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1．抛物线
的焦点坐标为 ．
2．已知抛物线
，则抛物线
焦点坐标为 .
3．若抛物线
的焦点到直线
的距离为1，则实数
的值为 ．
4．已知抛物线
的焦点为F，直线l 与C 交于A，B 两点，且AB 的中点到x 轴的
距离为6，则
的最大值为 ．
5．在平面直角坐标系
中，角
与角
均以
为始边，它们的终边关于原点对称.若
，则
的最大值为 ．
6．函数
在
上的值域为 .
1
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7．在平面直角坐标系
中，设角
的始边与
轴的非负半轴重合，角
终边与单位圆相
交于点
，将角
终边顺时针旋转
后与角
终边重合，那么
．
8．已知角
的顶点在坐标原点，始边与
轴非负半轴重合，点
是角
终
边上的一点，则
．
9．若直线
与双曲线
只有一个公共点，则
的一个取值为 ．
10．已知直线
和双曲线
，若l 与C 的右支交于不同的两点，则t 的
取值范围是 ．
11．已知斜率存在的直线与双曲线
相交且仅有一个交点，则直线的方程可
以为 ．
12．已知双曲线
，直线
，若直线与双曲线的右支有两个交点，求
的取值范围 ．
2
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13．汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、
斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10 的等比数列，
底面直径依次为
，且斛量器的高为
，则斗量器的高为
，升量器的高为
．
14．如图，高度均为3 的封闭玻璃圆锥和圆柱容器内装入等体积的水，此时水面高度均为
，若
，记圆锥的底面半径为
，圆柱的底面半径为，则
.
15．国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”即夹在两个
平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面
的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，将底面半径都为b，高都为
的半椭球（左侧图）和已被挖去了圆锥的圆柱右侧图）（被挖去的圆锥以圆柱的上底面为
底面，下底面的圆心为顶点）放置于同一平面
上，用平行于平面
且与平面
任意距离
d 处的平面截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环，可以证明
总成立．据此，图
中圆柱体（右侧图）的底面半径b 为2，高a 为3，则该半椭球体（左侧图）的体积为
．
3
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16．如图,一个密闭圆柱体容器的底部镶嵌了同底的圆锥实心装饰块,容器内盛有a 升水．若
将容器平放在地面上（如图1）,则水面正好过圆锥的顶点P;若将容器倒置（如图2）,水面
也恰好过点P．下列说法中,正确的是 ．（写出所有满足条件的说法序号）
①圆锥的高等于圆柱的高的一半;
②将容器的一条母线贴地,水面也恰过点P;
③将容器任意摆放,当水面静止时都过点P．
17．设
与
是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合
，
给出下列4 个结论：
①若
与
均为等差数列，则M 中最多有1 个元素；
②若
与
均为等比数列，则M 中最多有2 个元素；
③若
为等差数列，
为等比数列，则M 中最多有3 个元素；
④若
为递增数列，
为递减数列，则M 中最多有1 个元素.
其中正确结论的序号是 .
4
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18．已知各项不为0 的等差数列
满足
，数列
是等比数列，且
，
则
．
19．已知数列
的各项均为整数，
，
，前12 项依次成等差数列，从第11
项起依次成等比数列，则集合
中所有元素之和为 .
20．已知等差数列
的公差
不为零，等比数列
的公比
是小于1 的正有理数．若
，
，且
是正整数，则
的值可以是 ．
5
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参考答案：
1．
【分析】形如
的抛物线的焦点坐标为
，由此即可得解.
【详解】由题意抛物线的标准方程为
，所以其焦点坐标为
.
故答案为：
.
2．
【分析】根据抛物线方程确定开口方向和
的值即可写出焦点坐标.
【详解】根据抛物线方程可知抛物线的开口向左，且
，即
，
焦点坐标为
.
故答案为：
.
3．
【分析】先求得抛物线的焦点为
，根据题意，列出方程
，即可求解.
【详解】由抛物线
可化为
，可得其焦点为
，
因为抛物线
的焦点到直线
的距离为，可得
，
解得
或
（舍去），故实数
的值为．
故答案为：.
4．20
【分析】根据抛物线的定义，结合梯形中位线定理、两点间线段最短进行求解即可．
【详解】由题意知
，抛物线C 的准线方程为
．
设AB 的中点为M，分别过点A，B，M 作准线的垂线，垂足分别为C，D，N．
1
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因为M 到
轴的距离为6，所以
．
由抛物线的定义知
，
所以
．
因为
，当点F 在线段AB 上时等号成立，
所以
，即
的最大值为20．
故答案为：20．
5．
##
【分析】首先得出
，结合三角函数单调性即可求解最值.
【详解】由题意
，从而
，
因为
，所以
的取值范围是
，
的取值范围是
，
当且仅当
，即
时，
取得最大值，且最大值为
.
故答案为：
.
6．
【分析】根据题意，结合余弦函数的图象与性质，即可求解.
【详解】由余弦函数的性质，可得
在
上单调递增，在
上单调递减，
2
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所以，当
时，
，
又因为
，所以函数
的值域为
.
故答案为：
.
7．
##-0.6
【分析】先根据三角函数的定义算出
，然后根据
的关系结合诱导公式计算
.
【详解】根据三角函数的定义，
，由题意，
，于是
.
故答案为：
8．
【分析】先利用三角函数的定义求得
和
，再根据诱导公式化简求解即可.
【详解】因为角
的顶点在坐标原点，始边与
轴非负半轴重合，点
是
角
终边上的一点，
所以
，
，
所以
，
故答案为：
9．
（或
，答案不唯一）
【分析】联立直线方程与双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.
