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第二十八章综合能力检测题
时间：120 分钟 满分：120 分
一、选择题(每小题3 分，共30 分)
1．(2015·大庆)sin60°等于( D )
A. B. C．1 D.
2．在Rt△ABC 中，∠C＝90°，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边，则下列等式中正确的
是( D )
A．cosA＝ B．sinB＝ C．tanB＝ D．以上都不正确
3．(2015·南通)如图，在平面直角坐标系中，直线OA 过点(2，1)，则tanα 的值是( C )
A. B. C. D．2
第3 题图
第6 题图
第7 题图
4．下列等式成立的是( C )
A．sin45°＋cos45°＝1 B．2tan30°＝tan60°
C．2sin30°＝tan45° D．sin45°cos45°＝tan45°
5．在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝45°，a＋b＝4，则c 等于( A )
A．4 B．4 C．2 D．4
6．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10 米，坝高12 米，斜坡AB 的坡度i
＝1 1.5
∶
，则坝底AD 的长度为( D )
A．26 米 B．28 米 C．30 米 D．46 米
7．如图所示，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，D 为BC 边上一点，∠DAC＝30°，BD＝2，AB＝
2，则AC 的长是( A )
A. B．2 C．3 D.
8．如图是以△ABC 的边AB 为直径的半圆O，点C 恰好在半圆上，过C 作CD AB
⊥
交
AB 于点D.已知cos∠ACD＝，BC＝4，则AC 的长为( D )
A．1 B. C．3 D.
第8 题图
第9 题图
第10 题图
9．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，E 为AB 边上一点，且AE EB
∶
＝4 1∶，
EF⊥AC 于点F，连接FB，则tan∠CFB 的值等于( C )
A. B. C. D．5
10．如图，学校大门出口处有一自动感应栏杆，点A 是栏杆转动的支点，当车辆经过时，
栏杆AE 会自动升起，某天早上，栏杆发生故障，在某个位置突然卡住，这时测得栏杆升起的
角度∠BAE＝127°，已知AB BC
⊥
，支架AB 高1.2 米，大门BC 打开的宽度为2 米，以下哪辆
车可以通过？( C )(栏杆宽度，汽车反光交镜忽略不计)(参考数据：sin37°≈0.60，
cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，车辆尺寸：长×宽×高)
A．宝马Z4(4200 mm×1800 mm×1360 mm)
B．奇瑞QQ(4000 mm×1600 mm×1520 mm)
C．大众朗逸(4600 mm×1700 mm×1400 mm)
D．奥迪A4(4700 mm×1800 mm×1400 mm)
二、填空题(每小题3 分，共24 分)
11．在△ABC 中，∠B＝45°，cosA＝，则∠C 的度数是__75
° __．
12．将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若AB＝14 cm，则阴影部分的面积是____cm2.
第12 题图
第14 题图
第15 题图
13．已知在Rt△ABC 中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB 的值为____．
14．如图，直线MN 与⊙O 相切于点M，ME＝EF 且EF MN
∥
，则cosE＝____．
15．如图，等边三角形ABC 中，D，E 分别为AB，BC 边上的点，AD＝BE，AE 与CD 交于
点F，AG⊥CD 于点G，则sin∠AFG 的值____．
16．(2015·德州)如图，某建筑物BC 上有一旗杆AB，从与BC 相距38 m 的D 处观测旗杆
顶部A 的仰角为50°，观测旗杆底部B 的仰角为45°，则旗杆的高度均为__7.2__m．(结果精确
到0.1 m，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)
第16 题图
第17 题图
17．一渔船在海岛A 南偏东20°方向的B 处遇险，测得海岛A 与B 的距离为20(＋1)海里，
渔船将险情报告给位于A 处的救援船后，沿北偏西65°方向向海岛C 靠近，同时，从A 处出
发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20 分钟后，救援船在海岛C 处恰好追上渔船，那么
救援船航行的速度为__2__海里/分．
18．已知：在△ABC 中，AC＝1，AB 与BC 所在直线所成的角中锐角为45°角，AC 与BC
所在直线形成的夹角的余弦值为(即cosC＝)，则BC 边的长是__或___．
解：点拨：分两种情况：作AD BC
⊥
，垂足为点D.①在△ABC 的内部，∠ABD＝45°；②在
△ABC 外∠ABD＝45°.这两种情况，解直角△ACD 与直角△ABD，得到BC 的长．
三、解答题(共66 分)
19．(6 分)已知α 是锐角，且sin(α＋15°)＝，计算－4cosα－(π－3.14)0＋tanα＋的值．
解：∵sin(α＋15°)＝，∴α＝45°，∴原式＝2－4×－1＋1＋3＝3.
