第18章平行四行形（40页）_初高中资料库_初中资料库（转存避免链接过期失效）_初中数学

第十八章  平行四边形
测试1  平行四边形的性质(一)
学习要求
1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理；
2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知
识解决四边形的问题．
课堂学习检测
一、填空题
1．两组对边分别______的四边形叫做平行四边形．它用符号“□”表示，平行四边形ABCD
记作__________。
2．平行四边形的两组对边分别______且______；平行四边形的两组对角分别______；两邻角
______；平行四边形的对角线______；平行四边形的面积＝底边长×______．
3．在□ABCD 中，若∠A－∠B＝40°，则∠A＝______，∠B＝______．
4．若平行四边形周长为54cm，两邻边之差为5cm，则这两边的长度分别为______．
5．若□ABCD 的对角线AC 平分∠DAB，则对角线AC 与BD 的位置关系是______．
6．如图，□ABCD 中，CE⊥AB，垂足为E，如果∠A＝115°，则∠BCE＝______．
6 题图
7．如图，在□ABCD 中，DB＝DC、∠A＝65°，CE⊥BD 于E，则∠BCE＝______．
7 题图
8．若在□ABCD 中，∠A＝30°，AB＝7cm，AD＝6cm，则S□ABCD＝______．
二、选择题
9．如图，将□ABCD 沿AE 翻折，使点B 恰好落在AD 上的点F 处，则下列结论不一定成立的
是(    )．
(A)AF＝EF
(B)AB＝EF
(C)AE＝AF
(D)AF＝BE
10．如图，下列推理不正确的是(    )．
(A)∵AB∥CD  ∴∠ABC＋∠C＝180°
(B)∵∠1＝∠2  ∴AD∥BC
(C)∵AD∥BC  ∴∠3＝∠4
(D)∵∠A＋∠ADC＝180°  ∴AB∥CD
11．平行四边形两邻边分别为24 和16，若两长边间的距离为8，则两短边间的距离为(    )．
(A)5
(B)6
(C)8
(D)12
综合、运用、诊断
一、解答题
12．已知：如图，□ABCD 中，DE⊥AC 于E，BF⊥AC 于F．求证：DE＝BF．
13．如图，在□ABCD 中，∠ABC 的平分线交CD 于点E，∠ADE 的平分线交AB 于点F，试判
断AF 与CE 是否相等，并说明理由．
14．已知：如图，E、F 分别为□ABCD 的对边AB、CD 的中点．
(1)求证：DE＝FB；
(2)若DE、CB 的延长线交于G 点，求证：CB＝BG．
15．已知：如图，□ABCD 中，E、F 是直线AC 上两点，且AE＝CF．
求证：(1)BE＝DF；(2)BE∥DF．
拓展、探究、思考
16．已知：□ABCD 中，AB＝5，AD＝2，∠DAB＝120°，若以点A 为原点，直线AB 为x 轴，如图
所示建立直角坐标系，试分别求出B、C、D 三点的坐标．
17．某市要在一块□ABCD 的空地上建造一个四边形花园，要求花园所占面积是□ABCD 面
积的一半，并且四边形花园的四个顶点作为出入口，要求分别在□ABCD 的四条边上，
请你设计两种方案：
方案(1)：如图1 所示，两个出入口E、F 已确定，请在图1 上画出符合要求的四边形花园，
并简要说明画法；
图1
方案(2)：如图2 所示，一个出入口M 已确定，请在图2 上画出符合要求的梯形花园，并简
要说明画法．
图2
测试2  平行四边形的性质(二)
学习要求
能综合运用所学的平行四边形的概念和性质解决简单的几何问题．
课堂学习检测
一、填空题
1．平行四边形一条对角线分一个内角为25°和35°，则4 个内角分别为______．
2．□ABCD 中，对角线AC 和BD 交于O，若AC＝8，BD＝6，则边AB 长的取值范围是
______．
3．平行四边形周长是40cm，则每条对角线长不能超过______cm．
4．如图，在□ABCD 中，AE、AF 分别垂直于BC、CD，垂足为E、F，若∠EAF＝30°，AB＝6，AD
＝10，则CD＝______；AB 与CD 的距离为______；AD 与BC 的距离为______；∠D＝
______．
5．□ABCD 的周长为60cm，其对角线交于O 点，若△AOB 的周长比△BOC 的周长多10cm，
则AB＝______，BC＝______．
6．在□ABCD 中，AC 与BD 交于O，若OA＝3x，AC＝4x＋12，则OC 的长为______．
7．在□ABCD 中，CA⊥AB，∠BAD＝120°，若BC＝10cm，则AC＝______，AB＝______．
8．在□ABCD 中，AE⊥BC 于E，若AB＝10cm，BC＝15cm，BE＝6cm，则□ABCD 的面积为
______．
二、选择题
9．有下列说法：
①平行四边形具有四边形的所有性质；
②平行四边形是中心对称图形；
③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；
④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4 个面积相等的小三角形．
其中正确说法的序号是(    )．
(A)①②④
(B)①③④
(C)①②③
(D)①②③④
10．平行四边形一边长12cm，那么它的两条对角线的长度可能是(    )．
(A)8cm 和16cm
(B)10cm 和16cm
(C)8cm 和14cm
(D)8cm 和12cm
11．以不共线的三点A、B、C 为顶点的平行四边形共有(    )个．
(A)1
(B)2
(C)3
(D)无数
12．在□ABCD 中，点A1、A2、A3、A4和C1、C2、C3、C4分别是AB 和CD 的五等分点，点B1、B2、
和D1、D2分别是BC 和DA 的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为1，则□ABCD 的
面积为(    )
(A)2
(B) 5
3
(C) 3
5
(D)15
13．根据如图所示的(1)，(2)，(3)三个图所表示的规律，依次下去第n 个图中平行四边形的个
数是(    )
……
(1)             (2)            (3)
(A)3n
(B)3n(n＋1)
(C)6n
(D)6n(n＋1)
综合、运用、诊断
一、解答题
14．已知：如图，在□ABCD 中，从顶点D 向AB 作垂线，垂足为E，且E 是AB 的中点，已知
□ABCD 的周长为8.6cm，△ABD 的周长为6cm，求AB、BC 的长．
15．已知：如图，在□ABCD 中，CE⊥AB 于E，CF⊥AD 于F，∠2＝30°，求∠1、∠3 的度数．
拓展、探究、思考
16．已知：如图，O 为□ABCD 的对角线AC 的串点，过点O 作一条直线分别与AB、CD 交于点
M、N，点E、F 在直线MN 上，且OE＝OF．
(1)图中共有几对全等三角形?请把它们都写出来；
(2)求证：∠MAE＝∠NCF．
17．已知：如图，在□ABCD 中，点E 在AC 上，AE＝2EC，点F 在AB 上，BF＝2AF，若△BEF
的面积为2cm2，求□ABCD 的面积．
测试3  平行四边形的判定(一)
学习要求
初步掌握平行四边形的判定定理．
课堂学习检测
一、填空题
1．平行四边形的判定方法有：
从边的条件有：①两组对边__________的四边形是平行四边形；
②两组对边__________的四边形是平行四边形；
