2020 年北京市中考数学
满分：100 分 时间：120 分钟
一.选择题（本题共16 分，每小题2 分）
第1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1.右图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A.圆柱 B.圆锥 C.三棱锥 D.长方体
（2020 北京中考第2 题）2020 年6 月23 日，北斗三号最后
一颗全球组网卫星从西昌发射中心发射升空，6 月30 日成
功定点于距离地球36000 公里的地球同步轨道.将36000 用
科学记数法表示应为（ ）
A.
B.
C.
D.
3.如图，AB 和CD 相交于点O，则下列结论正确的是（ ）
A. 1= 2 B. 2= 3 C. 1
∠
∠
∠
∠
∠＞∠4+ 5 D. 2
∠
∠＜∠5
4.下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）
5.正五边形的外角和为（ ）
A.180° B.360° C.540° D.720°
6.实数
在数轴上的对应点的位置如图所示.若实数
满足
，则
的值可以是（
）
A.2 B.-1 C.-2 D.-3
7.不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差
别.从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其
数字，那么两次记录的数字之和为3 的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
8.有一个装有水的容器，如图所示.容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开
始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm 的速度匀速增加，则容器注满水之前，容
器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（ ）
A.正比例函数关系 B.一次函数关系 C.二次函数关系 D.反比例函数关系
二、填空题（本题共16 分，每小题2 分）
9.若代数式
有意义，则实数
的取值范围是 .
10.已知关于
的方程
有两个相等的实数根，则
的值是 .
11.写出一个比
大且比
小的整数 .
12 方程组
的解为 .
13.在平面直角坐标系
中，直线
与双曲线
交于A，B 两点.若点A，B 的纵
坐标分别为
，则
的值为 .
14.在△ABC 中，AB=AC，点D 在BC 上（不与点B，C 重合）.只需添加一个条件即可证
明△ABD
ACD
△
≌
，这个条件可以是 （写出一个即可）
15.如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D 是网格交点，则△ABC 的面积与△ABD
的面积的大小关系为：
（填“＞”，“＝”或“＜”）
16.下图是某剧场第一排座位分布图
甲、乙、丙、丁四人购票，所购票分别为2,3,4,5.每人选座购票时，只购买第一排的座位相
邻的票，同时使自己所选的座位之和最小.如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那
么甲甲购买1,2 号座位的票，乙购买3,5,7 号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一
排座位的票.若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件
的购票的先后顺序 .
三、解答题（本题共68 分，第17-20 题，每小题5 分，第21 题6 分，第22 题5 分，第23-
24 题，每小题6 分，第25 题5 分，第26 题6 分，第27-28 题，每小题7 分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17.计算：
18.解不等式组：
19.已知
，求代数式
的值.
20.已知：如图，△ABC 为锐角三角形，AB=BC，CD AB.
∥
求作：线段BP，使得点P 在直线CD 上，且∠ABP=
.
作法：①以点A 为圆心，AC 长为半径画圆，交直线CD 于C，P 两点；②连接BP.线段BP
就是所求作线段.
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明.
证明：∵CD AB
∥
，
ABP=
∴∠
.
AB=AC
∵
，
∴点B 在⊙A 上.
又∵∠BPC=
BAC
∠
（ ）（填推理依据）
ABP=
∴∠
BAC
∠
21.如图，菱形ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，E 是AD 的中点，点F，G 在AB 上，
EF AB
⊥
，OG EF.
∥
（1）求证：四边形OEFG 是矩形；
（2）若AD=10，EF=4，求OE 和BG 的长.
22.在平面直角坐标系
中，一次函数
的图象由函数
的图象平移
得到，且经过点（1,2）.
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当
时，对于
的每一个值，函数
的值大于一次函数
的值，直接写出
的取值范围.
23.如图，AB 为⊙O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 是⊙O 的切线，D 为切点，
OF AD
⊥
于点E，交CD 于点F.
（1）求证：∠ADC= AOF
∠
；
（2）若sinC=
，BD=8，求EF 的长.
24.小云在学习过程中遇到一个函数
.
下面是小云对其探究的过程，请补充完整：
（1）当
时，
对于函数
，即
，当
时，
随
的增大而 ，且
；
对于函数
，当
时，
随
的增大而 ，且
；结合上
述分析，进一步探究发现，对于函数
，当
时，
随
的增大而 .
