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2024 年高考物理一轮复习模型及秒杀技巧一遍过
模块二：相互作用之绳、杆、弹簧模型各模块大招
第04 讲 弹力做功与弹性势能的变化问题及弹簧图象题型
（解析版）
目录
【内容一】 弹力做功与弹性势能的变化问题..................................................................................................1
【内容二】 弹力做功与弹性势能的变化问题解题模板..................................................................................2
【内容三】 弹力做功与弹性势能的变化问题中的两个关键..........................................................................3
【内容四】 弹簧
图象
题型
...................................................................................................................................4
【内容五】 注意事项...........................................................................................................................................5
技巧总结
内容一：弹簧伸长或压缩时会储存一定的弹性势能，因此弹簧的弹性势能可以与机
械能守恒规律综合应用
, 我们用公式
计算弹簧势能，弹簧在相等形变量时所
具有的弹性势能相等一般是考试热点
.
弹簧弹力做功等于弹性势能的减少量
. 弹簧的弹力做功是变力做功，一般可以用以
下四种方法求解
:
(1)
因该变力为线性变化，可以先求平均力，再用功的定义进行计算
;
(2)
利用
图线所包围的面积大小求解
;
(3)
用微元法计算每一小段位移做功，再累加求和
;
(4)
根据动能定理、能量转化和守恒定律求解
.
由于弹性势能仅与弹性形变量有关，弹性势能的公式高考中不作定量要求，因此，
在求弹力做功或弹性势能的改变时，一般从能量的转化与守恒的角度来求解
. 特别是涉
及两个物理过程中的
弹簧形变量相等时，往往弹性势能的改变可以抵消或替代
求解
.
内容二：弹力做功与弹性势能的变化问题解题模板如下：
第一步：求弹簧形变
对弹簧变化的初、末状态都需要选择弹簧一端的物体做受力分析，列平衡方程得到相
应的弹簧弹力，同时由胡克定律得到该状态下弹簧的形变量.
第二步：求位置变化
在已知初、末状态弹簧形变量大小及方向（拉伸或压缩）的情况下，通过长度关系求
解弹簧一端物体位置的变化.
第三步：列机械能守恒方程
1
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对物体在弹簧弹力作用下运动过程分析时，常对包含弹簧在内的系统列机械能守恒方
程求解过程中的速度、力、位移、弹性势能等物理量.
机械能守恒方程书写有两种
①系统初、末状态机械能相等，即
（常默认较低点所在平面为重力零势能
面）
②系统中某部分机械能的减少量等于另一部分机械能的增加量即
（不考虑零
势能面）
第四步：找速度关系
若弹簧一端的物体还通过绳、滑轮等装置再连接一个物体时，运动过程需要找两个物
体的速度关系.若两者运动方向均沿绳，则任意时刻两者速度大小均相等，若两者至少
有一个物体运动方向不沿绳，则满足它们沿绳方向的速度分量大小相等.
内容三：弹力做功与弹性势能的变化问题中的两个关键：
关键1：几何关系
当涉及绳、滑轮等装置连接两个物体，常需要找到双方的位置变化
关系，即一侧的绳子长度变短多少，另一侧的绳子长度就变长多少
如图所示：
下降的距离=滑轮左侧绳子长度的变化.
关键2：弹性势能在方程中的处理
在涉及弹簧的运动过程中，弹性势能一定会出现，通常情况下弹性势能本身的计算公
式并不重要，所以关于弹性势能常见的题型有三种方式:
①题目直接给出或要求弹性势能，正常列机械能守恒等式即可.
②题目未给出也不要求计算弹性势能，但涉及两次运动过程，且它们的弹簧变化量相
同，即弹性势能变化量
即可.
③题目未给出也不要求计算弹性势能，但只涉及一个过程，这种情况下需要算出初、
2
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末状态弹簧的形变量，且最终都会出现两者弹性势能相等，即初、末状态弹簧的弹性
势能相等.即弹性势能变化量为0.
内容四：胡克定律
①内容：在弹性限度内，弹簧弹力F 的大小与弹簧的伸长（或缩短）量x 成正比。
②公式：F＝kx，式中k 为弹簧的劲度系数，单位是牛顿每米，符号是N/m。
③图象：根据胡克定律，弹力与弹簧伸长量的关系可用F-x 图象表示，如图所示。
这是一条通过原点的倾斜直线，其斜率
。
④利用F-x 图象，很容易得到胡克定律的另一种表达式：
，
是弹簧
长度的变化量，
是弹力的变化量。
内容五：注意事项
F
①＝kx 中的x 是弹簧的形变量，是弹簧伸长（或缩短）的长度，而不是弹簧的总
长度。
F
②＝kx 中的k 是弹簧的劲度系数，它反映了弹簧的“软”“硬”程度，大小由弹
簧本身的性质决定，与弹力大小无关，k 大就是“硬”弹簧。
③在应用F＝kx 时，要把各物理量的单位统一到国际单位制中。
④胡克定律只能计算轻弹簧的弹力，而其他的弹力与形变量间的关系比较复杂，
要找其大小，只能依物体的受力及运动状态来确定。
模型演练
例1 如图所示，在竖直方向上A、B 两物体通过劲度系数为k 的轻质弹簧相连，A 放
