文档文本内容
专题04 导数中的零点问题（含隐零点）
题型
考情分析
考向预测
1 ．判断与证明函数零点的个数
2025 年天津卷：第20 题考查了根
据零点个数求参数的范围
2025 年全国二卷：第18 题考查了
隐零点
2024 年新高考卷Ⅱ：第11 题考查
了判断与证明函数零点的个数
重点关注与隐零点有
关的最值问题、零点
有关的参数问题
2．根据零点个数求参数的范围
3．隐零点解决最值、极值问题（含恒成
立）
4．借助隐零点判断零点个数
5．利用隐零点证明不等式
题型1 判断与证明函数零点的个数
函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合
函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同
的值，就有几个不同的零点．
1．（2026·四川巴中·一模）已知
在
处取得极小值
．
(1)求
在
处的切线方程；
(2)若
，讨论
零点的个数．
1
2．（25-26 高三上·重庆·月考）已知函数
.
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)证明:当
时，
在
上有且仅有一个零点.
3．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数
．
(1)若函数
与
的图象关于点
对称，求
的解析式；
(2)当
时，求
的最大值；
(3)判断函数
在
的零点个数，并说明理由．
4．（2025·甘肃白银·三模）已知函数
．
(1)若
，求曲线
在
处的切线方程；
(2)函数
在
上单调递减，求实数a 的取值范围；
(3)若
，证明函数
有两个零点．
5．（25-26 高三上·云南昆明·期中）已知函数
.
(1)若
，证明：当
时，
；
(2)若
，求
的最小值；
(3)讨论
的零点个数.
2
6．（25-26 高三上·江苏扬州·月考）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若
恒成立，求
的取值集合；
(3)若
，求证：
有且仅有两个零点.
题型2 根据零点个数求参数的范围
利用函数的零点求参数范围的方法
(1)分离参数(
)后，将原问题转化为
的值域(最值)问题或转化为直线
与
的
图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；
(2)利用函数零点存在定理构建不等式求解；
(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．
1．（25-26 高三上·甘肃兰州·期末）已知函数
．
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若
有两个零点，求a 的取值范围．
2．（25-26 高三上·江西赣州·期中）已知函数
的图象关于直线
对称，且
在区间
上单调.
(1)求ω 的值;
(2)若函数
有两个零点，求
的取值范围.
3
3．（25-26 高三上·辽宁大连·期中）设函数
.
(1)若
，求函数
的极值；
(2)设函数
在
上有两个零点，求实数
的取值范围.（其中e 是自然对数的底数）
4．（25-26 高三上·福建龙岩·期中）已知函数
的极大值点是2.
(1)求
的值；
(2)若
在
上有3 个零点，求
的取值范围.
5．（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
（
，
且
）.
(1)当
时，
在
处的切线斜率为0，求b 的值；
(2)若对任意的
，函数
有两个不同的零点，求a 的取值范围；
6．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，
．若函数
在
上有零点，
求实数
的取值范围．
7．（25-26 高三上·辽宁大连·期中）设函数
.
(1)求函数
在
上的最大值；
(2)若不等式
在
上恒成立，求
的取值范围；
4
(3)若方程
在
上有三个不相等的实数根，求
的取值.
题型3 隐零点解决最值、极值问题（含恒成立）
1、隐零点问题
隐零点问题是函数零点中常见的问题之一，其源于含指对函数的方程无精确解，这样我们只能得到存在性
之后去估计大致的范围（数值计算不再考察之列）.
2、基本步骤：
第 1 步: 用零点存在性定理判定导函数零点的存在性, 列出零点方程
, 并结合
的单调性
得到零点的范围;
第 2 步: 以零点为分界点, 说明导函数
的正负, 进而得到
的最值表达式;
第 3 步: 将零点方程
适当变形, 整体代入
最值式子进行化简:
（1）要么消除
最值式中的指对项
（2）要么消除其中的参数项;
从而得到
最值式的估计.
1．（24-25 高三上·福建泉州·月考）已知函数
.
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)当
时，求证：
.
2．已知函数
，
，
.