③一组对边__________的四边形是平行四边形．
从对角线的条件有：④两条对角线__________的四边形是平行四边形．
从角的条件有：⑤两组对角______的四边形是平行四边形．
注意：一组对边平行另一组对边相等的四边形______是平行四边形．(填“一定”或“不
一定”)
2．四边形ABCD 中，若∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°，则这个四边形______(填
“是”、“不是”或“不一定是”)平行四边形．
3．一个四边形的边长依次为a、b、c、d，且满足a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则这个四边形为
______．
4．四边形ABCD 中，AC、BD 为对角线，AC、BD 相交于点O，BO＝4，CO＝6，当AO＝______，
DO＝______时，这个四边形是平行四边形．
5．如图，四边形ABCD 中，当∠1＝∠2，且______∥______时，这个四边形是平行四边形．
二、选择题
6．下列命题中，正确的是(    )．
(A)两组角相等的四边形是平行四边形
(B)一组对边相等，两条对角线相等的四边形是平行四边形
(C)一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形
(D)两组对边分别相等的四边形是平行四边形
7．已知：园边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么还不能判
定四边形ABCD 为平行四边形，给出以下四种说法：
①如果再加上条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形；
②如果再加上条件“∠BAD＝∠BCD”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形；
③如果再加上条件“OA＝OC”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形；
④如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，那么四边形ABCD 一定是平行四边形．其中正确
的说法是(    )．
(A)①②
(B)①③④
(C)②③
(D)②③④
8．能确定平行四边形的大小和形状的条件是(    )．
(A)已知平行四边形的两邻边
(B)已知平行四边形的相邻两角
(C)已知平行四边形的两对角线
(D)已知平行四边形的一边、一对角线和周长
综合、运用、诊断
一、解答题
9．如图，在□ABCD 中，E、F 分别是边AB、CD 上的点，已知AE＝CF，M、N 是DE 和FB 的中
点，求证：四边形ENFM 是平行四边形．
10．如图，在□ABCD 中，E、F 分别是边AD、BC 上的点，已知AE＝CF，AF 与BE 相交于点G，
CE 与DF 相交于点H，求证：四边形EGFH 是平行四边形．
11．如图，在□ABCD 中，E、F 分别在边BA、DC 的延长线上，已知AE＝CF，P、Q 分别是DE
和FB 的中点，求证：四边形EQFP 是平行四边形．
12．如图，在□ABCD 中，E、F 分别在DA、BC 的延长线上，已知AE＝CF，FA 与BE 的延长线
相交于点R，EC 与DF 的延长线相交于点S，求证：四边形RESF 是平行四边形．
13．已知：如图，四边形ABCD 中，AB＝DC，AD＝BC，点E 在BC 上，点F 在AD 上，AF＝CE，
EF 与对角线BD 交于点O，求证：O 是BD 的中点．
14．已知：如图，△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是线段BC 延长线上一点，过点A 作BE 的平行
线与线段ED 的延长线交于点F，连结AE、CF．求证：CF∥AE.
拓展、探究、思考
15．已知：如图，△ABC，D 是AB 的中点，E 是AC 上一点，EF∥AB，DF∥BE．
(1)猜想DF 与AE 的关系；
(2)证明你的猜想．
16．用两个全等的不等边三角形ABC 和三角形A′B′C′(如图)，可以拼成几个不同的四边
形?其中有几个是平行四边形?请分别画出相应的图形加以说明．
测试4  平行四边形的判定(二)
学习要求
进一步掌握平行四边形的判定方法．
课堂学习检测
一、填空题
1．如图，□ABCD 中，CE＝DF，则四边形ABEF 是____________．
1 题图
2．如图，□ABCD，EF∥AB，GH∥AD，MN∥AD，图中共有______个平行四边形．
2 题图
3．已知三条线段长分别为10，14，20，以其中两条为对角线，其余一条为边可以画出
______个平行四边形．
4．已知三条线段长分别为7，15，20，以其中一条为对角线，另两条为邻边，可以画出
______个平行四边形．
5．已知：如图，四边形AEFD 和EBCF 都是平行四边形，则四边形ABCD 是______．
5 题图
二、选择题
6．能判定一个四边形是平行四边形的条件是(    )．
(A)一组对边平行，另一组对边相等
(B)一组对边平行，一组对角互补
(C)一组对角相等，一组邻角互补
(D)一组对角相等，另一组对角互补
7．能判定四边形ABCD 是平行四边形的题设是(    )．
(A)AD＝BC，AB∥CD
(B)∠A＝∠B，∠C＝∠D
(C)AB＝BC，AD＝DC
(D)AB∥CD，CD＝AB
8．能判定四边形ABCD 是平行四边形的条件是：∠A∶∠B∶∠C∶∠D 的值为(    )．
(A)1∶2∶3∶4
(B)1∶4∶2∶3
(C)1∶2∶2∶1
(D)1∶2∶1∶2
9．如图，E、F 分别是□ABCD 的边AB、CD 的中点，则图中平行四边形的个数共有(    )．
(A)2 个
(B)3 个
(C)4 个
(D)5 个
10．□ABCD 的对角线的交点在坐标原点，且AD 平行于x 轴，若A 点坐标为(－1，2)，则C 点
的坐标为(    )．
(A)(1，－2)
(B)(2，－1)
(C)(1，－3)
(D)(2，－3)
11．如图，□ABCD 中，对角线AC、BD 交于点O，将△AOD 平移至△BEC 的位置，则图中与
OA 相等的其他线段有(    )．
(A)1 条
(B)2 条
(C)3 条
(D)4 条
综合、运用、诊断
一、解答题
12．已知：如图，在□ABCD 中，点E、F 在对角线AC 上，且AE＝CF．请你以F 为一个端点，和
图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相
等(只需证明一组线段相等即可)．
(1)连结______；
(2)猜想：______＝______；
(3)证明：
13．如图，在△ABC 中，EF 为△ABC 的中位线，D 为BC 边上一点(不与B、C 重合)，AD 与EF
交于点O，连结EF、DF，要使四边形AEDF 为平行四边形，需要添加条件______．(只添
加一个条件)
证明：
14．已知：如图，△ABC 中，AB＝AC＝10，D 是BC 边上的任意一点，分别作DF∥AB 交AC 于
F，DE∥AC 交AB 于E，求DE＋DF 的值．
15．已知：如图，在等边△ABC 中，D、F 分别为CB、BA 上的点，且CD＝BF，以AD 为边作等
边三角形ADE．
求证：(1)△ACD≌△CBF；
(2)四边形CDEF 为平行四边形．
拓展、探究、思考
16．若一次函数y＝2x－1 和反比例函数
x
k
y
2