在水平地面上；B、C 两物体通过细绳绕过轻质定滑轮相连，C 放在固定的光滑斜面
上。用手拿住C，使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证ab 段的细线竖直、cd 段的
细线与斜面平行．已知A、B 的质量均为2m，C 的质量为5m，重力加速度为g，细线
与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态。释放C 后它沿斜面下滑
（斜面足够长），A 刚离开地面时，B 获得最大速度。求：
（1）斜面倾角α 的正弦值；
（2）B 的最大速度v。
3
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解：（1）物体
刚刚离开地面时，以
为研究对象，物体
受到重力
、弹簧的弹
力
、细线的拉力
三个力的作用，当
获得最大速度时，有
对
有
对
有
得
解得
（2）由于
，弹簧处于压缩状态和伸长状态时的弹性势能相等，且物体
刚刚
离开地面时，
、
两物体的速度相等，设开始时弹簧的压缩量
，则
设当物体
刚刚离开地面时，弹簧的伸长量为
，则
当物体
刚离开地面时，物体
上升的距离以及物体
沿斜面下滑的距离均为
设为
，以
、
及弹簧组成的系统为研究对象
由机械能守恒定律得
联立解得
例2．如图所示，在光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块A、B。它们的质量均
为2m，弹簧的劲度系数为k，C 为一固定挡板，物块A 通过一根轻绳跨过光滑的定滑
轮与物块D 相连，物块D 的质量也为2m，用手托住物块D，使轻绳拉直但没有作用力。
从静止释放物块D，当物块D 达到最大速度时，物块B 恰好离开挡板C。求：
(1)斜面的倾角θ；
(2)物块D 的最大速度vm；
(3)在其他条件不变的情况下，将物块D 的质量改为
，若物块D 的最大速度为v，
求物块D 从开始运动到达到最大速度的过程中弹簧的弹性势能的变化量。
4
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解：(1)物块D 达到最大速度时，A、B、D 系统平衡，则
解得
(2)释放物块D 前，对物块A 有
物块D 达到最大速度时，对物块B 有
得
即释放物块D 时和物块D 达到最大速度时，弹簧的弹性势能不变。则由机械能守恒得
联立得
(3)物块D 达到最大速度时，B 未离开挡板C，A、D 系统平衡，则
所以
<
弹簧的弹性势能减少则由机械能守恒
联立解得
例3．如图所示，在倾角
的固定斜面的底端有一挡板，现有质量均为m 的滑块
A 和B 紧靠在一起，一轻质弹簧下端固定在挡板上，上端与滑块A 相连，滑块A、B
静置在光滑斜面上，弹簧与斜面平行，此时弹簧的弹性势能为
，一轻质绳（与斜面
平行）一端固定在滑块B 上，另一端跨过定滑轮并连接轻质绳套，并将质量也为m 的
物体C 轻轻挂在绳套上，滑块A、B 一起沿斜面向上运动，直至A、B 分离，已知重力
加速度为g。（弹簧弹性势能
与形变量x 的关系满足
，k 为劲度系数）求：
（1）未挂物体C 时，弹簧的形变量
；
5
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（2）在绳套上挂上物体C 之后，A、B 分离时，弹簧的形变量
及A 的加速度
；
（3）在A、B 分离时，物体C 的速度。
解：(1)设弹簧劲度系数为k，物块A、B 静止在斜面上时，对A、B 整体，由平衡条件
解得
又由弹力做功与弹性势能的关系
联立解得
（压缩状态）
(2)在细绳套上轻轻挂上物体C 之后，A、B 分离时物体A、B、C 加速度大小相等，设
为a
对滑块A，由牛顿第二定律有
对滑块B，
由牛顿第二定律有
对物体C，由牛顿第二定律
联立解得
，
(3)由(2)得A、B 分离时弹簧的压缩量
（压缩状态）所以
由弹簧的弹性势能与弹簧的形变量的关系可得，从挂上物体C 到A、B 分离时弹簧的
弹性势能改变量为
以系统为研究对象，由能量守恒有
解得
例4．如图所示，A、B 两物体通过劲度系数k=50N/m 的轻质弹簧相连，A 放在水平地
面上，B、C 两物体通过细线绕过轻质定滑轮相连用手拿住C，使细线刚刚拉直但无拉
力作用，并保证弹簧、细线ab 段和cd 段均竖直。已知A、B 的质量均为m=0.5kg，重
力加速度g=10m/s2，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态，释
放C 后，C 竖直向下运动，A 刚要离开地面时，B 获得最大速度vB，当时C 未落地。
求：
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（1）C 的质量mC；
（2）B 的最大速度vB；
（3）从释放C 到B 获得最大速度的过程中，绳子拉力对C 所做的功。
解：（1）物体A 刚离开地面时，物体B 获得最大速度vm，加速度为0，对B 有T-mg-
kxA=0
对C 有mCg-T=0 对A 有kxA-mg=0 解得mC=2m=1kg
（2）开始时系统静止，且线上无拉力，此时弹簧的压缩量为x1，对B 根据平衡条件可
得
kx1=mg 由上问知
则从释放至A 刚要离开地面过程中，弹性势能变化量为零；此过程中A、B、C 组成的
系统机械能守恒，系统重力势能的减少量等于动能的增加量，即
联立方程，解得
（3）对C 由动能定理，可得
联立方程，解得
例5．如图甲，质量为
的物块
与一轻弹簧一端连接静止在竖直面内，弹簧
伸长
；若将轻弹簧与物块
组成的系统静置于倾角为37°的固定斜面
上（物块
与弹簧上端接触但不拴接，弹簧下端固定），当弹簧被压缩
时处于
位置的物块
恰好静止，且有向上的运动趋势。质量为
的另一物块
自斜面上
点由静
止开始下滑，
，运动到