（2）当
时，对于函数
，当
时，
与
的几组对应值如下表：
0
1
2
3
0
1
综合上表，进一步探究发现，当
时，
随
的增大而增大.在平面直角坐标系
中，
画出当
时的函数
的图象.
（3）过点（0，m）（
）作平行于
轴的直线，结合（1）（2）的分析，解决问题
若直线与函数
的图象有两个交点，则
的最大值是
.
25.小云统计了自己所住小区5 月1 日至30 日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息
如下：
.小云所住小区5 月1 日至30 日的厨余垃圾分出量统计图：
.小云所住小区5 月1 日至30 日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下：
时段
1 日至10 日
11 日至20 日
21 日至30 日
平均数
100
170
250
（1）该小区5 月1 日至30 日的厨余垃圾分出量的平均数约为 （结果取整数）
（2）已知该小区4 月的厨余垃圾分出量的平均数为60，则该小区5 月1 日至30 日的厨余
垃圾分出量的平均数约为4 月的 倍（结果保留小数点后一位）；
（3）记该小区5 月1 日至10 日的厨余垃圾分出量的方差为
5 月11 日至20 日的厨余垃
圾分出量的方差为
，5 月21 日至30 日的厨余垃圾分出量的方差为
.直接写出
的大小关系.
26.在平面直角坐标系
中，
为抛物线
上任
意两点，其中
.
（1）若抛物线的对称轴为
，当
为何值时，
（2）设抛物线的对称轴为
.若对于
，都有
，求的取值范围.
27.在△ABC 中，∠C=90°，AC＞BC，D 是AB 的中点.E 为直线上一动点，连接DE，过点
D 作DF DE
⊥
，交直线BC 于点F，连接EF.
（1）如图1，当E 是线段AC 的中点时，设AE =α ,BF =b ，求EF 的长（用含a,b 的式
子表示）；
（2）当点E 在线段CA 的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF 之
间的数量关系，并证明.
28.在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，A，B 为⊙O 外两点，AB=1.
给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O 的弦A' B' （A
' ,B
'
分别为点A，B 的对应点），线
段A A' 长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平移距离”.
（1）如图，平移线段AB 到⊙O 的长度为1 的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是
；在点P1,P2,P3,P4中，连接点A 与点 的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的
“平移距离”；
（2）若点A，B 都在直线y=√3 x+2√3 上，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为d1，求
d1的最小值；
（3）若点A 的坐标为
(2, 3
2 )
，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为d2 ，直接写出d2 的取
值范围.
2020 年北京市中考数学参考答案和解析
满分：100 分 时间：120 分钟
一.选择题（本题共16 分，每小题2 分）
第1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1.右图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A.圆柱 B.圆锥 C.三棱锥 D.长方体
【解析】长方体的三视图都是长方形，故选D
2.2020 年6 月23 日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌发射中心发射升空，6 月30 日
成功定点于距离地球36000 公里的地球同步轨道.将36000 用科学记数法表示应为（ ）
A.
B.
C.
D.
【解析】将36000 用科学记数法表示为，3.6×104，故选C
3.如图，AB 和CD 相交于点O，则下列结论正确的是（ ）
A. 1= 2 B. 2= 3 C. 1
∠
∠
∠
∠
∠＞∠4+ 5 D. 2
∠
∠＜∠5
【解析】由两直线相交，对顶角相等可知A 正确；由三角形的一个外角等于它不相邻的两
个内角的和可知B 选项的∠2＞∠3，C 选项∠1=∠4+∠5，D 选项的∠2＞∠5.故选A.
