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教考衔接二十四 教材命题点探源
高三数学 突破卷02
（分值：150 分 时间：120 分钟）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1.复数z 满足
，则
( )
A.
B.1
C.
D.2
【答案】B
【解析】由题意知
，所以
.
故选B.
2.设集合
，
，则
( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
2
0
{
(
1)
0}
A
x x
x
x x x
∣
∣
{
1
x x
∣
或
0}
x
，
{ ln(
1)
0}
{ ln(
1)
ln1}
{
0}
B
x
x
x
x
x x
∣
∣
∣
，所以
(1,
)
A
B
.
故选C.
3.已知向量a，b 满足
，且
，若
，则
( )
A.
B.
C.2
D.
【答案】A
【解析】依题意
，即
.又
，且
，所以
，即
，解得
.
故选：A
4.设随机变量X 服从二项分布
，则函数
存在零点的概率是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
函数
存在零点，
，
.
随机变量X 服从二项
分布
，
.
故选C.
5.随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域.假设某放射性同位素
的衰变过程中，其含量(单位:贝克)与时间(单位:天)满足函数关系
,其中
为
时该放射
性同位素的含量.已知
时,该放射性同位素的瞬时变化率为
，则该放射性同位素衰变至含
量为4.5 贝克时，所经历的时间为( )
A.20 天
B.30 天
C.45 天
D.60 天
【答案】D
【解析】由
,得
,因为
时,该放射性同位素的瞬时变化率为
,即
,解得
,则
,
当该放射性同位素含量为4.5 微克时,即
,
所以
,即
,所以
,解得
.
故选:D.
6.函数
（
，
，
），若
，则
a 的值为( )
A.4
B.4 或
C.2 或
D.2
【答案】C
【解析】由题意得
，
，
令
，则
，则函数
，
，
即
，
.
当
时，
在
上单调递增，由
可得
，解得
；
当
时，
在
上单调递减，由
可得
，解
得
.故a 的值为2 或
.
故选C.
7.过抛物线
的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限内的交点为A，与抛物线准线的交点
为B，点A 在抛物线准线上的射影为C，若
，
，则抛物线的方程为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】点
，设点
，
.因为
，所以F 为AB 的中点，所以
所以
所以
，又点A 在第一象限，所以
，可得
，
，所以点
，
.点A 在抛物线准线上的射影为C，则点
，所以
，
，所以
，解得
或
（舍去），所以抛物线的方程为
.
故选A.
8.某车企为转型升级，从2026 年起大力发展新能源汽车，2026 年全年预计生产新能源汽车10 万辆，每辆
车的利润为2 万元.假设后续的几年中，经过车企关键核心技术的不断突破和受众购买力的提升，每年新
能源汽车的产量都比前一年增加
(假设每年生产的新能源汽车都能销售出去)，每辆车的利润都比前
一年增加2000 元，则至2032 年年底,该汽车集团销售新能源汽车的总利润约为( )
(参考数据：
,结果精确到0.1)
A.320.5 亿元
B.353.8 亿元
C.363.2 亿元
D.283.8 亿元
【答案】B
【解析】设第n 年每辆车的利润为
万元,则每辆车的利润
是以2 为首项,0.2 为公差的等差数列,
所以
,
设第n 年新能源汽车的销量为
辆,则该汽车的销量
是以100000 为首项,1.2 为公比的等比数列,
所以
,设该车企销售新能源汽车的总利润为S,
,
①,
②,
①-②得：
,
所以
万元,即
亿元,
故选：B.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9.已知函数
的图象与直线
(0
2)
y
m
m
连续的三个公共点从左到右依次记为
A，B，C，若|
| 2 |
|
AB
BC
，则( )
A.
( )
f x 的最小正周期为π
B.
3
2
m
C.将函数
( )
f x 的图象向右平移
π
12 个单位长度后，得到函数
的图象，则
在
上的值域
为
D.若函数
，则
在
上有6 个零点
【答案】ACD
【解析】依题意，
，故A 正确；
，所以
，
，记
，则
，
，所以
，所以
①，而
②，联立
①②可得
，故B 错误；
，所以当
时，
，
，
所以
，故C 正确；
，在直角坐标系中分别作出
，
的图象如图所示，观察可知，其图象在
上有6 个交点，即
在
上
有6 个零点，故D 正确.
故选ACD.
10.已知椭圆
2
2
:
1
4
2
x
y
C
的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，M 为C 上异于A，B 的一点，过点
M 且垂直于x 轴的直线与C 的另一个交点为N，交x 轴于点T，则( )
A.存在点M，使
120
AMB
B.