的图象都经过点(1，1)．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)已知点A 在第三象限，且同时在两个函数的图象上，利用图象求点A 的坐标；
(3)利用(2)的结果，若点B 的坐标为(2，0)，且以点A、O、B、P 为顶点的四边形是平行四边
形，请你直接写出点P 的坐标．
17．如图，点A(m，m＋1)，B(m＋3，m－1)在反比例函数
x
k
y 
的图象上．
(1)求m，k 的值；
(2)如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点，以点A，B，M，N 为顶点的四边形是平行四边
形，试求直线MN 的函数表达式．
测试5  平行四边形的性质与判定
学习要求
能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算．
课堂学习检测
一、填空题：
1．平行四边形长边是短边的2 倍，一条对角线与短边垂直，则这个平行四边形各角的度数分
别为______．
2．从平行四边形的一个锐角顶点作两条高线，如果这两条高线夹角为135°，则这个平行四边
形的各内角的度数为______．
3．在□ABCD 中，BC＝2AB，若E 为BC 的中点，则∠AED＝______．
4．在□ABCD 中，如果一边长为8cm，一条对角线为6cm，则另一条对角线x 的取值范围是
______．
5．□ABCD 中，对角线AC、BD 交于O，且AB＝AC＝2cm，若∠ABC＝60°，则△OAB 的周长
为______cm．
6．如图，在□ABCD 中，M 是BC 的中点，且AM＝9，BD＝12，AD＝10，则□ABCD 的面积是
______．
7．□ABCD 中，对角线AC、BD 交于点O，若∠BOC＝120°AD＝7，BD＝10，则□ABCD 的面
积为______．
8．如图，在□ABCD 中，AB＝6，AD＝9，∠BAD 的平分线交BC 于点E，交DC 的延长线于点
F，BG⊥AE，垂足为G，AF＝5，
2
4