点后与
发生弹性碰撞（碰撞时间极短）。随后物
块
沿斜面被弹回，物块
向下压缩弹簧，物块
向上运动，物块
恰好能运动至
点
，然后在外力作用下静止，此时弹簧刚好被压缩到最短（弹簧始终处于弹性限度
内），之后物块
也能恰好运动至
点并恰好与弹簧分离。已知两物块均可视为质点
且与斜面间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。重力加速度大小为
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。（取
）求：
（1）物块与斜面间的动摩擦因数；
（2）物块
沿斜面下滑的过程中，弹簧对物块的冲量；
（3）弹簧的最大弹性势能。
解：（1）物块
在竖直方向静止时，根据平衡条件有
物块
初始在斜面上静止时，有
联立解得
（2）物块
从
点由静止运动到
点，根据牛顿第二定律有
解得
若物块
碰撞前速度为
，则有
解得
物块
与物块
碰撞过程，根据动量守恒定律以及能量守恒定律可得
解得
，
物块
碰撞结束后从
点到
点根据牛顿第二定律，有
又有
解得
物块
从
点开始压缩弹簧至最短，根据动量定理，取沿斜面向下为正方向，有
解得碰撞后物块
沿斜面下滑的过程中，弹簧对物块的冲量
（3）物块
从
点到压缩弹簧至最短，设弹簧又压缩了
，根据能量守恒定律有
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物块
从弹簧最低点反弹至
点，根据能量守恒定律有
物块
碰撞结束后从
点到
点，根据运动学公式有
联立解得
例6．如图所示，小物块m1与m2通过一轻弹簧相连，放在倾角为θ 的光滑固定斜面上，
物块m1与固定在斜面上的竖直挡板接触，已知物块m1与m2的质量均为m，物块m3的
质量为
，弹簧的劲度系数为k，且下述过程弹簧形变始终在弹性限度内。开始物块
m1与m2处于静止状态，现让物块m3从长木板上的A 点静止释放，与物块m2相碰后粘
合在一起，恰好使物块m2、m3向上反弹到最大高度时，物块m1对挡板的压力为零。则：
（1）求m3运动至最低点时受到m2的弹力N 大小？
（2）A 点与碰撞前物块m2的距离为多大？
（3）整个运动过程中弹簧最多比原来增加多少弹性势能？
解：（1）开始时弹簧的压缩量为
当m3与m2相碰后黏在一起，先向下压缩弹簧，到最低点后再向上运动，当m1脱离挡
板时，弹簧伸长量也为
此时m3与m2整体的加速度为
由对称性可知，m3与m2在最低点时的加速度也为
方向沿斜面向上，对m3受力分析可知
解得
（2）m3与m2从碰后到到达最高点时，弹簧的弹性势能不变，则
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碰撞过程动量守恒
，m3从A 点到碰撞过程由能量关系
解得
（3）m3与m2在最低点时增加的弹性势能最多，从碰撞结束后到最低点，物块向下移
动的距离
由能量关系得
例7．如图，倾角
=30°的光滑固定斜面上放有A、B、C 物块（均可视为质点），A
的质量为m，B、C 质量均为2m。最开始C 与斜面底端处的挡板接触，B 与C 通过轻
弹簧相连且均处于静止状态，现由距离物块B 沿斜面长度为d 处由静止释放A，一段
时间后A 与B 发生碰撞，重力加速度大小为g（B 与C 始终未接触，弹簧始终在弹性
限度内）。
(1)求A 与B 碰撞前瞬间A 的速度大v0；
(2)若A、B 的碰撞为弹性碰撞，碰撞后立即撤去A，且B 沿斜面向下运动到速度为零
时，弹簧的弹性势能增量为Ep，求B 沿斜面向下运动的最大距离x；
(3)若A 下滑后与B 碰撞并粘在起，且C 刚好要离开挡板时，A、B 的总动能为Ek，求
弹簧的劲度系数k。
解：(1)A 下滑的过程，根据动能定理mg sinθ d=
解得v0=
(2)A 与B 发生弹性碰撞：
碰撞过程动量守恒mv0=2mvB＋mvA
机械能守恒
=
＋
解得vB=
弹性势能增加了Ep，根据机械能守恒
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对B2mg sinθ∙x＋
2
=Ep 解得x=
-
d
(3)A 与B 发生完全非弹性碰撞：碰撞过程动量守恒mv0=3mvAB解得vAB=
B 静止时：弹簧压缩k△x1=2mgsinθ，△x1=
C 刚要离开挡板时：弹簧伸长k△x2=2mgsinθ，△x2=
因为△x1=△x2，因此初末状态弹性势能相等
从AB 碰撞结束到C 刚要离开挡板，根据AB 机械能守恒：3mgsinθ（△x1＋△x2)=
3
-Ek
解得k=
例8．如图所示，固定斜面的倾角θ=30°，物体A 与斜面之间的动摩擦因数μ=
，轻
弹簧下端固定在斜面底端，弹簧处于原长时上端位于C 点．用一根不可伸长的轻绳，
通过轻质光滑的定滑轮连接物体A 和B，滑轮右侧绳子与斜面平行，A 的质量为
mA=2kg，B 的质量为mB=1kg，物体A 的初始位置到C 点的距离为L=0.5m．现给A、B
一初速度v0=3m/s，使A 沿斜面向下运动，B 向上运动，物体A 将弹簧压缩到最短后又
恰好能弹到C 点．已知重力加速度g=10m/s2，不计空气阻力，整个过程中轻绳始终处
于伸直状态，求：
（1）物体A 向下运动，刚到C 点时的速度大小；
（2）弹簧的最大压缩量；
（3）弹簧的最大弹性势能。
解：(1)在物体A 向下运动，刚到C 点过程中，对A 和B 整体，由动能定理：
mAglsinθ－mBgl－μmAglcosθ=
(mA＋mB)
－
(mA＋mB)
代入数据解得：vC=2m/s；
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(2)设弹簧的最大压缩量为x，从物体A 刚到C 点至压缩弹簧又返回C 点的过程中，由
能量守恒：
(mA＋mB)
=2μmAgxcosθ 代入数据解得：x=0.2m；