4.下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）
【解析】正方形既是中心对称图形又是轴对称图形，故选D
5.正五边形的外角和为（ ）
A.180° B.360° C.540° D.720°
【解析】任意多边形的外角和都为360°，与边数无关，故选B
6.实数
在数轴上的对应点的位置如图所示.若实数
满足
，则
的值可以是（
）
A.2 B.-1 C.-2 D.-3
【解析】由于|a|<2,且b 在−a 与a 区间范围内，所以b 到原点的距离一定小于2，故选
B
7.不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差
别.从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其
数字，那么两次记录的数字之和为3 的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
【解析】由题意，共4 种情况：1+1；1+2；2+1；2+2，其中满足题意的有两种，故选C
8.有一个装有水的容器，如图所示.容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开
始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm 的速度匀速增加，则容器注满水之前，容
器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（ ）
A.正比例函数关系 B.一次函数关系 C.二次函数关系 D.反比例函数关系
【解析】因为水面高度“匀速”增加，且初始水面高度不为0，故选B
二、填空题（本题共16 分，每小题2 分）
9.若代数式
有意义，则实数
的取值范围是 .
【解析】分母不能为0，可得x−7≠0 ，即x≠7
10.已知关于
的方程
有两个相等的实数根，则
的值是 .
【解析】一元二次方程有两个相等的实数根，可得判别式△=0，∴4−4 k=0，解得k=1
11.写出一个比
大且比
小的整数 .
【解析】√2<√4<√9<√14 ，可得2 或3 均可，故答案不唯一，2 或3 都对
12 方程组
的解为 .
【解析】两个方程相加可得4 x=8，∴x=2，将x=2 代入x−y=1，可得y=−1，
故答案为{x=2¿¿¿¿
13.在平面直角坐标系
中，直线
与双曲线
交于A，B 两点.若点A，B 的纵
坐标分别为
，则
的值为 .
【解析】由于正比例函数和反比例函数均关于坐标原点O 对称，∴正比例函数和反比例函
数的交点亦关于坐标原点中心对称，∴y1+ y2=0
14.在△ABC 中，AB=AC，点D 在BC 上（不与点B，C 重合）.只需添加一个条件即可证
明△ABD
ACD
≌△
，这个条件可以是 （写出一个即可）
【解析】答案不唯一，根据等腰三角形三线合一的性质可得，要使△ABD≌△ACD，则可
以填∠BAD=∠CAD 或者BD=CD 或AD⊥BC 均可.
15.如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D 是网格交点，则△ABC 的面积与△ABD
的面积的大小关系为：
（填“＞”，“＝”或“＜”）
【解析】由网格图可得SΔABD=4 ,SΔABC =4 ，∴面积相等，答案为“=”
16.下图是某剧场第一排座位分布图
甲、乙、丙、丁四人购票，所购票分别为2,3,4,5.每人选座购票时，只购买第一排的座位相
邻的票，同时使自己所选的座位之和最小.如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那
么甲甲购买1,2 号座位的票，乙购买3,5,7 号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一
排座位的票.若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件
的购票的先后顺序 .
【解析】答案不唯一；丙先选择：1,2,3,4.丁选：5,7,9,11,13.甲选6,8.乙选10,12,14.∴顺序为
丙，丁，甲，乙.
三、解答题（本题共68 分，第17-20 题，每小题5 分，第21 题6 分，第22 题5 分，第23-
24 题，每小题6 分，第25 题5 分，第26 题6 分，第27-28 题，每小题7 分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17.计算：
【解析】解：原式=3+3√2+2−3√2=5
18.
解不等式组：
【解析】
解：解不等式①得：x>1；解不等式②得：x<2
∴此不等式组的解集为1<x<2
19.已知
，求代数式
的值.
【解析】：解：原式=9 x2−4+x2−2 x=10 x2−2 x−4
∵5 x2−x−1=0，∴5 x2−x=1，∴10 x2−2 x=2，∴原式=2−4=−2
20.已知：如图，△ABC 为锐角三角形，AB=BC，CD AB.
∥
求作：线段BP，使得点P 在直线CD 上，且∠ABP=
.
作法：①以点A 为圆心，AC 长为半径画圆，交直线CD 于C，P 两点；②连接BP.线段BP
就是所求作线段.
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明.
证明：∵CD AB
∥
，
ABP=
∴∠
.
AB=AC
∵
，
∴点B 在⊙A 上.
又∵∠BPC=
BAC
∠
（ ）（填推理依据）
ABP=
∴∠
BAC
∠
【解析】（1）如图所示
（2）∠BPC；在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
21.如图，菱形ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，E 是AD 的中点，点F，G 在AB 上，
EF AB
⊥
，OG EF.
