文档文本内容
小题限时卷01（A 组+B 组+C 组）
（模式：8+3+3 满分：73 分 限时：50 分钟）
一、单选题
1．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先根据一元二次不等式的解法解出集合
，再利用并集和补集的定义求解即可.
【详解】由
可得
或
，
解得
或
，即
或
，
因此，
，则
.
故选：C.
2．（24-25 高三上·甘肃白银·月考）设复数
满足
，则
的共轭复数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用复数的除法运算法则可求得
，进而根据共轭复数的定义可求得
.
【详解】由题意得
，即
．
故选：A.
3．（2025·江西新余·模拟预测）“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
【答案】A
【分析】由指数函数单调性可得
，然后根据不等式性质及充分条件、必要条件的概念判断
即可.
【详解】由指数函数的单调性得
，由
能推出
，
反之，由
推不出
，例如
，但
，
故“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A.
4．（2025·陕西咸阳·三模）已知向量
满足
，则
＝（ ）
A．5
B．－5
C．－11
D．11
【答案】B
【分析】由题可求
，再求值即可.
【详解】
，
，
，
所以
.
故选：B.
5．已知等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
（ ）
A．36
B．48
C．60
D．120
【答案】B
【分析】根据等差数列片段和的性质及等差中项的性质求
.
【详解】由等差数列片段和的性质，
，
，
，
成等差数列，
故
，则
.
故选：B
6．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知
为锐角，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由诱导公式，两角和的正弦公式变形求得
，再求得
，然后由半角公式计算．
【详解】
，
是锐角，则
，
，
故选：B．
7．已知函数
，则使
成立的x 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先判断函数为偶函数，再由换元法令
结合对勾函数的单调性计算可得.
【详解】易知
是偶函数，
当
时，令
，则
可转化为
，
因为函数
在
上单调递增，函数
是
上的增函数，
所以
在
上单调递增．
由
，得
，解得
．
故选：D
8．（2025·贵州贵阳·模拟预测）设椭圆
的左、右焦点分别为
，上顶点为A，
直线
交M 于另一点B，
的内切圆与
相切于点C，若
，则椭圆M 的离心率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题主要是椭圆的定义及三角形的内切圆，作图利用三角形内切圆的性质即得答案.
【详解】由题意，如图，P，D 是内切圆与
的切点，
因为左、右焦点分别为
，上顶点为A，椭圆参数关系
，
由
，结合对称性、圆的切线性质，
令
，且
，
所以
，
所以
，可得
，故
，
故选：D．
二、多选题
9．（2025·浙江宁波·模拟预测）某铁路运输段的数据统计部门发布的从2024 年1 月至6 月的煤炭运输量
（单位：万吨）分别为28，34，43，55，67，73，则（ ）
A．1 月到6 月煤炭运输量的平均值为60 万吨
B．1 月到6 月煤炭运输量的中位数为49 万吨
C．1 月到6 月煤炭运输量的极差为45 万吨
D．若这组每个数据扩大为原来的2 倍，则对应的标准差也扩大为原来的2 倍
【答案】BCD
【分析】根据各数据的定义及计算公式逐项判断即可.
【详解】对于A，根据平均数的计算，得
，故A 错误；
对于B，由题意数据已排序，根据中位数的计算，得中位数为
，故B 正确；
对于C，根据题意，得极差为
，故C 正确；
对于D，由标准差的线性运算性质，可知每个数据扩大为原来的2 倍，则对应的标准差也扩大为原来的2
倍，故D 正确.
故选：BCD.
10．已知锐角三角形
中，角
的对边分别为
，有
，则
的取值不可能
是（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】结合正弦定理、两角和的正弦公式及二倍角公式化简可得
或
，进而结合
为锐角三角形，讨论求解即可.
【详解】由
，则
，
则
，
根据正弦定理得，
，
则
，所以
或
.
当
时，
，
因为
为锐角三角形，
则
，解得
，
则
；
当
时，由
，则
，即
，此时条件中
的分母为0，表达式
无意义，故舍去.
综上所述，
的取值范围为
.
故选：ABD
11．（2025·安徽蚌埠·三模）已知正方体
的棱长为1，点P 是四边形
内（含边界）
任意一点，Q 是
的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．当点P 与点B 不重合时，
B．当点P 是
的中点时，二面角
的余弦值为
C．AQ 与BC 所成的角的正切值为
D．当
时，点P 的轨迹长度为
【答案】ACD
【分析】对于A，由
平面
即可判断；对于B，根据定义法即可求出；对于C，利用平移法即可
求解；对于D，证明
平面
，则
即为点
的运动轨迹，即可求解．
【详解】如图所示，
对于A，根据正方体的几何性质，易得
平面
，又因为
平面
， 故
，故A
对；
对于B，当
点为
中点时，
，且
，
所以二面角
的平面角为
，连接
，又
，
故所求二面角的余弦值为
，故B 错；
对于C，因为
，所以
与
所成角即为
与
所成角，即为
（或其补角），
连接
，在等腰三角形
中，
为底边中点，所以
，
所以
与
所成角的正切值为
，故C 对；
对于D，点
为
中点，所以
，又因为
所以
平面
， 即点
在线段
上运动时，
，所以点
的轨迹长为
，故D 对．
故选：ACD.