(3)设弹簧的最大弹性势能为Ep，在物体A 刚到C 点至压缩弹簧到最短的过程中，由功
能关系：
(mA＋mB)
=μmAgxcosθ＋Ep带入数据解得：Ep=3J。
对应题型精炼
一、多选题
1．如图所示，轻质弹簧竖直放置在水平地面上，它的正上方有一金属块从高处自由下
落，从金属块自由下落到第一次速度为零的过程（ ）
A．弹力没有做功
B．重力先做正功，后做负功
C．金属块的动能最大时，弹力与重力相平衡D．金属块的动能为零时，弹簧的弹性势
能最大
【答案】CD
【详解】A．金属块压缩弹簧后，弹簧对金属块的弹力方向始终向上，在金属块自由
下落到第一次速度为零的过程中，弹力始终做负功，故A 错误；
B．金属块一直向下运动，所以重力一直做正功，故B 错误；
C．金属块开始接触弹簧后，刚开始重力大于向上的弹力，金属块向下加速运动；弹簧
形变量增大，弹力增大，所以向下的合力减小，加速度减小，重力与弹簧弹力平衡时，
合力为零，加速度为零，速度达到最大值；动能达到最大值，故C 正确；
D．当金属块的速度为零时，弹簧被压缩到最短，弹性势能最大，故D 正确。
故选CD。
2．如图，光滑绝缘水平地面上有一水平绝缘轻弹簧左端固定，右端与一质量为m、电
荷量为
的滑块P（可视作质点）拴接，沿水平方向建立x 轴，沿x 轴加一水平方向
电场（图中未画出），x 轴上的电势
随位置x 的变化关系如图所示。滑块从弹簧原长
处静止释放（未超出弹性限度），沿x 轴正方向运动直至速度为零的过程中（ ）
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A．电场的电势越来越低，电场强度越来越小
B．滑块的加速度先增大后减小
C．当滑块的速度最大时，弹簧弹性势能与滑块动能之和最大
D．滑块克服弹力做的功等于电势能的减少量
【答案】AD
【详解】A．由x 轴上的电势
随位置x 的变化关系图像，可知电场的电势越来越低，
由图像的斜率表示电场强度，可知电场强度越来越小，A 正确；
B．由题意可知，沿x 轴正方向电势降低，即电场方向沿x 轴正方向。滑块P 沿x 轴正
方向运动时，受到向右的电场力和向左的弹力，开始两力的合力方向沿x 轴正方向，
且合力由大变小，当合力是零时，加速度是零，滑块P 速度最大，随沿x 轴正方向运
动位移的增大，电场强度逐渐减小，弹力逐渐增大，其合力方向向左，且逐渐增大，
当滑块P 速度是零时，弹力最大，因此滑块P 的加速度先减小后增大，B 错误；
C．由题意可知，滑块P 运动中，电势能的减少量等于滑块动能的增加量与弹簧的弹性
势能的增加量之和，因此滑块P 速度是零时，电势能的减少量最大，则有弹簧弹性势
能与滑块动能之和最大，C 错误；
D．由以上分析可知，滑块P 速度是零时，电势能的减少量最大，且全部转化为弹簧的
弹性势能，即为滑块P 克服弹力所做的功，D 正确。
故选AD。
3．如图所示，水平桌面上的轻质弹簧一端固定，另一端与小物块相连。弹簧处于自然
长度时物块位于O 点（图中未标出）。物块的质量为m=1kg，弹簧劲度系数为
k=100N/m，物块与桌面间的动摩擦因数为μ=0.1。现用水平向右的力将物块从O 点拉
至A 点，弹簧伸长量l0=11cm，撤去拉力后物块由静止向左最远运动到B 点，并最终静
止在AB 之间的某点上。已知弹簧弹性势能的表达式为
（k 为弹簧的劲度系
数，x 为弹簧的形变量），重力加速度为g=10m/s2。则下列说法正确的是（ ）
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A．物块到达B 点时弹簧的弹性势能为0.405J
B．物块最终静止时，弹簧的弹性势能为0
C．整个过程中物块的最大速度为1m/s
D．整个过程中弹簧对物块所做的功为0.6J
【答案】ACD
【详解】A．物块最终停止的位置应满足
解得
即物块若在O 点左右两侧1cm 的范围内的速度为0，就会停止运动，设OB 的距离为
，物体从A 到B 的过程中由能量守恒
解得OB 距离
此时弹簧的弹性势能为
故A 正确；
B．物体从B 往右运动到O 点右侧
，由能量守恒
解得
以此类推，物体再次往左运动到O 点左侧
处，速度为0，再往右运动到O 点
右侧
处，速度为0，接着再往左运动到O 点左侧
处，速度为0，由于
此位置弹力等于最大静摩擦力，物块最终停止。此时弹簧的弹性势能为
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故B 错误；
D．整个过程中弹簧对物块所做的功为
故D 正确；
C．由于摩擦阻力的存在，故整个过程中物块的最大速度出现在第一次弹力等于摩擦力
的时候，即
解得
由动能定理知
解得
故C 正确。
故选ACD。
4．B 如图所示，两个质量均为
的物块用劲度系数为
的轻弹簧相连，竖直放置在水
平面上静止。现用竖直向上的力
拉着物块M 缓慢向上提，直到物块N 刚好要离开地
面为止。重力加速度为
。上述过程中，下列判断正确的是（ ）
A．拉力
的大小从零逐渐增大到
B．拉力
做的功等于M 的重力势能的增加
C．弹簧的弹性势能逐渐增大
D．该过程的初状态和末状态弹簧的弹性势能相同
【答案】ABD
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【详解】A．
拉着物块M 缓慢向上提，直到物块N 刚好要离开地面为止，对M、N
整体有
可知整个过程拉力
的大小从零逐渐增大到
，故A 正确；
B．初始对物块M 分析得弹簧的压缩量
物块N 刚好要离开地面时，弹簧的伸长量为
可知初态弹簧的压缩量与末态弹簧的伸长量相等，所以该过程的初状态和末状态弹簧
的弹性势能相同，弹性势能变化量为零，由功能关系可知拉力
做的功等于
的重力
势能的增加，故BD 正确；
C．弹簧由压缩到伸长，弹性势能先减小后增大，故C 错误。
故选ABD。
5．如图甲所示，一轻弹簧上端固定在光滑、固定斜面的顶端，下端与物块相连。先用