∥
（1）求证：四边形OEFG 是矩形；
（2）若AD=10，EF=4，求OE 和BG 的长.
【解析】（1）∵四边形ABCD 为菱形，∴点O 为BD 的中点，∵点E 为AD 中点，
∴OE 为△ABD 的中位线，∴OE∥FG，
∵OG∥EF，∴四边形OEFG 为平行四边形
∵EF⊥AB，∴平行四边形OEFG 为矩形.
（2）∵点E 为AD 的中点，AD=10，∴AE=
1
2 AD =5
∵∠EFA=90°，EF=4，∴在Rt△AEF 中，AF =√AE 2−EF 2=√52−42=3 .
∵四边形ABCD 为菱形，∴AB=AD=10，∴OE=
1
2 AB=5
∵四边形OEFG 为矩形，∴FG=OE=5，∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2
22.在平面直角坐标系
中，一次函数
的图象由函数
的图象平移
得到，且经过点（1,2）.
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当
时，对于
的每一个值，函数
的值大于一次函数
的值，直接写出
的取值范围.
【解析】（1）∵一次函数y=kx +b(k≠0)由y=x 平移得到，∴k=1
将点（1,2）代入y=x+b 可得b=1，∴一次函数的解析式为y=x+1.
（2）当x>1 时，函数y=mx (m≠0)的函数值都大于y=x+1，即图象在y=x+1上方，
由下图可知：
临界值为当x=1时，两条直线都过点（1,2），∴当x>1,m>2时.y=mx (m≠0)都大于
y=x+1.又∵x>1 ，∴m 可取值2，即m=2，∴m 的取值范围为m≥2
23.如图，AB 为⊙O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 是⊙O 的切线，D 为切点，
OF AD
⊥
于点E，交CD 于点F.
（1）求证：∠ADC= AOF
∠
；
（2）若sinC=
，BD=8，求EF 的长.
【解析】（1）证明：连接OD，∵CD 是⊙O 的切线，∴OD⊥CD，∴∠ADC+∠ODA=90°
∵OF⊥AD，∴∠AOF+∠DAO=90°，∵∠ODA=∠DAO，∴∠ADC=∠AOF.
（2）设半径为r ，在Rt△OCD 中，
sinC=1
3 ，∴
OD
OC =1
3 ，∴OD =r ,OC =3r .
∵OA=r，∴AC=OC-OA=2r
∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，∴OF∥BD
∴
OE
BD = OA
AB =1
2 ，∴OE=4，
∵
OF
BD =OC
BC = 3
4 ，∴OF =6 ，∴EF =OF −OE =2
24.小云在学习过程中遇到一个函数
.
下面是小云对其探究的过程，请补充完整：
（1）当
时，
对于函数
，即
，当
时，
随
的增大而 ，且
；
对于函数
，当
时，
随
的增大而 ，且
；结合上
述分析，进一步探究发现，对于函数
，当
时，
随
的增大而 .
（2）当
时，对于函数
，当
时，
与
的几组对应值如下表：
0
1
2
3
0
1
综合上表，进一步探究发现，当
时，
随
的增大而增大.在平面直角坐标系
中，
画出当
时的函数
的图象.
（3）过点（0，m）（
）作平行于
轴的直线，结合（1）（2）的分析，解决问题
若直线与函数
的图象有两个交点，则
的最大值是
.
【解析】（1）减小，减小，减小
（2）根据表格描点，连成平滑的曲线即可
（3）当x=−2时，
y=7
3 ，∴m 的最大值为
7
3
25.小云统计了自己所住小区5 月1 日至30 日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息
如下：
.小云所住小区5 月1 日至30 日的厨余垃圾分出量统计图：
.小云所住小区5 月1 日至30 日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下：
时段
1 日至10 日
11 日至20 日
21 日至30 日
平均数
100
170
250
（1）该小区5 月1 日至30 日的厨余垃圾分出量的平均数约为 （结果取整数）
（2）已知该小区4 月的厨余垃圾分出量的平均数为60，则该小区5 月1 日至30 日的厨余
垃圾分出量的平均数约为4 月的 倍（结果保留小数点后一位）；
（3）记该小区5 月1 日至10 日的厨余垃圾分出量的方差为
5 月11 日至20 日的厨余垃
圾分出量的方差为
，5 月21 日至30 日的厨余垃圾分出量的方差为
.直接写出
的大小关系.
