文档文本内容
第 03 讲 成对数据的统计分析
目录
第一部分：知识点必背................................................1
第二部分：高考真题回归..............................................3
第三部分：高频考点一遍过............................................5
高频考点一：成对数据的相关性.....................................5
高频考点二：回归分析.............................................8
角度1：经验回归方程及应用.....................................8
角度2：非线性经验回归方程及应用..............................13
角度3：相关系数 ............................................23
角度4：残差分析..............................................31
高频考点三：列联表与独立性检验..................................38
第一部分：知识点必背
知识点一：变量的相关关系
(1)两个变量有关系,但又没有确切到可由其中一个去精确地决定另一个的程度,这种关系称为相关关系.
(2)正相关、负相关
从整体上看,当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值也呈现增加的趋势,我们就称这两个变量正相关;
如果当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值呈现减小的趋势,则称这两个变量负相关.
(3)线性相关、非线性相关
一般地,如果两个变量的取值呈现正相关或负相关,而且散点落在一条直线附近,我们就称这两个变量线性
相关.
一般地,如果两个变量具有相关性,但不是线性相关,那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关.
知识点二：样本相关系数
（1）相关系数 的计算
变量 与变量 的样本相关系数 的计算公式如下：（2）相关系数 的性质
①当 时,称成对样本数据正相关;当 时,称成对样本数据负相关.
当 时，成对样本数据间没有线性相关关系.
②样本相关系数 的取值范围为 ,当 越接近1时,成对样本数据的线性相关程度越强;当 越接近
0时,成对样本数据的线性相关程度越弱.
知识点三：一元线性回归模型
(1)数学表述式:如果两个变量之间的关系可以表示为
我们称该式为 关于 的一元线性回归模型.
其中, 称为因变量或响应变量, 称为自变量或解释变量; 和 为模型的未知参数, 称为截距参数, 称
为斜率参数; 是 与 之间的随机误差.
（2）经验回归方程
我们将 称为 关于 的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回
归直线，其中
（3）利用 刻画回归效果
的计算公式为 ，其意义是 越大，残差平方和 越小，即模型的拟
合效果越好； 越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差.
知识点四：列联表与独立性检验
(1)2×2列联表
如图,给出成对分类变量数据的交叉分类频数的数据统计表称为2×2列联表.
合计合计
(2)独立性检验
依据上述 列联表构造统计量
利用 的取值推断分类变量 和 是否独立的方法称为 独立性检验,读作“卡方独立性检验”,简称
独立性检验.
常用的小概率值和临界值表
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
第二部分：高考真题回归
1．（2023·天津·统考高考真题）调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数
，下列说法正确的是（ ）
A．花瓣长度和花萼长度没有相关性
B．花瓣长度和花萼长度呈现负相关
C．花瓣长度和花萼长度呈现正相关
D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是
【答案】C
【详解】根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A选项错误
散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B选项错误，C选项正确；
由于 是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据
的相关系数不一定是 ，D选项错误
故选：C
2．（2022·全国·统考高考真题）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位： ）和材积量（单
位： ），得到如下数据：
样本号ｉ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
根部横截面积 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
材积量 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
并计算得 ．
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为 ．已
知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数 ．
【答案】(1) ；
(2)
(3)
【详解】（1）样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值
样本中10棵这种树木的材积量的平均值
据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为 ，
平均一棵的材积量为
（2）
则
（3）设该林区这种树木的总材积量的估计值为 ，
又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得 ，解之得 ．
则该林区这种树木的总材积量估计为
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：成对数据的相关性
典型例题
例题1．（2023·全国·高二随堂练习）对四组数据进行统计，获得以下散点图（如图），将四组数据相应的
相关系数进行比较，正确的有（ ）
A．
B．
C． D．
【答案】A
【详解】由散点图可知，第1,3图中为正相关，第2,4图中为负相关，第1,2图中变量相关性较强，
所以可知 ，且 与 相比较，其值更大，
所以 ，
故选：A
例题2．（2023秋·高二课时练习）对两个变量的四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于两个变
量相关系数的比较，正确的是（ ）
A．r＜r＜0＜r＜r B．r＜r＜0＜r＜r
2 4 3 1 4 2 1 3C．r＜r＜0＜r＜r D．r＜r＜0＜r＜r
4 2 3 1 2 4 1 3
【答案】A
【详解】由相关系数及散点图反映了线性相关关系的知识，可知r＜r＜0＜r＜r
2 4 3 1．
故选：A
例题3．（多选）（2023春·高二课时练习）（多选）某中学的兴趣小组在某座山测得海拔高度、气压和沸
点的六组数据绘制成散点图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．沸点与海拔高度呈正相关
B．沸点与气压呈正相关
C．沸点与海拔高度呈负相关
D．气压与海拔高度呈负相关
【答案】BCD
【详解】由左图知气压随海拔高度的增加而减小，由右图知沸点随气压的升高而升高，
所以气压与海拔高度呈负相关，沸点与气压呈正相关，沸点与海拔高度呈负相关．
故选：BCD.
练透核心考点
1．（2023秋·高二课时练习）如图（1）（2）分别表示样本容量均为7的A，B两组成对数据的散点图，
已知A组成对数据的样本相关系数为 ，B组成对数据的样本相关系数为 ，则 与 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．无法判断
【答案】C
【详解】由题图（1）可知，散点几乎分布在一条直线上，且成正相关，∴ ，由题图（2）可知，散点分散在一条直线附近，也成正相关，∴ ，
图（1）中的散点分布更紧密，因此A组成对数据的线性相关程度比B组强一些，
∴ ，
故选：C.
2．（2023·全国·高二专题练习）某统计部门对四组成对样本数据进行统计分析后，获得如图所示的散点
图，关于样本相关系数的比较，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题中数据可知：（1）（3）为正相关，（2）（4）为负相关，
故 ；
又因为（1）与（2）中散点图更接近于一条直线，故 ，
所以 .
故选：C.