力使物块沿斜面向下运动一段距离后，由静止释放，物块沿斜面向上运动的速度—时
间图像如图乙所示，弹簧一直处在弹性限度内。则物块沿斜面向上运动的过程中（
）
A．物块的机械能守恒
B．
时刻，系统的势能可能为零
C．
时刻，弹性势能一定最小
D．
时刻的弹性势能可能等于
时刻的弹性势能
【答案】BD
【详解】A．物块沿斜面向上运动的过程中，弹簧的弹力对物块做了功，物块的机械
能不守恒，物块与弹簧构成的系统的机械能守恒，A 错误；
16
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B．根据图乙可知，
时刻，图线的斜率为0，即加速度为0，则弹簧的弹力与重力沿
斜面的分力平衡，弹簧处于拉伸状态，有一定的弹性势能，若选择重力势能的零势能
位置为物块上方的某一位置，此时重力势能为负值，可能使得弹性势能与重力势能的
和值为0，即系统的势能可能为零，B 正确；
C．根据题意，弹簧的原长位置不确定，当原长位置在
之间时，在
时刻，弹性
势能不是最小，C 错误；
D．根据上述，当原长位置在
之间时，
时刻弹簧处于拉伸状态，
时刻弹簧处
于压缩状态，两时刻弹簧的形变量有可能相等，即
时刻的弹性势能可能等于
时刻
的弹性势能，D 正确。
故选BD。
6．如图甲所示，光滑斜面的倾角为
，一根轻质弹簧一端固定在斜面底端，另一端
与滑块A 相连，滑块B 与A 靠在一起（不粘连），两滑块的质量均为m，系统处于静
止状态。从零时刻起对滑块B 施加一个平行斜面的变力F，两滑块的
图象如图乙
所示，
时刻F 的大小是零时刻F 大小的2 倍，重力加速度大小为g，弹簧始终处于弹
性限度内，则下列说法正确的是（ ）
A．
时刻两滑块的速度大小均为
B．
时刻前两滑块的加速度大小均为
C．弹簧的劲度系数为
D．0 到
时间内弹簧弹性势能的减少量为
【答案】AD
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【详解】AB．由图乙所示图象可知，t0时刻两滑块开始分离，此时它们的加速度大小、
速度大小都相等，它们间的作用力为零，设此时弹簧的压缩量为
，设
时弹簧的
压缩量为
，设弹簧的劲度系数为
，设
时刻拉力大小为
，
时刻拉力大小为
，由题意可知
施加拉力前，对A、B 整体，由平衡条件得
时刻，对A、B 整体，由牛顿第二定律得
时刻，对B，由牛顿第二定律得
解得
由图乙所示图象可知，在
内，A、B 一起做初速度为零的匀加速直线运动，
时刻两
滑块的速度大小为
故A 正确，B 错误；
C．由图乙所示图象可知，在
内，A、B 一起做初速度为零的匀加速直线运动，位移
大小为
则
时刻，对A，由牛顿第二定律得
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施加拉力前，对A、B 整体，由平衡条件得
解得弹簧的劲度系数为
故C 错误；
D．设0 到
时间内弹簧弹性势能的减小量为
，则
故D 正确。
故选AD。
二、单选题
7．类比是一种常用的研究方法，对于直线运动，我们学习了用v-t 图像求位移的方法。
可以借鉴此方法，根据图所示的F-x 图像，求弹簧弹力做功。弹簧形变后就储存了能
量，下列说法正确的是（ ）
A．F-x 图线的斜率越大，弹力做功越大
B．弹簧形变Δx 的距离，弹力所做功的数值近似等于Δx 上方小矩形的面积
C．对同一弹簧，它储存的能量E 与弹簧的形变量成正比
D．若弹簧形变量为x 时储存的能量为E，则弹簧形变量为
时储存的能量大于
【答案】B
【详解】A．F-x 图线的斜率表示弹簧的劲度系数，与弹力做功的大小无关，A 错误；
B．由面积法的原理可知，弹簧形变Δx 的距离，弹力所做功的数值近似等于Δx 上方小
矩形的面积，B 正确；
C．由面积法的原理可得，弹力所做的功可表示为
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对同一弹簧，它储存的能量E 等于克服弹力所做的功，故与弹簧的形变量平方成正比，
C 错误；
D．若弹簧形变量为x 时储存的能量为E，即
弹簧形变量为
时储存的能量为
D 错误。
故选B。
8．将一木球靠在轻质弹簧上，压缩后松手，弹簧将木球弹出。已知弹出过程弹簧做了
的功，周围阻力做了
的功，此过程物体的（ ）
A．弹性势能减小
B．弹性势能增加
C．动能减小
D．动能增加
【答案】D
【详解】AB．根据题意，由功能关系可知，由于弹出过程弹簧做了
的功，则弹性
势能减小了
，故AB 错误；
CD．根据题意，由动能定理可知，弹出过程中，合外力做功为
则物体的动能增加
，故C 错误，D 正确。
故选D。
9．如图所示，弹簧的一端固定在墙上，另一端在水平力F 作用下缓慢拉伸了l。关于
拉力F、弹性势能Ep随伸长量l 的变化图线，其中正确的是（ ）
20
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】AB．根据胡克定律，有
F=kx
由于劲度系数k 由弹簧本身决定，为一个常数，故F 与形变量成正比，由于弹簧从原
长开始拉绳，故F-x 图像是过原点的正比例图像，故AB 错误；
CD．弹性势能为
其图像为开口向上的二次函数图像，故C 错误，D 正确。
故选D。
10．如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端连接一小物块，O 点为弹簧在原长时物块
的位置。物块由A 点静止释放，沿粗糙程度相同的水平面向右运动，最远到达B 点。
取O 点为坐标原点、向右为正方向，在物块从A 到B 的过程中，弹簧对物块的弹力
F、物块的加速度a 和速度v、弹簧弹性势能Ep随位移x（相对于坐标原点）变化的关
系图像可能正确的是（ ）
A．
B．
21
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C．
