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规范练5(分值:43 分)
学生用书
P233
1.(13 分)(2024·辽宁葫芦岛一模)为了培养具有创新潜质的学生,某高校决定选拔优秀的中学生参加人
工智能冬令营.选拔考试分为“Python 编程语言”和“数据结构算法”两个科目,考生两个科目考试
的顺序自选,若第一科考试不合格,则淘汰;若第一科考试合格,则进行第二科考试,无论第二科是否合
格,考试都结束.“Python 编程语言”考试合格得4 分,否则得0 分;“数据结构算法”考试合格得6 分,否
则得0 分.
已知甲同学参加“Python 编程语言”考试合格的概率为0.8,参加“数据结构算法”考试合格的概率
为0.7.
(1)若甲同学先进行“Python 编程语言”考试,记X 为甲同学的累计得分,求X 的分布列;
(2)为使累计得分的期望最大,甲同学应选择先回答哪类问题?并说明理由.
解(1)由题意X 的所有可能取值为0,4,10,
所以P(X=0)=1-0.8=0.2,
P(X=4)=0.8×(1-0.7)=0.24,
P(X=10)=0.8×0.7=0.56,
所以X 的分布列为
X
0
4
10
P
0.2
0.24
0.56
(2)甲同学选择先回答“Python 编程语言”考试这类问题,理由如下:
由(1)可知E(X)=0×0.2+4×0.24+10×0.56=6.56.
甲同学先进行“数据结构算法”考试,记Y 为甲同学的累计得分,则Y 的所有可能取值为0,6,10,
P(Y=0)=1-0.7=0.3,
P(Y=6)=0.7×(1-0.8)=0.14,
P(Y=10)=0.7×0.8=0.56,
所以Y 的分布列为
Y
0
6
10
P
0.3
0.14
0.56
E(Y)=0×0.3+6×0.14+10×0.56=6.44,所以E(X)>E(Y),
所以甲同学选择先回答“Python 编程语言”考试这类问题.
2.(15 分)已知数列{an}的前n 项和为Sn,且Sn+2=2an.
(1)求a2及数列{an}的通项公式;
(2)在an与an+1之间插入n 个数,使得这(n+2)个数依次组成公差为d 的等差数列,求数列
1
dn
的前n
项和Tn.
解(1)由题意,当n=1 时,S1+2=a1+2=2a1,解得a1=2.
当n=2 时,S2+2=2a2,即a1+a2+2=2a2,解得a2=4.
当n≥2 时,由Sn+2=2an,可得Sn-1+2=2an-1,
两式相减,得an=2an-2an-1,整理得an=2an-1,
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综上,数列{an}是以2 为首项,2 为公比的等比数列,故an=2·2n-1=2n,n∈N*.
(2)由(1)可得,an=2n,an+1=2n+1,在an与an+1之间插入n(n∈N*)个数,使得这(n+2)个数依次组成公差为d
的等差数列,则有an+1-an=(n+1)dn,
∴dn=an+1-an
n+1
= 2
n
n+1
,∴1
dn
= n+1
2
n ,∴Tn= 1
d1
+ 1
d2
+…+ 1
dn
= 2
2
1 + 3
2
2 + 4
2
3+…+n+1
2
n ,
1
2
Tn=2×(1
2
)2+3×(1
2
)3+…+n·(1
2
)n+(n+1)·(1
2
)n+1,两式相减,可得1
2
Tn= 2
2
1 + 1
2
2 + 1
2
3+…+ 1
2
n - n+1
2
n+1 =1+
1
2
2 - 1
2
n+1
1- 1
2
- n+1
2
n+1 = 3
2 - n+3
2
n+1
,∴Tn=3-n+3
2
n
,n∈N*.
3.(15 分)已知在多面体ABCDEF 中,AD∥BC∥EF,且AD=CD=DE=4,BC=EF=2,∠BCD=∠FED=π
3
.
(1)证明:AD⊥BF;
(2)若BF=2√6,求直线CD 与平面ABF 所成角的正弦值.
(1)证明 连接BD,DF.
在△BCD 中,DC=4,BC=2,∠BCD=π
3
,
则BD2=BC2+DC2-2BC·DC·cosπ
3
=12,可得∠DBC=π
2
,即BD⊥BC.
同时AD∥BC,可得BD⊥AD,同理可得DF⊥AD.
因为BD⊥AD,DF⊥AD,且BD⊂平面BDF,DF⊂平面BDF,BD∩DF=D,
所以AD⊥平面BDF.
又因为BF⊂平面BDF,所以AD⊥BF.
(2)解 在△BDF 中,易得BD=FD=2√3,且BF=2√6,
所以BD⊥FD,同时BD⊥AD,DF⊥AD,
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以DA 所在直线为x 轴,以DB 所在直线为y 轴,以DF 所在直线为z 轴,如图所示,建立空间直角坐
标系D-xyz.
其中A(4,0,0),B(0,2√3,0),F(0,0,2√3),C(-2,2√3,0),⃗
AF=(-4,0,2√3),⃗AB=(-4,2√3,0).
设向量n=(x,y,z)为平面ABF 的法向量,
满足{
n·⃗AB =0,
n·⃗AF =0, 即{
- 4 x +2√3 y =0,
- 4 x +2√3 z =0,
不妨取n=(√3,2,2),⃗DC=(-2,2√3,0),
直线CD 与平面ABF 所成角的正弦值为
|cos<⃗
DC
,n>|=|⃗
DC ·n
|⃗DC ||n||=|
2√3
√(-2)
2+(2√3)
2×√(√3)
2+2
2+2
2|= √33
22 .
