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2023 年天津市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12 小题，每小题3 分，共36 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．（3 分）计算
的结果等于
A．
B．
C．
D．1
【答案】
【分析】根据有理数乘法法则计算即可．
【解答】解：原式
，
故选：
．
2．（3 分）估计
的值在
A．1 和2 之间
B．2 和3 之间
C．3 和4 之间
D．4 和5 之间
【答案】
【分析】一个正数越大，其算术平方根越大，据此即可求得答案．
【解答】解：
，
，
即
，
那么
在2 和3 之间，
故选：
．
3．（3 分）如图是一个由6 个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是
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A．
B．
C．
D．
【答案】
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看，一共有三列，从左到右小正方形的个数分别为2、2、1．
故选：
．
4．（3 分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4 个汉字中，可以看作是轴对
称
A．
B．
C．
D．
【答案】
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫
做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：
、
，
选项中的汉字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直
线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
所以是轴对称图形；
故选：
．
5．（3 分）据2023 年5 月21 日《天津日报》报道，在天津举办的第七届世界智能大会通
过“百网同播、万人同屏、亿人同观”，全球网友得以共享高端思想盛宴，总浏览量达到
935000000 人次，将数据935000000 用科学记数法表示应为
A．
B．
C．
D．
【答案】
【分析】将一个数表示为
的形式，其中
，
为整数，这种记数方法叫做科
学记数法，据此即可得出答案．
【解答】解：
，
故选：
．
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6．（3 分）
的值等于
A．1
B．
C．
D．2
【答案】
【分析】根据特殊锐角的三角函数值及二次根式的加法法则计算即可．
【解答】解：原式
，
故选：
．
7．（3 分）计算
的结果等于
A．
B．
C．
D．
【答案】
【分析】由于是异分母的分式的加减，所以先通分，化为同分母的分式，然后进行加减即
可．
【解答】解：
，
故选：
．
8．（3 分）若点
，
，
，
，
，
都在反比例函数
的图象上，则
，
，
的大小关系是
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A．
B．
C．
D．
【答案】
【分析】分别将点
，
，
的坐标代入反比例函数的解析式求出
，
，
，然后再
比较它们的大小即可得出答案．
【解答】解：将
，
代入
，得：
，即：
，
将
，
代入
，得：
，即：
，
将
，
代入
，得：
，即：
，
．
故选：
．
9．（3 分）若
，
是方程
的两个根，则
A．
B．
C．
D．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行判断即可．
【解答】解：
，
是方程
的两个根，
，
，
故选：
．
10．（3 分）如图，在
中，分别以点
和点
为圆心，大于
的长为半径作弧
（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于
，
两点，直线
分别与边
，
相交
于点
，
，连接
．若
，
，
，则
的长为
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A．9
B．8
C．7
D．6
【答案】
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得
，
，从而可得
，再结合已知易得
，从而可得
，然后利用三角形内角和
定理可得
，从而在
中，利用勾股定理进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：
是
的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在
中，
，
，
故选：
．
11．（3 分）如图，把
以点
为中心逆时针旋转得到
，点
，
的对应点分
别是点
，
，且点
在
的延长线上，连接
，则下列结论一定正确的是
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A．
B．
C．
D．
【答案】
【分析】由旋转的性质可得
，
，由三角形内角和定理可得
．
【解答】解：如图，设
与
的交点为
，
把
以点
为中心逆时针旋转得到
，
，
，
又
，
，
故选：
．