【解析】（1）平均数：[ (100×10)+(170×10)+(250×10)]÷30≈173（千克）
（2）133÷60≈2.9倍
（3）方差反应数据的稳定程度，即从点状图中表现数据的离散程度，所以从图中可知：
s1
2>s2
2>s3
2
26.在平面直角坐标系
中，
为抛物线
上任
意两点，其中
.
（1）若抛物线的对称轴为
，当
为何值时，
（2）设抛物线的对称轴为
.若对于
，都有
，求的取值范围.
【解析】（1）抛物线必过（0，c），∵y1= y2=c ，∴点M，N 关于x=1对称，
又∵x1<x2，∴x1=0, x2=2
（2）情况1：当x1≥t , y1< y2恒成立
情况2：当x1<t , x2≤t , y1< y2恒不成立
情况3：当x1<t , x2≤t ,要y1< y2，必有
x1+x2
2
>t
∴2t≤3,∴
t≤3
2
27.在△ABC 中，∠C=90°，AC＞BC，D 是AB 的中点.E 为直线上一动点，连接DE，过点
D 作DF DE
⊥
，交直线BC 于点F，连接EF.
（1）如图1，当E 是线段AC 的中点时，设AE =α ,BF =b ，求EF 的长（用含a,b 的式
子表示）；
（2）当点E 在线段CA 的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF 之
间的数量关系，并证明.
【解析】（1）∵D 是AB 的中点，E 是线段AC 的中点，∴DE 为△ABC 的中位线
∴DE∥BC，∵∠C=90°，∴∠DEC=90°，∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°
∴四边形DECF 为矩形，∴DE=CF=
1
2 BC
，∴BF=CF，
∴BF=CF，∴DF=CE=
1
2 AC，∴EF =√DE 2+DF 2=√a2+b2
.
（2）过点B 作AC 的平行线交ED 的延长线于点G，连接FG.
∵BG∥AC，∴∠EAD=∠GBD，∠DEA=∠DGB
∵D 是AB 的中点，∴AD=BD，∴△EAD≌△GBD（AAS）
∴ED=GD，AE=BG.
∵DF⊥DE，∴DF 是线段EG 的垂直平分线
∴EF=FG
∵∠C=90°，BG∥AC，∴∠GBF=90°，
在Rt△BGF 中，FG 2=BG 2+BF 2 ，∴EF 2=AE 2+BF 2
28.在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，A，B 为⊙O 外两点，AB=1.
给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O 的弦A' B' （A
' ,B
'
分别为点A，B 的对应点），线
段A A' 长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平移距离”.
（1）如图，平移线段AB 到⊙O 的长度为1 的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是
；在点P1,P2,P3,P4中，连接点A 与点 的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的
“平移距离”；
（2）若点A，B 都在直线y=√3 x+2√3 上，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为d1，求
d1的最小值；
（3）若点A 的坐标为
(2, 3
2 )
，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为d2 ，直接写出d2 的取
值范围.
【解析】（1）平行；P3.
（2）如图，线段AB 在直线y=√3 x+2√3 上，平移之后与圆相交，得到的弦为CD，
CD∥AB，过点O 作OE⊥AB 于点E，交弦CD 于点F，OF⊥CD，令y=0 ，直线与x 轴
交点为（-2,0），直线与x 轴夹角为60°，∴OE =2sin60°=√3.
由垂径定理得：
OF =√OC 2−( 1
2 CD )2=√3
2
∴
d1=OE −OF =√3
2
（3）如图，线段AB 的位置变换，可以看做是以点A
(2, 3
2 )
为圆心，半径为1 的圆，只需
在⊙O 内找到与之平行，且长度为1 的弦即可；
点A 到O 的距离为
AO =√22+( 3
2 )2=5
2 .
如图，平移距离d2的最小值即点A 到⊙O 的最小值：
5
2−1=3
2
平移距离d2的最大值即点A 到⊙O 的最大值：
5
2 +1=7
2
∴d2的取值范围为：
3
2≤d2≤7
2