BG
，则△CEF 的周长为______．
9．如图，BD 为□ABCD 的对角线，M、N 分别在AD、AB 上，且MN∥BD，则S△DMC______
S△BNC．(填“＜”、“＝”或“＞”)
综合、运用、诊断
一、解答题
10．已知：如图，△EFC 中，A 是EF 边上一点，AB∥EC，AD∥FC，若∠EAD＝∠FAB．AB＝a，
AD＝b．
(1)求证：△EFC 是等腰三角形；
(2)求EC＋FC．
11．已知：如图，△ABC 中，∠ABC＝90°，BD⊥AC 于D，AE 平分∠BAC，EF∥DC，交BC 于
F．求证：BE＝FC．
12．已知：如图，在□ABCD 中，E 为AD 的中点，CE、BA 的延长线交于点F．若BC＝2CD，求
证：∠F＝∠BCF．
13．如图，已知：在□ABCD 中，∠A＝60°，E、F 分别是AB、CD 的中点，且AB＝2AD．求证：
BF∶BD＝3 ∶3．
拓展、探究、思考
14．如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M(－2，－1)，且P(－1，－2)是双
曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，PA 垂直于x 轴，QB 垂直于y 轴，垂足分别是A、
B．
图1
(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式；
(2)当点Q 在直线MO 上运动时，直线MO 上是否存在这样的点Q，使得△OBQ 与△OAP
面积相等?如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；
(3)如图2，当点Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ 为邻边的平行四边形
OPCQ，求平行四边形OPCQ 周长的最小值．
图2
测试6  三角形的中位线
学习要求
理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．
课堂学习检测
一、填空题：
1．(1)三角形的中位线的定义：连结三角形两边____________叫做三角形的中位线．
(2)三角形的中位线定理是三角形的中位线____________第三边，并且等于____________
________________________．
2．如图，△ABC 的周长为64，E、F、G 分别为AB、AC、BC 的中点，A′、B′、C′分别为
EF、EG、GF 的中点，△A′B′C′的周长为_________．如果△ABC、△EFG、
△A′B′C′分别为第1 个、第2 个、第3 个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第
n 个三角形的周长是__________________．
3．△ABC 中，D、E 分别为AB、AC 的中点，若DE＝4，AD＝3，AE＝2，则△ABC 的周长为
______．
二、解答题
4．已知：如图，四边形ABCD 中，E、F、G、H 分别是AB、BC、CD、DA 的中点．
求证：四边形EFGH 是平行四边形．
5．已知：△ABC 的中线BD、CE 交于点O，F、G 分别是OB、OC 的中点．
求证：四边形DEFG 是平行四边形．
综合、运用、诊断
6．已知：如图，E 为□ABCD 中DC 边的延长线上的一点，且CE＝DC，连结AE 分别交BC、
BD 于点F、G，连结AC 交BD 于O，连结OF．求证：AB＝2OF．
7．已知：如图，在□ABCD 中，E 是CD 的中点，F 是AE 的中点，FC 与BE 交于G．求证：GF＝
GC．
8．已知：如图，在四边形ABCD 中，AD＝BC，E、F 分别是DC、AB 边的中点，FE 的延长线分
别与AD、BC 的延长线交于H、G 点．
求证：∠AHF＝∠BGF．
拓展、探究、思考
9．已知：如图，△ABC 中，D 是BC 边的中点，AE 平分∠BAC，BE⊥AE 于E 点，若AB＝5，AC
＝7，求ED．
10．如图在△ABC 中，D、E 分别为AB、AC 上的点，且BD＝CE，M、N 分别是BE、CD 的中点．
过MN 的直线交AB 于P，交AC 于Q，线段AP、AQ 相等吗?为什么?
测试7  矩  形
学习要求
理解矩形的概念，掌握矩形的性质定理与判定定理．
课堂学习检测
一、填空题
1．(1)矩形的定义：__________________的平行四边形叫做矩形．
(2)矩形的性质：矩形是一个特殊的平行四边形，它除了具有四边形和平行四边形所有的
性质，还有：矩形的四个角______；矩形的对角线______；矩形是轴对称图形，它的对称轴
是____________．
(3)矩形的判定：一个角是直角的______是矩形；对角线______的平行四边形是矩形；有
______个角是直角的四边形是矩形．
2．矩形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10cm，则AB＝______cm，BC
＝______cm．
3．在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB 边上的中线CD＝______．
4．如图，四边形ABCD 是一张矩形纸片，AD＝2AB，若沿过点D 的折痕DE 将A 角翻折，使点
A 落在BC 上的A1处，则∠EA1B＝______°。
5．如图，矩形ABCD 中，AB＝2，BC＝3，对角线AC 的垂直平分线分别交AD，BC 于点E、F，
连结CE，则CE 的长______．
二、选择题
6．下列命题中不正确的是(    )．
(A)直角三角形斜边中线等于斜边的一半
(B)矩形的对角线相等
(C)矩形的对角线互相垂直
(D)矩形是轴对称图形
7．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6cm，则对角线的长为(    )．
(A)3.6cm
(B)7.2cm
(C)1.8cm
(D)14.4cm
8．矩形邻边之比3∶4，对角线长为10cm，则周长为(    )．
(A)14cm
(B)28cm
(C)20cm
(D)22cm
9．已知AC 为矩形ABCD 的对角线，则图中∠1 与∠2 一定不相等的是(    )
(A)
(B)
(C)
(D)
综合、运用、诊断
一、解答题
10．已知：如图，□ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，∠OAB＝∠OBA．
(1)求证：四边形ABCD 为矩形；
(2)作BE⊥AC 于E，CF⊥BD 于F，求证：BE＝CF．
11．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的
延长线于F，且AF＝DC，连结CF．
(1)求证：D 是BC 的中点；
(2)如果AB＝AC，试猜测四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．
12．如图，矩形ABCD 中，AB＝6cm，BC＝8cm，若将矩形折叠，使点B 与D 重合，求折痕EF
的长。
13．已知：如图，在矩形ABCD 中，E、F 分别是边BC、AB 上的点，且EF＝ED，EF⊥ED．
求证：AE 平分∠BAD．
拓展、探究、思考
14．如图，在矩形ABCD 中，AB＝2，
3