12．（3 分）如图，要围一个矩形菜园
，其中一边
是墙，且
的长不能超过
，其余的三边
，
，
用篱笆，且这三边的和为
，有下列结论：①
的
长可以为
；②
的长有两个不同的值满足菜园
面积为
；③菜园
面
积的最大值为
．其中，正确结论的个数是
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】
【分析】设
边长为
，则
边长为长为
，根据
列出方程，解方程求
出
的值，根据
取值范围判断①；根据矩形的面积
．解方程求出
的值可以判断②；
设矩形菜园的面积为
，
根据矩形的面积公式列出函数解析式，再根据函数的性质求函数的最值可以判断③．
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【解答】解：设
边长为
，则
边长为长为
，
当
时，
，
解得
，
的长不能超过
，
，
故①不正确；
菜园
面积为
，
，
整理得：
，
解得
或
，
的长有两个不同的值满足菜园
面积为
，
故②正确；
设矩形菜园的面积为
，
根据题意得：
，
，
，
当
时，
有最大值，最大值为200．
故③正确．
正确的有2 个，
故选：
．
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分）
13．（3 分）不透明袋子中装有10 个球，其中有7 个绿球、3 个红球，这些球除颜色外无
其他差别，从袋子中随机取出1 个球，则它是绿球的概率为
．
【答案】
．
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【分析】找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数；二者的比值就是其发生
的概率．
【解答】解：
袋子中共有10 个球，其中绿球有7 个，
从袋子中随机取出1 个球，它是绿球的概率是
，
故答案为：
．
14．（3 分）计算
的结果为
．
【答案】
．
【分析】根据积的乘方与幂的乘方法则计算即可．
【解答】解：
，
故答案为：
．
15．（3 分）计算
的结果为
1
．
【答案】1．
【分析】利用平方差公式进行计算，即可解答．
【解答】解：
，
故答案为：1．
16．（3 分）若直线
向上平移3 个单位长度后经过点
，则
的值为
5
．
【答案】5．
【分析】先根据平移规律求出直线
向上平移3 个单位的直线解析式，再把点
代
入，即可求出
的值．
【解答】解：将直线
向上平移3 个单位，得到直线
，
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把点
代入，得
．
故答案为：5．
17 ．（3 分）如图，在边长为3 的正方形
的外侧，作等腰三角形
，
．
（1）
的面积为
3
；
（2）若
为
的中点，连接
并延长，与
相交于点
，则
的长为 ．
【答案】
．
【分析】（1）过
作
于
，根据等腰三角形的性质得到
，
根据勾股定理得到
，根据三角形的面积公式即可得到
的面积
为
；（2）过
作
的垂线交
于
，
于
，
于
，
根据正方形的性质得到
，推出四边形
是矩形，得到
，
，根据全等三角形的性质得到
，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）过
作
于
，
．
，
，
，
的面积为
；
故答案为：3；
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（2）过
作
的垂线交
于
，
于
，
于
，
四边形
是正方形，
，
，
四边形
是矩形，
，
，
，
，
为
的中点，
，
在
与
中，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
．
18．（3 分）如图，在每个小正方形的边长为1 的网格中，等边三角形
内接于圆，且
顶点
，
均在格点上．
（1）线段
的长为
；
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（2）若点
在圆上，
与
相交于点
，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，
画出点
，使
为等边三角形，并简要说明点
的位置是如何找到的（不要求证明）
．
【答案】（1）
；
（2）取
，
与网格线的交点
，
，连接
并延长与网格线相交于点
；连接
与网格线相交于点
，连接
并延长与网格线相交于点
，连接
并延长与圆相交
于点
，连接
并延长与
的延长线相交于点
，则点
即为所求．
【分析】（1）利用勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）
．
故答案为：
；
（2）如图，点
即为所求；
方法：取
，
与网格线的交点
，
，连接
并延长与网格线相交于点
；连接
与网格线相交于点
，连接
并延长与网格线相交于点
，连接
并延长与圆相交
第12页（共27页）
于点
，连接
并延长与
的延长线相交于点
，则点
即为所求；
理由：可以证明
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形．
故答案为：取
，
与网格线的交点
，
，连接
并延长与网格线相交于点
；
连接
与网格线相交于点
，连接
并延长与网格线相交于点
，连接
并延长与圆
相交于点
，连接
并延长与
的延长线相交于点
，则点
即为所求．