3
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【详解】联立
，化简并整理得：
，
由题意得
或
，
解得
或无解，即
，经检验，符合题意.
故答案为：
（或
，答案不唯一）.
10．
【分析】联立直线与双曲线
的方程，利用判别式及韦达定理求解作答.
【详解】由
消去y 得：
，由于l 与C 的右支交于不同的两
点，
则直线与双曲线
的两个交点横坐标均为正，且不等，
于是
，解得
，
所以t 的取值范围是
.
故答案为：
4
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11．
（答案不唯一）
【分析】由直线与双曲线相交，且有且仅有1 个交点可得直线与渐近线平行，得解.
【详解】因为斜率存在的直线与双曲线
相交且仅有一个交点，双曲线
的渐
近线方程为
，
故不妨设直线的方程为
，易知当
时，
满足题意．
故答案为：
（答案不唯一）.
12．
或
【分析】联立双曲线和直线方程，然后列不等式求解即可.
【详解】解：依题意，联立方程
，消去
，得
，
设直线与双曲线的右支的两个交点为
，
，
则
，解得
或
，
所以
或
.
5
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故答案为：
或
.
13． 23 57.5##
【分析】根据体积为公比为10 的等比数列可得关于高度的方程组，求出其解后可得前两个
圆柱的高度.
【详解】设升量器的高为
，斗量器的高为
（单位都是
），则
，
故
，
.
故答案为：
.
14．
##
【分析】利用圆锥的轴截面求出圆锥内水的体积的表达式，再求出圆柱内水的体积表达式，
二者相等，化简即可得答案.
【详解】如图，作出圆锥的轴截面
，设
为水面，O 为圆锥底面中心，
为水面中
心，
6
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则
，则
∽
，故
，
故圆锥内水的体积为
，
圆柱内水的体积为
，
由
，得
，故
，
故答案为：
15．
【分析】利用圆柱、圆锥的体积公式，即可得出结论．
【详解】根据题意，因为
总成立，
所以半椭球体的体积为
，
由题意知：
，
，
所以半椭球体的体积为：
．
故答案为：
．
16．②
【分析】先利用倒置后水的体积不变,建立三棱锥的高和圆柱高之间的关系,即可得①的正误,
求出圆柱内部体积,和水的体积比较可知②的正误,由于该容器上下不对称,所以过点P 的平
面不可能总平分圆柱内部空间,可得③的正误.
【详解】解:记圆柱底面积为,
记圆锥的高为
,圆锥顶点到圆柱上底面的距离为
,
设圆柱的高为,则
,
由题知,
,
且
,
所以
,
7
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即
,
故
,
故①错误;
圆柱内部空间体积为
,
而水的体积为
,
故水的体积正好是圆柱内部空间体积的一半,
因此将圆柱母线贴地,水面过点P,
故②正确;
因为过点P 的平面不可能总平分圆柱内部空间,
故③错误.
故答案为: ②
17．①③④
【分析】利用两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利用反例可判断②的正误，结
合通项公式的特征及反证法可判断③的正误.
【详解】对于①，因为
均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上，
而两条直线至多有一个公共点，故
中至多一个元素，故①正确.
对于②，取
则
均为等比数列，
但当
为偶数时，有
，此时
中有无穷多个元素，故②错误.
对于③，设
，
，
若
中至少四个元素，则关于
的方程
至少有4 个不同的正数解，
若
，则由
和
的散点图可得关于
的方程
至多有两个
不同的解，矛盾；
8
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若
，考虑关于
的方程
奇数解的个数和偶数解的个数，
当
有偶数解，此方程即为
，
方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时
，
否则
，因
单调性相反，
方程
至多一个偶数解，
当
有奇数解，此方程即为
，
方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时
即
否则
，因
单调性相反，
方程
至多一个奇数解，
因为
，
不可能同时成立，
故
不可能有4 个不同的整数解，即M 中最多有3 个元素，故③正确.
对于④，因为
为递增数列，
为递减数列，前者散点图呈上升趋势，
后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确.
故答案为：①③④.
【点睛】思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征
来分析，注意讨论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化.
18．8
【分析】首先根据题意得到
，在利用等比数列的性质求解即可.
【详解】因为
，所以
，
即
，因为
，所以
，则
.
9
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.
故答案为：8
19．1023
【分析】根据题意分别求出前11 项公差
，11 项后的公比为
，然后可求得
，从而可求解.
【详解】设由前12 项构成的等差数列的公差为
，从第11 项起构成的等比数列的公比为
，
由
，解得
或
，又数列
的各项均为整数，故
，
所以
，所以
，
故
，所以
，
故集合
中所有元素之和为
.
故答案为：
.
20．
##0.5
【分析】首先由等差数列，等比数列得出
，而要使
为正整数，
10
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则要想办法消掉14，即可想到
，这样问题就由
为正整数转化为
为
正整数，即可得出满足范围的
的取值，而
又是有理数，则通过解关于
的一元二次方程，
去找出满足题意的
的取值，即可得到
的取值.
【详解】由题意知：
是首项为
，公差为
，且
的等差数列，
是首项为
，公比为
，且
的等比数列，
∴
，
要使
为正整数，即
为正整数，
∵
，
，∴
，
设
，
，即
，即
，
又∵
，∴
为正整数，
则满足范围的
的值有：5，6，7，8，9，10，11，12，13，
又
，
即
，
又由题意知：
，且为有理数，
∴
，∴只有当
时，满足题意，
此时：
.
故答案为：
.
11
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12