AD
．
(1)在边CD 上找一点E，使EB 平分∠AEC，并加以说明；
(2)若P 为BC 边上一点，且BP＝2CP，连结EP 并延长交AB 的延长线于F．
①求证：AB＝BF；
②△PAE 能否由△PFB 绕P 点按顺时针方向旋转而得到?若能，加以证明，并写出旋转
度数；若不能，请说明理由。
测试8  菱  形
学习要求
理解菱形的概念，掌握菱形的性质定理及判定定理．
课堂学习检测
一、填空题：
1．菱形的定义：__________________的平行四边形叫做菱形．
2．菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它具有四边形和平行四边形的______：还有：菱形
的四条边______；菱形的对角线______，并且每一条对角线平分______；菱形的面积等于
__________________，它的对称轴是______________________________．
3．菱形的判定：一组邻边相等的______是菱形；四条边______的四边形是菱形；对角线___
___的平行四边形是菱形．
4．已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数之比为1∶2，则较长对角线的长为______cm．
5．若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则它的周长为______cm，面积为______cm2．
二、选择题
6．对角线互相垂直平分的四边形是(    )．
(A)平行四边形
(B)矩形
(C)菱形
(D)任意四边形
7．顺次连结对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是(    )．
(A)矩形
(B)平行四边形
(C)菱形
(D)任意四边形
8．下列命题中，正确的是(    )．
(A)两邻边相等的四边形是菱形
(B)一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形
(C)对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形
(D)对角线垂直的四边形是菱形
9．如图，在菱形ABCD 中，E、F 分别是AB、AC 的中点，如果EF＝2，那么菱形ABCD 的周长
是(    )．
(A)4
(B)8
(C)12
(D)16
10．菱形ABCD 中，∠A∶∠B＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于(    )．
(A) 2
1
(B)4
(C)1
(D)2
综合、运用、诊断
一、解答题
11．如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且DE⊥AB，AB＝4．
求：(1)∠ABC 的度数；(2)菱形ABCD 的面积．
12．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC＝120°，E 是AB 边的中点，P 是AC 边上一动点，PB＋PE
的最小值是3 ，求AB 的值．
13．如图，在□ABCD 中，E，F 分别为边AB，CD 的中点，连结DE，BF，BD．
(1)求证：△ADE≌△CBF．
(2)若AD⊥BD，则四边形BFDE 是什么特殊四边形?请证明你的结论．
14．如图，四边形ABCD 中，AB∥CD，AC 平分∠BAD，CE∥AD 交AB 于E．
(1)求证：四边形AECD 是菱形；
(2)若点E 是AB 的中点，试判断△ABC 的形状，并说明理由．
15．如图，□ABCD 中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝5 ．对角线AC，BD 相交于点O，将直线AC 绕
点O 顺时针旋转，分别交BC，AD 于点E，F．
(1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF 是平行四边形；
(2)试说明在旋转过程中，线段AF 与EC 总保持相等；
(3)在旋转过程中，四边形BEDF 可能是菱形吗?如果不能，请说明理由；如果能，画出图
形并写出此时AC 绕点O 顺时针旋转的度数．
16．如图，菱形ABCD 的边长为2，BD＝2，E、F 分别是边AD，CD 上的两个动点，且满足AE
＋CF＝2．
(1)求证：△BDE≌△BCF；
(2)判断△BEF 的形状，并说明理由；
(3)设△BEF 的面积为S，求S 的取值范围．
拓展、探究、思考
17．请用两种不同的方法，在所给的两个矩形中各画一个不为正方形的菱形，且菱形的四个
顶点都在矩形的边上(保留作图痕迹)．
18．如图，菱形AB1C1D1的边长为1，∠B1＝60°；作AD2⊥B1C1于点D2，以AD2为一边，作第二
个菱形AB2C2D2，使∠B2＝60°；作AD3⊥B2C2于点D3，以AD3为一边，作第三个菱形
AB3C3D3，使∠B3＝60°；……依此类推，这样作的第n 个菱形ABnCnDn的边ADn的长是
______．
测试9  正方形
学习要求
1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；
2．掌握正方形的性质及判定方法．
课堂学习检测
一、填空题
1．正方形的定义：有一组邻边______并且有一个角是______的平行四边形叫做正方形，因此
正方形既是一个特殊的有一组邻边相等的______，又是一个特殊的有一个角是直角的
______．
2．正方形的性质：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质，正方形的四个角
都______；四条边都______且__________________；正方形的两条对角线______，并且互
相______，每条对角线平分______对角．它有______条对称轴．
3．正方形的判定：
(1)____________________________________的平行四边形是正方形；
(2)____________________________________的矩形是正方形；
(3)____________________________________的菱形是正方形；
4．对角线________________________________的四边形是正方形．
5．若正方形的边长为a，则其对角线长为______，若正方形ACEF 的边是正方形ABCD 的对
角线，则正方形ACEF 与正方形ABCD 的面积之比等于______．
6．延长正方形ABCD 的BC 边至点E，使CE＝AC，连结AE，交CD 于F，那么∠AFC 的度数
为______，若BC＝4cm，则△ACE 的面积等于______．
7．在正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为F、G，如果
cm
2
5