3．（2023·全国·高二专题练习）对某高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到如
图所示的散点图．下面关于这位同学的数学成绩的分析中，正确的序号有 ．①该同学的数学成绩总的趋势是在逐步提高；
②该同学在这连续九次测试中的最高分与最低分的差超过40分；
③该同学的数学成绩与测试序号具有线性相关性，且为正相关．
【答案】①②③
【详解】散点图从左向右看呈上升趋势，所以该同学的数学成绩总的趋势是在逐步提高，①正确；
该同学在这连续九次测试中的最高分大于130分，最低分小于90分，极差超过40分，②正确；
该同学的数学成绩与测试序号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确．
故答案为：①②③.
高频考点二：回归分析
角度1：经验回归方程及应用
典型例题
例题1．（2023·内蒙古呼伦贝尔·海拉尔第一中学校考模拟预测）已知某产品的营销费用x(单位：万元)与
销售额y(单位：万元)的统计数据如表所示：根据上表可得y关于x的回归直线方程为 ，则当该产
品的营销费用为6万元时，销售额为（ ）
营销费用x/万元 2 3 4 5
销售额y/万元 15 20 30 35
A．40.5万元 B．41.5万元 C．42.5万元 D．45万元
【答案】C
【详解】 ， ，
∵回归直线方程为 ，∴ ，解得 ，
∴回归直线方程为 ，将 代入，得 ．
故当该产品的营销费用为6万元时，销售额为42.5万元．
故选：C．
例题2．（2023春·河北石家庄·高二河北师范大学附属中学校考阶段练习）某同学在研究性学习中，收集
到某制药厂今年前5个月甲胶震生产产量（单位：万盒）的数据如表所示：若 线性相关，线性回归方
程为 ，则当 时， 的预测值为 万盒．
（月份） 1 2 3 4 5
（万
5 6 5 6 8
盒）【答案】 /
【详解】 ，
所以 ，所以 ，
当 时， 万盒.
故答案为：
例题3．（2023·全国·高二随堂练习）一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此
进行了10次试验，收集数据如下：
零件数X/个 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
加工时间Y/min 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122
回归直线 ， ， .
(1)画出散点图；
(2)求Y关于X的线性回归方程；
(3)关于加工零件的个数与加工时间，你能得出什么结论？
【答案】(1)散点图见解析；
(2) ；
(3)结论见解析.
【详解】（1）由表格数据，散点图如下，x轴表示零件个数/个，y轴表示加工时间/min，
（2）设Y关于X的线性回归方程为 ，
由 ， ， ， ，
所以 ，则 ，综上，所求回归方程为 .
（3）由（2）所得线性回归方程知：每多加工10个零件，需多花费 分钟.
例题4．（2023秋·四川成都·高三统考阶段练习）配速是马拉松运动中常使用的一个概念，是速度的一
种，是指每千米所需要的时间.相比配速，把心率控制在一个合理水平是安全理性跑马拉松的一个重要策
略.已知图①是某次马拉松比赛中一位跑者的心率y（单位：次/分钟）和配速x（单位：分钟/千米）的散点
图，图②是本次马拉松比赛（全程约42千米）前5000名跑者成绩（单位：分钟）的频率分布直方图.
(1)由散点图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y与x的线性回归方程；
(2)在本次比赛中，该跑者如果将心率控制在160（单位：次/分钟）左右跑完全程，估计他跑完全程花费的
时间及他能获得的名次.
参考公式： 中， ， ，其中 ， 为样本平均值．
【答案】(1) ；
(2)约210分钟，约320名.
【详解】（1）由散点图中数据和参考公式得
， ，
∴ ， ，
所以y与x的线性回归方程为 .
（2）将 代入回归方程得 ，
所以该跑者跑完马拉松全程所花的时间为 分钟，
从马拉松比赛前5000名跑者成绩的频率分布直方图可知：
成绩好于210分钟的累计频率为 .有6.4%的跑者成绩超过该跑者，
则该跑者在本次比赛获得的名次大约是 名.
练透核心考点
1．（2023·海南·统考模拟预测）乡村振兴战略坚持农业农村优先发展，目标是按照产业兴旺､生态宜居､乡
风文明､治理有效､生活富裕的总要求，建立健全城乡融合发展体制机制和政策体系，加快推进农业农村现
代化．某乡镇通过建立帮扶政策，使得该乡镇财政收入连年持续增长，具体数据如表所示：
第 年 1 2 3 4 5
收入 （单位：亿元
3 8 10 14 15
由上表可得 关于 的近似回归方程为 ，则第6年该乡镇财政收入预计为（ ）
A．16亿元 B．19亿元 C．21亿元 D．23亿元
【答案】B
【详解】由表可知： ， ，
又因为回归方程 过样本中心点 ，所以 ，
所以回归方程为： ，
当 时， .
故选：B.
2．（2023秋·天津滨海新·高三大港一中校考阶段练习）新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控
救治，做出了重要贡献.某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入 （亿元）与产品收益 （亿
元）的数据统计如下表：
研发投入 （亿元） 1 2 3 4 5
产品收益 （亿
3 7 9 10 11
元）
用最小二乘法求得 关于 的经验回归直线方程是 ，当研发投入 亿元时，相应的产品收益估
计值为 .
【答案】 亿元
【详解】由表格中的数据可得 ， ，
将样本中心点 代入回归直线方程可得 ，解得 ，
所以，回归直线方程为 ，
当 时， （亿元），因此，当研发投入 亿元时，相应的产品收益估计值为 亿元.
故答案为： 亿元.
3．（2023·全国·高二课堂例题）某班5名学生的数学和物理成绩如下表：
学生 A B C D E
数学成绩x/分 88 76 73 66 63
物理成绩y/分 78 65 71 64 61
(1)画出散点图；
(2)求物理成绩y关于数学成绩x的回归直线方程（结果保留三位小数）．
【答案】(1)图像见解析
(2)
【详解】（1）散点图如图所示．
（2）因为 ，
，
，
，
所以 ，
．
因此y关于x的回归直线方程为 ．
4．（2023春·吉林通化·高二校考期末）无论是国际形势还是国内消费状况，2023年都是充满挑战的一
年，为应对复杂的经济形势，各地均出台了促进经济发展的各项政策，积极应对当前的经济形势，取得了
较好的效果.某市零售行业为促进消费，开展了新一轮的让利促销的活动，活动之初，利用各种媒体进行大
量的广告宣传，为了解传媒对本次促销活动的影响，在本市内随机抽取了6个大型零售卖场，得到其宣传
费用x（单位：万元）和销售额y（单位：万元）的数据如下：卖场 1 2 3 4 5 6
宣传费用 2 3 5 6 8 12
销售额 30 34 40 45 50 60
(1)求y关于x的线性回归方程
(2)预测当宣传费用至少多少万元时（结果取整数），销售额能突破100万元；
附：参考数据 ，回归直线方程 中 和 的最小二乘法的估计公式分别为：
， .