D．
【答案】C
【详解】A．小物块的位移是相对于坐标原点的位移，位移大小即为弹簧的形变量，
当物块在O 点左侧运动时，位移为负值，弹簧处于压缩状态，弹簧弹力方向向右，为
正值；当物块在O 点右侧运动时，位移为正值，弹簧处于拉伸状态，弹簧弹力方向向
左，为负值，则有
斜率为负值，图中斜率为正值，故A 错误；
B．物块从A 到B 的过程中，摩擦力方向向左，为负值，根据牛顿第二定律有
解得
可知，加速度与位移是线性关系，图像为一条不经过原点的倾斜直线，故B 错误；
D．根据上述有F=-kx，弹簧弹力大小与位移大小成正比，则弹性势能
即图像为一条过原点的开口向上抛物线，因运动过程中有摩擦生热，物块到达B 点的
弹性势能小于A 点弹性势能，故D 错误；
C．令AO 长为x0，则物块在A 位置时，弹性势能为
物块从A 向B 运动过程中，根据能量守恒定律有
解得
可知，速度大小随位移变化的图像是一条曲线，物块从A 向B 运动过程中，速度方向
向右，速度为正值，物块在AO 之间运动时，弹簧处于压缩状态，当弹簧弹力大于摩
擦力时，做加速运动，当弹簧弹力小于摩擦力时，做减速运动，物块越过O 点后向右
运动时，弹簧处于拉伸状态，物块一直减速至B 点，即物块的最大速度位置在AO 之
22
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间，令该位置为C 点，可知，物块从A 运动到C 点加速，速度增大，从C 运动到B 点
减速，速度减小，速度最大位置在O 点左侧，故C 正确。
故选C。
11．如图所示，一轻弹簧一端固定于O 点，另一端系一重物，将重物从与悬点O 在同
一水平面且弹簧保持原长的A 点无初速地释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重
物由A 点摆向最低点B 的过程中（ ）
A．重力做正功，弹簧弹力不做功，弹性势能不变
B．重力做正功，弹簧弹力做负功，弹性势能增加
C．若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧后，重力做正功，弹力做功不变
D．若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧后，重力做功不变，弹力不做功
【答案】B
【详解】AB．重物由A 点摆向最低点的过程中，高度下降，重力做正功，弹簧对重物
有拉力，而弹簧要伸长，所以弹力做负功，弹性势能增加，故B 正确，A 错误；
C．若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧后，重力仍做正功，弹力方向始终与运动方向
垂直，不做功，故C 错误；
D．若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧后，重物下降的高度减小，重力做功减少，
弹力方向始终与运动方向垂直，不做功，故D 错误。
故选B。
12．如图所示为某风洞实验简化模型，风洞管中的均流区斜面光滑，一物块在恒定风
力作用下由静止沿斜面向上运动，物块从接触弹簧到最高点的过程中（弹簧在弹性限
度内），下列说法正确的是（ ）
A．物块的速度一直减小
B．物块加速度先不变后减小
C．弹簧弹性势能先不变后增大
D．物块和弹簧组成的系统机械能一直增
大
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【答案】D
【详解】AB．从物块接触弹簧开始至到达最高点的过程中，对物块受力分析，沿斜面
方向有
弹簧的压缩量x 从0 开始增大，物块先沿斜面加速，加速度向上且逐渐减小，当a 减小
到0 时，速度加速到最大；然后加速度反向且逐渐增大，物体减速，直至减速到0，故
AB 错误；
C．由于弹簧的压缩量不断增大，所以弹性势能不断增大，故C 错误；
D．由于风力对物块一直做正功，所以物块与弹簧组成的系统机械能一直增大，故D
正确。
故选D。
13．如图所示，两个质量均为0.1kg 的小球A、B（均视为质点），分别用不可伸长的
轻绳和轻弹簧系在同一水平面上的O 点和
点，轻绳长度为0.2m。现分别将A、B 球
拉到与悬点等高处，使绳和轻弹簧均处于水平，轻弹簧处于原长。将两球分别由静止
开始释放，当两球到达各自悬点的正下方时两球恰好处在同一水平面上。不计空气阻
力，轻弹簧一直处于弹性限度内，重力加速度
，下列说法正确的是（ ）
A．两球到达各自悬点的正下方时，两球速度大小相等
B．A 球到达悬点的正下方时，速度大小等于1m/s
C．A 球到达悬点的正下方时，轻绳的拉力等于2N
D．从释放至运动到最低点的过程中，A 球减小的重力势能等于B 球减小的重力势能
【答案】D
【详解】A．两球到达各自悬点的正下方过程，重力做功相同，但B 球在下落过程中，
弹簧对其做负功，由动能定理知，A 球到达各自悬点的正下方时的速度要大于B 球，
A 错误；
B．对A 球由动能定理
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得
B 错误；
C．A 球到达悬点的正下方时，由牛顿第二定律
得轻绳的拉力为
C 错误；
D．从释放至运动到最低点的过程中，由于两球重力相同，下落距离相同，故减小的
重力势能相同，D 正确。
故选D。
14．一根弹簧的弹力与伸长量关系图线如图所示，那么弹簧由伸长量6cm 到伸长量
3cm 的过程中，弹力做的功和弹性势能的变化量分别为（ ）
A．0.9J，-0.9J
B．-0.9J，0.9J
C．1.8J，-1.8J
D．-1.8J，1.8J
【答案】A
【详解】弹力做的功
W＝
×0.03J＝0.9J>0
故弹性势能减少0.9J，即
ΔEp＝Ep2－Ep1＝－0.9J
故选A。
15．如图所示，一质量为m 的小球套在光滑竖直杆上，轻质弹簧一端固定于O 点，另