AB
，那么EF＋EG 的长为______．
二、选择题
8．如图，将一边长为12 的正方形纸片ABCD 的顶点A 折叠至DC 边上的点E，使DE＝5，折
痕为PQ，则PQ 的长为(    )
(A)12
(B)13
(C)14
(D)15
9．如图，正方形ABCD 的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为(    )cm2．
(A)6
(B)8
(C)16
(D)不能确定
综合、运用、诊断
一、解答题
10．已知：如图，正方形ABCD 中，点E、M、N 分别在AB、BC、AD 边上，CE＝MN，
∠MCE＝35°，求∠ANM 的度数．
11．已知：如图，E 是正方形ABCD 对角线AC 上一点，且AE＝AB，EF⊥AC，交BC 于F．求证：
BF＝EC．
12．如图，边长为3 的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后，得到正方形EFCG，EF
交AD 于H，求DH 的长．
13．如图，P 为正方形ABCD 的对角线上任一点，PE⊥AB 于E，PF⊥BC 于F，判断DP 与EF
的关系，并证明．
拓展、探究、思考
14．如图，在边长为4 的正方形ABCD 中，点P 在AB 上从A 向B 运动，连结DP 交AC 于点
Q．
(1)试证明：无论点P 运动到AB 上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；
(2)当点P 在AB 上运动到什么位置时，△ADQ 的面积是正方形ABCD 面积的6
1
；
(3)若点P 从点A 运动到点B，再继续在BC 上运动到点C，在整个运动过程中，当点P 运
动到什么位置时，△ADQ 恰为等腰三角形．
参考答案
第十八章  平行四边形
测试1  平行四边形的性质(一)
1．平行，□ABCD．  2．平行，相等；相等；互补；互相平分；底边上的高．
3．110°，70°．  4.16cm，11cm．  5．互相垂直．  6．25°．
7．25°．  8．21cm2．
9．D．   10．C．   11．C．
12．提示：可由△ADE≌△CBF 推出．  13．提示：可由△ADF≌△CBE 推出．
14．(1)提示：可证△AED≌△CFB；
(2)提示：可由△GEB≌△DEA 推出，
15．提示：可先证△ABE≌△CDF．
(三)
16．B(5，0) C(4，3 )D(－1，3 )．
17．方案(1)
画法1：
(1)过F 作FH∥AB 交AD 于点H
(2)在DC 上任取一点G 连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH 就是所要画的四边形；
画法2：
(1)过F 作FH∥AB 交AD 于点H
(2)过E 作EG∥AD 交DC 于点G 连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH 就是所要画的
四边形
画法3：
(1)在AD 上取一点H，使DH＝CF
(2)在CD 上任取一点G 连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH 就是所要画的四边形
方案(2)
画法：(1)过M 点作MP∥AB 交AD 于点P，
(2)在AB 上取一点Q，连接PQ，
(3)过M 作MN∥PQ 交DC 于点N，连接QM，PN 则四边形QMNP 就是所要画的
四边形
测试2  平行四边形的性质(二)
1．60°、120°、60°、120°．   2．1＜AB＜7．   3．20．
4．6，5，3，30°．   5．20cm，10cm．   6．18．提示：AC＝2AO.
7．5 3 cm，5cm．   8．120cm2．
9．D；  10．B．   11．C．   12．C．   13．B．
14．AB＝2.6cm，BC＝1.7cm．
提示：由已知可推出AD＝BD＝BC．设BC＝xcm，AB＝ycm，
则







.6.8
)
(
2
,6
2
y
x
y
x
   解得





,6.2
,7.1
y
x
15．∠1＝60°，∠3＝30°．
16．(1)有4 对全等三角形．分别为△AOM≌△CON，△AOE≌△COF，△AME≌△CNF，
△ABC≌△CDA．
(2)证明：∵OA＝OC，∠1＝∠2，OE＝OF，∴△OAE≌△OCF．∴∠EAO＝∠FCO．
又∵在□ABCD 中，AB∥CD，∴∠BAO＝∠DCO．∴∠EAM＝∠NCF．
17．9．
测试3  平行四边形的判定(一)
1．①分别平行；   ②分别相等；   ③平行且相等；
④互相平分；   ⑤分别相等；不一定；
2．不一定是．
3．平行四边形．提示：由已知可得(a－c)2＋(b－d)2＝0，从而





.
,
d
b
c
a
4．6，4；   5．AD，BC．
6．D．   7．C．   8．D．
9．提示：先证四边形BFDE 是平行四边形，再由EM
NF 得证．
10．提示：先证四边形AFCE、四边形BFDE 是平行四边形，再由GE∥FH，GF∥EH 得证．
11．提示：先证四边形EBFD 是平行四边形，再由EP
QF 得证．
12．提示：先证四边形EBFD 是平行四边形，再证△REA≌△SFC，既而得到RE
SF．
13．提示：连结BF，DE，证四边形BEDF 是平行四边形．
14．提示：证四边形AFCE 是平行四边形．
15．提示：(1)DF 与AE 互相平分；(2)连结DE，AF．证明四边形ADEF 是平行四边形．
16．可拼成6 个不同的四边形，其中有三个是平行四边形．拼成的四边形分别如下：
      
     
    
    
测试4  平行四边形的判定(二)
1．平行四边形．   2．18．   3．2．   4．3．   5．平行四边形．
6．C．   7．D．   8．D．   9．C．   10．A．   11．B．
12．(1)BF(或DF)；   (2)BF＝DE(或BE＝DF)；
(3)提示：连结DF(或BF)，证四边形DEBF 是平行四边形．
13．提示：D 是BC 的中点．
14．DE＋DF＝10
15．提示：(1)∵△ABC 为等边三角形，∴AC＝CB，∠ACD＝∠CBF＝60°．
又∵CD＝BF，∴△ACD≌△CBF．
(2)∵△ACD≌△CBF，∴AD＝CF，∠CAD＝∠BCF．
∵△AED 为等边三角形，∴∠ADE＝60°，且AD＝DE．∴FC＝DE．
∵∠EDB＋60°＝∠BDA＝∠CAD＋∠ACD＝∠BCF＋60°，
∴∠EDB＝∠BCF．∴ED∥FC．
∵ED
FC，∴四边形CDEF 为平行四边形.
16．(1)
x
y
1

；(2)
)
2
,
2
1
(


A
；  (3)P1(－1.5，－2)，P2(－2.5，－2)或P3
(2.5，2)．
17．(1)m＝3，k＝12；
(2)
2
3
2



x
y
或
.2
3
2



x
y
测试5  平行四边形的性质与判定
1．60°，120°，60°，120°．   2．45°，135°，45°，135°．
3．90°．   4．10cm＜x＜22cm．   5．
.3
3 
6．72．提示：作DE∥AM 交BC 延长线于E，作DF⊥BE 于F，可得△BDE 是直角三角形，