(1)求
的极值；
(2)若
恒成立，求
的取值范围.
5
3．已知函数
，
.
(1)证明:直线
与曲线
相切.
(2)若函数
在
上存在最大值，求
的取值范围.
4．（2025 高三·全国·专题练习）已知
，函数
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)若曲线
和
有公共点，当
时，求
的取值范围.
5．已知函数
，曲线
在点
处的切线方程为
．
(1)求
的值；
(2)设
（
为
的导数），求
的单调区间；
(3)求
的极值点的个数．
6．（2026·上海闵行·二模）已知
.
(1)当
时，解方程
；
(2)若函数
在
上有唯一的极值点，求
的取值范围，并判断这个极值点是极大值点还是极小
值点.
7．设函数
，
为
的导数．
6
(1)讨论函数
的最值；
(2)若
为整数，
，且
，不等式
恒成立，求
的最大值．
8．（2026·河北·模拟预测）已知函数
，
．
(1)当
时，求
的单调递减区间；
(2)若在区间
上，
为增函数，求
的取值范围；
(3)若
时，
的最小值为0，求
．
题型4 借助隐零点判断零点个数
1、函数零点的存在性定理
函数零点存在性定理：设函数
在闭区间
上连续，且
，那么在开区间
内至
少有函数
的一个零点，即至少有一点
，使得
.
2、隐零点的同构
实际上, 很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项, 而这类问题由往往具有同构特征, 所以下面我们看到
的这两个问题, 它的隐零点代换则需要同构才能做出, 否则, 我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方
向. 我们看下面两例: 一类同构式在隐零点问题中的应用的原理分析
所以在解决形如
, 这些常见的代换都是隐零点中常见的操作.
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，若
，求
的零点个数（参考数据：
7
）．
2．（25-26 高三下·海南海口·月考）已知函数
.
(1)若
在
处的切线为
，求
的值；
(2)当
时，确定
在
上的零点个数.
3．（2026·浙江·模拟预测）已知函数
.
(1)求函数
的单调区间；
(2)试判断曲线
与直线
在
上公共点的个数；
4．（2025·江西南昌·模拟预测）已知函数
，且
不是
的极值点.
(1)求a 的值；
(2)判断
的零点个数.
5．（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数
（
），
.
(1)若
，证明：
，
；
(2)求函数
的零点个数.
6．（25-26 高三上·天津南开·月考）已知函数
．
(1)若
的极小值小于
，求
的取值范围；
8
(2)当
时，判断
的零点个数并写出证明过程．
7．（2025·四川巴中·一模）已知函数
.
(1)求函数
的极值；
(2)求证：当
时，
；
(3)若
.其中
.讨论函数
的零点个数.
题型5 利用隐零点证明不等式
针对导函数的“隐零点”，求解取值范围时，需要根据导函数零点代入方程，把参数表示成含隐零点的函
数，再来求原函数的极值或者最值问题或证明不等式.构建关于隐零点作为自变量的新函数，求函数值域或
者证明不等式恒成立问题.在使用零点存在定理确定区间时往往存在困难，必要时使用放缩法取含参的特殊
值来确定零点存在区间.
1．（24-25 高三上·福建福州·期中）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若
有两个极值点，求实数
的取值范围；
(3)当
时，若
，求证：
.
2．（2026·云南·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，证明：
在
上存在唯一零点；
9
(2)证明：
在
上恒成立的充要条件是
．
3．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数
．
(1)当
时，求
在区间
上的零点个数；
(2)当
，
时，求证：
．
4．（2025·江苏南通·二模）已知函数
的最大值为
，设函数
的图象在点
处的切线为．
(1)求的值；
(2)证明：当
时，切线与函数
的图象有另一交点
，且
.
5．已知函数：
．
(1)若当
时，
恒成立；求实数a 的取值范围；
(2)若关于x 的方程
有两个不同实数根
；且
，
（i）求实数a 的取值范围；
（ii）求证：
．
6．（25-26 高三上·贵州贵阳·期中）已知函数
，
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若函数
有两个零点，求实数
的取值范围；
10
(3)当
时，求证：
.