一端与该小球相连。现将小球从A 点由静止释放，沿竖直杆运动经过B 点，已知OA
长度小于OB 长度，弹簧处于
两位置时弹簧弹力大小相等。在小球由A 到B 的
过程中（ ）
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A．加速度等于重力加速度的位置有一处
B．弹簧弹力的功率为0 的位置只有一处
C．弹簧弹力对小球做功等于零
D．弹簧弹力做正功过程中小球运动的距离等于小球克服弹簧弹力做功过程中小球运
动的距离
【答案】C
【详解】A．在运动过程中A 点为压缩状态，B 点为伸长状态，则由A 到B 有一状态弹
力为0 且此时弹力与杆不垂直，加速度为g；当弹簧与杆垂直时小球加速度为g。则两
处加速度为g。A 错误；
B．下滑过程弹簧弹力与杆子垂直，弹力功率为零；当原长时弹力为零，功率为零，B
错误；
C．由于
两点弹簧弹力大小相等，因此弹簧的变化量相等，即弹簧的弹性势能不变，
弹力对小球不做功，C 正确；
D．由于A、B 两点弹簧弹性势能相等，全过程弹簧弹力对小球所做的正功等于小球克
服弹力所做的负功。因做负功时弹力增大，则弹簧弹力做正功过程中小球运动的距离
大于小球克服弹簧弹力做功过程中小球运动的距离，D 错误；
故选C。
三、解答题
16．如图所示，在竖直方向上A、B 两物体通过劲度系数为k 的轻质弹簧相连，A 放在
水平地面上：B、C 两物体通过细线绕过轻质定滑轮相连，C 放在固定的光滑斜面上。
用手拿住C，使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证ab 段的细线竖直、cd 段的细线与
斜面平行。已知A、B 的质量均为m，斜面倾角为
，重力加速度为g，滑轮的质
量和摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态。C 释放后沿斜面下滑，当A 刚要离开
26
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地面时，B 的速度最大，
，
，求：
（1）从开始到物体A 刚要离开地面的过程中，物体C 沿斜面下滑的距离；
（2）A 刚要离开地面时C 的动能；
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）设开始时弹簧压缩的长度为
，由题意有
设当A 刚刚离开地面时，弹簧的伸长量为
，有
当A 刚离开地面时，B 上升的距离即C 沿斜面下滑的距离为
（2）A 刚离开地面时，以B 为研究对象，B 受到重力mg、弹簧的弹力kxA，细线的拉
力FT三个力的作用，设B 的加速度为a，根据牛顿第二定律，对B 有
对C 有
当B 获得最大速度时，有
，解得
且当A 刚离开地面时，根据动能定理对C 有
对B 有
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其中弹簧弹力先做正功后做负功，且其压缩量与伸长量相等，故总功为零，即
B、C 的速度大小相等，故其动能大小之比为其质量大小之比，即
解得
17．势能是状态量，又称作位能，它是储存于一个系统内的能量，是一种“潜在”能
量，可以释放或者转化为其他形式的能量；势能的大小可由体系内各物体之间的对应
力所作的功来量度，重力做功是度量重力势能变化的量度，弹簧弹力做功是度量弹性
势能变化的量度。势能是一个相对量，选择不同的势能零点，势能的数值一般是不同
的。如图所示，一轻弹簧的左端固定在墙壁上，右端连接一个小球，小球放置在光滑
水平地面上。弹簧处于原长时，小球在位置O，弹簧劲度系数为k。将小球拉至位置A
（弹簧处于弹性限度内），OA 距离为x，然后由静止释放。设向右方向为正，释放后，
小球从A 第一次运动到O 的过程中：
（1）求小球从A 点运动到O 点过程弹簧弹力对小球做的功。
（2）以A 点为弹簧弹性势能零参考点，小球在O 点时弹簧具有的弹性势能多大？
（3）若把装置竖直放置，如图所示，弹簧上端固定，设小球在重力和弹力作用下静止
的位置为O 点，并以O 点为坐标原点，以竖直向下为正方向建立坐标轴Ox，用x 表示
小物块由O 点位置向下发生的位移。系统的总势能为重力势能与弹性势能之和。请你
结合小物块的受力特点和求解变力功的基本方法，以O 点位置为系统总势能的零势能
参考点，推导小物块运动位移为x 时系统总势能E 的表达式。已知重力加速度为g，不
计空气阻力。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
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【详解】（1）F−x 图像如图所示。
由图像可知小球从A 点运动到O 点过程弹簧弹力对小球做的功
（2）小球从A 点运动到O 点过程弹簧弹力对小球做正功，弹性势能减小，则以A 点为
弹簧弹性势能零参考点，小球在O 点时弹簧具有的弹性势能
（3）设弹簧振子在平衡位置时弹簧伸长x0，则
小物块x 处时受到的合力
则其F−x 图像如图所示。
通过图示弹簧弹力与形变量的关系通过面积求得小物块从平衡位置下移至x 处的过程
中合力的功为
即系统动能减小
，则总势能从0 增加到
；以平衡位置为零势能面，则系统总
势能
18．如图所示，水平轨道BC 的左端与固定的光滑竖直
圆轨道相切于B 点，右端与
29
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一倾角为30°的光滑斜面轨道在C 点平滑连接 （即物体经过C 点时速度的大小不变），
斜面顶端固定一轻质弹簧，一质量为2kg 的滑块从圆弧轨道的顶端A 点由静止释放，
经水平轨道后滑上斜面并压缩弹簧，第一次可将弹簧压缩至D 点，已知光滑圆轨道的
半径R=0.45m，水平轨道BC 长为0.4m，其动摩擦因数μ=0.2，光滑斜面轨道上CD 长