【答案】(1)
(2)至少为25万元时
【详解】（1） ，
，
所以 ， ，所以 ；
（2）令 ，解得 （万元）.
故当宣传费用至少为25万元时，销售额能突破100万元；
综上，回归方程为 ，若欲销售额突破100万，则宣传费用至少25万.
角度2：非线性经验回归方程及应用
典型例题
例题1．（2023秋·湖北武汉·高三武汉市第一中学校联考阶段练习）在能源和环保的压力下，新能源汽车
将成为未来的发展方向．某市大力推广新能源汽车，成果显著，该市近6年的新能源汽车保有量数据如下
表，
年份代号x 1 2 3 4 5 6
保有量y（万辆） 1 1.8 2.7 4 5.9 9.1(1)记 时对应的汽车保有量为 ，其相较去年的增长量为 ，分析发现变量z和y
有线性关系，试建立变量z和y的回归方程（精确到0.01）；
(2)根据（1）问的结果分析：① ；② ；③ 当中哪一个更适合作为汽车保有
量y与年份x的回归方程类型？判断并说明理由．
附：对于一组数据 ， ， ， ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分
别为 ， ．
【答案】(1)
(2)②适宜，理由见解析
【详解】（1）设 关于 的回归方程为 ，
当 时，可得 ， ，
则 ，可得 ，
所以 关于 的回归方程为 ．
（2）选择②，理由如下：
由（1）问知 和 有线性关系，故用 估计 ，知 ，
则 ，可得 ，
可得 是首项为 ，公比为 的等比数列，
从而 ，满足②式的形式，
故②适宜作为y与x的回归方程类型．
例题2．（2023秋·四川泸州·高三四川省泸县第四中学校考开学考试）抗体药物的研发是生物技术制药领
域的一个重要组成部分，抗体药物的摄入量与体内抗体数量的关系成为研究抗体药物的一个重要方面.某研
究团队收集了10组抗体药物的摄入量与体内抗体数量的数据，并对这些数据作了初步处理，得到了如图所
示的散点图及一些统计量的值，抗体药物摄入量为x（单位： ），体内抗体数量为y（单位：
）.
29.2 12 16 34.4(1)根据经验，我们选择 作为体内抗体数量y关于抗体药物摄入量x的回归方程，将 两边取对
数，得 ，可以看出 与 具有线性相关关系，试根据参考数据建立 关于 的回归方
程，并预测抗体药物摄入量为 时，体内抗体数量 的值；
(2)经技术改造后，该抗体药物的有效率z大幅提高，经试验统计得z服从正态分布 ，那这
种抗体药物的有效率 超过0.54的概率约为多少？
附：①对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为
， ；
②若随机变量 ，则有 ， ，
；
③取 .
【答案】(1) ；
(2)
【详解】（1）将 两边取对数，得 ，
设 ， ，则回归方程变为 ，
由表中数据可知， ， ，
所以 ， ，
所以 ，即 ，
故y关于x的回归方程为 ，
当 时， .（2）因为z服从正态分布 ，其中 ， ，
所以 ，
所以 ，
故这种抗体药物的有效率z超过0.54的概率约为 .
例题3．（2023春·安徽亳州·高二涡阳县第二中学校联考期末）国务院印发《新时期促进集成电路产业和
软件产业高质量发展的若干政策》．某科技公司响应国家号召，加大了芯片研究投入力度．从2022年
起，芯片的经济收入逐月攀升，该公司在2022年的第一月份至第六月份的月经济收入 （单位：百万元）
关于月份 的数据如下表所示：
时间 （月份） 1 2 3 4 5 6
月收入 （百万元） 6 9 15 22 33 47
(1)请你根据提供数据，判断 与 （ 均为常数）哪一个适宜作为该公司月经济收入
关于月份 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的结果及表中的数据，求出 关于 的回归方程；
(3)从这6个月中抽取3个，记月收入超过16百万的个数为 ，求 的分布列和数学期望．参考数据：
2.86 17.50 142 7.29
其中设
参考公式和数据：对于一组具有线性相关关系的数据 ，其回归直线 的斜率
和截距的最小二乘估计公式分别为： ．
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析，
【详解】（1）根据数据判断知 适宜作为该公司月经济收人 关于月份 的回归方程类型.
（2）由 ，得到 ，令 ，则 ，所以 ，又 ，
所以 ，故 ，
即 .
（3）易知在前6个月的收入中，月收入超过16佰万的有3个，
故 服从 的超几何分布，
又 的所有取值为 ，
又 ， ，
， ，
所以 的分布列为
0 1 2 3
则 （或 ）.
例题4．（2023·全国·高二专题练习）为贯彻中共中央、国务院2023年一号文件，某单位在当地定点帮扶
某村种植一种樱桃，并把这种露天种植的樱桃搬到了大棚里，收到了很好的经济效益.根据资料显示，产出
的樱桃的箱数 （单位：箱）与成本 （单位：千元）的关系如下：
1 3 4 6 7
5 6.5 7 7.5 8
与 可用回归方程 （其中 ， 为常数）进行模拟.
(1)若农户卖出的该樱桃的价格为100元/箱，试预测该水果200箱的利润是多少元.（利润=售价-成本）
(2)据统计，1月份的连续30天中农户每天为甲地可配送的该水果的箱数的频率分布直方图如图，用这30
天的情况来估计相应的概率，一个运输户拟购置 辆小货车专门运输农户为甲地配送的该水果，一辆货车
每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40箱该水果，满载发车，否则不发车.若发车，则每辆车每
趟可获利520元；若未发车，则每辆车每天平均亏损220元.试比较 和 时，此项业务每天的利润
平均值的大小.参考数据与公式：设 ，则 ，
线性回归直线 中， ， ， ， .