1．（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)讨论
的零点个数；
2．（2027 高三·全国·专题练习）已知函数
．
(1)求函数的单调区间；
(2)求
的零点个数．
3．（2026 高三·上海·专题练习）已知函数
，讨论函数
的零点个数.
4．已知函数
，
(1)当
时，求
的对称中心；
(2)证明：
有唯一零点
5．（24-25 高三上·江苏徐州·月考）已知函数
.
(1)讨论函数
在区间
上的单调性；
(2)证明：函数
在
上有两个零点．
11
6．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
.当
时，证明:
有唯一
极值点.
7．（2025 高三·全国·专题练习）设函数
．判断并说明函数
的零点个数；
8．（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
，
(1)当
时，若直线过原点且与曲线
相切，求的方程.
(2)若关于
的方程
恰有两个不同的正实数根
，求
的取值范围.
9．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
．
(1)求
的最值；
(2)若
，求
的取值范围．
10．（24-25 高三上·湖南·开学考试）已知函数
.
(1)求
的单调区间；
(2)设函数
.证明：
（i）函数
有唯一极值点；
（ii）若函数
有唯一零点
，则
.
11．（2026 高三·天津·专题练习）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
12
(2)若对
时，
，求正实数
的最大值.
12．（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数
．
(1)若
，求函数
的单调区间；
(2)若
，求
的取值范围．
13．（2026·安徽宿州·一模）已知函数
.
(1)证明函数
存在唯一零点；
(2)
的零点为
，证明
.
14．（25-26 高三上·广东·月考）已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求
的零点个数；
(3)探究
是否存在最值，若存在，求出最值，若不存在，说明理由.
15．（25-26 高三上·北京·月考）已知函数
．
(1)当
时，求
在
的最值；
(2)当
时，
，求
在
上的极值点个数．
16．（25-26 高三上·江苏镇江·开学考试）已知函数
.
13
(1)若
，求
的极值；
(2)若
，判断
的零点个数并证明；
(3)若对任意
，求实数
的取值范围.
17．（25-26 高三上·湖南邵阳·期中）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)令
,当
有且仅有两个零点时，求
的取值范围.
18．（25-26 高三上·辽宁·月考）已知函数
.
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)若方程
存在两个不同实数根
.
（i）求整数
的取值集合；
（ii）若
，求实数
的取值范围.
参考数据：
.
19．已知函数
，
．
(1)当
时，求函数
在区间
上的值域
(2)若
，试判断函数
是否存在极值，若存在，请确定极值点；若不存在，请说明理由；
(3)若函数
有三个不同的零点
，
，
）．求a 的取值范围；
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20．已知函数
，其中
，
(1)求
的最小值
；
(2)若
，求
的取值集合；
(3)若
，其中
，求
的最大值．
21．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
．若
，讨论
的零点个数．
22．（2025 高三·全国·专题练习）设函数
．
(1)讨论
的导函数
零点的个数；
(2)求证：当
时，
．
23．（2026·江西萍乡·一模）已知函数
，
．
(1)若
，求不等式
的解集；
(2)若函数
有1 个极值点
，且
，证明：
有两个零点；
(3)在（2）的条件下，设
的两个零点分别为
，
（
），证明：
．
24．已知函数
.
(1)讨论
的单调性.
(2)若
，当
时，证明：
存在唯一的极大值点
，且
.
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25．（25-26 高三上·北京·月考）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，求
的单调区间；
(3)当
时，讨论
的零点个数．
26．（25-26 高三上·山西太原·月考）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
的极小值小于
，求m 的取值范围；
(3)讨论
的零点个数．
27．（25-26 高三上·北京东城·期中）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论函数
在区间
上的极值点的个数；
(3)若函数
在区间
上有唯一零点，证明：
.
28．（2025·北京海淀·三模）已知函数
，曲线
在点
处的切线斜率为
．
(1)求
的值．
(2)求
在
上的零点个数．
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(3)证明：
在
上存在两个零点
，且
．
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