三、填空题
12．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知
则
．
【答案】
【分析】先计算
，再算
即可.
【详解】
.
故答案为：
13．（2025·山西吕梁·三模）已知圆柱的上、下底面圆周在同一球面上，且球的表面积是圆柱的表面积的2
倍，则球的体积与圆柱的体积的比值是 ．
【答案】
/
【分析】设球的半径为
，圆柱底面的半径为，圆柱的母线长为，由题意得
，又圆柱的上、
下底面圆周在同一球面上，所以
，解得
即可求解.
【详解】设球的半径为
，圆柱底面的半径为，圆柱的母线长为，则球的表面积为
，圆柱的
表面积为
，
所以
，得
①，
又圆柱的上、下底面圆周在同一球面上，所以
②，
由①②解得
，所以球的体积为
，
圆柱的体积为
，所以
.
故答案为：
.
14．（24-25 高三上·辽宁锦州·期末）如图，左边是编号为、
、、
的
型钢板，右边是编号为甲、乙、
丙的
型钢板，现将两堆钢板自上而下地混合堆放在一起，则
型钢板均不相邻的放法共 种，乙
号钢板上方的
型钢板的编号之和与其下方的
型钢板的编号之和相等的放法共 种．（用数字作
答）
【答案】
【分析】若
型钢板均不相邻，先将
型钢板任意排列，然后将
型钢板插入
型钢板形成的个空位中
的个空位，结合插空法可求得放法种数；先考虑乙号钢板上方的
型钢板的放法，然后再将甲、丙号钢
板分相邻和不相邻两种情况讨论，结合分步和分类计数原理可得结果.
【详解】若
型钢板均不相邻，先将
型钢板任意排列，然后将
型钢板插入
型钢板形成的个空位中
的个空位，
由插空法可知，
型钢板均不相邻的放法种数为
种；
若乙号钢板上方的
型钢板的编号之和与其下方的
型钢板的编号之和相等，
则乙号钢板上方的
型钢板为、
号或
、号，此时不同的放法种数为
，
然后再放置甲、丙号钢板，分两种情况讨论，
若甲、丙号钢板相邻，则将甲、丙号钢板捆绑，插入其余块钢板形成的
个空位中的个空位，
此时，不同的放法种数为
种；
若甲、丙号钢板不相邻，则将甲、丙号钢板插入其余块钢板形成的
个空位中的
个空位中，
此时，不同的放法种数为
种.
综上所述，乙号钢板上方的
型钢板的编号之和与其下方的
型钢板的编号之和相等的放法种数为
种.
故答案为：
；
.
（模式：4+2+1 满分：37 分 限时：25 分钟）
一、单选题
1．已知圆
：
（
），直线：
.若圆
上恰有三个点到直线的距离为1，
则的值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】A
【解析】圆
的圆心为
到直线的距离为1，由圆
上恰有三个点到直线的距离为1，得到圆心为
到直线的距离为
，由此求出的值.
【详解】圆
的圆心为
,则圆心
到直线的距离
.
又圆
上恰有三个点到直线的距离为1.
所以圆心为
到直线的距离为
,即
所以
故选：A
【点睛】本题考查圆与直线的位置关系，点到直线的距离,，属于基础题.
2．（24-25 高三上·湖北·期末）函数
在
处的切线与直线
垂直，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求出
导数，
，利用函数
在
处的切线与直线
垂直，列出方程，
即可求出实数
的值．
【详解】函数
，求导得
，
在
处的切线斜率为
，
又
在
处的切线与直线
垂直，
所以
，解得
.
故选：B.
3．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知抛物线
的焦点为F，M 为C 上的动点，N 为直线
上的动点，设点M 到y 轴的距离为d，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】由抛物线的定义可知点到焦点的距离等于到准线的距离，进行转化，当
三点共线时，可
求得最小值.
【详解】
因为抛物线
，过F 点作
垂直直线l 于点
，过M 作准线的垂线交准线于点
，如图
所示，则
，
，
则
，
当点
与点
重合，点
为线段
与抛物线的交点时，等号成立.
