一类问题：已知运动方程rԦ(t)，求vԦሬ(t) 和aԦሬ(t)
方法：连续求导。
例题1：已知一质点在平面内运动，其运动方程为�Ԧሬ(�) = (3�2)�መ+ (4�−�3)�መ(SI 制)。求：(1) �= 1�时
的速度矢量。(2) 0 ∼2�内的平均加速度。(3) �= 1�时的加速度矢量。
解：
(1) �Ԧሬ(�) =
��Ԧሬ
��= (6�)�መ+ (4 −3�2)�መ=> �Ԧሬ(1) = (6)�መ+ (1)�መm/s
(2) �Ԧሬ(0) = (0)�መ+ (4)�መm/s; �Ԧሬ(2) = (12)�መ+ (4 −12)�መ= (12)�መ−(8)�መm/s
�Ԧሬ���=
��Ԧሬ
��=
�Ԧሬ(2)−�Ԧሬ(0)
2
= (6�መ−6�መ) m/s²
(3) �Ԧሬ(�) =
��Ԧሬ
��= (6)�መ+ ( −6�)�መ=> �Ԧሬ(1) = (6)�መ−(6)�መm/s²
1.2.2 第二类问题：已知加速度aԦሬ和初始条件(rԦ0, vԦሬ0)，求vԦሬ(t) 和rԦ(t)
方法：积分。积分常数由初始条件确定。
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高中物理强基计划系统讲义
通用公式（一维）：
�(�) = �0 +
0
��
(�)��
�(�) = �0 +
0
��
(�)��
对于二维/三维运动，必须对每个分量独立进行上述积分过程。
例题2（�Ԧሬ= 恒矢量）(特例：匀变速运动)：一质点以初速度�Ԧሬ0 = (10�መ+ 15�መ) m/s 从原点抛出，加速
度�Ԧሬ= (0)�መ+ ( −10)�መm/s² (重力加速度)。求其轨迹方程。
解：
–x 方向：��= 0 => ��= ��0 = 10 => �= �0 + ��0�= 10�
–y 方向：��=−10 => ��= ��0 + ���= 15 −10�=> �= �0 + ��0�+
1
2 ���2 = 15�−5�2
–消去�：�=
�
10，代入�得�= 15(
�
10 ) −5(
�
10 )2 = 1.5�−0.05�2 (抛物线)
例题3（�= �(�) 型）：一质点沿�轴运动，加速度�= 2�(SI 制)，初位置�0 = 0，初速度�0 = 1 m/s。
求�= 3�时的速度与位置。
解：
–�(�) = �0 +
0
��
��= 1 +
0
�2
���= 1 + [�2]0
�= 1 + �2 => �(3) = 1 + 9 = 10 m/s
–�(�) = �0 +
0
��
��= 0 +
0
�(
1 + �2)��= 0 + [�+
�3
3 ]0
�= �+
�3
3 => �(3) = 3 +
27
3 = 12 m
二维/三维：分量独立积分。
例题4（�= �(�) 型- 分离变量法）(动力学中常见，如空气阻力)：质点沿�轴运动，加速度�=−��
(�为正常数)，初速度为�0。求速度随时间的变化关系�(�)。
方法：分离变量法
解：
–�=
��
��=−��
–分离变量：
��
�=−���
–两边积分：�0
���
�
=−�0
��
�
–得：ln(�) −ln(�0) =−��=> ln(
�
�0 ) =−��
–所以：�(�) = �0�−��(速度指数衰减)
例题5（�= �(�) 型）(动力学中常见，如弹簧振子、万有引力)：质点沿�轴运动，加速度a = -ω²x ，
初速度为�0。求速度随位移的变化关系�(�)。
方法：链式法则+分离变量。a = v dv/dx => v dv = a(x) dx => ∫v dv = ∫a(x) dx。
解：
–�=
��
��=−��
例题6 弹簧振子a =−
k
m x，求v(x)关系
解：a = v
dv
dx =−
k
m x vdv =−
k
m xdx vdv =−
k
m xdx
1
2 v2 =−
k
2m x2 + C v =±
k
m (A2 −x2)
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