C.
的最小值为
D.
周长的最大值为8
【答案】BCD
【解析】因为椭圆C 的方程为
，所以左顶点
，右顶点
，左焦点
.
当点M 位于短轴端点时，
最大，即
，所以此时
，
，所以
，又因为
，所以
，所以椭圆上不存在点M，使
，所以选项A 错误.设
，则
，
，且
，
，
，所以
，
，
，
，
，
，即
，所以选项B 正确.
，所以
，
，所
以
，
，
，
所以当
时，
取得最小值，且最小值为
，所以选项C 正确.因为椭圆的离心率
，
，所以根据椭圆的对称性，不妨令
，则
，
，所以
的周长为
，因为点M 在椭圆
上，所以令
，
，其中
且
，所以
的周长
，当
，
，即
时，
的周长取得最大值，且最大值为8，所以选项D 正确.
故选：BCD.
11.已知正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的棱长为1，M 为正方体的表面上的动点，N 为侧面
1
1
ABB A 上的动点，
则下列结论正确的是( )
A.若
2 3
3
BM
，则M 的轨迹长度为
B.若
，则DN 的最小值为
C.若M 在
上，N 在
上，则MN 的最小值为
D.若M 为
的中点，N 为AB 的中点，则过M，N，
三点的平面截正方体所得的截面为直角梯形
【答案】AB
【解析】对于A，由
，得点M 的轨迹为以点B 为球心，
为半径的球面与正方体表面的
交线，如图①，其中
，
，
等长，
，
，
等长，
，所以
，同理
，所以
，所以
的长为
，
，
，所以
的长为
，所以M 的轨迹长度为
，故A 正确；对于B，如图②，连接
，
，
，
，因为
平面
，
平面
，所以
，又
，
，
平面
，所以
平面
，因为
平面
，所以
，同理可证
，又
，
平面
，所以
平面
1A BD ，因为N 为侧面
1
1
ABB A 上的动点，
1
DN
AC
，所以N 在线段
1A B 上，又
1A BD
△
是边长为
2 的等边三角形，所以DN 的最小值为
1A B 边上的高，即
6
2 ，故B 正确；对于C，如图③，
取
1
1
AC 的中点为Q，连接
1B Q ，
1
B M ，易知
1
B B 平面
1
1
1
1
A B C D ，
1
B M 平面
1
1
1
1
A B C D ，所以
1
1
B B
B M
，所以
2
2
2
1
1
MN
B M
B N
，当点N 与点
1B 重合，点M 与点Q 重合时，
1
B N 与
1
B M 均取
得最小值，此时MN 取得最小值，故MN 的最小值为
2
2 ，故C 错误；对于D，如图④，若M 为
1
1
A D 的
中点，N 为AB 的中点，取AD 上靠近点A 的四等分点P，连接PN ，PM ，
1
MB ，
1
B N ，取线段AD 的
中点E，连接BE，ME，则
1
//
//
PN BE MB ，
1
1
2
PN
MB
，则四边形
1
MB NP 为梯形，则梯形
1
MB NP 为
过M，N，
1B 三点的平面截正方体所得的截面，
2
2
5
4
PN
AN
AP
，
2
2
17
4
PM
PE
ME
，
2
2
2
1
1
6
2
MN
AN
AA
A M
，所以
2
2
2
PN
PM
MN
，即
π
2
MPN
，同理可得
1
π
2
PNB
，所以梯形
1
MB NP 不是直角梯形，故D 错误.故选AB.
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12.已知曲线
2
1
π
:
sin 2
C
y
x
ax
上一点(1,2) 处的切线为l，若曲线
3
2
2 :
1
C
y
x
bx
上至多存在一条
与l 垂直的切线，则实数b 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】将
代入
，解得
.对
求导得
，点
处的切线l 的斜率
，故与l 垂直的切线的斜率为
.对
求导得
，
若曲线
上至多存在一条与l 垂直的切线，则令
，可得
，（也可用
至多有一个零点，即
）解得
.
故答案为：
.
13.已知随机变量
，随机变量
若
，则正整数n 的最小值为
_________.
【答案】6
【解析】由
，得
，又
所以
，易得
单调递增，又当
时，
，
所以正整数n 的最小值为6.
故答案为：6.
14.已知函数
有三个零点，则实数a 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】方法一：由题可得，函数
最多只有一个零点.