【答案】(1)7216元
(2)购置3辆小货车的利润平均值大于购置4辆小货车的利润平均值
【详解】（1）根据题意， ，
，
所以 ，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 时， （千元），
即该水果200箱的成本为12784元，
故该水果200箱的利润 （元）.
（2）根据频率分布直方图，可知该农户每天可配送的该水果的箱数的概率分布表为：
箱
数
设该运输户购3辆车和购4辆车时每天的利润分别为 ， 元，
则 的可能取值为1560，820，80，其分布列为：
1560 820 80故 ，
的可能取值为2080，1340，600， ，其分布列为：
2080 1340 600
故 ，
∴
即购置3辆小货车的利润平均值大于购置4辆小货车的利润平均值.
练透核心考点
1．（2023秋·江苏泰州·高三泰州中学校考阶段练习）用模型 拟合一组数据组
，其中 ，设 ，得变换后的线性回归方程为 ，则 （ ）
A． B． C．70 D．35
【答案】B
【详解】因为 ，
所以 ，则 ，
即 ，
即 ，所以 .
故选：B.
2．（2023春·山东东营·高二统考期末）2021年4月7日，“学习强国”上线“强国医生”功能，提供智能
导诊、疾病自查、疾病百科、健康宣传等多种医疗健康服务.
(1)为了解“强国医生”使用次数的多少与性别之间的关系，某调查机构调研了200名“强国医生”的使用
者，得到表中数据，根据所给数据完成上述表格，并判断是否有 99.9%的把握认为“强国医生”的使用次
数与性别有关；
男 女 总计
使用次数多 40
使用次数少 30
总计 90 200
(2)该机构统计了“强国医生”上线7天内每天使用该服务的女性人数，“强国医生”上线的第x天，每天使用“强国医生”的女性人数为y，得到以下数据：
x 1 2 3 4 5 6 7
y 6 11 21 34 66 100 195
通过观察散点图发现样本点集中于某一条曲线 的周围，求y关于x的回归方程，并预测“强国医
生”上线第12天使用该服务的女性人数.
附：随机变量
0.05 0.02 0.01 0.005 0.001
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
其中 参考公式：对于一组数据 其回归直线 的斜率和截距的最
小二乘估计公式分别为
61.9 1.6 51.8 2522 3.98
【答案】(1)表格见解析，有99.9%的把握认为“强国医生”的使用次数与性别有关
(2) ，3980人
【详解】（1）
男 女 总计
使用次数多 40 80 120
使用次数少 50 30 80
总计 90 110 200
，
所以有99.9%的把握认为“强国医生”的使用次数与性别有关；
（2）将 两边同时取常用对数得
，
设 ，则 ，因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以y关于x的回归方程为
把 代入回归方程，得 ，
所以“强国医生”上线第12天，使用该服务的女性约有3980人.
3．（2023·全国·高二随堂练习）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单
位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响．对近8年的年宣传费x；和年销售
量 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8
表中 ．
(1)根据散点图判断， 与 哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？
(2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为 ．根据（2）的结果回答下列问题：年宣传费
时，年销售量及年利润的预测值是多少？年宣传费x为何值时，年利润的预测值最大？
【答案】(1)
(2)
(3)年销售量预测值为 ， 年利润的预测值为 ,当 时， 有最大值.
【详解】（1）根据散点图可以看出这些点在曲线上，所以 适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；
（2） ，
所以立y关于x的回归方程为 ；
（3）当 时， ，
；
，
当 时，即 时， 有最大值 .
4．（2023春·江西赣州·高三校考阶段练习）为了研究某种细菌随天数 变化的繁殖个数 ，收集数据如
下：
天数 1 2 3 4 5 6
繁殖个数 6 12 25 49 95 190
(1)在图中作出繁殖个数 关于天数 变化的散点图，并由散点图判断 （
为常数）与 （ 为常数，且 ）哪一个适宜作为繁殖个数 关于天数 变化的回
归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)对于非线性回归方程 （ 为常数，且 ），令 ，可以得到繁殖个数的对数z
关于天数x具有线性关系及一些统计量的值．
3.50 62.83 3.53 17.50 596.57 12.09
（ⅰ）证明：“对于非线性回归方程 ，令 ，可以得到繁殖个数的对数 关于天数 具有线
性关系（即 为常数）”；
（ⅱ）根据（ⅰ）的判断结果及表中数据，建立 关于 的回归方程（系数保留2位小数）．
附：对于一组数据 ，其回归直线方程 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ．
【答案】(1)选择 为回归方程较宜
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【详解】（1）作出散点图如图所示．
由散点图看出样本点分布在一条指数型曲线 的周围，
故选择 为回归方程较宜．
（2）（i）由已知：令 ，则 ，
则 ， ，即 ．所以繁殖个数的对数 关于天数 具有线性关系．
（ii）由（i）知繁殖个数的对数 关于天数 可以用线性回归方程来拟合．由表中数据可得，
，
，
得到 关于 的线性回归方程为 ，又 ，
因此细菌的繁殖个数 关于天数 的非线性回归方程为 ．
角度3：相关系数
典型例题
例题1．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）下图是我国2014年至2020年生活垃圾无害化处理量（单位：亿
吨）的折线图．注：年份代码1-7分别对应年份2014-2020（2021年后代码依次类推）．
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2023年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：参考数据： ．
参考公式：相关系数
回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ．
【答案】(1)答案见解析
(2) ，1.92亿吨
【详解】（1）由折线图中数据和附注中参考数据得 ， ， ，
，
所以 ，
因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t
的关系．
（2）由 及（1）得 ，
所以，y关于t的回归方程为： ．
将2023年对应的 代入回归方程得： ，所以预测2023年我国生活垃圾无害化处理量将约1.92亿吨.
例题2．（2023秋·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第三中学校考阶段练习）2023年，国家不断加大对科技创
新的支持力度，极大鼓舞了企业投入研发的信心，增强了企业的创新动能.某企业在国家一系列优惠政策的
大力扶持下，通过技术革新和能力提升，极大提升了企业的影响力和市场知名度，订单数量节节攀升，右
表为该企业今年1~4月份接到的订单数量.