5
36
DF
7．
3
15
  提示：作CE⊥BD 于E，设OE＝x，则BE2＋CE2＝BC2，得(x＋5)2＋
2
7
)
3
(

x
．解
出
2
3

x
．S□＝2S△BCD＝BD×CE＝
.3
15
8．7．   9．＝．提示：连结BM，DN．
10．(1)提示：先证∠E＝∠F；   (2)EC＋FC＝2a＋2b．
11．提示：过E 点作EM∥BC，交DC 于M，证△AEB≌△AEM．
12．提示：先证DC＝AF．
13．提示：连接DE，先证△ADE 是等边三角形，进而证明∠ADB＝90°，∠ABD＝30°．
14．(1)设正比例函数解析式为y＝kx，将点M(－2，－1)坐标代入得
2
1

k
，所以正比例函数
解析式为
x
y
2
1

，同样可得，反比例函数解析式为
x
y
2

；
(2)当点Q 在直线MO 上运动时，设点Q 的坐标为
)
2
1
,
(
m
m
Q
，于是S△OBQ＝2
1
｜OB·BQ｜＝2
1
· 2
1
m·m＝4
1
m2而SOAP＝2
1
｜(－1)(－2)｜＝1，所以有，
1
4
1
2 
m
，
解得m＝±2 所以点Q 的坐标为Q1(2，1)和Q2(－2，－1)；
(3)因为四边形OPCQ 是平行四边形，所以OP＝CQ，OQ＝PC，而点P(－1，－2)是定点，
所以OP 的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ 周长的最小值就只需求OQ 的
最小值．
因为点Q 在第一象限中双曲线上，所以可设点Q 的坐标Q(n，n
2
)，
由勾股定理可得OQ2＝n2＋
2
4
n ＝(n－n
2
)2＋4，
所以当(n－n
2
)2＝0 即n－n
2
＝0 时，OQ2有最小值4，
又因为OQ 为正值，所以OQ 与OQ2同时取得最小值，
所以OQ 有最小值2．由勾股定理得OP＝5 ，所以平行四边形OPCQ 周长的最小
值是2(OP＋OQ)＝2( 5 ＋2)＝2 5 ＋4．
测试6  三角形的中位线
1．(1)中点的线段；(2)平行于三角形的，第三边的一半．
2．16，64×( 2
1
)n－1  ．   3．18．
4．提示：可连结BD(或AC)．
5．略．
6．连结BE，CE 
AB□ABECBF＝FC．□ABCDAO＝OC，∴AB＝2OF．
7．提示：取BE 的中点P，证明四边形EFPC 是平行四边形．
8．提示：连结AC，取AC 的中点M，再分别连结ME、MF，可得EM＝FM．
9．ED＝1，提示：延长BE，交AC 于F 点．
10．提示：AP＝AQ，取BC 的中点H，连接MH，NH．证明△MHN 是等腰三角形，进而证明
∠APQ＝∠AQP．
测试7  矩形
1．(1)有一个角是直角；(2)都是直角，相等，经过对边中点的直线；
(3)平行四边形；对角线相等；三个角．
2．5，5 3 ．   3．

2
34
   4．60°．   5．

6
13
6．C．   7．B．   8．B．   9．D．
10．(1)提示：先证OA＝OB，推出AC＝BD；(2)提示：证△BOE≌△COF．
11．(1)略；(2)四边形ADCF 是矩形．  12．7.5．
13．提示：证明△BFE≌△CED，从而BE＝DC＝AB，∴∠BAE＝45°，可得AE 平分∠BAD．
14．提示：(1)取DC 的中点E，连接AE，BE，通过计算可得AE＝AB，进而得到EB 平分
∠AEC．
(2)①通过计算可得∠BEF＝∠BFE＝30°，又∵BE＝AB＝2
∴AB＝BE＝BF：
②旋转角度为120°．
测试8  菱  形
1．一组邻边相等．
2．所有性质，都相等；互相垂直，平分一组对角；底乘以高的一半或两条对角线之积的一半；
对角线所在的直线．
3．平行四边形；相等，互相垂直．   4．
.3
10
   5．20，24．
6．C．   7．C．   8．B．   9．D．   10．C．
11．120°；(2)8 3 ．   12．2．
13．(1)略；(2)四边形BFDE 是菱形，证明略．
14．(1)略；(2)△ABC 是Rt△．
15．(1)略；(2)略；(3)当旋转角是45°时，四边形BEDF 是菱形，证明略．
16．(1)略；(2)△BEF 是等边三角形，证明略．
(3)提示：∵3 ≤△BEF 的边长＜2
2
2
)
2
(
4
3
)
3
(
4
3