由
，得
，当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增，所以
，且当
时，
，所以
最多有两个零点.因为
有三个零点，所以
有两个零点，
有一个零点
，所以
解得
，所以实
数a 的取值范围为
.
方法二：已知函数
有三个零点，当
时，
，令
，解
得
；当
时，
，令
，解得
.
所以构造函数
则
有三个零点等价于
的图象与直线
有三个交点.由
，得
，当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
，且当
时，
，
，所以
的图象与直线
最多只有两个交点；
的图象与直线
最多只有一个交点.综上，直线
与
的图象有两个交点，与
的图象有一个交点，如图，则
解得
，所以实数a 的取值范
围为
.
故答案为：
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13 分）在概率论和统计学中用协方差来衡量两个变量的总体误差，对于离散型随机变量X，Y，定义
协方差为
.将号码分别为1，2，3，4 的4 个小球等可能地放
入号码分别为1，2，3，4 的4 个盒子中，每个盒子恰好放1 个小球.
（1）求1 号球不在1 号盒子中，且2 号球不在2 号盒子中的概率；
（2）记所放小球号码与盒子号码相同的个数为X，不同的个数为Y，求证：
；
（3）结合实例，解释协方差的实际含义.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【解析】(1)将号码分别为1，2，3，4 的4 个小球
等可能地放入号码分别为1，2，3，4 的4 个盒子中，
每个盒子恰好放1 个小球的所有情况有
（种），1 号球在2 号盒子中时，
有
种情况，1 号球在3 或4 号盒子中时，
有
种情况1 号球不在1 号盒子中，
且2 号球不在2 号盒子中包含的情况有
（种），
记“1 号球不在1 号盒子中，
且2 号球不在2 号盒子中”为事件A，
则
.
(2)由题意知X 的所有可能取值为0，1，2，4，且
，
，
，
，
，
故X 的分布列为
X
0
1
2
4
P
所以
，
.
解法一：因为
，
所以
，
令
，则Z 的分布列为
Z
-1
0
-9
P
则
.
解法二：
因为
，所以
时，
，
时，
，
则
，
时，
，则
，
时，
，则
，
故
.
.
(3)令
，
可知当
时，X 和Y 同时大于或同时小于各自的数学期望；
当
时，X 和Y 相对于各自数学期望的大小情况相反.
因此，
刻画了X 和Y 之间的变化趋势：
如果
，表示X 和Y 的变化趋势相同；
如果
，表示X 和Y 的变化趋势相反.
在第(2)问中，
表示
“所放小球号码与盒子号码相同”的个数和
“所放小球号码与盒子号码不同”的个数的变化趋势相反，与实际情况相吻合.
16.（15 分）已知函数
，其中
，e 为自然对数的底数.
（1）若
，证明
；
（2）讨论
的极值点的个数.
【答案】（1）证明见解析
（2）函数
在
上有且仅有一个极值点
【解析】（1）证明：当
时，
，
则
，
，
.
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增.
又
，所以
.
（2）由题意知，函数
的定义域为
，
.
设
，
，显然函数
在
上单调递增，
与
同号.
①当
时，
，
，
所以函数
在
内有一个零点，所以函数
在
上有且仅有一个极值点.
②当
时，由第（1）问知，
函数
在
上有且仅有一个极值点.
③当
时，
，
，
因为
，
所以
，
.
又
，
所以函数
在
内有一个零点，记为
，
所以当
时，
，即
，
当
时，
，即
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以函数
在
上有且仅有一个极值点.
综上所述，函数
在
上有且仅有一个极值点.
17.（15 分）在正三棱台
中，侧棱长为1，且
，E 为
的中点，D 为
上的点，且
.
（1）证明：
平面
，并求出AD 的长.
（2）求平面BDE 与平面ABC 夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】（1）证明：如图所示，由三棱台的性质可知延长
1
AA ，
，
1
CC 交于点P，连接PE 并延长交
BC 于F，连接AF，易得三棱锥
为正四面体，
所以BC
AF
，
，且AF 平面
，PF 平面APF，
所以
平面APF.
因为DE 平面APF，所以
.
因为
1
DE
BB
，且
平面
1
1
BCC B ，
平面
1
1
BCC B ，
所以
平面
1
1
BCC B .
又因为
平面
1
1
BCC B ，所以
.
在
中，
，
，
，
所以
，
，
所以
.
（2）以底面
的中心O 为坐标原点，与BC 平行的直线为x 轴，OF 为y 轴，OP 为z 轴建立如下图
所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
，
所以
，
.
设平面BDE 的一个法向量为
，
则
即
令
，则
，
，所以
.