月份t 1 2 3 4
订单数量y（万件） 5.2 5.3 5.7 5.8
(1)试根据样本相关系数r的值判断订单数量y与月份t的线性相关性强弱（ ，则认为y与t的线
性相关性较强， ，则认为y与t的线性相关性较弱）.（结果保留两位小数）
(2)建立y关于t的线性回归方程，并预测该企业5月份接到的订单数量.
附：相关系数，
回归方程 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 ， ，
.
【答案】(1) ，订单数量y与月份t的线性相关性较强
(2) ，6.05万件
【详解】（1） ， ，
，
，
，
，
订单数量y与月份t的线性相关性较强；（2） ，
，
线性回归方程为 ，
令 ，则 （万件），
即该企业5月份接到的订单数量预计为6.05万件.
例题3．（2023秋·高二课时练习）为了解某市高中男生身高与体重的关系，随机抽取5所高中学校，并获
得这些学校全部男生的身高（单位：cm）与体重（单位：kg）的数据．为了减少篇幅，从中随机选取10
名高中男生的身高与体重的数据，如表所示．试根据表中数据绘制散点图，计算相关系数并判断学生身高
与体重的相关程度．.
10名高中男生的身高与体重如下表：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高/cm 174 176 176 181 182 179 169 168 171 180
体重/kg 55 58 62 74 88 68 54 52 56 86
附：相关系数 ，
【答案】答案见解析
【详解】将表中的数据输入计算机电子表格办公软件的工作簿，
先选中身高与体重两行（或两列）数据，再选择插入统计图中的散点图，选择图形样式，就完成了散点图
的绘制，如图所示．
从图中可以看出，总体上来说，样本学生的身高和体重之间具有明显的相关性，个子高的学生往往更重一
些．
为了计算相关系数，设 表示身高, 表示体重，则，
，
，
，
，
，
这说明样本学生的身高与体重之间具有很高的相关性．
练透核心考点
1．（2023春·河南驻马店·高二统考期中）流行性感冒（简称流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是
一种传染性强、传播速度快的疾病.其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传
播.流感每年在世界各地均有传播，在我国北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏季两个流行高峰.儿
童相对免疫力低，在幼儿园、学校等人员密集的地方更容易被传染.某幼儿园将去年春季该园患流感的小朋
友按照年龄与人数统计，得到如下数据：
年龄 2 3 4 5 6
患病人数 21 20 15 14 10
(1)求 关于 的线性回归方程；
(2)计算变量 的相关系数 （计算结果精确到0.01），并回答是否可以认为该幼儿园去年春季患流感人
数与年龄负相关很强?附：回归方程 中， ，相关系数 .
【答案】(1)
(2) ，该幼儿园去年春季患流感人数与年龄负相关很强
【详解】（1） ，
，
，
，
，
，
所以 与 之间线性回归方程为 .
（2） ，
则 ，
因为 且非常接近 ，所以该幼儿园去年春季患流感人数与年龄负相关很强.
2．（2023春·江西萍乡·高二统考期中）某研发小组为了解年研发资金投入量 （单位：亿元）对年销售额
（单位：亿元）的影响，结合近10年的年研发资金投入量 和年销售额 的数据（ ），建立
了两个函数模型：① ，② ，其中 ， ， ， 均为常数， 为自然对数的底数.设
， ，经过计算得如下数据.
20 66 770 200 14460 4.20 3125000 0.308 21500
(1)设 和 的相关系数为 ， 和 的相关系数为 ，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更
好的模型.
(2)根据（1）中选择的模型及表中数据，建立 关于 的线性回归方程（系数精确到0.01），根据线性回归
方程，若当年的销售额大致为 亿元，则估计当年的研发资金投入量为多少亿元.
参考公式：相关系数 ，
线性回归直线 中斜率和截距的最小二乘法估计参数分别为 ， .
【答案】(1)模型 的拟合程度更好
(2) ，8亿元
【详解】（1）由题意可知 ，
因为 ，所以从相关系数的角度，模型 的拟合程度更好.
（2）因为 ，所以 ，即 .
由题中数据可得 ，
则 ，从而 关于 的线性回归方程为 ，
故 ，即 .
将年销售额 亿元，代入 ，得 ，解得 ，
故估计当年的研发资金投入量为 亿元.3．（2023春·陕西渭南·高二合阳县合阳中学校考期末）某公司对其产品研发的年投资额 （单位：百万
元）与其年销售量 （单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表：
(1)求变量 和 的样本相关系数 （精确到 ），并推断变量 和 的线性相关程度；（若 ，则
线性相关性程度很强；若 ，则线性相关性程度一般，若 ，则线性相关性程度很
弱.）
(2)求年销售量 关于年投资额 的经验回归方程.并预测投资额为700万无时的销售量.（参考：
）
参考： ，
， .
【答案】(1) ，变量 和 的线性相关程度很强；
(2) ，投资额为700万时的销售量为 千件.
【详解】（1）由题意， ， ，
，
，
，
，
， 变量 和 的线性相关程度很强；
（2） ， ，年销售量 关于年投资额 的线性回归方程为 ．
当 时， ，
所以研发的年投资额为700万元时，产品的年销售量约为 千件．
角度4：残差分析
典型例题
例题1．（2023·全国·模拟预测）某农业科研所在5块面积相同的长方形试验田中均种植了同-一种农作
物，每一块试验田的施肥量x（单位：kg）与产量y（单位：kg）之间有如下关系：
施肥量x/kg 20 40 50 60 80
产量y/kg 600 800 1200 1000 1400
已知y与x满足线性回归方程 ，则当施肥量为80kg时，残差为 .
【答案】10
【详解】由题意得 ， ，由回归直线过
样本点的中心，所以 ，解得 ，所以 ，
则当 时， ，故残差为 .
故答案为：10.
例题2．（2023·陕西咸阳·统考二模）2021年，党中央、国务院印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学
生作业负担和校外培训负担的意见》，也就是我们现在所称的“双减”政策.某地为了检测双减的落实情
况，从某高中选了6名同学，检测课外学习时长（单位：分钟），相关数据如下表所示.