为0.6m，g 取10m/s2，求：
（1）滑块第一次经过B 点时的速度大小vB；
（2）整个过程中弹簧具有最大的弹性势能Ep；
（3）滑块在水平轨道BC 上运动的总时间及滑块几次经过B 点。
【答案】（1）3m/s；（2）1.4J；（3）1.5s；5 次
【详解】（1）对滑块，从A 到B，由动能定理有
解得
（2）滑块第一次到D 点具有最大的弹性势能，从A 到D，由动能定理可得
解得
所以整个过程中弹簧具有最大的弹性势能
（3）将滑块在BC 段的运动全程看作匀减速直线运动，加速度大小
则滑块在水平轨道BC 上运动的总时间
滑块最终停止在水平轨道BC 间；
设滑块在BC 段运动的总路程为s，从滑块第一次经过B 点到最终停下来的全过程，由
动能定理可得
解得
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结合BC 段的长度可知，滑块经过B 点5 次。
19．如图，光滑水平面上质量为2m 的物体A 紧靠竖直墙壁，通过一劲度系数为k 的轻
质弹簧与物体B 连接，质量均为m 的B、C 靠在一起但不粘连，开始时A、B、C 均静
止。现给C 施加一水平向左的恒力F，使B、C 一起运动。当弹簧某次压缩到最短时撤
去恒力F，设弹簧始终没超出弹性限度，重力加速度为g。
（1）试证明恒力F 作用过程中，B、C 的运动为简谐运动，并计算出平衡位置；
（2）撤去恒力F 后，求在此后运动中弹簧的最大弹性势能。
【答案】（1）证明见解析，
；（2）
【详解】（1）假设B、C 的运动为简谐运动，在x=x0处为平衡位置，在平衡位置时有
以x=x0处为原点，向左为正方向，设运动过程中任意时刻B、C 相对平衡位置的位移
为x，则有
联立可得
故假设正确，B、C 的运动为简谐运动；平衡位置为
（2）当F 刚作用的瞬间，根据牛顿第二定律得
解得
根据简谐运动对称性可知，当弹簧压缩到最短时加速度大小与F 作用瞬间相等，即
此时根据牛顿第二定律有
解得
当弹簧压缩到最短时，立即撤去恒力，弹簧恢复原长时B、C 发生分离，设此时速度
为v，根据能量守恒可知
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解得
弹簧恢复原长后，A、B 和弹簧组成的系统动量守恒，能量守恒，分析知当A、B 共速
时，弹簧最长，设共速时速度为v1，有
，
解得
20．如图所示，质量为m 的物块B 静止于光滑水平面上，B 与弹簧的一端连接，弹簧
另-端固定在竖直墙壁，弹簧处于原长。现有一质量也为m 的A 物块以水平速度vo向右
运动与B 碰撞且粘在一起，求从A 开始运动至弹簧被压缩到最短的过程中，弹簧最大
的弹性势能
。
【答案】
【详解】A、B 碰撞过程，取向右为正方向，由动量守恒定律得：
得
弹簧的最大弹性势能为
21．如图，质量为m 的物体放在质量为m0的平台上，随平台在竖直方向上一起做简谐
运动，振幅为A，周期为T，运动到最高点时，物体m 对平台的压力恰好为零，重力
加速度为g，求：
（1）当m 运动到最低点时，m 的加速度；
（2）当m 运动到最低点时，平台m0给物体m 的支持力大小；
（3）物体从最高点到最低点的过程中，平台m0给物体m 的支持力的冲量；
（4）弹簧的最大弹性势能。
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【答案】（1）g，方向竖直向上；（2）2mg；（3）
，方向竖直向上；（4）
【详解】（1）当平台运动到最高点时，物体对平台的压力恰好为零，则平台对物体的
支持力也为零，以物体为研究对象，根据牛顿第二定律有
解得
方向竖直向下；根据简谐运动的对称性可知，物体运动到最低点时的加速度大小也等
于g，方向竖直向上；
（2）当物体运动到最低点时，对物体，根据牛顿第二定律有
解得
（3）物体从最高点到最低点的过程中，根据动量定理有
所以平台对物体的支持力的冲量
即冲量大小为
，方向竖直向上；
（4）当物体运动到最高点时，此时弹簧处于原长状态，根据对称性，当物体运动到最
低点时，弹簧的压缩量为2A，在平衡位置处有
解得
所以弹簧最大弹性势能为
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22．在光滑水平面上，并排放着质量分别为1.5m 和m 的滑块A 和B（均可视为质点），
A、B 之间有少量粘合剂，能提供的最大粘合力为
。一轻弹簧的两端分别与墙壁和
滑块A 相连接。O 为水平面上一点，以O 为坐标原点，水平向右为位移x 的正方向，
建立如图所示的坐标系。轻弹簧上的弹力F 与坐标x 的关系如图所示，其中
、
为
已知量（
图像中，“面积”代表功）。现用外力向左推
至O 处（弹簧处于弹
性限度内），然后由静止释放。求：
（1）B 与A 分离时的坐标位置；
（2）B 与A 分离之前，弹簧弹性势能的减少量；
（3）不计A、B 分离过程中的能量损失，假设滑块B 与挡板C 碰撞前后速率不变，且
滑块B 刚好在A、B 分离处与A 相向碰撞并粘在一起（此后不再分离），求两物块再
次将弹簧压缩到最短时弹簧具有的弹性势能。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）B 与A 分离时，设弹簧拉力为F，两者加速度相等
对AB 整体有
对B 有最大拉力
解得弹簧拉力为
结合
图像可知，B 与A 分离时的坐标位置
（2）B 与A 分离之前，由
图像可知弹簧弹性势能的减少量
34
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（3）B 与A 分离时，A、B 的速度相等，大小设为
，对AB 整体，由动能定理得
当两者又一次各自到达分离处，根据各系统的能量守恒可知，速度大小还是
，设碰
后A、B 的共同速度为
，由碰撞时动量守恒可知
从碰后到弹簧再次被压缩到最短时，由能量守恒定律得
解得
35