取平面ABC 的一个法向量为
，
所以
，
所以平面BDE 与平面ABC 夹角的余弦值为
.
18.（17 分）【材料1】.过椭圆
上点
处的切线方程为
；
【材料2】过抛物线
上点
处的切线方程为
.
结合以上材料，回答问题：已知椭圆
上点
处的切线为
，且抛物线
与
相切.
（1）求切线
的方程；
（2）求抛物线W 的方程；
（3）已知定点
，不过点M 的直线l 与抛物线W 恒有两个不同交点A，B，且与其准线交于点C
（点C 不在x 轴上）.若直线
，
，
的斜率分别是
，
，
，且
，
，
成等差数列，
证明：直线l 恒过定点.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】（1）由材料知，过椭圆
上点
处的切线为
，
即
，所以切线
的方程为
.
（2）设抛物线
与直线
相切于点
，
由材料知，抛物线
在点
处的切线方程为
，即
.
由题意知直线
与直线
重合，则
又因为
，所以
，解得
，所以抛物线W 的方程为
.
（3）证明：由（2）知
，其焦点为
，准线方程为
.
设直线l 的方程为
，
，
，联立
解得
，即点
.
由
得
，
，
.
由
，
，
成等差数列得
，即
，
由A，B 在直线l 上得
，
，
代入①得
，联立
消去x 得
，则由
，得
.
由根与系数的关系得
，
.
将③代入②得
.
化简得
，
即
，
即
，
即
，
即
.
又因为直线l 不过点
和点
，
所以
且
，故
.
即直线l 的方程为
，所以直线l 恒过定点
.
19.（17 分）若存在1，1，2，2，…，n，n 的一个排列
，满足每两个相同的正整数
之间恰有k 个正整数，则称数列
为“有趣数列”，称这样的n 为“有趣数”.例如，数列
：4，6，
1，7，1，4，3，5，6，2，3，7，2，5 为“有趣数列”，7 为“有趣数”.
（1）判断下列数列是否为“有趣数列”，不需要说明理由；
①
：1，2，1，2；②
：3，1，2，1，3，2.
（2）请写出“有趣数列”
的所有可能情形；
（3）从1，2，…，
中任取两个数i 和j
，记i 和j 均为“有趣数”的概率为
，证明：
.
【答案】（1）
不是“有趣数列”；
是“有趣数列”
（2）4，1，3，1，2，4，3，2 或2，3，4，2，1，3，1，4
（3）证明见解析
【解析】（1）①
：1，2，1，2 中两个2 之间间隔数只有1 个，故不是“有趣数列”，
②
：3，1，2，1，3，2 中两个1 之间间隔数有1 个，两个2 之间间隔数有2 个，两个3 之间间隔数有3
个，故是“有趣数列”.
（2）当两个1 中间为2，不妨设1，2，1 右边两个2 中间可能为1，3 或1，4，
则
可能为4，3，1，2，1，3，2，4 或4，3，1，2，1，4，2，3，不符合题意；
当两个1 中间为3，两个2 中间可能为3，4 或4，3，则
可能为4，1，3，1，2，4，3，2 或2，3，4，
2，1，3，1，4，符合题意；
当两个1 中间为4，不妨设1，4，1 右边两个2 中间可能为3，4 或4，3，
则
可能为1，4，1，2，3，4，2，3 或1，4，1，2，4，3，2，3，不符合题意.
综上所述，“有趣数列”
可能为4，1，3，1，2，4，3，2 或2，3，4，2，1，3，1，4.
（3）证明：将“有趣数列”
中数字
第一次出现的项记作第
项，
由题意可知数字k 第二次出现的项数为第
项，
所以
，
所以
，即
.
又因为
为整数，所以必有
为整数，
当
，或
时，
不可能为整数，不符合题意.
当
时，
为整数，构造“有趣数列”
为
，…，
，
，
，…，1，
，1，…，
，
，…，
，
，
，…，
，
，
，…，2，
，
，2，…，
，
，…，
，符合题意.
当
时，
为整数，构造“有趣数列”
为
，…，
，
，
，…，1，
，1，…，
，
，…，
，
，
，…，
，
，
，…，2，
，
，
2，…，
，
，…，
，
，
，符合题意.
这里
，…，
是指将
一直到2m 的偶数按从大到小的顺序进行排列，
，…，1 是指将
一直到1 的奇数按从大到小的顺序进行排列，
故1，2，…，
中的“有趣数列”为3，4，7，8，…，
，
共
个，
则所求概率
.