学生序号 1 2 3 4 5 6
学习时长/分 220 180 210 220 200 230
(1)若从被抽中的6名同学中随机抽出2名，则抽出的2名同学课外学习时长都不小于210分钟的概率；
(2)下表是某班统计了本班同学2022年1-7月份的人均月课外劳动时间（单位：小时），并建立了人均月课
外劳动时间 关于月份 的线性回归方程 ， 与 的原始数据如下表所示：
月份 1 2 3 4 5 6 7
人均月劳动时间 8 9 12 19 22
由于某些原因导致部分数据丢失，但已知 .
（i）求 ， 的值；
（ii）求该班6月份人均月劳动时间数据的残差值（残差即样本数据与预测值之差）.附： ， ， .
【答案】(1)
(2)（i） ， ；（ii）
【详解】（1）用 表示从被抽中的6名同学中随机抽出2名同学的序号分别为 和 ，则基本事件有
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ，共15个，
将“抽出的2名同学的课外学习时长都不小于210分钟”记为事件，
由已知，序号为1，3，4，6的同学课外学习时长都不小于210分钟，
∴事件 中基本事件有 ， ， ， ， ， ，共6个，
∴ ；
（2）（i）由表知 ，
，
∴ ，
∴ ，即 ，①
∵回归直线恒过样本点的中心 ，∴ ，即 ，②
由①②，得 ， ，③
∵ ，∴ ，④
由③④，得 ， .
（ii）∵线性回归方程为 ，
∴当 时，预测值 ，此时残差为 .例题3．（2023·全国·高三专题练习）医学中判断男生的体重是否超标有一种简易方法，就是用一个人身高
的厘米数减去105所得差值即为该人的标准体重．比如身高175cm的人，其标准体重为 公
斤，一个人实际体重超过了标准体重，我们就说该人体重超标了．已知某班共有30名男生，从这30名男
生中随机选取6名，其身高和体重的数据如表所示：
编号 1 2 3 4 5 6
身高（cm）x 165 171 160 173 178 167
体重（kg）y 60 63 62 70 71 58
(1)从编号为1，2，3，4，5的这5人中任选2人，求恰有1人体重超标的概率；
(2)依据上述表格信息，用最小二乘法求出了体重y对身高x的线性回归方程 ，但在用回归方程
预报其他同学的体重时，预报值与实际值吻合不好，需要对上述数据进行残差分析．按经验，对残差在区
间 之外的同学要重新采集数据．问上述随机抽取的编号为3，4，5，6的四人中，有哪几位同学
要重新采集数据？
【答案】(1)0.6
(2)3号，4号和6号同学需要重新采集数据
【详解】（1）由表可知：
1号同学的标准体重为 ；
2号同学的标准体重为 ；
3号同学的标准体重为 ；
4号同学的标准体重为 ；
5号同学的标准体重为 ；
故3号、4号同学体重超标
所有基本事件为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，
4），（3，5），（4，5）共10个
恰有1人体重超标包含基本事件为（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，5），（4，5）共6
个，
恰有1人体重超标记为A，则 ；
（2）因为 ，
，
回归直线方程必过样本中心 ，得 ，即 ，
所以回归直线方程为 ，
残差分析：，
，
，
，
故3号，4号和6号同学需要重新采集数据．
例题4．（2023春·河南驻马店·高三统考阶段练习）某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中，
为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高y（单位： ）与父亲身高x（单位： ）之间的关系及存在的
遗传规律，随机抽取了5对父子的身高数据，如下表：
父亲身高 160 170 175 185 190
儿子身高
170 174 175 180 186
(1)根据表中数据，求出 关于 的线性回归方程，并利用回归直线方程分别确定儿子比父亲高和儿子比父
亲矮的条件，由此可得到怎样的遗传规律？
(2)记 ，其中 为观测值， 为预测值， 为对应 的残差.求
（1）中儿子身高的残差的和､并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？若成立加
以证明；若不成立说明理由.
参考数据及公式：
.
【答案】(1) ， 时，儿子比父亲高； 时，儿子比父亲矮，
儿子身高有一个回归，回归到全种群平均高度的趋势.
(2)0；任意具有线性相关关系的变量 ，证明见解析
【详解】（1）由题意得 ，
， ，所
以回归直线方程为 ，
令 得 ，即 时，儿子比父亲高；令 得 ，即 时，儿子比父亲矮，
可得当父亲身高较高时，儿子平均身高要矮于父亲，即儿子身高有一个回归，回归到全种群平均高度的趋
势.
（2）由 可得 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
结论：对任意具有线性相关关系的变量 ，
证明： .
练透核心考点
1．（2023秋·浙江宁波·高三期末）已知变量x和y的统计数据如下表：
x 6 7 8 9 10
y 3.5 4 5 5.5 7
如果由表中数据可得经验回归直线方程为 ，那么，当 时，残差为 .（注：残差=观
测值-预测值）
【答案】 /
【详解】 ，
所以 ，
所以 时， ，
所以残差为 .
故答案为： .
2．（2023·全国·高三专题练习）红铃虫是棉花的主要害虫之一，也侵害木棉、锦葵等植物．为了防治虫
害，从根源上抑制害虫数量．现研究红铃虫的产卵数和温度的关系，收集到7组温度 和产卵数 的观测
数据于表Ⅰ中．根据绘制的散点图决定从回归模型① 与回归模型② 中选择一个来进
行拟合．
表Ⅰ
温度x/℃ 20 22 25 27 29 31 35
产卵数y/个 7 11 21 24 65 114 325(1)请借助表Ⅱ中的数据，求出回归模型①的方程：
表Ⅱ（注：表中 ）
189 567 25.27 162 78106
11.06 3040 41.86 825.09
(2)类似的，可以得到回归模型②的方程为 ，试求两种模型下温度为 时的残差；
(3)若求得回归模型①的相关指数 ，回归模型②的相关指数 ，请结合（2）说明哪个模型
的拟合效果更好．
参考数据： .
附：回归方程 中 ，
相关指数 .
【答案】(1) （或 ）
(2)模型①：1.01；模型②：65.54
(3)模型①
【详解】（1）由 ，得 ，
令 ，得 ，
由表Ⅱ数据可得， ，
，
所以 ，
所以回归方程为 （或 ）.（2）由题意可知，模型①在 时残差为 ，
模型②在 时残差为 .
（3）因为 ，即模型①的相关指数大于模型②的相关指数，由相关指数公式知，模型①的残差平
方和小于模型②的残差平方和，因此模型①得到的数据更接近真实数据，所以模型①的拟合效果更好.