三、解答题（本大题共7 小题，共66 分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8 分）解不等式组
，请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得
；
（2）解不等式②，得 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集为 ．
【答案】（1）
；
（2）
；
（3）解集先数轴上表示见解答；
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（4）
．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）解不等式①，得
；
（2）解不等式②，得
；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示如图所示：
（4）原不等式组的解集为
；
故答案为：（1）
；
（2）
；
（4）
．
20．（8 分）为培养青少年的劳动意识，某校开展了剪纸、编织、烘焙等丰富多彩的活动，
该校为了解参加活动的学生的年龄情况，随机调查了
名参加活动的学生的年龄（单位：
岁）．根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：
的值为
40
，图①中
的值为 ；
（2）求统计的这组学生年龄数据的平均数、众数和中位数．
【答案】（1）40；15；
（2）14；15；14．
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【分析】（1）把各条形图对应的学生人数加起来为
的值；根据百分比由
依次减去
各年龄对应的百分比可得
的值；
（2）利用加权平均数，众数，中位数定义得出结果即可．
【解答】解：（1）
；
，
．
故答案为：40；15；
（2）平均数为
；
岁的学生最多，
众数为15；
一共调查了40 名学生，12 岁的有5 人，13 岁的6 人，
中位数为14．
21．（10 分）在
中，半径
垂直于弦
，垂足为
，
，
为弦
所
对的优弧上一点．
（1）如图①，求
和
的大小；
（2）如图②，
与
相交于点
，
，过点
作
的切线，与
的延长线
相交于点
，若
，求
的长．
【答案】（1）
，
；（2）
．
【分析】（1 ）由垂径定理得到
，因此
，得到
，由圆周角定理即可求出
的度数；
（2）由垂径定理，圆周角定理求出
的度数，得到
的度数，由三角形外角的性质
求出
的度数，由锐角的正切定义即可求出
的长．
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【解答】解：（1）
半径
垂直于弦
，
，
，
，
，
；
（2）如图，连接
，
半径
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
切圆于
，
，
，
，
．
第16页（共27页）
22．（10 分）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔
前有一座高
为
的观景台，已知
，
，点
，
，
在同一条水平直线上．某学
习小组在观景台
处测得塔顶部
的仰角为
，在观景台
处测得塔顶部
的仰角为
．
（1）求
的长；
（2）设塔
的高度为
（单位：
；
①用含有
的式子表示线段
的长（结果保留根号）；
②求塔
的高度
取0.5，
取1.7，结果取整数）．
【答案】（1）
的长为
；
（2）①线段
的长为
；
②塔
的高度约为
【分析】（1）根据题意可得：
，然后在
中，利用含30 度角的直角三角
形的性质，进行计算即可解答；
（2）①根据题意得：
，在
中，利用含30 度角的直角三角形的性质求出
的长，然后在
中，利用锐角三角函数的定义求出
的长，从而利用线段的和
差关系进行计算，即可解答；
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②过点
作
，垂足为
，根据题意得：
，
，
则
，然后在
中，利用锐角三角函数的定义求出
的长，从而列出
关于
的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：
，
在
中，
，
，
，
的长为
；
（2）①由题意得：
，
在
中，
，
，
，
在
中，
，
，
，
，
线段
的长为
；
②过点
作
，垂足为
，
由题意得：
，
，
，
第18页（共27页）
，
在
中，
，
，
，
解得：
，
，
塔
的高度约为
．
23．（10 分）已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍
，
体育场离宿舍
，张强从宿舍出发，先用了
匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了
，之后匀速步行了
到文具店买笔，在文具店停留
后，用了
匀速散
步返回宿舍，下面图中
表示时间，
表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离
宿舍的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
（1）①填表：
张强离开宿舍的时间
1
10
20
60
张强离宿舍的距离
1.2
②填空：张强从体育场到文具店的速度为
0.06
；
③当
时，请直接写出张强离宿舍的距离
关于时间
的函数解析式；
（2）当张强离开体育场