故选：A．
4．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知定义域为
的函数
的图象经过坐标原点，若
，
，且
为偶函数，则
（ ）
A．190
B．210
C．230
D．400
【答案】D
【分析】利用
的关系式，借助于
为偶函数，通过先后赋值代入可推得
的周期，分
别计算出一个周期内
的函数值，代入所求式，利用函数周期及求和计算即得．
【详解】由
，得
（*）．
在
中，用
替换
，可得
，
则
，即
①，
在①式中，用
替换
，则得
②．
又因
为偶函数，所以
③，
故由②③，可得
，用
替换
，可得
，
比较两式，可得
，即
是以4 为一个周期的函数．
因为
的图象经过原点，所以
，由（*）可得
．
在
中，令
，得
，所以
，
在
中，令
，可得
，
在
中，令
，可得
，
则
，
则
．
故选：D
二、多选题
5．（24-25 高三上·福建宁德·月考）若
，
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】令
，与给定等式联立，利用判别式求解判断AB；变形给定等式，结合基本不等式求解
判断CD.
【详解】对于AB，令
，则
，把
代入
，
得
，整理得
，而
，
则
，解得
，A 正确，B 错误；
对于CD，
，解得
，
当且仅当
且
时取等号，C 错误；
，解得
，当且仅当
时取等号，D 正确.
故选：AD
6．（2025·广东茂名·二模）
的内角
的对边分别为
，已知
，下列选项正确的是（ ）
A．
B．
可能成立
C．
可能是等腰三角形
D．
面积的最大值为20
【答案】AC
【分析】由三角恒等变换公式结合正弦定理化简即可判断A，反证法假设
成立，结合三角形三
边关系即可判断B，假设
结合余弦定理代入计算，即可判断C，由三角形的面积公式结合余弦定理代
入计算，即可判断D.
【详解】由正弦定理可得
,
即
，即
，
即
，且
，所以
，
且
，所以
，故A 正确；
假设
，则
，又
，则
，
不满足三角形两边之和大于第三边，故
不可能成立，故B 错误；
假设
，由余弦定理可得
，
代入可得
，
又
，即
，
则
成立，所以
成立，
成立，所以
成立，
故C 正确；
由三角形的面积公式
，
由余弦定理可得
，
即
，且
，
，
所以
，化简可得
，解得
，
所以
时，三角形的面积最大，最大值为
，故D 错误；
故选：AC
三、填空题
7．（2025·天津河西·模拟预测）已知
是边长2 为正三角形，
是
的中心，过点
的动直线
交
于点
，交
于点
，设
，
，
，
，则
；
的最小值为 ．
【答案】 3
【详解】
连接AO，并延长交BC 于点D，易知点D 为BC 的中点，
所以，
.
又因为
是
的中心，所以
是
的重心，即
，
所以
.
因为
，
，所以
，
，
所以
. 因为M，O，N 三点共线，所以
，
所以，
.
因为
，
，
所以，
，
又
，所以，
.
由
，得
，
，
令
，当
和
重合时，
为
上中线，此时
,
所以
，则
，
得
.
根据对勾函数的单调性可知，
在
上单调递减，在
上单调递增，
且
，
，所以
，
所以，
.
因为
，
所以，根据二次函数的性质可知
，
所以
的最小值为
.
故答案为：3，
.
（模式：1+1+1 满分：16 分 限时：15 分钟）
一、单选题
1．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，点
在
上，
且
，
的面积为
．若
为钝角，则
的焦距为（ ）
A．
B．
C．7
D．14
【答案】B
【分析】根据双曲线定义结合条件得
，根据
的面积解得
，结合
为钝角，得出
，根据余弦定理解得，进而得到焦距.
【详解】根据双曲线定义，
，
又因为
，可得
，
因为
的面积为
，
所以
，
解得
因为
为钝角，所以
，
由
根据余弦定理得
，
即有
，解得
因此双曲线的焦距为
.
故选：B.
二、多选题
2．已知不等式
对任意
成立，则实数
的取值可以为（ ）
A．
B．
C．
D．e
【答案】ABD
【分析】构造函数
，由其单调性得到
，再参变分离求最值即可求解.
【详解】原不等式可化为
．
令
，则原不等式等价于
，
易知
在
上单调递增，
所以不等式
可化为
，
两边取对数即得
，所以
恒成立．
令
，
则
，
由
，可得
，由
，可得
，
可知
在
上单调递增，在
上单调递减，
最大值为
所以
，故
，即实数
的取值范围为
．
符合条件的选项有ABD，
故选：ABD.
三、填空题
3．（24-25 高一下·广西贵港·期中）已知函数
在
上有且仅有2 个零点，
则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由正弦函数的单调性计算可得.
【详解】
因为
，所以
．
又函数
在
上有且仅有2 个零点，
所以
，解得
，即
的取值范围是
．
故答案为：
.
