文档文本内容
自行车里的数学
教学内容
教科书P65。
教学目标
1.理解并掌握自行车“蹬一圈走多远”的计算方法，探索变速
自行车的速度与其内在结构的关系。
2.经历“提出问题——分析问题——建立数学模型——实际应
用”的解决问题的基本过程，获得解决问题的思考方法，进一步学
习建模思想。
3.通过解决问题感受数学的应用价值，培养学生运用数学的意
识。
教学重点
研究普通自行车的速度与其内在结构的关系以及变速自行车
能变化出多少种速度。
教学难点
研究普通自行车的前、后齿轮的齿数与它们的转数的关系。
教学准备
课件，指定部分学生课前测量结果。
教学过程
一、出示自行车图片，揭示课题
课件出示图片。
师：我们国家是一个自行车大国，每天马路上来往的自行车络
绎不绝。其实自行车里包含许多的数学知识。
教学笔记
【教学提示】
虽然在
生活中学生
都见过自行
车，但从数
学的角度来
研究自行车
里的问题，
学生是第一
次，应鼓励
学生大胆提
出问题，带
着问题进入
学习。
1
师：你想了解自行车里的哪些数学知识？
【学情预设】预设1：我想知道自行车蹬一圈能走多远？
预设2：自行车是后轮带动前轮，还是前轮带动后轮？
预设3：为什么前后两个齿轮有大有小？
预设4：变速自行车是怎么变速的呢？
……
师：今天我们就一起研究自行车里的数学。(板书课题：自行车
里的数学)
【设计意图】开门见山，引导学生用数学的眼光观察自行车，鼓
励学生提出想探究的问题，激发学生的学习兴趣。
二、研究普通自行车的速度与内在结构的关系
1.提出问题。
师：知道一辆自行车蹬一圈能走多远吗？怎样解决这个问题呢
【学情预设】学生可能会说：通过直接测量来解决问题，或者观
察蹬一圈时车轮转几圈，再用车轮转的圈数乘车轮周长就可以了。
第一种方法学生容易想到，第二种方法，学生可能会想到是蹬踏板
一圈，车轮转几圈，而不易想到前齿轮转一圈，后齿轮转几圈的问
题。
2.分析问题，探索方法。
(1)交流比较，优化方法。
师：课前，我请几位同学对一辆自行车蹬一圈所行路程进行了
独立测量，请他们来汇报一下测量结果。
【学情预设】学生的汇报可能结果各不相同。此时，教师要引导
学生反思原因——测量不太准确导致误差很大，进而引导学生关注
第二种方法。这时需要知道：蹬一圈时车轮转的圈数和车轮的直径
或半径。
(2)观察发现问题关键。
师：要想知道自行车蹬一圈能走多远，我们还得了解自行车的
教学笔记
【教学提示】
“ 前齿轮
转一圈时，后齿
轮转几圈” 是
解决问题的关
键，也是本节课
的难点。教学中
分两个层次进
行，第一个层次
逐步引导学生
从自行车的内
部结构出发，去
思考探究“ 蹬
一圈，车轮转动
的圈数” 这个
未知条件；第二
个层次通过生
动的动态演示，
将研究“ 蹬一
圈，车轮转动的
圈数” 转化为
研究“ 前齿轮
转一圈时，后齿
轮转动的圈
数”。注意让学
生经历数学知
识的形成过程，
充分体验、领悟、
探究，逐步完善
2
建模的过程。
结构和行进原理。
(课件播放自行车行进的动画，请学生仔细观察并讨论。)
【学情预设】学生能观察到踏板蹬一圈，只是前齿轮转一圈，车
轮转动的圈数实际就是后齿轮转动的圈数。个别学生说出来后，教
师应强化。咱们再看一次课件展示，看是不是这样。
师：照这样分析，解决问题的关键是：蹬踏板一圈即前齿轮转一
圈，而此时后齿轮转几圈呢？怎样才能知道呢？
(3)观察研究，建立数学模型。
师：前、后两个齿轮通过链条连接在一起。前齿轮转动一个齿，
链条怎么动？后齿轮怎么动？
(课件出示自行车踏板慢慢转动一圈，学生观察前、后齿轮之间
的传动关系。)
【学情预设】学生能观察到链条间的孔与前、后两个齿轮的每一
个齿一一对应，前齿轮转动一个齿，后齿轮也一定转动一个齿。
师：前、后齿轮的齿数与它们的转数有什么关系？
【学情预设】思维水平较高的学生会先说出，前齿轮转动一圈的
长度就是链条走过的长度，后齿轮也要转动同样的长度，所以前齿
轮的齿数×前齿轮的转数=后齿轮的齿数×后齿轮的转数。此时，教
师不要急于表态，让学生多说一说。
（根据学生的回答板书：前齿轮的齿数×前齿轮的转数=后齿轮
的齿数×后齿轮的转数）
师：大家已经知道，自行车蹬一圈，也就是前齿轮转一圈，那么
后齿轮的转数怎么表示？
小组讨论后交流总结。
【学情预设】学生根据比例的基本性质，推理说明：前齿轮转动
一圈时，后齿轮转数=
。
教师根据学生回答板书。
师：那
么自行车蹬
一圈走的距
离怎么计算？
教学笔记
3
【学情预设】自行车蹬一圈的距离=
×车轮周长
教师根据学生的回答板书。
3.师：如果前齿轮转2 圈、3 圈、4 圈……你能发现后齿轮的齿
数、转动圈数与前齿轮的齿数、转动圈数有什么关系吗？
【学情预设】学生根据前齿轮转动一圈时后齿轮的齿数、转动圈
数与前齿轮的齿数之间的关系，推理出前齿轮转2 圈、3 圈、4
