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规范练3(分值:43 分)
学生用书
P229
1.(13 分)如图,已知SA 垂直于梯形ABCD 所在的平面,矩形SADE 的对角线交于点F,G 为SB 的中点,
∠ABC=∠BAD=π
2
,SA=AB=BC=1
2
AD=1.
(1)求证:BD∥平面AEG;
(2)求平面SCD 与平面ESD 夹角的余弦值.
(1)证明连接GF,因为四边形SADE 为矩形,
所以F 为SD 的中点.
又G 为SB 的中点,
所以GF∥BD.
因为GF⊂平面AEG,BD⊄平面AEG,
所以BD∥平面AEG.
(2)解因为SA⊥平面ABCD,AB,AD⊂平面ABCD,
所以SA⊥AB,SA⊥AD.
又∠BAD=π
2
,
所以AB,AD,AS 两两垂直.
以A 为原点,分别以AB,AD,AS 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(1,0,0),S(0,0,1),D(0,2,0),C(1,1,0),所以⃗AB=(1,0,0),⃗CD=(-1,1,0),⃗SD=(0,2,-1),
易知,⃗AB=(1,0,0)为平面ESD 的一个法向量.
设n=(x,y,z)为平面SCD 的法向量,
则{⃗
CD·n=- x + y =0,⃗
SD·n=2 y - z =0,
取x=1,得n=(1,1,2).
记平面SCD 与平面ESD 夹角为θ,则cos θ=|cos<⃗AB,n>|= 1
√6 = √6
6
,
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故平面SCD 与平面ESD 夹角的余弦值为√6
6 .
2.(15 分)(2024·浙江杭州二模)已知等差数列{an}的前n 项和为Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)数列{bn}满足b1=3,令anbn=an+2bn+1,求证:∑
k =1
n bk<9
2 .
(1)解设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.
由S4=4S2,a2n=2an+1,
得{
4 a1+6d =8a1+ 4 d ,
a1+(2n-1)d =2a1+2(n-1)d +1,
解得a1=1,d=2,
所以an=1+2(n-1)=2n-1(n∈N*).
(2)证明由(1)知,(2n-1)bn=(2n+3)bn+1,即bn+1
bn
= 2n-1
2n+3 , bn
bn-1
= 2n-3
2n+1 , bn-1
bn-2
= 2n-5
2n-1
,…,b3
b2
= 3
7 , b2
b1
= 1
5
,
当n≥2 时,利用累乘法可得bn= bn
bn-1
× bn-1
bn-2
×…× b2
b1
×b1=2n-3
2n+1 × 2n-5
2n-1 ×…× 3
7 × 1
5 ×3=
9
(2n-1)(2n+1) = 9
2 (
1
2n-1 -
1
2n+1
),
当n=1 时,b1=9
2 ×(1-1
3
)=3 符合上式,
故bn=9
2 (
1
2n-1 -
1
2n+1
).
∑
k =1
n bk=b1+b2+b3+…+bn-1+bn=9
2
[1-1
3 + 1
3 - 1
5 + 1
5 - 1
7
+…+(
1
2n-1 -
1
2n+1
)]=9
2
(1-
1
2n+1
),
所以∑
k =1
n bk=9
2
(1-
1
2n+1
)<9
2 .
3.(15 分)(2024·山东日照二模)某公司为考核员工,采用某方案对员工进行业务技能测试,并统计分析
测试成绩以确定员工绩效等级.
(1)已知该公司甲部门有3 名负责人,乙部门有4 名负责人,该公司从甲、乙两部门中随机选取3 名负
责人做测试分析,记负责人来自甲部门的人数为X,求X 的最有可能的取值;
(2)该公司统计了七个部门测试的平均成绩x(满分100 分)与绩效等级优秀率y,如下表所示:
x
32
41
54
68
74
80
92
y
0.28
0.34
0.44
0.58
0.66
0.74
0.94
根据数据绘制散点图,初步判断,选用y=λecx作为回归方程.令z=ln y,经计算得z=-0.642,
∑
i=1
7
xi zi-7 x z
∑
i=1
7
xi
2-7 x
2
≈0.02.
(ⅰ)已知某部门测试的平均成绩为60 分,估计其绩效等级优秀率;
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(ⅱ)根据统计分析,大致认为各部门测试平均成绩x~N(μ,σ2),其中μ 近似为样本平均数x,σ2近似为样本
方差s2.经计算s≈20,求某个部门绩效等级优秀率不低于0.78 的概率.
参考公式与数据:①ln 0.15≈-1.9,e1.2≈3.32,ln 5.2≈1.66.
②线性回归方程
y
^
=b
^x+
a
^中,b
^
=
∑
i=1
n
xi yi-n x y
∑
i=1
n
xi
2-n x
2
,a
^
= y -b
^
x .
③若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.682 6,P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.954 4,P(μ-3σ<X<μ+3σ)≈0.997
4.
解(1)依题意,随机变量X 服从超几何分布,且X 的可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)=C3
0·C4
3
C7
3
= 4
35,
P(X=1)=C3
1·C4
2
C7
3
= 18
35,
P(X=2)=C3
2·C4
1
C7
3
= 12
35,
P(X=3)=C3
3·C4
0
C7
3
= 1
35 .
由此可得P(X=1)=18
35
最大,即X=1 的可能性最大,故X 最有可能的取值为1.
(2)(ⅰ)依题意,y=λecx两边取对数,得ln y=cx+ln λ,即z=cx+ln λ,
其中x = 32+ 41+54 +68+74 +80+92
7
=63.
由提供的参考数据,可知c=0.02.
又-0.642=0.02×63+ln λ,故ln λ≈-1.9,
所以λ≈e-1.9,
由提供的参考数据,可得λ≈0.15,
故
y
^ =0.15×e0.02x.
当x=60 时,
y
^ =0.15×e0.02×60≈0.498,
即估计其绩效等级优秀率为0.498.
(ⅱ)由(ⅰ)及提供的参考数据可知,μ≈x=63,σ≈s≈20.
又
y
^
≥
0.78,即0.15×e0.02x≥0.78,可得0.02x≥ln 5.2,即x≥83.
又μ+σ=83,且P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.682 6,
由正态分布的性质,得P(x≥83)=1
2
[1-P(μ-σ<x<μ+σ)]≈0.158 7.
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记“绩效等级优秀率不低于0.78”为事件A,则P(A)=P(x≥83)≈0.158 7,所以绩效等级优秀率不低于
0.78 的概率等于0.158 7.