时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如
果李明的速度为
，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少？
（直接写出结果即可）
【答案】（1 ）①0.12 ，1.2 ；0.6 ；②0.06 ；③
关于
的函数解析式为
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；
（2）离宿舍的距离是
．
【分析】（1）①根据函数的图象计算即可；
②根据速度
路程
时间计算即可；
③根据函数图象分段写出函数解析式即可；
（2）设李明从体育场出发
分钟后与张强相遇，结合题意列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）①由图象可知，张强从宿舍到体育场的速度为
，
当张强离开宿舍
时，张强离宿舍的距离为
；
当张强离开宿舍
时，张强离宿舍的距离为
；
当张强离开宿60 舍
时，张强离宿舍的距离为
；
张强离开宿舍的时间
1
10
20
60
张强离宿舍的距离
0.12
1.2
1.2
0.6
故答案为：0.12，1.2；0.6；
②由图象知，张强从体育场到文具店的速度为
，
故答案为：0.06；
③当
时，
；
张强从文具店到宿舍时的速度为
，
当
时，
；
综上，
关于
的函数解析式为
；
（2）根据题意，当张强离开体育场
时，张强到达文具店并停留了
，
设李明从体育场出发
分钟后与张强相遇，
则
，
解得
，
第20页（共27页）
，
离宿舍的距离是
．
24．（10 分）在平面直角坐标系中，
为原点，菱形
的顶点
，
，
，
，
，矩形
的顶点
，
，
．
（1）填空：如图①，点
的坐标为
，
，点
的坐标为 ；
（2）将矩形
沿水平方向向右平移，得到矩形
，点
，
，
，
的对应
点分别为
，
，
，
，设
，矩形
与菱形
重叠部分的面积为
．
①如图②，当边
与
相交于点
、边
与
相交于点
，且矩形
与
菱形
重叠部分为五边形时，试用含有的式子表示
，并直接写出的取值范围；
②当
时，求
的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】（1）
，
，
，
；
（2）①
，②
．
【分析】（1）根据矩形及菱形的性质可进行求解；
（2 ）①由题意易得
，
，然后可得
，则有
第21页（共27页）
，进而根据割补法可进行求解面积
；②由①及题意可知当
时，矩
形
和菱形
重叠部分的面积
是增大的，当
时，矩形
和菱形
重叠部分的面积
是减小的，然后根据题意画出图形计算面积的最大值和最
小值即可．
【解答】（1）解：四边形
是矩形，且
．
，
，
，
，
，
，
；
连接
，
，交于一点
，如图所示：
四边形
是菱形，且
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为
，
，
，
；
（2）解：①
点
，点
，
，点
，
第22页（共27页）
矩形
中，
轴，
轴，
，
，
矩形
中，
轴，
轴，
，
，
由点
，
，点
，得
，
，
在
中，
，得
，
在
中，由
，
，得
，
，同理，得
，
，得
矩形
，
又
，
，
当
时，则矩形
和菱形
重叠部分为△
，
的取值范围是
，
②由①及题意可知当
时，矩形
和姜形
重叠部分的面积
是增
大的，当
时，矩
和菱形
重叠部分的面积
是减小的，
当
时，矩形
和菱形
重叠部分如图所示：
第23页（共27页）
此时面积
最大，最大值为
；
当
时，矩形
和菱形
重叠部分如图所示：
由（1 ）可知
、
之间的水平距离为
，则有点
到
的距离为
，
由①可知：
，
矩形
和菱形
重叠部分为等边三角形，
该等边三角形的边长为
，
此时面积
最小，最小值为
，
综上所述：当
时，则
．
25．（10 分）已知抛物线
，
为常数，
的顶点为
，与
轴相交于
，
两点（点
在点
的左侧），与
轴相交于点
，抛物线上的点
的横坐标为
，
第24页（共27页）
且
，过点
作
，垂足为
．
（1）若
，
．
①求点
和点
的坐标；
②当
时，求点
的坐标；
（2）若点
的坐标为
，且
，当
时，求点
的坐标．
【答案】（1）①
点的坐标为
，
点的坐标为
．
②点
的坐标为
．
（2）点
的坐标为
．
【分析】（1）①利用配方法即可得到顶点
的坐标，令
，解方程即可得到
的坐标．
②过点
作
轴于点
，于直线
交于点
，证得
，表示出点
、点
的坐标，进而表示出
，根据直角三角形的性质列出方程求解即可得到
的坐标．
（2 ）求出顶点
的坐标和抛物线的对称轴，作辅助线，证明
，根据
，列方程求解即可．
【解答】解：（1）①
，
，
抛物线的解析式为
，
，
当
时，
，
解得
，
，
点
在点
的左侧，
．
第25页（共27页）
答：
点的坐标为
，
点的坐标为
．
②如图，过点
作
轴于点
，于直线
交于点
，
，
，
，
在
中，
，
在
中，
，
抛物线上的点
的横坐标为
，其中
，
，
，
，
，
，
在
中，
，
，
，
第26页（共27页）
解得
，
（舍去），
．
答：点
的坐标为
．
（2）
点
在抛物线
上，其中
，
，
得
，
抛物线的解析式为
，
，
，其中
．
顶点
的坐标为
，对称轴为直线
．
如图，过点
作
于点
，
则
，
，
第27页（共27页）
，
，
，
即
，
解得
，
（舍去），
同②，过点
作
轴于点
，于直线
交于点
，
则点
，点
，点
，
，
，
即
，
解得
（舍去），
点
的坐标为
．
答：点
的坐标为
．