圈……时，后齿轮的齿数、转动圈数与前齿轮的齿数、转动圈数的
关系：前齿轮齿数×前齿轮转动圈数＝后齿轮齿数×后齿轮转动圈
数，即
教师根据学生的回答板书。
【设计意图】教学时，密切联系学生的生活实际，从学生的生活
经验和已有知识出发，引导学生开展观察、操作、推理等活动，获得
基本的数学知识和技能。
4.运用模型，解决问题。
出示课件。
【学情预设】根据自行车蹬一圈的距离=
×车轮周长
第(1)题是0.8π×
=10.048(m)，第(2)题是0.8π×
=7.536(m)。
【设计意图】这一环节，让学生经历了“提出问题——思考方案
——观察分
析——找到
解决问题关
键——进一
步观察研究
——建立数
学模型——
利用模型解
决问题”的
过程，在问
题导向下引
导学生学会
思考的方法
积累良好的
思考经验和
解决问题的
经验。
三、研究变
速自行车能
变化出多少
种速度
1. 问题
导入。
教学笔记
4
师：我们解决了A、B 两辆自行车蹬一圈行多少米的问题。如果
是你，愿意骑哪辆自行车？为什么？
【学情预设】学生会说出选择A 车，因为同样蹬一圈，A 车行的
距离长。教师追问：仔细观察，为什么同样蹬一圈，A 车行的距离长
呢？引导学生观察到两辆自行车的车轮直径相同，车轮的周长相等
前齿轮的齿数也相同，区别在于后齿轮的齿数不同。
师：其实这也是变速自行车能变速的原因，下面我们就来研究
变速自行车
的速度的变
化吧！
2. 小组
研究，探究
规律。
师：这
辆变速自行
车，有2 个
前齿轮和6
个后齿轮，
它能变化出
多少种速度
呢？（出示
课件）
【学情
预设】学生
会
说
6×2=12(种)。
教师此时不
作评价。
学生以
小组为单位
讨论交流，
完成教科书
P66 的表格。
5
师：观察前、后齿轮齿数的比值，你认为这辆变速自行车能变
化出12 种速度吗？
【学情预设】预设1：有2 种组合的比值是一样的。
预设2：应该是12 种组合，11 种速度。
师：再想一想，蹬同样的圈数，哪种组合使自行车走得最远？
【学情预设】指导学生说出：蹬同样的圈数，前、后齿轮的齿数
的比值越大，自行车走得越远。(板书：蹬同样的圈数，变速自
教学笔记
【教学提示】
学生在小组内交流时，教师要及时巡视指导，提醒学生将前轮齿数与
后轮齿数的比化简为最简比，再通过比较比值的大小得出结论。
行车前、
后齿轮的齿
数的比值越
大，走得越
远。)
【设计
意图】再次
经历“分析
问题——建
立数学模型
——求解”
的过程，培
养学生综合
运用所学知
识，积累活
动经验，提
高应用意识
的能力。
四、拓展延
伸，实际应
用
师：自
行车里蕴含
着丰富的数
学问题，变
速自行车的
发明大大解
决了我们面
6
对不同路况的需要。你觉得在上坡时怎样搭配前、后
齿轮更合理？请同学们课后思考并解决此问题。
【设计意图】使学生了解数学与生活的广泛联系，还可以培养学
生从不同的角度发现实际问题中所包含的数学信息的能力。从省力
的角度考虑，上坡的时候应该前小轮，后大轮。
五、课堂小结
师：通过今天的学习活动，你们发现了自行车里运用到以前学
过的哪些数学知识？(圆的周长、排列组合、比例等)你有哪些收获
板书设计
教学反思
学生学习本节课的主要障碍在于对自行车的内部结构和驱动
原理缺乏了解，对所研究的问题本身存在认识上的误区，无法从数
学的角度在“蹬一圈”和“走多远”之间建立起联系。在教学中，
引导学生分析问题，观察得到“蹬一圈就是前齿轮转一圈”“车轮
转动的圈数实际是后齿轮转动的圈数”，从而找到解决问题的关键
“当前齿轮转一圈时，后齿轮转几圈？”接下来引导学生重点研究
这个问题，数学模型伴随着这个关键问题的解决而得到完善。但由
于自行
教学笔记
车的行
进是一个复
杂的问题，
存在观察难
操作难等特
点，所以建
议将综合实
7
践活动(例如变速自行车的速度的变化)延伸到课外，课堂上研究的
结论还需要去体验、验证。让学生亲身体会到：前、后轮齿数的比值
大的组合走得就远，车速较快，但骑车人较费力；前、后轮齿数的比
值小的组合走得就近，车速较慢，但骑车人较省力。
作业设计
见“状元成才路”系列丛书《创优作业100 分》对应课时作业。
（1）自行车链条前后轮齿数与它们的转数的关系：前齿轮齿数×
＝后齿轮齿数× 。
（2）机械手表中不同的齿轮以不同的速度旋转，驱动指针显示时间。
如图，
大齿轮的齿数是54 个，小齿轮的齿数是36 个，大、小两个齿轮
的齿数比是（ ）。旋转时，大齿轮和小齿轮互相咬合的齿数
是一定的。大齿轮转2 周，小齿轮转（ ）周。
（3）一辆自行车的前、后齿轮的齿数比是9∶4，若后齿轮转108 圈，
则前齿轮转（ ）圈。
（4）骑自行车时，蹬一圈，自行车前进的路程＝（ ）
×。
参考答案
（1）前齿轮转动圈数 后齿轮转动圈数
（2）3∶2 3 （3）48 （4）车轮周长
教学笔记
8