S
.3
3
4
3



S
17．略．   18．
.
)
2
3
(
1

n
测试9  正方形
1．相等、直角、矩形、菱形．
2．是直角；相等、对边平行，邻边垂直；相等、垂直平分、一组，四．
3．(1)有一组邻边相等，并且有一个角是直角；   (2)有一组邻边相等．
(3)有一个角是直角．
4．互相垂直、平分且相等．  5．
2 a，2∶1．  6．112.5°，8
2 cm2；7．5cm．
8．B．   9．B．
10．55°．  提示：过D 点作DF∥NM，交BC 于F．
11．提示：连结AF．
12．提示：连结CH，DH＝3 ．  13．提示：连结BP．
14．(1)证明：△ADQ≌△ABQ；
(2)以A 为原点建立如图所示的直角坐标系，过点Q 作QE⊥y 轴于点E，QF⊥x 轴于点F．
2
1
AD×QE＝6
1
S 正方形ABCD＝3
8
   ∴QE＝3
4
∵点Q 在正方形对角线AC 上  ∴Q 点的坐标为
)
3
4
,
3
4
(
∴过点D(0，4)，
)
3
4
,
3
4
(
Q
两点的函数关系式为：y＝－2x＋4，当y＝0 时，x＝2，即P 运
动到AB 中点时，△ADQ 的面积是正方形ABCD 面积的6
1
；
(3)若△ADQ 是等腰三角形，则有QD＝QA 或DA＝DQ 或AQ＝AD
①当点P 运动到与点B 重合时，由四边形ABCD 是正方形知  QD＝QA 此时△ADQ
是等腰三角形；
②当点P 与点C 重合时，点Q 与点C 也重合，此时DA＝DQ，△ADQ 是等腰三角形；
③如图，设点P 在BC 边上运动到CP＝x 时，有AD＝AQ
∵AD∥BC  ∴∠ADQ＝∠CPQ．
又∵∠AQD＝∠CQP，∠ADQ＝∠AQD，
∴∠CQP＝∠CPQ．
∴CQ＝CP＝x．
∵AC＝
2
4
，AQ＝AD＝4．
∴x＝CQ＝AC－AQ＝
2
4
－4．
即当CP＝
2
4
－4 时，△ADQ 是等腰三角形．
第十八章  平行四边形全章测试
一、选择题
1．下列说法中，正确的是(    )．
(A)等腰梯形既是中心对称图形又是轴对称图形．
(B)平行四边形的邻边相等．
(C)矩形是轴对称图形且有四条对称轴．
(D)菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半．
2．在□ABCD 中，AB＝3cm，AD＝4cm，∠A＝120°，则□ABCD 的面积是(    )．
(A)
3
3
(B)
3
6
(C)
3
15
(D)
3
12
3．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC 的长为(  
)．
(A)1
(B)2
(C)
2
(D) 3
4．等腰梯形的两底之差等于腰长，则腰与下底的夹角为(    )．
(A)120°
(B)60°
(C)45°
(D)50°
5．课外活动时，王老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为
450cm2，则两条对角线所用的竹条至少需(    )．
(A)
cm
2
30
(B)30cm
(C)60cm
(D)
cm
2
60
二、填空题
6．如图，若□ABCD 与□EBCF 关于B，C 所在直线对称，∠ABE＝90°，则∠F＝______．
7．已知菱形ABCD 的面积是12cm2，对角线AC＝4cm，则菱形的边长是______cm．
8．如图，菱形ABCD 的边长为2，∠ABC＝45°，则点D 的坐标为______．
8 题图
9．在正方形ABCD 中，E 在AB 上，BE＝2，AE＝1，P 是BD 上的动点，则PE 和PA 的长度之和
最小值为___________．
10．如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四
边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交于点O2，同样以AB，AO2为两邻边平行四
边形ABC2O2……依此类推，则平行边形ABCnOn的面积为___________．
三、解答题
11．平行四边形ABCD 中，点E，F 分别在BC，AD 上，且AF＝CE，求证：AE＝CF．
12．如图，在矩形ABCD 中，以点B 为圆心、BC 长为半径画弧，交AD 边于点E，连接BE，过C
点作CF⊥BE，垂足为F．猜想线段BF 与图中现有的哪一条线段相等?先将你猜想出的
结论填写在下面的横线上，并加以证明．
结论：BF＝______．
证明：
13．如图，把一张矩形的纸ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在点E 处，BE 与AD 交于点
F．
(1)求证：△ABF≌△EDF
(2)若将折叠的图形恢复原状，点F 与BC 边上的点M 正好重合，连接DM，试判断四边
形BMDF 的形状，并说明理由．
14．如图，在梯形ABCD 中，已知AD∥BC，点E，F，G，H 分别是DB，BC，AC，DA 的中点，求
证：线段HF、线段EG 互相平分。
15．如图1，在梯形ABCD 中，AD∥BC，∠C＝90°，点E 为CD 的中点，点F 在底边BC 上，且
∠FAE＝∠DAE．
图1
(1)请你通过观察、测量、猜想，写出∠AEF 的度数；
(2)若梯形ABCD 中，AD∥BC，∠C 不是直角，点F 在底边BC 或其延长线上，如图2、
图3，其他条件不变，你在(1)中得出的结论是否仍然成立，若都成立，请在
图2、图3 中选择其中一图进行证明；若不都成立，请说明理由．
    
图2        图3
16．如图1，P 是线段AB 上的一点，在AB 的同侧作△APC 和△BPD，使PC＝PA，PD＝PB，
∠APC＝∠BPD，连结CD，点E，F，G，H 分别是AC，AB，BD，CD 的中点，顺次连接E，
F，G，H．
图1
(1)猜想四边形EFGH 的形状，直接回答，不必说明理由；
(2)当点P 在线段AB 的上方时，如图2，在△APB 的外部作△APC 和△BPD，其他条件不
变，(1)中的结论还成立吗?说明理由；
图2
(3)如图3 中，若∠APC＝∠BPD＝90°，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH
的形状，并说明理由．
图3
参考答案
第十八章  平行四边形全章测试
1．D．   2．B．   3．D．   4．B．   5．C．
6．45．   7．
.
13   8．
).
2
,
2
2
( 
9．
.
13   10．

n
2
5
   11．略．   12．BF＝AE；证明提示：△BAE≌△CFB．
13．(1)略；(2)菱形．  14．提示：连结EH，HG，GF，FE
15．(1)90°；(2)提示：延长AE 与BC 延长线交于点G，证明△AFG 是等腰三角形；
16．(1)菱形；
(2)菱形，提示：连结CB，AD；证明CB＝AD；
(3)如图，正方形，提示：连结CB、AD，证明△APD≌△CPB，从而得出AD＝CB，
∠DAP＝∠BCP，进而得到CB⊥AD．