20．(8 分)在△ABC 中，∠C＝90°.
(1)已知：c＝8，∠A＝60°，求∠B 及a，b 的值；
(2)已知：a＝3，c＝6，求∠A，∠B 及b 的值．
解：(1) B
∠＝30°，a＝12，b＝4；
(2) A
∠＝∠B＝45°，b＝3.
21．(9 分)(2015·长春)如图，海面上B，C 两岛分别位于A 岛的正东和正北方向．一艘船从
A 岛出发，以18 海里/时的速度向正北方向航行2 小时到达C 岛，此时测得B 岛在C 岛的南
偏东43°.求A，B 两岛之间的距离．(结果精确到0.1 海里)(参考数据：sin43°＝0.68，cos43°＝
0.73，tan43°＝0.93)
解：由题意，得AC＝18×2＝36(海里)，∠ACB＝43°.在Rt△ABC 中，∵∠A＝90°，∴AB
＝AC•tan∠ACB＝36×0.93≈33.5(海里)．故A，B 两岛之间的距离约为33.5 海里．
22．(9 分)(2014·重庆)如图，在△ABC 中，CD⊥AB，垂足为点D.若AB＝12，CD＝6，tanA
＝，求sinB＋cosB 的值．
解：在Rt△ACD 中，∵∠ADC＝90°，∴tanA＝＝＝，∴AD＝4，∴BD＝AB－AD＝12－
4＝8.在Rt△BCD 中，∵∠BDC＝90°，BD＝8，CD＝6，∴BC＝＝10，∴sinB＝＝，cosB＝＝，
∴sinB＋cosB＝＋＝.
23．(10 分)一副三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，
∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12，试求CD 的长．
解：过点B 作BM DF
⊥
于点M.
BCA
∠
∵
＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝45°，∴BC＝AC＝
12. AB CF
∵
∥
，∴∠BCM＝45°.在Rt△BCM 中，BM＝BC·sin45°＝12.在Rt△BCM 中，
∵∠BCM＝45°，∴∠MBC＝45°，∴CM＝BM＝12.在Rt△BMD 中，∠BDM＝60°，∴DM＝
＝4，∴CD＝CM－DM＝12－4.
24．(11 分)(2015·上海)如图，MN 表示一段笔直的高架道路，线段AB 表示高架道路旁的
一排居民楼，已知点A 到MN 的距离为15 米，BA 的延长线与MN 相交于点D，且∠BDN＝
30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39 米以内会受到噪音(XRS)的影响．
(1)过点A 作MN 的垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M 到N 的方向在MN 上行驶，当
汽车到达点P 处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H 的距离为多少米？
(2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q 时，它与这一排
居民楼的距离QC 为39 米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少
米长？(精确到1 米)(参考数据：≈1.7)
解：(1)连接PA.由题意知，AP＝39 m．在Rt△APH 中，PH＝＝＝36(米)；
(2)由题意知，隔音板的长度是PQ 的长度．在Rt△ADH 中，DH＝＝15(米)．在Rt△CDQ
中，DQ＝＝＝78(米)．则PQ＝PH＋HQ＝PH＋DQ－DH＝36＋78－15≈114－15×1.7＝
88.5≈89(米)．故高架道路旁安装的隔音板至少需要89 米．
25．(13 分)如图，某小学门口有一直线马路，交警在门口设有一条宽度为4 米的斑马线，
为安全起见，规定车头距斑马线后端的水平距离不得低于2 米，现有一旅游车在路口遇红灯
刹车停下，汽车里司机与斑马线前后两端的视角分别为∠FAE＝15°和∠FAD＝30°，司机距
车头的水平距离为0.8 米，试问该旅游车停车是否符合上述安全标准？(E，D，C，B 四点在平
行于斑马线的同一直线上)(参考数据：tan15°＝2－，≈1.732，≈1.414)
解：∵∠FAE＝15°，∠FAD＝30°，∴∠EAD＝15°.∵AF∥BE，∴∠AED＝∠FAE＝15°，
∠ADB＝∠FAD＝30°.设AB＝x，则在Rt△AEB 中，EB＝＝.∵ED＝4，ED＋BD＝EB，
∴BD＝－4.在Rt△ADB 中，BD＝＝，∴－4＝，即(－)x＝4，解得x＝2，∴BD＝＝2. BD
∵
＝
CD＋BC＝CD＋0.8，∴CD＝2－0.8≈2×1.732－0.8≈2.7＞2，故符合标准．故该旅游车停车符
合规定的安全标准．