3．（2023春·云南昭通·高三云南云天化中学教育管理有限公司校考阶段练习）树木根部半径与树木的高度
呈正相关，即树木根部越粗，树木的高度也就越高.某块山地上种植了 树木，某农科所为了研究 树木的
根部半径与树木的高度之间的关系，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取6棵 树木，调查得到 树
木根部半径 (单位：米)与 树木高度 (单位：米)的相关数据如表所示：
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
1.1 1.3 1.6 1.5 2.0 2.1
（1）求 关于 的线性回归方程；
（2）对（1）中得到的回归方程进行残差分析，若某 树木的残差为零则认为该树木“长势标准”，在此
片树木中随机抽取1棵 树木，估计这棵树木“长势标准”的概率.
参考公式：回归直线方程为 ，其中 ， .
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）由 ，
，
，
，
有 ，
，
故 关于 的回归方程为： .
（2）当 时， ，残差为 ，
当 时， ，残差为 ，当 时， ，残差为 ，
当 时， ，残差为 ，
当 时， ，残差为 ，
当 时， ，残差为 ，
由这6棵A树木中残差为零的有3棵，占比为 ，
这棵树木“长势标准”的概率为 .
高频考点三：列联表与独立性检验
典型例题
例题1．（2023秋·内蒙古包头·高三校考阶段练习）某公司有1000名员工，其中男性员工400名，采用分
层抽样的方法随机抽取100名员工进行 手机购买意向的调查，将计划在今年购买 手机的员工称为
“追光族”，计划在明年及明年以后才购买 手机的员工称为“观望者”调查结果发现抽取的这100名
员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人．
附： ，其中 ．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.042 6.635 7.879 10.828
(1)完成下列 列联表，并判断是否有 的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；
属于“追光 属于“观望
合计
族” 者”
女性员工
男性员工
合计 100
(2)已知被抽取的这100名员工中有6名是人事部的员工，这6名中有3名属于“追光族”，现从这6名中
随机抽取3名，求抽取到的3名中恰有1名属于“追光族”的概率．
【答案】(1)列联表见解析，没有 的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关．
(2)
【详解】（1）由题意， 列联表如下：属于“追光 属于“观望
合计
族” 者”
女性员工
男性员工
合计
没有 的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关．
（2）设人事部的这6名中的3名“追光族”分别为“ ， ， ”，3名“观望者”分别为“ ， ，
”，则从人事部的这6名中随机抽取3名的所有可能情况有“ ； ； ； ； ； ；
； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ”共20种.
其中，抽取到的3名中恰有1名属于“追光族”的所有可能情况有“ ； ； ； ； ；
； ； ； ”共9种.
抽取到的3名中恰有1名属于“追光族”的概率 .
例题2．（2023秋·湖北襄阳·高三襄阳五中校考阶段练习）研学旅行作为一种新兴的教学方式，越来越受
中学生的青睐，国家也颁布了一系列政策推进研学旅行发展．为了解学生对“暑期研学旅行”的满意度，
某教育部门对180名初一至高三的中学生进行了问卷调查．参与问卷调查的男女比例为5：4，女生初、高
中比例为3：1．
(1)完成下面的 列联表，并依据 的独立性检验，判断“暑期研学旅行”的满意度与性别是否有
关联；
满意度 合计
性别
满意 不满意
男生 80
女生 50
合计
(2)该教育部门采用分层随机抽样的方法从参与问卷调查的女生中抽取了8名学生．现从这8名学生中随机
抽取4人进行座谈，设抽取的女生是初中生的人数为 ，求 的分布列及数学期望．
附： ，其中 ．
0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.0012.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)表格见解析，认为“暑期研学旅行”的满意度与性别有关联
(2)分布列见解析，3
【详解】（1）男生人数为 ，女生人数为 ，
则 列联表如下表所示：
满意度
性别 合计
满意 不满意
男生 80 20 100
女生 50 30 80
合计 130 50 180
零假设为 ：“暑期研学旅行”的满意度与性别无关联．
根据列联表中的数据，经计算得到 ，
根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，即认为“暑期研学旅行”的满意度与性别有关
联，此推断犯错误的概率不大于0.01．
（2）抽取的初中女生有 （人），高中女生有 （人），
则 的可能取值为2，3，4，
， ， ，
所以 的分布列为
2 3 4
故
例题3．（2023春·山西晋中·高二统考期中）为了实现五育并举，鼓励学生在学好文化知识的同时也要锻
炼好身体，某学校随机抽查了100名学生，统计他们每天参加体育运动的时间，并把他们之中每天参加体
育运动时间大于或等于60分钟的记为“达标”，运动时间小于60分钟的记为“不达标”，统计情况如下
图：参考公式： ；
参考数据：
0.05 0.025 0.010
3.841 5.024 6.635
(1)完成列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“运动达标”与“性别”有关.
运动达
运动不达标 总计
标
男生
女生
总计
(2)现从“不达标”的学生中按性别用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中任选2人进行体育运动
指导，求选中的2人都是女生的概率.
【答案】(1)列联表见解析，在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为“运动达标”与“性别”有
关；
(2)
【详解】（1）由题可得运动达标的男，女生分别为38，26人；运动不达标的男，女生为12，24人，据此
可得列联表如下：
运动达
运动不达标 总计
标
男生 38 12 50
女生 26 24 50
总计 64 36 100
由参考公式可得：
，因 ，则在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为“运动达标”与“性别”有关；
（2）由（1）可知6人中，男生有 人，女生有 人.
则6人抽取两人的总情况数： .全是女生的情况数为： .
则相应概率为： .
例题4．（2023·全国·高三专题练习）近年来，国家鼓励德智体美劳全面发展，舞蹈课是学生们热爱的课程
之一，某高中随机调研了本校2023年参加高考的90位考生是否喜欢跳舞的情况，经统计，跳舞与性别情
况如下表：（单位：人）
喜欢跳舞 不喜欢跳舞
女
25 35
性
男
5 25
性
(1)根据表中数据并依据小概率值 的独立性检验，分析喜欢跳舞与性别是否有关联？
(2)用样本估计总体，用本次调研中样本的频率代替概率，从2023年本市考生中随机抽取3人，设被抽取
的3人中喜欢跳舞的人数为X，求X的分布列及数学期望 .
附： ， .
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
【答案】(1)认为喜欢跳舞与性别有关联
(2)分布列见解析，1
【详解】（1）零假设： ：喜欢跳舞与性别无关联，
由题意， ，
依据小概率值 的独立性检验，可推断 不成立，即认为喜欢跳舞与性别有关联.
（2）由题知，考生喜欢跳舞的概率 ，不喜欢跳舞的概率为
X的可能取值为0，1，2，3
， ，，
所以X的分布列如下：
0 1 2 3
由 ，数学期望 .
练透核心考点
1．（2023·河南·校联考模拟预测）网络直播带货作为一种新型的销售土特产的方式，受到社会各界的追捧.
湖北某地盛产夏橙，为帮助当地农民销售夏橙，当地政府邀请了甲、乙两名网红在某天通过直播带货销售
夏橙.现对某时间段100名观看直播后选择在甲、乙两名网红的直播间（以下简称甲直播间、乙直播间）购
买夏橙的情况进行调查（假定每人只在一个直播间购买夏橙），得到如下数据：
在直播间购买夏橙的情况
网民类
合计
型
在甲直播间购买 在乙直播间购买
男网民 50 5 55
女网民 30 15 45
合计 80 20 100
(1)依据小概率值 的独立性检验，能否认为网民选择在甲、乙直播间购买夏橙与性别有关联？
(2)网民黄蓉上午、下午均从甲、乙两个直播间中选择其中一个购买夏橙，且上午在甲直播间购买夏橙的概
率为 .若上午选择在甲直播间购买夏橙，则下午选择在甲直播间购买夏橙的概率为 ；若上午选择在乙直
播间购买夏橙，则下午选择在甲直播间购买夏橙的概率为 ，求黄蓉下午选择在乙直播间购买夏橙的概
率；
附： ，其中 .
0.1 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
【答案】(1)能
(2)【详解】（1）提出零假设 ：网民选择在甲、乙直播间购买夏橙与性别没有关联.
经计算得 ，
依据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，
即认为网民选择在甲、乙直播间购买夏橙与性别有关联.
（2）记事件A：黄蓉上午在甲直播间购买夏橙，
事件B：黄蓉下午在乙直播间购买夏橙，
则 ， ， ，
由全概率公式可得 ，
所以黄蓉下午选择在乙直播间购买夏橙的概率为 .
2．（2023·江西九江·统考一模）某IT公司在A，B两地区各开设了一家分公司，为了解两家分公司员工的
业务水平，对员工们进行了业务水平测试，满分为100分，80分及以上为优秀. A地区分公司的测试成绩
分布情况如下：
成绩
频数 5 20 50 20 5
(1)完成A地区分公司的频率分布直方图，并求出该公司员工测试成绩的中位数；
(2)补充完成下列 列联表，并判断是否有 的把握认为两家分公司员工业务水平有差异.
优秀 不优秀 合计
A地区分公司
B地区分公司 40 60合计
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
【答案】(1)作图见解析，75
(2)表格见解析，有
【详解】（1）根据频数分布表求得： 的频率为 ， 的频率为 ，
的频率为 ， 的频率为 ， 的频率为 ，
则A地区分公司的频率分布直方图如图：
由图知A地区分公司员工成绩在 的频率为 ，
成绩在 的频率为 ，
设该公司员工成绩的中位数为 ，则 ，解得 .
（2）补充完成 列联表如下：
不优
优秀 合计
秀
A地区分公司 25 75 100
B地区分公司 40 60 100
合计 65 135 200
.
故有 的把握认为这两家分公司员工业务水平有差异.3．（2023秋·广东惠州·高三校考阶段练习）2023年5月30日，搭载神舟十六号载人飞船的长征二号 遥
十六运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射.实验中学某班为弘扬“载人航天精神——特别能吃苦、特别能
战斗、特别能攻关、特别能奉献”，举行航天知识问答活动，活动分为A、 两类项目，且该班级所有同
学均参加活动，每位同学选择一项活动参加.
A类 类
男同学 25 15
女同学 10
若采用分层抽样从该班级中抽取6名同学，则有男同学4名，女同学2名.
(1)求 以及该班同学选择A类项目的概率；
(2)依据小概率值 的独立性检验，能否认为同学选择项目的类别与其性别有关？
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
附： .
【答案】(1)
(2)认为同学选择项目的类别与其性别无关
【详解】（1）依题意男女同学的比例为 ，则 ，解得 ；
该班同学选择A类项目的概率为 .
（2）由（1）完善列联表可得：
A类 类 总计
男同学 25 15 40
女同学 10 10 20
总计 35 25 60
零假设为 ：同学选择项目的类别与其性别无关，
可得 ，
依据小概率值 的独立性检验，没有充分证据推断 不成立，
所以能认为同学选择项目的类别与其性别无关
4．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）吉林省从2021年开始，高考取消文理分科，实行“”的模式，其中的“1”表示每位学生必须从物理、历史中选择且只能选择一个科目．某校高一年级有2000
名学生（其中女生900人），该校为了解高一年级学生对物理、历史的选科情况，采用比例分配的分层抽
样的方法抽取了200名学生进行问卷调查，其中选择历史的男生有40人，选择物理的女生有30人．
(1)利用以上信息完成下面的 列联表，根据小概率值 的独立性检验，能否认为学生性别与选择
科目有关？
选择历
性别 选择物理 总计
史
男生
女生
总计
(2)某个外语学习小组共有7人，其中有3人选择了历史，4人选择了物理，随机抽取4人进行对话练习，
用 表示抽中的4人中，选择历史的同学人数，求 的分布列及期望．
附： ，其中
0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)列联表见解析；能认为学生性别与选择科目有关
(2)分布列见解析；
【详解】（1）根据采用比例分配的分层抽样得其中抽取男生的人数为 人，则抽取女生人
数为 人，
则列联表如下：
选择历
性别 选择物理 总计
史
男生 70 40 110
女生 30 60 90
总计 100 100 200
则 ，
能认为学生性别与选择科目有关；
（2） 可能取值为 ， ， ， ，，
，
则 的分布列如：
